Luận văn thạc sĩ toán lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân

Lời cam đoanTrong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Lý th u y ết liên phân số và áp dụng giải phương trìn h vi phân” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về lý thuyết liên phân số, đặc biệt

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ

vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lê N h ậ t G iang

Lời cam đoan

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Lý th u y ết liên phân số và

áp dụng giải phương trìn h vi phân” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về

lý thuyết liên phân số, đặc biệt là những áp dụng quan trọng liên phân

số vào giải phương trình vi phân Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lê N h ậ t G iang

Lời dẫn khái niệm liên phân số

Khái niệm liên phân số

21 Chương 2.

Tổng quan về phương trình vi phân

Ap dụng liên phân số giải một số phương trình vi phân

2 2 1

2.2.2.

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Giải phương trình vi phân Riccati

25

25353544

Tài liệu th am khảo

53 54

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm liên phân số, có thể nói rằng có nguồn gốc lịch sử từ rất sớm Những người học và làm Toán đều biết đến thuật toán Euclide từ thời toán học cổ đại Hy lạp Tuy nhiên, không có bằng chứng nào để có thể khẳng định rằng thời đó các nhà Toán học đã sự dụng nó để hình thành khái niệm liên phân số như ngày nay Có lẽ để nói đến nguồn gốc của khái niệm này, chúng ta hãy bắt đầu từ việc biểu diễn xấp xỉ của \/Ĩ 3 được cho bởi nhà Toán học Bombelli năm 1572 như sau

Trường hợp riêng thứ hai của công thức này được cho bởi Cataldi năm

1613 dưới dạng (dấu + được ông thay bởi dấu & )

\ / Ĩ8 = 4 & -^ -

8 &

8 & - 8

Ông viết gọn biểu thức trên dưới dạng như sau

4 & 2 & 2 & 2

Năm 1625, Schwenter và Huygens (trong một công trình được công bố

sau khi ông mất), đã xem xét sự xấp xỉ của những liên phân số hữu hạn

chính quy theo nghĩa biểu diễn những phân số lớn thành những phân số nhỏ hơn ở đây, Schwenter đã đưa ra biểu diễn sau

Còn Huygens đã đưa ra biểu diễn (những dấu + dưới ta hiểu là phép

cộng được thực hiện ở mẫu của phân số đứng ngay trước n ó )

77708431 _ 1 1 1 1 _= 29 + — — — —

2640858 2 + 2+1 + 4 + '”'Người đầu tiên đưa ra sự khai triển liên phân số vô hạn là Brouncker.Khoảng năm 1659, ông đã trình bày trước hội Toán học Hoàng giaLondon biểu diễn sau

Đến nay, lý thuyết liên phân số đã đem lại áp dụng trong nhiều lĩnh vực của Toán học cũng như các vấn đề thực tiễn khác Được sự định hướng

của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "L ý th u y ết liên phân số và á p dụng giải phương trìn h vi phân" để hoàn thành luận văn Thạc sĩ

chuyên ngành Toán giải tích Luận văn được cấu trúc thành 02 chương

Chương 1 Được giành cho việc trình bày về lý thuyết liên phân số; các khái niệm liên quan lý thuyết liên phân số; một số tiêu chuẩn hội tụ và các ví dụ minh họa

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp sử

dụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình Riccati

2 M ục đích ngh iên cứu

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về liên phân số và áp dụng của

nó trong việc giải một số phương trình vi phân

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Lý thuyết liên phân số và cách áp dụng liên phân số giải phương trình

vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề thông qua việc phân tích, tổng hợp các tài liệu được thu thập, và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn

6 Đ ó n g góp của đề tà i

Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số và giới thiệu cách áp dụng liên phân

số để giải một số phương trình vi phân xuất hiện trong các lĩnh vực kĩ thuật, vật lý,

C hương 1 Liên phân số

1.1 Lời dẫn khái niệm liên phân số

Để dẫn tới khái niệm liên phân số một cách tự nhiên, chúng tôi giới thiệu

một số khái niệm quen thuộc Cho {tn} là dãy số phức Khi đó, tổng vô

được gọi là một chuỗi số phức (sau này ta chỉ gọi là chuỗi s ố ) Tổng

Sự hội tụ của chuỗi (1.1) được định nghĩa qua sự hội tụ của dãy tổng

riêng {Tn} đến số phức T Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ đến tổng T và viết

trong đó tấ t cả các pn là các số phức khác 0 Tương ứng, ta cũng có các khái niệm về tích riêng thứ n của tích vô hạn (1.2) như sau

-Sự hội tụ của tích vô hạn (1.2) là sự hội tụ của dãy tích riêng {Pn} tới

số phức p / ũ Khi đó, ta cũng nói tích vô hạn (1.2) hội tụ đến p và

Người ta gọi một liên phân số xác định từ dãy {an} được kí hiệu và

vô hạn, đối với liên phân số ta vẫn có thể nói về sự hội tụ đến oo

V í dụ 1.1 Đối với liên phân số

Tương tự, từ dãy số phức {6n} người ta xây dựng liên phân số sau

K (1 /&„) = -

Í>1 +

64 +

Đến đây, từ hai dãy số phức {an} và {6n} với an Ỷ Oi với mọi n ta đưa

ra khái niệm liên phân số sau

liên phân số chính quy (trong lý thuyết số nó là một khái niệm xuất

phát từ thuật toán Euclide).

Tổng quát hóa cả ba trường hợp về chuỗi số, tích vô hạn và liên phân số

ta có thể xây dựng khái niệm chung như sau: Cho dãy {ện} các ánh xạ

từ c vào c ta xây dựng một dãy ánh xạ mới {ộn} được xác định bởi

$ 1 = ộũ

§ n = $ n_ 1 o 4>n = ộị o ộ2 o ộ3 o o ộn.

Trong cả ba trường hợp, nếu tồn tại số phức c để dãy ( $ n(c)} hội tụ thì

ta nhận được khái niệm các khái niệm thông thường như đã biết Chỉ

có một sự khác biệt là có tính đến sự hội tụ đến 0 hoặc oo

mà thôi Vấn đề này ta có thể chỉ ra như sau

Trong trường hợp chuỗi, chúng ta có

Đối với liên phân số (1^5) chúng ta có

1.2 K hái niệm liên phân số

Khái niệm liên phân số dưới đây được đưa ra bởi hai nhà Toán học Henrici và Pflüger (có thể xem Ị2Ị p.474])

Đ ịn h nghĩa 1.1 Liên phân số là một cặp sắp thứ tự

( ( { ù n } , { &n } ) , { / n } ) ;

trong đó { a X , {&n}o° là các dãy số phức cho trước với an ф 0 và { /n}

là một dãy số phức mở rộng được xác định bởi

/n = 'S'n(o); n = 0 , 1 ,2, (1.6)trong đó

được gọi là xấp xỉ riêng thứ n của liên phân số Để tiện lợi trong việc

trình bày người ta sử dụng ký hiệu

số dưới dạng

Nếu xác định

ỉn

A U' Bn

Nhận xét rằng S n là tích của các biến đổi phân tuyến tính không suy

Điều đó dẫn đến ý tưởng tố t để xem xét các xấp xỉ của liên phân số

Các liên phân số này tiến tới \/2 rất nhanh, ở bước thứ năm ta thấy sai

số của nó nhỏ hơn 0.00008 Điều đó cho ta thấy các liên phân số này

dường như là xấp xỉ hữu tỷ tốt đối với số vô tỷ \/2 Từ biểu diễn trên

đây, ta đưa ta đến ý tưởng nghiên cứu liên phân số 1 + K (1/2) với hy

vọng nhận được xấp xỉ tốt đối với \/2 Tuy nhiên, ta cũng cần có một sự cảnh báo rằng xuất phát từ ý tưởng như thế không phải khi nào cũng đúng Chẳng hạn, từ đẳng thức

y(n) = 2y(n+l) _|_ y(n+2)_

Từ các đẳng thức trên và giả thiết rằng đạo hàm đến cấp n + 2 khác 0,

Từ đó, ta suy ra rằng

2 yC^+i) / y (n+2) '

71+1Điều đó, gợi ý cho ta xét đến liên phân số

Đây chính là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (Dĩ nhiên, lý do

đã được trình bày trong ví dụ trên đây cũng chưa phải là nguyên nhân tốt đưa đến việc sử dụng phương phấp này trong việc giải phương trình

Điều này gợi ý tới việc xem xét các xấp xỉ của liên phân số

chuỗi này hội tụ khi Ịa^Ị < 1 và phân kỳ khi ỊxỊ > 1 Các xấp xỉ của chuỗi này là các tổng riêng

Nhận xét rằng các xấp xỉ như trên chính là các đa thức trong khi các xấp xỉ dưới dạng liên phân số là các hàm hữu tỷ

Dưới đây, ta kiểm chứng hai phương pháp xấp xỉ này với một số giá trị

của biến X xem xảy ra điều gì Trước hết với X = 0.96 thì giá trị chính xác của hàm là y/l + X — 1 = 0.4 Trong bảng dưới đây, ta ký hiệu (sn)

là dãy xấp xỉ chuỗi lũy thừa còn (fn) là dãy xấp xỉ của liên phân số

ỉn 0.4800 0.3871 0.4022 0.3996 0.4001 0.4000 0.40000

Dĩ nhiên điều đó không chứng tỏ được vấn đề gì Tuy nhiên, trong một

số trường hợp có thể khai triển liên phân số hội tụ nhanh hơn khai triển chuỗi lũy thừa

1.4 M ột số tiề u chuẩn hội tụ

1.4.1 Đ ịn h lý S leszynski-P rin gsh eim

Liên phân số K ( a n/bn) hội tụ nếu, với mọi n ta có

điều đó chứng tỏ công thức đúng với n = ĩ Tiếp theo, với mọi n > 2 ta

để chứng minh sự hội tụ của liên phân số K ( a n/bn), từ công thức sau

(đã nêu trong định nghĩa ở phần trên)

Hơn nữa, từ công thức truy hồi sau (đã nêu trong định nghĩa ở phần

Ta thấy tổng (1.12) hội tụ tuyệt đối, tổng riêng thứ n có giá trị tuyệt

đối nhỏ hơn hoặc bằng

I _ 11 I B n I I B n I

Do đó, chuỗi (1.1 2) hội tụ và (ỊTTTTỊ) đơn giản chỉ là hệ quả của (1.1 0)

Chú ý Nếu bất đẳng thức (Ị1.9Ị) được thỏa mãn, thì từ chứng minh trên

ta cũng suy ra rằng, với mọi |iü| < 1

\S{w)\ < 1

và

Sn{w) -> f

sự hội tụ này là hội tụ đều với mọi |ги| < 1

V í dụ 1.5 Cho z là một số phức và giả sử rằng \an\ < 1; với mọi n

Khi đó, liên phân số

a n

К —

71=1 2

hội tụ với mọi ịz\ > 2 Trong trường hợp đặc biệt khi an = 1 với mọi n

ta thấy rằng giá trị của f ( z ) được xác định như sau

Từ đó, suy ra

y/ Z1 + 4 - z

Liên phân số K ( l / z ) là một trường hợp đặc biệt sẽ được trình bày ở

phần sau Trong ví dụ này biểu thức căn bậc hai được lựa chọn sao cho

f ( z ) —»• 0 khi z —> oo tức là

V z 2 + 4 = z ị l + ^ + = z + - + .

và do đó

thì phân số đầu tiên được thay thế bởi 4ữi/2 Chúng ta thấy từ định lý Sleszynski-Pringsheim ta thấy rằng tấ t cả các giá trị xấp xỉ đều nhỏ hơn

1 và ở đây tấ t cả các giá trị xấp xỉ của (1.13) có giá trị tuyệt đối nhỏhơn — Từ sự hội tụ của nó suy ra giá trị của liên phân số nằm trong

Đ ịn h lý 1.1 Giả sử tất cả các phần tử an, bn của liên phân số K ( a n/bn)

đều dương Khi đó, ta có

s 2(0) < s 4(0) < s«(0) < < s 5(0) < 5 3(0) < 5 i( 0). (1.15)

Chú ý Nếu liên phân số K ( a n/bn) hội tụ, thì (1.15) có thể được dùng

để ước lượng giá trị của liên phân số Gọi giá trị đó là / ta thiết lập

/ ~ fn = + ^2n(0))sai số của nó được giới hạn bởi công thức

Đ ịn h nghĩa 1.2 (Liên phẫn số tuần hoàn) Liên phân số b0 + K ( a n/bn)

được gọi là liên phân số tuần hoàn với chu kì k € N Nếu các dãy {an}^°=i

và {&„}“ , được lặp lại theo chu kì k, nghĩa là

C hương 2

Á p d ụ n g liên phân số tro n g v iệc

giải phương trìn h vi phân

2.1 T ổng quan về phương trìn h vi phân

Trong nhiều lĩnh vực kĩ thuật, vật lý, ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm riêng, c ấ p của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có m ặt trong phương trình đó Nghiệm của phương trình vi phân

là những hàm thỏa mãn phương trình đó

Đ ịn h nghĩa 2.1 Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng

tổng quát

F { x , y , y ' , y " , ■■■y[n}) = 0,

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian

cấp một đến cấp n của nó c ấ p của một phương trình vi phân thường

được xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình

Nghiệm của phương trình trên là hàm y = y ( x ) khả vi n lần trên khoảng

(a, b) thỏa mãn phương trình, tức là

F ( x , y ( x ) , y ' { x ) , y f'n~1\ x ) ) = 0,

với mọi X thuộc khoảng (a , b) Đường cong y = y ( x ) , x G (a, 6) gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ “tích phân phương trình vi phân” vì lý do này Nếu từ phương trình đã cho ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp

cao nhất y ^ qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối với y hoặc ta còn gọi phương trình có dạng chính tắc, tức là lúc này phương trình đã cho có dạng

Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện

Vo = y { x o ) , y ' o = y { x o ) , ■■;V{ữ 1} = y {n ^ o ) (2.2)

được gọi là bài to á n Cauchy Điều kiện (2.2) được gọi là điều kiện đầu.

Đ ịn h nghĩa 2.2 Hàm số y = y(x, C i , C n)\ với Ci\i = 1,71 (Cị là

các hằng số ) phụ thuộc vào n hằng số tùy ý được gọi là nghiệm tổng

quát của phương trình (2.1) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện là hàm

y = y ( x , C i , C n) thỏa mãn (2.1) với mọi giá trị Ơ I , Cn và với mọi

(®o,2/o,y/o>->2/on_1)) cho