Toán tử monge ampere trong lý thuyết đa thế vị (luận văn thạc sĩ toán học)

TRƯỞNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TIIÀNH PHĨ HỊ CHÍ MINH Nguyền Mai Vi TOÁN TỦ MONGE - AMPÈRE TRONG LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: GITI - 19 - 006 LUẬN VÃN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỀN VÀN DƠNG Thành phổ IIỒ Chí Minh - 2021 LỜI CÁM ƠN l.uận ván (tược hoàn thành Trưởng Đại học Su phựm Thành phổ Hồ Chi Minh hướng dẫn tận tình cùa TS Nguyền Văn Dịng Tơi xin trán trọng cam un Thầy lận lình giúp (tở (tịnh htrờng cách lư each tàm việc khoa học Dó ỉà nliừng góp ý quý báu không chi quớ lành thực hiên luận vãn mà cỏn tã hành trung tiếp btrởc cho tin trình học tập lộp nghiệp sau Xin chân thành câm ơn Ban chù nhiệm Khoa Toàn - tin rờ cảc Thầy, Cô trường Dợi học Sư phạm Tp.HCM tận tinh giáng dạy chu tói trung thời gian hụt tạp tựu diêu kiỳn thuận lợi cha tịi trinh nghiên cứu hồn thành luận vìín Do giời hạn kiến thức nâng fỹ luận cùa hàn thân cịn nhiêu thiêu sót vờ hạn chi-, kinh mong t hi dan đóng góp cua Thầy Cơ đê’ luận ván cùa tịi hoàn thiện Xin chân thành câm ơn Tháng 8nám 202J Tác gia Một số ký hiệu sư dụng luận văn (IV = dxỊ A Jxv phần bù ỉ [1.JV] * V dạng thê tích tắc RA’ ,(íl) khơng gian dạng thư bậc N - p í ỉ khơng gian dịng bậc p khơng gian dụng ihú có song bậc (p.p) khồng gian dòng song bậc (n - p, n - p) (hay song chiều (p.p)ị * A'V không gian p - dạng c - tuyền tinh thay phiên A^r^A'r^vr không gian (p, ợ)-dạng vi phân phức A^mSA'-V dại sô dạng vi phân phức tác dộng cùa dòng s len dạng thư ụ Saơ tích ngồi cùa dịng dạng supp/.suppS giá lằn lượt cùa hàm X dòng Ĩ,C” không gian tiếp xúc phức cùa C" X A phép dây tới ứng VỚI ánh xạ A PSH(ÍÌ} tập hợp hàm da diều hòa Q PSH-(ÍÌ) tập hợp hàm da diều hịa âm Q L"(ờ) không gian Lebesgue cấp p (Ị> > 1) (rên lụp mở ỉ/ e R": :J|/pVeD(ư) V Định nghĩa 0.1.4 Giá sứữcR' tập mớ Mể(Đ(ừ))' Với mồi a = (ư a'JeZ" ta ợ lã độ dài cúa da chi sơ í/ nều Định nghĩa 0.1.5 Giã sử cR" lả tập mờ vả Mfc(D(Ư))’ /eC‘ (ơ) Khi đỏ xác đinh tích jn cho bởi: (A)(í») = * (/» D(Ư) * V Khi fu phân bổ u Định nghĩa 0.1.6 Phân bổ w gọi la bậc (I thác triền tới dang tuyền tinh liên tục không gian C(l(ơ)cảc ham liên tục giá compact L' Tiếp theo, ta nói thêm dộ đo Borel, độ đo Borcl chinh quy độ đo Radon định li biêu diễn Riesz 0.Ì.2 Đơ 0.1.2.1 Dơ Boreỉ 11 s JiH Add u> j\dd• nỊ * T * ft * fl ' n hãm só H; — supĩ V, w-£‘, bị chộn lả hàm da điều hỏa Q cho H"r tăng sup{v w} £ giâm vè IV = V gần ổíỉ Do định lí hội tụ dơn diệu, ta có the già sứ rúng IV-V ÍXÌ Đặt A.-(h -v) Í2 cồ dinh tập compact K cíì cho /ist) ÍÌ\K Xét xấp xi trơn /1, =/»♦ /, cùa h Những hàm trơn cận íỉ" cua K với giá compact £ - cận K K - Tú dinh nghía dd' II /\T = dd' (itT) có JVrM «aT-aT 11 ĩr Mặt khác, p > 63 dd'K = ph^dd'h, * aA > phỉ ldd‘h (n), ta CÓ: Do lie PSH (il)r ltdd w £puh' 'dd'h, Vi j hdd'uAT^ J puh^dd ht * ft at ôã ụ,(dd maxỊn.v}/’ aT = 1>>v1 (dd uỴ aT theo nghĩa dộ Bore! í ì Chúng minh Dật D - Ju > v) Neu u liên tục I) tập mớ íi max Ịn.vỊ - M D (íW max (W.v))f* T 68 = (íWw) AĨ Bây giờ, ta xem xét trưởng hợp tông quát Lẩy (ư I lã dãy càc hám đa diều hòa liên tục giám VC u Do vấn đề mang tính chất địa phương, có the gia sù ỉ ỉ lã quà cẩu hàm bị chặn da diều hòa lân cận cố định cua í ỉ Chúng ta biết 'i.,h(‘w‘ max ("ơ'})p Ar=,(.,»i Đật /, yAr -v) f ={u - v) Dẳng thúc cho maxjw.vj) aT = /,((W M,y AĨ theo nghĩa yếu độ £2 Nhận xét Ặ = maxjrr.vj-V / = max{ư,v}-v dãy (max 'll vj) giam VC max Ju.vj Từ Định lí 3.1 ta có: /(í/íT max{u,v})r aT = /(