Luận văn thạc sĩ toán học hàm lồi véc tơ và ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI PHAN VN TUYN HM L i VECT V NG DNG LUN VN THC S TON HC H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI PHAN VN TUYN HM L i VECT V NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch M ó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s ! TON HC NGI HNG DN KHOA HC: GS.TSKH NGUYN XUN TAN H NI, 2015 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp ừ, to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ ỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 Tỏc gi Phan Vn Tuyn LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tớn trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 Tỏc gi Phan Vn Tuyn iii DANH MC K HIU X M Phn t X thuc M y M Phn t y khụng thuc M Tp rng M c N M l mt ca N M u N Hp ca hai hp M v N M (1N Giao ca hai M v N M XN Tớch -cỏc ca hai M v N Vx Vi mi X 3x Tn ti X supxeiớ f ( x ) supremum ca { f ( x ) \ x G K } infjg# f ( x ) infimum ca { f ( x ) \ x e K } co D Bao li ca D CừD Bao li úng ca D int D Phn ca D ||:c|| Chun ca X ong khụng gian nh chun X Rn Khụng gian Euclide n chiu clD ,D Bao úng ca D Ê(Mn,K m) Khụng gian cỏc ma trn cp n X m (x, y) Tớch vụ hng ca X, y ong khụng gian Hilbert coneA Nún sinh bi A K* Nún cc ca nún K dom (/) Min xỏc nh ca / ep i(/) Trờn th ca / iv Mc lc LI CM N i LI CAM OAN ii DANH MC K HIU ii LI M U 1 Hm li vụ hng v ng dng 1.1 1.2 nh ngha li, hm li v cỏc tớnh cht 1.5 1.1.1 Tp li 1.1.2 Hm l i Tớnh liờn t c 1.3Tớnh liờn tc Lipschitz 1.4 Hm liờn h p 1.4.1 Phộp bin i Young-Fenchel 1.4.2 Tớnh cht ca hm liờn h p 10 Di vi phõn 11 Hm li vect v ng dng 17 2.1 17 Gii t h i u V 2.2 nh ngha, cỏc khỏi nim v kt qu b t r 19 2.3 Tớnh liờn t c 25 2.4 Cỏc c trng ca hm li v e c t 32 2.5 nh x lựi x a 40 2.6 Mt s ng d n g 50 Kt lun 56 Ti liu tham kho 57 LI M U Lý chn ti Hm li vect úng vai trũ quan trng gii tớch phi tuyn, c bit ti u Trong trng hp vect, hm li vect c quan tõm chỳ trng rt nhiu lm sỏng t cu trỳc ca cỏc lp hm vect v ng dng vo ti u vect, c trng ca tớnh li c biu din thụng qua phộp vụ hng húa v thụng qua bc mt ca hm suy rng Mt nhng tớnh cht hu ớch ca hm li vect l tớnh liờn tc Lipschitz cc b trờn phn tng ng ca xỏc nh ca nú Tuy nhiờn chỳng ta cng quan tõm n iu kin tớnh liờn tc ỳng ti nhng im biờn Trong ti u, cú iu kin cho nghim ti u, chỳng ta cn hoc mt iu kin bc hai hoc mt gi thuyt li Bờn cnh ú cũn mt phng phỏp nghiờn cu iu kin tn ti nghim ti u da trờn ỏnh x lựi xa Khú khn m rng v nghiờn cu ỏnh x lựi xa trng hp vect l cu trc a tr ca ỏnh x ny Vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm li vộct c nhiu tỏc gi v ngoi nc quan tõm nghiờn cu v ng dng nh: GS.TSKH inh Th Lc; GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn; PGS.TS Phan Nht lnh; GS TSKH Do Sang Kim Lý thuyt i ngu ca bi toỏn quy hoch li vộct cng c xõy dng cho nhiu kt qu mụn gii tớch li c in cng c m rng cho trng hp vộct v ng dng ca nú ong cỏc bi toỏn thc t vi lý ú tụi chn ti Hm li vect v ng dng 2 Mc ớch nghiờn cu Trỡnh by nhng kin thc c bn gii tớch li c bit l cỏc tớnh cht: - Tớnh liờn tc ca hm li vect - Tớnh Lipschitz a phng ca hm li vect - Bi toỏn quy hoch li Nhim v nghiờn cu Tỡm, c cỏc ti liu liờn quan n hm li v a mt s ng dng ca nú bi toỏn quy hoch li i tng v phm v nghiờn cu Nghiờn cu mt s tớnh cht ca hm li vect v mt s ng dng vo ti u vect Phng phỏp nghiờn cu Tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ v s dng cỏc kt qu gii tớch li vụ hng v tỡm cỏch m rng cỏc kt qu ny cho trng hp vộct úng gúp mi ca ti Tng quan v quy hoch li vụ hng v m rng mt s kt qu t vụ hng sang vect v tỡm ng dng Chng Hm li vụ hng v ng dng Trong nhng nm gn õy gii tớch li l mt nhng mụn hc phỏt trin v ng dng mnh m cỏc bi toỏn vo thc t nh toỏn ti u, toỏn trự hc, toỏn kinh t v cỏc ngnh k thut Mc ớch ca chng ny l gii thiu cỏc khỏi nim c bn ca li, hm li, cỏc tớnh cht: liờn tc, Lipschitz a phng, tớnh kh di vi phõn ca hm li v ng dng lý thuyt ti u Chng ny c vit da trờn ti liu [1] 1.1 1.1.1 nh ngha l, hm li v cỏc tớnh cht Tp li Cho X l khụng gian tụ pụ tuyn tớnh thc, X* = { / : X > M tuyn tớnh liờn tc} l khụng gian i ngu ca X , M l s thc, ký hiu M = MU {oo} Ta nhc li, li c nh ngha nh sau nh ngha 1.1 Tp A c X l li nu Va, e A, vi mi A Ê [0,1] ta cú Xa + (1 X)b E A 43 Do ú S = V b { f ( y + x ) - f ( y ) \ y e D } (2.13) Vỡ vy, S x v ch { f ( y + x) f ( y ) I y Ê D } b chn trờn Theo nh lý 2.1, iu ny tng ng vi sup{ f ( y + x) f(y)\ y e D} Do ú ieo nh ngha ca cn trờn ỳng v theo (2.13), nu sx ta cú /oo () = Min s x = M in(U b{/(y + x) - f ( y ) \ y G D }) = sup { /(y + ) - /( )| D} iu phi chng minh Ta chỳ ý rng, theo cụng thc Mnh 2.4, ta cú /oo (0) = {0} T nh ngha 2.5 ta thy ỏnh x lựi xa ca hm li vect cú cu trỳc a tr Do ú nghiờn cu sõu hn ta cn khỏi nim ỏnh x a Cho F l mt ỏnh x a tr t Mn ti Mm Ta nh ngha trờn th ca F i vi l e p iF := { ( s , u ) e i r X Mm| G F{ x) + } F c gi l li (tng ng, úng) nu epi F l li (tng ng, úng) F c gi l thun nht dng nu F(Xx) = F ( x ) :Vx G dom F, > Trong phn cũn li ca mc ny, nún th t c gi s l li, úng v nhn 44 Mnh 2.5 Cho f l mt hm li vect t mt li khỏc rng D Mn t ú / r Kh ú epi(/oo) = (epi/)oo- Chng minh Cho (x,u) e R" X Rm tựy ý Theo Mnh 2.4, (2.13) v nh lý 2.1, ta cú ( x, u) e e p i(/O) ^ m G / o o () + Ê sup { /( + ) - /( ) I 2/ -D} + U b{/(y + ) - /(y )| 1/ e D } o|,V a: e dom/oo A Chng minh Tớnh li ca /oo suy trc tip t Mnh 2.5 Theo chỳ ý sau Mnh 2.4 v bt ng thc sau S Xx = AS x,Vx e K n, > , Min(A^) = AM inJ4 , V C l m,A > 0, /oc l thun nht dng Bõy gi, gi s / úng Theo B 2.10 v Mnh 2.5 bờn trờn, epi/oo l úng Do ú, /oo cng úng Cui cựng, ly 46 x e D : X Mn v u e Mm tựy ý Bi vỡ epi / úng v li, ta cú u Ê sx ( x, u) (epi/)oo (x0, /(đo)) + u) e epi / , VA > /(ớCo + Ax) - / ( x 0) < u, VA > A /(zo + Az) - / ( x 0) A> } A { Do ú = U b{ f ( x + Xx) - f ( x 0) > } Nu X dom /oo, thỡ theo Mnh 2.4, Sx 0- T (2.14), { (2.14) f{x0+Xx)-f {x0) I A > 0} b chn trờn Mt khỏc, theo B 2.11, { f{x0+\ x ) - f ( x 0) I A > 0} c sp th t tuyn tớnh Theo Mnh 2.1, tn ti ISup{ f{x0+\ x ) - f ( x 0) X > 0} T nh ngha ca cn trờn ỳng, ỏnh x lựi xa v (2.14) cựng vi chỳ ý sau nh ngha 2.2 ta cú /oo (ớc) = Min sx f ( x + Xx) - f ( x 0) ,A>o}) X f ( x + Aớc) - f ( x o) = sup A > o A f ( x + Aớc) - f { x o) A> = ISup I } A = Min ( u b I { Bi vỡ c nhn, ISup{ f(xo +Xx) f(xo) x n tr iu phi chng minh A > 0} l im n Do ú /oo l ỏnh Vớ d 2.5.2 Cho M2 c sp th t bi nún Orthan dng M v cho / : (0,+oo) >M2 xỏc nh nh Vớ d 2.5.1, tc l /( x ) = (x ,a :+ |) 47 Vi mi mc khỏc rng lev0 / ta cú leva / = {x (0, + 0 ) I f ( x ) ^ a} = {ổ G (, + oo)| X < au x - < a2} X = (0, Ol] [2] (trong ú, OL > 0, i 1, 2, l nghim ca phng trỡnh X + - = a2) Do ú leva / úng.Theo B 2.4, / cng úng p dng Mnh 2.6, vi mi X E dom /oo = M_|_, ta cú / ( , ) = i i s u p { f f l M r ặ ) | A > } = 118 { ( * , * - + ^ ) | > } Theo nh ngha ca IIsup, ta kim tra IIsup { ( x , x - + A(1 )) I > } = {(s, s)} Do ú , , / ( ổ ) {(,z)}> ổ> [0, X < Nú trựng vi kt qu Vớ d 2.5.1 Mt hm : >Mm c gi l gim (i vi nún C) nu Vr, s G A, > => () ^ {s) Mnh 2.7 Cho f l mt hm li vect t mt li khỏc rng D e l " ti Mm v cho XQG Dtyj Khi ú f ( y + Ax0) l hm n iu gim 48 theo ( > 0) vi mi y G D v ch / {- ) Chng minh =^: Vỡ f ( y + x 0) f ( y ) ^ vi mi y G D, ta cú G Ub{ f ( y + x 0) f ( y) \ y & D} Theo nh lý 2.1, ta cú s u p { f ( y + Xo) - f ( y ) I y E D } ( - ) ^ T Mnh 2.4, suy /o o (* o )n (-C )^ - Vỡ /oo l iun nht dng ta cú / x > ( ( A A ') ổ o ) ( ) ( 15) Theo Mnh 2.4 / (( - ' ) 0) = s u p {/(z + ( - ' ) 0) - /(z )| z D} kt hp vi (2.15) v nh ngha cn ttờn ỳng suy f ( z + (A - ')x0) - f ( z ) ^ 0,Vz e D Do /( y + Ax0) - f ( y + A'x0) = f { y + '0 + ( - A')z0) - f { y + X'x0) 49 nờn ta cú f ( y + x0) - f ( y + X'x0) ^ Do vy f ( y + x0) l hm n iu gim theo A e M+ iu phi chng minh H qu 2.3 Cho j' l ham O Vct tit Tớot t? COTIO khcic VO D d M ti Rm v cho x E -Doc- Nu tn ti mt im G D cú tớnh cht f ( + X x ) l hm n iu gim theo ( > 0), thỡ tớnh cht ny ỳng vi mi y G D Chng minh Vỡ / li úng v > } b chn ờn bi 0, ta cú SXo theo (2.14), vy x Ê dom /oo T Mnh 2.6 v nh ngha ca I S up, ta cú / = 18{ ^ | >0} p dng Mnh 2.7 ta cú iu phi chng minh Tp cỏc vect M " cho /() () c gi l nún lựi ca / v ký hiu bng R ec(/) D thy nú l mt nún li Chiu ca cỏc vect R ec(/) c gi l chiu lựi ca / Mnh 2.8 Cho f l hm li vect t mt li khỏc rng D R" ti Mm Khi ú tt c cỏc mc khỏc rng ca f cú cựng nún lựi, gi l nún lựi ca f , tc l, vi mi a G Mm cho levQ/ ta cú (leV a/)^ = Rec (/) Chng minh Gi s a G Rm cho levQ/ v gi s y levQ/ Khi ú (y , a) epi / Vỡ / úng, theo B 2.4, levQ/ cng úng Nờn vi 50 mi X G Mn, ta cú X e (lev /)oo y + Az G leva / , VA > ^ {y + ^ a, VA > ô=> (y, a) + A(ổ, 0) epi / , VA > (, 0) G (epi/)oo ô=> (ổ, 0) G ep i(/00), (theo Mnh 2.5) ^ foo{x ) + c* ^ /0 ( z ) ( ) X G Rec(/) iu phi chng minh 2.6 Mt s ng dng Trong phn ny ta nghiờn cu cỏc iu kin cho s tn ti ca cỏc phng ỏn ti u ca bi toỏn ti u húa vect da trờn cỏc phng lựi xa ca hm mc tiờu Cho / l mt hm vect t khỏc rng D M" ti Rm, ú Mm c sp th t bi mt nún li c u tiờn, ta xột bi toỏn ti u vect khụng rng buc sau õy ( Min f ( x ) I cho X G D (VP) 51 Ta cn tỡm im X* e D, gi l phng ỏn ti u (hay nghim cc tiu, hay nghim hiu qu) ca (VP), cho Trong phn cũn li ca mc ny, ta gi s nún th t Mm li, úng v nhn vi int B 2.12 Ly E int tựy ý Tn ti G N cho k c ^ X Chng minh Vỡ G + int , tn ti > cho hỡnh cu m ( , ) + int Khi ú ta cú th tỡm mt s e N cho I G B ( 0, r) iu ny kộo theo X G kc + int + Vy b chng minh nh lý 2.6 Gi s f li v úng Nu f cú phng lựi xa khỏc 0, tc l Rec( /) = {0}, thỡ bi toỏn ti u vect (VP) cú phng ỏn ti u Chng minh Ly f ( D ) tựy ý t := ( ) f {D) Rừ rng Min Min f ( D) Nờn hon thnh chng minh nh lý, ta ch cn ch Min lm vic ny, gi s l sp th t tuyn tớnh khỏc rng bt k ca Ta s ch rng s b chn di Tht vy, gi s ngc li s khụng b chn di Ly G int C Theo quy np, ta cú th xõy dng 52 mt dóy s {} s cho - kc ^ yk, (2.16) +1 ^ , (2.17) vúi mi k Vỡ R ec(/) = {0}, theo Mnh 2.8, B 2.3 v B 2.10, 1evVk f l compact khỏc rng, vi mi k T (2.17) ta cú lev2/*+1 / c levw / , VA: Do ú nlevv*/ 000 fc=l 00 Ly X G P l levyjfe / Khi ú f ( x ) ^ yk, vi mi k Nờn theo (2.16) k=1 kc ^ f ( x) , VA: (2.18) Vỡ G int , theo B 2.12 tn ti k0 cho kc ^ f ( x ) mõu thun vi (2.18) Do ú s b chn di Theo Mnh 2.1 v chỳ ý sau ú, Ilnf s tn ti v tn ti mt dóy s gim { f ( x k)}k s hi t ti IInf s Vỡ levy / compact v { x k}k leVyf, khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s { x k}k hi t ti x G lev / Do tớnh úng ca / , ta cú (0, Ilnf S) epi / Do ú s b chn di t f ( x ) G p dng b Zorn ta thu c Min 0- nh lý c chng minh Vớ d 2.6.1 Cho M2 c sp th t bi nún gúc phn dng M Xột bi 53 toỏn vect { Min f ( x ) cho X e (0, + 00 ), ú, / : (0, + 0 ằ M2) xỏc nh nh Vớ d 2.5.1 Vỡ {(, )>, , , / ( ) = X > , < [0, X < Ta cú R ec(/) = {0} Khi ú, theo nh lý 2.6 bi toỏn trờn cú phng ỏn ti u õy ta thy rng X = l mt phng ỏn ti u ca bi toỏn Bõy gi, ta kho sỏt bi toỏn ti u húa vect sau õy vi rng buc tng quỏt Min f ( x ) < s.t X G D (SVP) X G E ú E l ca Mn Ký hiu s l chp nhn c ca (SVP), ngha l s = { G D\ X G E} Ta chỳ ý rng nu / v E úng thỡ fnc\E cng úng, ong ú fonE ký hiu s thu hp ca / trờn D E H qu 2.4 Gi s f v E li v úng v chp nhn c s khỏc rng Nu Rec( /) -Eoo = {0} thỡ bi toỏn ti u vect (SVP) cú mt nghim ti u Chng minh Ta ch cn ch Rec( f DnE) = R ec(/) n E00 54 ri ỏp dng nh lý 2.6 thu c kt qu Ly X G R ec(/Ê)nÊ;) v y Ê D n E tựy ý Khi ú X G (D n E )00 v theo Mnh 2.7, f ( y + Xx) l hm n iu gim theo A (A > 0) Theo H qu 2.3, X Ê Rec(/) Mt khỏc t tớnh úng ca E, ỏp dng B 2.10 ta cú G E o o Ngc li, ly X R ec(/) E v ly y G D E tựy ý Khi ú G (D E)'ằ (theo B 2.12) v f ( y + Xx) n iu gim theo ( > 0) Theo Mnh 2.7, X G Rec(f DnE) Vy h qu c chng minh Cui cựng, ta xột bi toỏn ti u vect vi rng buc bt ng thc nh sau Min f ( x ) < s.tx G D X e Di , f i ( x) (IVP) 0, Ê I < tro n g ú / : D Mn > Mm, / i : D K " Mmi, Ê I , l h m vect vi I l ch s bt k v vi mi %G I, Mmi c sp th t bi mt nún úng, nh v li C vi int C 0- t E := { X E D \ f { x ) - 0} Xột bi toỏn vect vi rng buc bt ng thc sau õy Min f ( x ) cho x l f i { x ) l Cl 0, f (x) ú / , /2 : M2 > X, /1 : M2 > Xi c nh ngha nh sau f ( x , y ) = ( x+y , ex- y ), / i ( x , y ) = ( - X , - y), f 2(x, y ) = (y - x , e~x- - y ) Tớnh toỏn ta c R ec(/) = { a ( - l , 0) + ( - 1,1)1 a, p > 0} Rec(/i) = { ô (-1 , ) + ^ ( _ ^ a ^ R ec(/2) = {ô(1,0) + /5(1,1)1 a ,p > 0} Nờn R ec(/) n R ec(/i) n R ec(/2) = {0} Theo H qu 2.5 ta bit rng nghim bờn trờn l mt nghim ti u 56 Ket lun Lun Hm li vect v ng dng trỡnh by nhng sau: Chng giúi thiu li nhng kin thc c bn ca gii tớch li, bao gm: nh ngha li, cỏc hm li v cỏc tớnh cht; Tớnh liờn tc; Tớnh liờn tc Lipschitz; Hm liờn hp v cỏc tớnh cht; Di vi phõn ca hm li Chng trỡnh by nhng m rng cỏc tớnh cht, kt qu ca hm li vụ hng cho hm vect li C th gm: nh ngha, cỏc khỏi nim v kt qu b tr; Tớnh liờn tc; Cỏc c trng ca hm li; Di vi phõn ca hm li vect; nh x lựi xa; Mt s ng dng 57 Ti liu tham kho [1] Nguyn Xuõn la n v Nguyn Bỏ Minh, Lý thuyt ti u khụng trn, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2006 [2] G Cheng, X Huang and X Yang, Vector optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, 541, Springer, Berlin , 2005, pp 1-360 [3] D T Luc, Theory o f vector optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, 319, Springer, Berlin, 1989, pp 1-175 [4] D T Luc, N X Tan and p N Tinh, Convex vector functions and their subdifferential, Acta Math Viet 28 (1998), 107-127 [5] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey, 1970 [6] P N Tinh, On a representation of convex vector functions and the maximal cyclical monotonicity of their subdifferential, Acta Math Viet 24 (1999), 183-191 [7] P N Tinh, N X Tan and D T Luc, Subdifferential characterization of quasiconvex and convex vector functions, Viet J Math 26 (1998), 53-69