Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép tính ma trận và ứng dụng

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được bản chất của phép tính ma trận và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU SƢƠNG PHÉP TÍNH MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng –Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép tính ma trận ứng dụng lĩnh vực phân tích nhiều chiều Nó đề cập đến số kí hiệu khác mà sử dụng ma trận vector để suy đạo hàm thành phần biến phụ thuộc thành phần biến độc lập Các biến độc lập vô hướng, vector hay ma trận biến phụ thuộc số chúng Trong toán học ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm phương trình ma trận có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực bao gồm lý thuyết điều khiển, hỗ trợ máy tính mơ hệ cỡ lớn thông qua giảm bậc, xử lý ảnh, mơ hệ cưỡng Nghiệm phương trình cho ta thơng tin tính ổn định phương trình vi phân, phân tích giá trị riêng ma trận công cụ điều khiển hệ động lực mơ tả mà phương trình trạng thái phương trình vi phân đại số Trong số phương trình Sylvester có vai trị quan trọng toán học lý thuyết toán học ứng dụng Vấn đề đặt cần tìm lời giải cho phương trình ma trận nói Có nhiều phương pháp để giải khơng thể khơng đề cập tới vai trị phép tích Kronecker đạo hàm ma trận Ngồi để tính ma trận xấp xỉ tốn bình phương bé tối ưu hóa ràng buộc biến vô hướng hay ước lượng Jacobian số phép biến đổi ma trận phép tính đạo hàm ma trận ứng dụng nhiều sử dụng đạo hàm ma trận để giải vấn đề nhanh chóng mang lại hiệu cao Với ý tưởng tác giả lựa chọn đề tài “Phép tính ma trận ứng dụng” Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu rõ chất phép tính ma trận ứng dụng việc giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ tốn bình phương tối thiểu tối ưu hóa ràng buộc biến vô hướng, ước lượng Jacobian số phép biến đổi ma trận Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu: Phép tính ma trận 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phép tính ma trận ứng dụng giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ tốn bình phương tối thiểu tối ưu hóa ràng buộc biến vô hướng, ước lượng Jacobian số phép biến đổi ma trận Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình TS Phan Đức Tuấn tài liệu tiếng Anh thu thập từ báo khoa học, trang web tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính ma trận Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tập, phân tích, đánh giá, tổng hợp tư liệu tiếp cận hệ thống Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Đề tài hệ thống lại kiến thức tích Kronecker đạo hàm ma trận Đưa phương pháp giải tốn phương trình ma trận, tính ma trận xấp xĩ bình phương tối thiểu tối ưu hóa ràng buộc biến vơ hướng, ước lượng Jacobian số phép biến đổi ma trận Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành Toán Bố cục luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Phép tính ma trận Chương Ứng dụng CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức ma trận, định thức, hàm vết (tr) toán tử vec, hàm mũ ma trận Trong có số kí hiệu số kết mà có ích cho phát triển lý thuyết tích Kronecker đạo hàm ma trận chương 1.1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1.1.1 Một số định nghĩa ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Định thức 1.1.4 Ma trận nghịch đảo 1.1.5 Hạng ma trận 1.1.6 Hệ phƣơng trình tuyến tính 1.2 KHAI TRIỂN CỦA MỘT MA TRẬN 1.3 HÀM VẾT VÀ TOÁN TỬ VEC 1.3.1 Hàm vết (tr) 1.3.2 Toán tử vec 1.3.3 Ma trận hoán vị kết hợp vecX vecX T 1.4 HÀM MŨ MA TRẬN CHƢƠNG PHÉP TÍNH MA TRẬN Trong chương ta tìm hiểu số phép tính ma trận tập trung vào phép tích Kronecker phép đạo hàm ma trận Cụ thể phần 2.1 sau giới thiệu định nghĩa số tính chất tích Kronecker có kèm theo phần chứng minh cụ thể Và phần 2.2 thu thập số công thức hữu ích đạo hàm ma trận thường xuất đạo hàm phần tử hữu hạn 2.1 TÍCH KRONECKER 2.1.1 Định nghĩa tích Kronecker Xét ma trận A   aij  ma trận mn B  bij  r s Tích Kronecker hai ma trận A B , kí hiệu A  B xác định ma trận sau: a1n B   a11 B a12 B a B a B a2 n B  22 A  B   aij B    21 , (2.1)     amn B   am1 B am B A  B xem ma trận cấp (mr  ns) Nó có mn khối, khối vị trí hàng i, cột j ma trận aij B cấp r  s 2.1.2 Một số tính chất quy tắc cho tích Kronecker Tính chất 2.1 A  ( B)   ( A  B) (  đại lượng vơ hướng) Tính chất 2.2 (i) ( A  B)  C  A  C  B  C, (2.3) (ii) A  ( B  C )  A  B  A  C (2.4) Tính chất 2.3 A  ( B  C )  ( A  B)  C (2.2) (2.5) Tính chất 2.4 Tính chất 2.5 ( A  B)T  AT  BT (2.6) Tính chất 2.6 Cho ma trận A cấp (m  n), B cấp (r  s), C cấp (n  p), D cấp ( s  t ) ( A  B)(C  D)  AC  BD (2.7) Tính chất 2.7 Cho A ma trận cấp (m  m) B ma trận cấp (n  n), A, B khơng suy biến ( A  B)1  A1  B1 (2.8) Tính chất 2.8 Cho hai ma trận A B cấp (n  n) vec( AXB)  ( BT  A)vecX Tính chất 2.9 Nếu i   xi  (2.9) giá trị riêng vector riêng tương ứng ma trận A cấp (n  n) Nếu  y  giá trị riêng vector riêng tương ứng j (m  m)  Khi đó, A  B có giá trị riêng i  j      j B cấp vector riêng tương ứng xi  y j Tính chất 2.10 A  B  U1 ( B  A)U (2.10) U1 U ma trận hốn vị Tính chất 2.11 Cho hai ma trận A   aij  B  bij  nn mm A B  A m n B , (2.11) đó: A định thức A Tính chất 2.12 Nếu f hàm giải tích, A   aij  tồn nn f ( A) Khi đó: f ( I m  A)  I m  f ( A), (2.12) f ( A  I m )  f ( A)  I m (2.13) Trường hợp riêng: Nếu ta cho f ( z )  e Khi đó: z e Im  A  I m  e A , (2.14) e AIm  e A  I m (2.15) 2.1.3 Định nghĩa tổng Kronecker Xét ma trận A   aij  ma trận B  bij  nn mm Tổng Kronecker hai ma trận A B , kí hiệu A  B xác định biểu thức: A  B  A  I m  I n  B   (2.16) Tính chất 2.13 Nếu i   j giá trị riêng tương ứng A cấp (n  n) B cấp (m  m)   Khi đó, i   j giá trị riêng A  B Tính chất 2.14 Cho A ma trận cấp (n  n) B ma trận cấp (m  m) exp( A  B)  expA  expB (2.17) 2.2 ĐẠO HÀM MA TRẬN 2.2.1 Đạo hàm ma trận Cho ma trận A(t )   aij (t )  , đạo hàm ma trận A mn biến vơ hướng t , kí hiệu: d hay A(t ) định A(t ) hay dA dt dt nghĩa ma trận d d  A(t )   aij (t )  dt dt   Tính chất 2.15 Cho ma trận A(t ) B(t ) , ta có: d dA dB  AB  B  A dt dt dt Ví dụ 2.4 Cho C  A  B Chứng minh rằng: dC dA dB   B  A , dt dt dt (2.18) (2.19) (2.20) đó: ma trận A B hàm t (t biến vô hướng) 2.2.2 Đạo hàm vector  x1   y1  x  y  2  Cho vector x  y    Khi ta có đạo hàm          xn   ym  vector sau: (i) Đạo hàm vector y vector x ma trận cấp (n  m)  y1  x   y y   x x    y1  x  n y2 x1 y x2 y2 xn ym  x1   ym   x2    ym  x n  (2.21) (ii) Đạo hàm đại lượng vô hướng y vector x  y   x   1  y  y    x2  (2.22) x       y   xn  (iii) Đạo hàm vector y đại lượng vô hướng x  y1   x    y2   y   x   x     ym     x  (2.23) 2.2.3 Jacobian phép biến đổi biến 2.2.4 Đạo hàm ma trận phần tử ngƣợc lại Ta xét ma trận X   xij  mn Đạo hàm ma trận X phần tử xrs là: X (2.24)  Ers , xrs đó: Ers ma trận sở cấp với X , r  1, m ; s  1, n Từ đó, suy X T  E T rs xrs (2.25) Bây giờ, ta xét dạng tích ma trận sau: Y  AXB    đó: X   xij  ; B  bij  nq ; A   aij  ; Y   yij  l q l m mn Lúc ta cần tìm yij Y ( xrs yij phần tử X xrs đặc trưng X Y) yij  AT Eij BT X ( Eij ma trận sở cấp (l  q) cấp với Y ) (2.26) 10 đó: vế phải (2.30) ma trận có cấp (m  n), xrs  r  1, m ; s  1, n phần tử vị trí hàng r, cột s ma trận X Ví dụ 2.8 Hãy ước lượng  (trY ) X a) Y  AT X d) Y  X T X b) Y  X T A e) Y  U T XX T c) Y  U T XT 2.2.7 Xác định đạo hàm vecY vecX cho phƣơng trình phức tạp 2.2.8 Trạng thái ma trận chuyển tiếp Ma trận chuyển tiếp khái niệm quan trọng lý thuyết điều khiển phân tích không gian trạng thái hệ Trước tiên ta xét nghiệm phương trình ma trận trạng thái cho bởi: X (t )  AX (t ) , (2.31) với điều kiện ban đầu X (0)  X , đó: A ma trận cấp (n  n) X (t )  e At X (2.32) Như phương trình cung cấp hệ thức trạng thái ban đầu X (0)  X t0  trạng thái X (t ) thời điểm t Sự chuyển đổi từ trạng thái X đến X (t ) thực hàm mũ ma trận e At Do hàm ma trận gọi trạng thái ma trận chuyển tiếp ký hiệu  (t ) Khi Tính chất 2.16  (t )  e At  (0)  I ,  1 (t )   (t ),  (t1  t2 )   (t2 ) (t1 ) 11 Ngoài trạng thái ma trận chuyển tiếp luôn thỏa mãn hệ thức sau:  (t )  A(t ) (t )     (t , t )  I CHƢƠNG ỨNG DỤNG 3.1 ỨNG DỤNG TÍCH KRONECKER Trong phần xét số ứng dụng tích Kronecker việc giải số dạng phương trình ma trận đặt biệt có phương trình ma trận Sylvester Từ phương trình tổng quát ta giải số phương trình ma trận dạng tương tự 3.1.1 Nghiệm AX + XB  C Xác định điều kiện để phương trình Sylvester AX + XB  C, (3.1) có nghiệm Trong A : ma trận cấp (n  n); B ma trận cấp ( m  m ); C ma trận cấp (n  m) Phương pháp giải Ta sử dụng toán tử vec (3.1) : vec( AX + XB) = vecC  (I  A)vecX + (BT  I )vecX = vecC  ( BT  A)vecX  vecC Khi ta viết phương trình (3.1) dạng: Gx  c, (theo (2.9)) (theo (2.16)) (3.2) 12 T T  G  B  A  B  I n  I m  A đó:    x  vecX ; c  vecC Gọi i giá trị riêng A  j giá trị riêng B giá trị riêng BT   Theo Tính chất 2.13 giá trị riêng G là: i   j Phương trình (3.2) có nghiệm nhất:  G khơng suy biến  Tất giá riêng G khác  i   j  (tất i j )   Như ta chứng minh phương trình (3.1) có nghiệm nhất:  A (-B) khơng có giá trị riêng chung Ngược lại, A (-B) có chung giá trị riêng Khi tồn nghiệm phụ thuộc vào hạng ma trận mở rộng G c  Nếu rank G c  rank G  nghiệm tồn tại, ngược lại hệ phương trình AX + XB  C khơng phù hợp Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm phương trình AX  XB  C Cho biết: 1 1 (a) A    ; 0  1 1 (b) A   ; 0   3 B 1  3 B 0 Giải x Ta kí hiệu X    x2 x3  x4  4 ;  4 ; 1 1 C  2 0 C 2 3  5 9  13 Khi x  vecX   x1 x2 x3 x4  T (a) Các giá trị riêng A :   1;   Các giá trị riêng B :   1;   4 Nhận thấy A  B khơng có giá trị riêng chung Ta viết phương trình dạng (3.2): Gx  c G  B  A  BT  I  I  A  đó:    x  vecX ; c  vecC  2 1   1   Ta có G    1   0 2 T cT   vecC   1 2 2 T  2 1  1  4  0   x1      x2   2  Khi  1  x3          x4     2 x1  x2  x3   x2 + x4  2      x3  x4 = 4 x1  4x2 + 2x4  0  Vậy hệ có nghiệm X    1 1  x1 =   x2    x3 =  x4  1 (b) Các giá trị riêng A :   1;   Các giá trị riêng B :   1;   3 Nhận thấy A  B có giá trị riêng chung (  1) Ta viết phương trình dạng (3.2): 14 Gx  c,  2 1 0   1   G  0 1   0 1 cT   vecC   0 9 T  2 1  1  4  0 0   x1    0   x2    Khi  1  x3          x4   9  Nhận thấy r G   r G c  (< số ẩn) Mà G ma trận suy biến Do hệ có nghiệm tồn  x1 = 2 x1  x2     x2    x2  2     x4 =   x4 =    x3   ,   R x4  1  x3      Chọn     x3  Vậy hệ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là: 1 0 1 1 X   X1      2 1  2 1 3.1.2 Nghiệm AX  XA   X Xác định điều kiện để phương trình AX  XA   X , có nghiệm khơng tầm thường Trong đó: A ma trận cấp (n  n) (3.3) 15 Phương pháp giải Ta sử dụng toán tử vec (3.3): Khi ta viết phương trình (3.3) dạng: Hx   x, (3.4) H  I  A  A  I  đó:    x  vecX T Phương trình (3.4) có nghiệm khơng tầm thường:   I  H  0,  giá trị riêng H   Theo Tính chất 2.13 giá trị riêng H (i   j ) , i giá trị riêng A Do phương trình cho có nghiệm khơng tầm thường:    i   j Ví dụ 3.2 Xác định nghiệm phương trình AX  XA   X 1 0 Cho A      2  3 3.1.3 Nghiệm X  AX + XB; Giải phương trình X  AX + XB; X (0) = C X (0) = C, (3.5) A(n  n), B(m  m), X (n  m) Phương pháp giải Trước tiên ta nhắc lại công thức nghiệm phương trình vi phân ma trận dạng x  Ax, x(0) = c (3.6) x  exp( At )c (3.7) là: Ta sử dụng toán tử vec (3.5), ta được: x  Gx, x(0) = c, (3.8) 16 T T  G  B  A  I m  A  B  I n đó:    x  vecX , c  vecC Theo (3.6) (3.7) nghiệm (3.8) là: x  exp(Gt )c    vecX  exp  I m  A  BT  I n t  vecC   T = exp  I m  A)t  ( B  I n t  vecC   T = exp( I m  A)t  exp( B  I n )t  vecC  Theo (2.14) (2.15): vecX   I m  exp( At ) exp( BT t )  I n  vecC (3.9) Ngoài ra, ta chứng minh được: vecAB  ( BT  I )vecA (3.10) vecAB  ( I  A)vecB (3.11) Theo (3.10):  exp(B t )  I  vecC  vec C exp(B t ) T T n Mà exp( BT t )   exp( Bt )   exp(B t )  I  vecC  vec C exp(Bt ) T n (3.12) Thay (3.12) vào (3.9) : vecX   I m  exp( At ) vec C exp( Bt ) Sử dụng (3.11), ta tìm được: vecX  vec exp( At )C exp( Bt ) Vậy X  exp( At )C exp( Bt ) Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm phương trình X  AX + XB ; X (C )  1 1 1   2 0 Cho A   ; B ; C    0  0 1  1 (3.13) 17 Giải Nghiệm phương trình cho có dạng: X  exp( At )C exp( Bt )  et * Tính expAt    et  e t  ; e2t   et  exp( Bt )  e Bt    t  e  Vậy  e2t  e3t  et  X   3t et   e 3.1.4 Tìm ma trận chuyển tiếp kết hợp với phƣơng trình X = AX + XB Cho A B ma trận cấp (n  n) (m  m) Phương pháp giải Trước tiên, ta xét phương trình ma trận trạng thái X  A(t ) X Ma trận chuyển tiếp 1 (t , ) hay 1 , có hai tính chất sau:  1 (t , )  A(t )1 (t , )   1 (t , t )  I (3.14) Nếu A ma trận không đổi, ta dễ dàng rằng: 1  exp( At )  e At Tương tự, ta xét phương trình X  XB(t )  XT  BT (t ) X T Khi ma trận chuyển tiếp 2 (t , ) có tính chất là: (3.15) 2  BT 2 Bây giờ, ta kí hiệu  ma trận chuyển tiếp phương trình X = AX + XB 18 Ta viết phương trình cho dạng: x  Gx đó: G  I m  A  B  I n  BT  A; x  vecX T Xác định ma trận chuyển tiếp  sau:   eGt  e( B T  A) t    e B t  e At T (theo (2.17))   (t , )  2 (t , )  1 (t, ) (3.16) Để cho đơn giản ta kí hiệu thay  cho  (t , ) Suy  (t , )  2  1  2  1 (theo (2.20))  ( B 2 )  1  2  ( A1 ) (theo (3.14) (3.15)) T  ( BT 2 )  ( I1 )  ( I2 )  ( A1 ) (do  (t , t )  I  )  ( BT  I )(2  1 )  ( I  A)(2  1 ) (theo (2.7))  ( BT  I )  ( I  A)  2  1  (3.17)   G Ngoài  (t , t )  2 (t , t )  1 (t, t )  I  I  I (3.18) Qua (3.17) (3.18) chứng tỏ  ma trận chuyển tiếp Do X = AX + XB Ví dụ 3.4 Tìm ma trận chuyển tiếp phương trình: X = AX + XB (3.19) 1 1 1  Cho A   B     0  0 1 3.1.5 Nghiệm phƣơng trình AXB  C 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM MA TRẬN 3.2.1 Các vấn đề bình phƣơng bé tối ƣu hóa đƣợc ràng buộc biến vơ hƣớng 19 a Phương pháp bình phương bé áp dụng cho quan hệ tuyến tính x y b Phương pháp nhân tử Lagrange 3.2.2 Tính ma trận xấp xỉ tốn bình phƣơng bé tối ƣu hóa đƣợc ràng buộc Ta biểu diễn phần dư (hay độ lệch) dạng ma trận E sau: E  A X, đó: E  eij  ; A   aij  ; X   xij  (3.20) Khi đó, tổng bình phương phần dư là: S  trET E (3.21) Tiêu chuẩn phương pháp bình phương bé tổng (3.21) nhỏ Bài tốn tối ưu ràng buộc đưa dạng tìm ma trận X mà hàm ma trận vô hướng S  f (X ) nhỏ tùy thuộc ràng buộc X dạng: G( X )  (3.22) (Đây gọi phương trình ràng buộc), đó: G   gij  , s, r phụ thuộc vào số lượng ràng buộc r s gij Đối với trường hợp vô hướng, nhân tử Lagrange dạng hàm ma trận bổ trợ (hàm Lagrange) f * ( X ) Mỗi ràng buộc g ij kết hợp với tham số (nhân tử Lagrange) kí hiệu ij m Từ n m n   g   (U ij ij j 1 i 1 j 1 i 1 T ) ji gij  trU T G (U    ij  ) r s 20 Vậy hàm ma trận bổ trợ viết sau: f (X )  f (X )  ij gij   f  ( X )  trET E + trU T G (3.23) Cuối cùng, để tìm X tối ưu, ta giải hệ phương trình sau:  f  ( X ) 0  (3.24)  X G ( X )   Bây ta xét toán với ràng buộc cụ thể sau: Cho ma trận không suy biến A   aij  Xác định ma trận X   xij  mà nn bình phương bé xấp xỉ đến A (a) Khi X ma trận đối xứng (b) Khi X ma trận trực giao Phương pháp giải (a) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là: E  A  X  ET  AT  X T Mà X  X T (Vì X ma trận đối xứng) Nên phương trình ràng buộc có dạng: G( X )  X  X T  Theo (3.23) hàm ma trận bổ trợ là: f  ( X )  tr  AT  X T   A  X   trU T  X  X T  Theo (3.24): f  ( X )  (trAT A)  (trAT X )  (trX T A)    X X X X T T  (trX X ) (trU X )  (trU T X T )     X X X f  ( X )    A  A  2X U UT  X 21 f  ( X )  2 A  X  U  U T  X U T U  X  A  (3.25) T  U T U  U U T T Khi X   A   A     T (3.26) Ta lấy (3.25) + (3.26): X  X T  A  AT   X U U T U T U  2   A  AT Như xấp xỉ A với ma trận đối xứng, ma trận tối ưu theo tiêu chuẩn bình phương bé trung bình cộng phần tử A phần tử AT (b) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là: E  A X  ET  AT  X T Mà X T X  I (Vì X ma trận trực giao) Nên phương trình ràng buộc có dạng: G( X )  XX T  I  Theo (3.23) hàm ma trận bổ trợ là: f  ( X )  tr  AT  X T   A  X   trU T  XX T  I  f  ( X )  trAT A  trAT X  trX T A  trX T X  trU T XX T  trU T I Theo (3.24): f  ( X )  (trAT A) (trAT X ) (trX T A)    X X X X T T T T  (trX X )  (trU XX ) (trU I )     X X X 22 f  ( X )  2 A  X  X U  U T   X U  U T   X  A X     Nhân hai vế với X T , ta được:  U  U T  XT X  XT A XT X     U  U T   I  XT A I  (do X T X  I )    T U  U   XT A I      Ta chuyển vị hai vế: U  U T  AT X  I      (3.27) (3.28) Từ (3.27) (3.28), suy ra: X T A  AT X (3.29) Bây ta giải phương trình (3.29) để tìm X Ta lấy vec hai vế (3.29): vecX T A  vecAT X  ( AT  I )vecX T  ( I  AT )vecX Mà vecX T  UvecX (U ma trận hoán vị) Suy ( AT  I )UvecX  ( I  AT )vecX  ( I  AT )  ( AT  I )U  x  (3.30) Vậy ta rút gọn phương trình ma trận thành hệ phương trình Lúc ta giải (3.30) để tìm nghiệm độc lập tuyến tính chọn nghiệm tương ứng để X ma trận trực giao 23  2 Ví dụ 3.7 Cho A    Tìm ma trận trực giao X mà bình  1  phương bé xấp xỉ đến A 3.2.3 Ƣớc lƣợng Jacobian số phép biến đổi Xét số tốn sau: Bài tốn 3.1 Tìm Jacobian phép biến đổi tuyến tính tổng quát Y  AXB, với A , X , B ma trận cấp (n  n), khơng suy biến Giải (3.31) Phương trình (3.31) viết lại sau: y  Px,   y  vecY ; x = vecX  T   P  B  A y ( Px) Khi   PT  ( BT  A)T  B  AT x x 1 x   BT  AT   B 1  ( AT )1 y Vậy ước lượng Jacobian phép biến đổi là: y J  x J  B 1 n vecY  vecX AT 1  B  AT n J B 1 (theo (2.11)) n A n (3.32) Bài tốn 3.2 Tìm Jacobian phép biến đổi tuyến tính Y  AX , (3.33) đó: X , Y ma trận cấp m  n A ma trận cấp n  n, khơng suy biến Bài tốn 3.3 Tìm Jacobian phép biến đổi tuyến tính 24 Y  XB, (3.34) với X , Y ma trận cấp (m  n), B ma trận cấp (n  n) khơng suy biến KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu đề tài luận văn tác giả thu số kêt sau: Đã hệ thống số kiến thức phép tính ma trận mà trọng tâm tích Kronecker đạo hàm ma trận Trình bày chứng minh cách chi tiết số tính chất tích Kronecker Đã vận dụng phép tích Kronecker đạo hàm ma trận để tìm nghiệm số dạng phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ tốn bình phương bé tối ưu hóa ràng buộc, ước lượng Jacobian số phép biến đổi ma trận Đưa số ví dụ để minh họa cụ thể cho dạng nêu Luận văn với mong muốn tìm hiểu sâu nhiều ứng dụng phép tính ma trận, để từ giải số toán thực tế ... phép biến đổi ma trận phép tính đạo hàm ma trận ứng dụng nhiều sử dụng đạo hàm ma trận để giải vấn đề nhanh chóng mang lại hiệu cao 2 Với ý tưởng tác giả lựa chọn đề tài ? ?Phép tính ma trận ứng. .. Jacobian số phép biến đổi ma trận Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu: Phép tính ma trận 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phép tính ma trận ứng dụng giải phương trình ma trận, tính ma trận. .. Kronecker đạo hàm ma trận chương 1.1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1.1.1 Một số định nghĩa ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Định thức 1.1.4 Ma trận nghịch đảo 1.1.5 Hạng ma trận 1.1.6 Hệ phƣơng