Lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân (LV01838)

Lời cam đoanTrong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về lý thuyết liên phân số, đặc biệt là nhữ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ NHẬT GIANG

LÝ THUYẾT LIÊN PHÂN SỐ

VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trunghọc phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ

vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoànthành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lê Nhật Giang

Lời cam đoan

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Lý thuyết liên phân số và

áp dụng giải phương trình vi phân” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về

lý thuyết liên phân số, đặc biệt là những áp dụng quan trọng liên phân

số vào giải phương trình vi phân Qua đó cũng giúp tác giả bước đầulàm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lựctìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của TS.Nguyễn Văn Hào

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lê Nhật Giang

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Liên phân số 5

1.1 Lời dẫn khái niệm liên phân số 5

1.2 Khái niệm liên phân số 10

1.3 Một số ví dụ 12

1.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ 17

1.4.1 Định lý ´Sleszy´nski-Pringsheim 17

1.4.2 Định lý Worpitzky 21

Chương 2 Áp dụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân 25

2.1 Tổng quan về phương trình vi phân 25

2.2 Áp dụng liên phân số giải một số phương trình vi phân 35

2.2.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 35

2.2.2 Giải phương trình vi phân Riccati 44

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 54

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm liên phân số, có thể nói rằng có nguồn gốc lịch sử từ rất sớm.Những người học và làm Toán đều biết đến thuật toán Euclide từ thờitoán học cổ đại Hy lạp Tuy nhiên, không có bằng chứng nào để có thểkhẳng định rằng thời đó các nhà Toán học đã sự dụng nó để hình thànhkhái niệm liên phân số như ngày nay Có lẽ để nói đến nguồn gốc củakhái niệm này, chúng ta hãy bắt đầu từ việc biểu diễn xấp xỉ của √

13được cho bởi nhà Toán học Bombelli năm 1572 như sau

√

13 = 3 + 4

6 + 46

Đây là trường hợp riêng của công thức

p

a2 + b = a + b

2a + b2a +

Trường hợp riêng thứ hai của công thức này được cho bởi Cataldi năm

1613 dưới dạng (dấu + được ông thay bởi dấu & )

Ông viết gọn biểu thức trên dưới dạng như sau

41

& 28

& 28

& 2

8.

Năm 1625, Schwenter và Huygens (trong một công trình được công bốsau khi ông mất ), đã xem xét sự xấp xỉ của những liên phân số hữu hạnchính quy theo nghĩa biểu diễn những phân số lớn thành những phân sốnhỏ hơn Ở đây, Schwenter đã đưa ra biểu diễn sau

Còn Huygens đã đưa ra biểu diễn (những dấu + dưới ta hiểu là phépcộng được thực hiện ở mẫu của phân số đứng ngay trước nó )

!

Tuy nhiên, ông không đưa ra phép chứng minh công thức này và có lẽông nhận được nó từ công thức tích vô hạn của Wallis đối với π

2 Bắtđầu từ năm 1737, Euler là người đưa ra được sự trình bày một cách hệthống về liên phân số Các công trình của ông đã làm sáng tỏ rằng lýthuyết liên phân số được sử dụng trong cả lĩnh vực lý thuyết số và lýthuyết giải tích

Đến nay, lý thuyết liên phân số đã đem lại áp dụng trong nhiều lĩnh vựccủa Toán học cũng như các vấn đề thực tiễn khác Được sự định hướng

của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Lý thuyết liên phân số và ápdụng giải phương trình vi phân" để hoàn thành luận văn Thạc sĩchuyên ngành Toán giải tích Luận văn được cấu trúc thành 02 chươngChương 1 Được giành cho việc trình bày về lý thuyết liên phân số; cáckhái niệm liên quan lý thuyết liên phân số; một số tiêu chuẩn hội tụ vàcác ví dụ minh họa.

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp sửdụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấphai, phương trình Riccati

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về liên phân số và áp dụng của

nó trong việc giải một số phương trình vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phântuyến tính cấp hai và phương trình Riccati

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết liên phân số và cách áp dụng liên phân số giải phương trình

vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati

5 Phương pháp nghiên cứu

Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề thông qua việc phân tích, tổng hợp cáctài liệu được thu thập, và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn

6 Đóng góp của đề tài

Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số và giới thiệu cách áp dụng liên phân

số để giải một số phương trình vi phân xuất hiện trong các lĩnh vực kĩthuật, vật lý,

Chương 1

Liên phân số

1.1 Lời dẫn khái niệm liên phân số

Để dẫn tới khái niệm liên phân số một cách tự nhiên, chúng tôi giới thiệumột số khái niệm quen thuộc Cho {tn} là dãy số phức Khi đó, tổng vôhạn

∞

X

n=1

tn = t1 + t2 + t3 + + tn+ , (1.1)được gọi là một chuỗi số phức (sau này ta chỉ gọi là chuỗi số ) Tổnghữu hạn

Tn+1 = Tn + tn+1; n = 1, 2,

Sự hội tụ của chuỗi (1.1) được định nghĩa qua sự hội tụ của dãy tổngriêng {Tn} đến số phức T Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ đến tổng T và viếtlà

trong đó tất cả các pn là các số phức khác 0 Tương ứng, ta cũng có cáckhái niệm về tích riêng thứ n của tích vô hạn (1.2) như sau

Pn+1 = Pn.pn+1

Sự hội tụ của tích vô hạn (1.2) là sự hội tụ của dãy tích riêng {Pn} tới

số phức P 6= 0 Khi đó, ta cũng nói tích vô hạn (1.2) hội tụ đến P vàviết là

∞

Y

n=1

pn = P Tiếp đến, như các khái niệm về tổng và tích vô hạn đã giới thiệu trênđây, người ta đưa ra khái niệm liên phân số như sau Cho {an} là dãycác số phức khác 0 và dãy {fn} trong C = C ∪ {∞} được xác định bởi

Người ta gọi một liên phân số xác định từ dãy {an} được kí hiệu vàxác định bởi

Sự hội tụ của liên phân số (1.3) được hiểu theo nghĩa sự hội tụ của dãyxấp xỉ riêng {fn} Tuy nhiên, khác với nghĩa hội tụ của chuỗi hay tích

vô hạn, đối với liên phân số ta vẫn có thể nói về sự hội tụ đến ∞

Ví dụ 1.1 Đối với liên phân số

Tương tự, từ dãy số phức {bn} người ta xây dựng liên phân số sau

Đến đây, từ hai dãy số phức {an} và {bn} với an 6= 0; với mọi n ta đưa

ra khái niệm liên phân số sau

Các khái niệm được định nghĩa theo công thức (1.3) và (1.4) là nhữngtrường hợp đặc biệt của (1.5) Trường hợp đặc biệt hơn cả là khi trongcông thức (1.4) tất cả các giá trị {bn} là các số tự nhiên thì ta gọi nó làliên phân số chính quy (trong lý thuyết số nó là một khái niệm xuấtphát từ thuật toán Euclide)

Tổng quát hóa cả ba trường hợp về chuỗi số, tích vô hạn và liên phân số

ta có thể xây dựng khái niệm chung như sau: Cho dãy {φn} các ánh xạ

từ C vào C ta xây dựng một dãy ánh xạ mới {φn} được xác định bởi

Φ1 = φ1;

Φn = Φn−1 ◦ φn = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ◦ φn.Trong cả ba trường hợp, nếu tồn tại số phức c để dãy {Φn(c)} hội tụ thì

ta nhận được khái niệm các khái niệm thông thường như đã biết Chỉ

có một sự khác biệt là có tính đến sự hội tụ đến 0 hoặc ∞ hay không

mà thôi Vấn đề này ta có thể chỉ ra như sau

Trong trường hợp chuỗi, chúng ta có

Đối với liên phân số (1.5) chúng ta có

bnnghĩa là, ở đây c = 0

1.2 Khái niệm liên phân số

Khái niệm liên phân số dưới đây được đưa ra bởi hai nhà Toán họcHenrici và Pfluger (có thể xem [2, p.474])

Định nghĩa 1.1 Liên phân số là một cặp sắp thứ tự

(({an}, {bn}) , {fn}) ;

trong đó {an}∞1 , {bn}∞0 là các dãy số phức cho trước với an 6= 0 và {fn}

là một dãy số phức mở rộng được xác định bởi

fn = Sn(0); n = 0, 1, 2, (1.6)trong đó

S0(w) = s0(w), Sn(w) = Sn−1(sn(w)); n = 1, 2, (1.7)

s0(w) = b0 + w, sn(w) = an

bn + w; n = 1, 2, (1.8)Thuật toán liên phân số là một hàm K ánh xạ cặp ({an}, {bn}) thànhdãy {fn} được xác định bởi các công thức (1.6),(1.7) và (1.8) Các số an

và bn được gọi tương ứng là các tử số, mẫu số thứ n của liên phân số Số

Sn(0) = a1

b2 + a3

b3+ .+ an

bn

được gọi là xấp xỉ riêng thứ n của liên phân số Để tiện lợi trong việctrình bày người ta sử dụng ký hiệu





thì ta dễ dàng nhận được công thức qua mối liên hệ quy nạp

Nhận xét rằng Sn là tích của các biến đổi phân tuyến tính không suybiến

sk(w) = ak

bk + wnên nó cũng chính là một biến đổi phân tuyến tính không suy biến.Chúng ta có những giá trị đặc biệt sau

12+

1

2 + (√

2 − 1)

= 12+

12+

12+

1

2 + (√

2 − 1)

=

= 12+

12+

12+ +

12+ +

1

2 + (√

2 − 1).Điều đó dẫn đến ý tưởng tốt để xem xét các xấp xỉ của liên phân số

1 + 12+

12+

12+ +

12+ .Chúng ta thấy

1 + 1

2 = 1.5

1 + 12+

1

2 = 1.4

1 + 12+

12+

1

2 = 1.4166

1 + 12+

12+

12+

1

2 = 1.41379

1 + 12+

12+

12+

12+

1

2 = 1.4142857

Các liên phân số này tiến tới √

2 rất nhanh, ở bước thứ năm ta thấy sai

số của nó nhỏ hơn 0.00008 Điều đó cho ta thấy các liên phân số nàydường như là xấp xỉ hữu tỷ tốt đối với số vô tỷ √

2 Từ biểu diễn trênđây, ta đưa ta đến ý tưởng nghiên cứu liên phân số 1 + K(1/2) với hy

vọng nhận được xấp xỉ tốt đối với √

2 Tuy nhiên, ta cũng cần có một sựcảnh báo rằng xuất phát từ ý tưởng như thế không phải khi nào cũngđúng Chẳng hạn, từ đẳng thức

12+ +

1

2 + (−√

2 − 1).Thế nhưng, liên phân số 1 + K(1/2) lại hội tụ đến √

2

Ví dụ 1.3 Xét phương trình vi phân

y = 2y0 + y00.Lấy vi phân n lần ta lần lượt nhận được các đẳng thức sau

y0 = 2y00+ y000,

y(n)

y(n+1) = 2 + 1

y(n+1)/y(n+2)

Từ đó, ta suy ra rằng

y

y0 = 2 +

12+

12+

12+ +

12

2 + 12+

12+

12+ +

1

2.

Từ ví dụ trên đây, ta thấy liên phân số này hội tụ về giá trị √

2 + 1 Nhưthế, ta nhận được

đã được trình bày trong ví dụ trên đây cũng chưa phải là nguyên nhântốt đưa đến việc sử dụng phương pháp này trong việc giải phương trình

Điều này gợi ý tới việc xem xét các xấp xỉ của liên phân số

Nhận xét rằng các xấp xỉ như trên chính là các đa thức trong khi cácxấp xỉ dưới dạng liên phân số là các hàm hữu tỷ

Dưới đây, ta kiểm chứng hai phương pháp xấp xỉ này với một số giá trịcủa biến x xem xảy ra điều gì Trước hết với x = 0.96 thì giá trị chínhxác của hàm là √

1 + x − 1 = 0.4 Trong bảng dưới đây, ta ký hiệu (sn)

là dãy xấp xỉ chuỗi lũy thừa còn (fn) là dãy xấp xỉ của liên phân số

sn 0.4800 0.3648 0.4201 0.3869 0.4092 0.3932 0.4053

fn 0.4800 0.3871 0.4022 0.3996 0.4001 0.4000 0.40000

Dĩ nhiên điều đó không chứng tỏ được vấn đề gì Tuy nhiên, trong một

số trường hợp có thể khai triển liên phân số hội tụ nhanh hơn khai triểnchuỗi lũy thừa

1.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ

an

bn

≤ |an|

|an| + 1 < 1

điều đó chứng tỏ công thức đúng với n = 1 Tiếp theo, với mọi n ≥ 2 tacó

an−1

bn−1+ an/bn

≤ L|y2 − y1| + |y02 − y01| + +

y2(n−1)− y1(n−1)

,trong đó, (x, y1, y01, , y1(n−1)) và (x, y2, y02, , y2(n−1)) ∈ D Khi đó, tồntại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu(2.2) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n liên tục trong đoạn

|x − x0| ≤ h,