Toán tử khả nghịch suy rộng và áp dụng giải phương trình ma trận

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————– BÙI TẤN CAO TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————– BÙI TẤN CAO TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Chun ngành: Phương Pháp Tốn Sơ Cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng - Năm 2019 MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng chuẩn Jordan 1.1.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.1.2 Ma trận Jordan 1.1.3 Sự đồng dạng ma trận vuông với ma trận Jordan 1.2 Toán tử vec 11 1.3 Tích Kronecker 12 1.4 Quy phương trình ma trận dạng AX = B 12 1.4.1 Phương trình ma trận CXD = E 12 1.4.2 Phương trình ma trận CX + XD = E 14 1.4.3 Phương trình ma trận CX + XC = µX 15 CHƯƠNG TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG 17 2.1 Định nghĩa tính chất tốn tử khả nghịch suy rộng 17 2.2 Toán tử ban đầu 20 2.3 Ma trận khả nghịch suy rộng 23 2.4 Phương trình với toán tử khả nghịch suy rộng 28 MỤC LỤC CHƯƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 33 3.1 Giải phương trình AX = B với A ma trận vuông 33 3.1.1 A khả nghịch 33 3.1.2 A không khả nghịch 34 3.2 Giải phương trình AX = B với A ma trận không vuông 41 3.2.1 Phương pháp 41 3.2.2 Ví dụ 42 3.3 Giải số phương trình ma trận khác 44 3.3.1 Phương trình ma trận dạng CXD = E 44 3.3.2 Phương trình ma trận dạng CX + XD = E 49 3.3.3 Phương trình ma trận dạng CX + XC = µX 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A, B, C, ma trận A−1 ma trận nghịch đảo A AT ma trận chuyển vị A [aij ] ma trận A có phần tử aij vị trí hàng i cột j A⊗B tích Kronecker A B vecA vec A (xếp chồng cột A) L(X) tập hợp tốn tử tuyến tính chứa X domA, (A ∈ L(X)) miền xác định toán tử A ImA, (A ∈ L(X)) miền giá trị toán tử A dim A số chiều A W (X) tập hợp toán tử khả nghịch suy rộng thuộc L(X) WV tập nghịch đảo suy rộng V ∈ W (X) WV1 tập tất hầu nghịch đảo V F (r) toán tử ban đầu phải F (l) toán tử ban đầu trái kerA = {x ∈ domA : A(x) = 0} L0 (X) = {A ∈ L (X) : domA = X} MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tử khả nghịch phía khởi đầu từ ý tưởng Micusinski Przeworska Rolewicz D xây dựng lần vào đầu năm 70, lĩnh vực nghiên cứu quan trọng đặt sở quan trọng khái quát đại số cho toán Giải tích như: Phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân, Ta biết rằng, toán tử tuyến tính tác động khơng gian hữu hạn chiều khả nghịch khả nghịch suy rộng không khả nghịch thực Từ lý thuyết tốn tử khả nghịch suy rộng đời Tầm quan trọng tốn tử khả nghịch suy rộng vơ to lớn, mà bật giải phương trình ma trận (Phương trình có dạng AX = B ) Việc giải phương trình ma trận dạng AX = B khó khăn, địi hỏi phải dùng phương pháp biến đổi cồng kềnh phức tạp, dễ dẫn đến sai lầm tính tốn nhiều thời gian Nhưng nhờ áp dụng toán tử khả nghịch suy rộng cộng với ma trận Jordan giúp đổi biến, đổi sở để giải phương trình ma trận dạng AX = B cách gọn nhẹ nhanh chóng Như biết, ứng dụng ma trận thực tế vơ lớn (vật lý, máy tính khơng gian mạng, ) Vì vậy, việc giải phương trình ma trận dạng AX = B vơ quan trọng, góp phần vào phát triển nhân loại Do vậy, tơi nhận thấy việc tìm hiểu toán tử khả nghịch suy rộng áp dụng vào giải phương trình cần thiết có ý nghĩa thực tiễn nên định chọn đề tài “TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN” làm đề tài nghiên cứu 51 Vậy phương trình cho có nghiệm   84 −56  X= −28 Ví dụ 3.3.5 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình sau: CX + XD = E với  −1 0  ,D =  C=  2  −3 −2   x1 x3 x5  Giải: Ta kí hiệu X =  x2 x4 x6       13 8   ,E =   15 Ta viết phương trình dạng Ax = B   A = I ⊗ C + DT ⊗ I đó:  x = vecX; B = vecE      0 −1      + A= ⊗     −3 0 −2   −1 2      −3       0 2 0  =    0 −3 0       0 −2    0 −3 B T = (vecE)T =      1 0 ⊗  13 15 8 52 Khi               −1 2   0     −3       0 2 0 x =     0 −3 0       0 −2    0 −3  13   15            Vì det(A) = 108 nên ma trận A khả nghịch Suy phương trình (3.4) có nghiệm        x=        1  3   2   2   4  Vậy phương trình cho có nghiệm    X= 3.3.3 Phương trình ma trận dạng CX + XC = µX Giải phương trình CX + XC = µX đó, C ma trận có cấp (n × n) A Phương pháp Bước 1: Chuyển phương trình dạng Ax = B   A = H − µI = I ⊗ C + C T ⊗ I − µI n n n n đó:  x = vecX, B = (3.4) 53 Bước 2: Giải phương trình dạng Ax = B Ví dụ Ví dụ 3.3.6 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình sau: CX + XC = µX  Biết: C =   −1 −3  µ =  Giải: Ta kí hiệu X =  x1 x3   Ta viết phương trình dạng Ax = 0, x2 x4   A = H − µI = I ⊗ C + C T ⊗ I − 2I 2 n đó:  x = vecX   A= 0   ⊗ −1 −3   +     −1 A=    Khi    0 −1 ⊗  − 2  0 −3  0  −1   −3 −1    −3   −1 −8 −1    −1 −3 −1    −3  −1 −8       x         x2   =       x3      x4 Vì det(A) = nên ma trận A khơng khả nghịch 0    0   0     0   0  (3.5) 54 Giải phương trình (3.5), ta có nghiệm  −12    x=   −12          Vậy phương trình cho có nghiệm   −12 −12  X= 3 Ví dụ 3.3.7 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình sau: CX − XC = µX  Biết: C =  16 64 −7 80   µ = −48  Giải: Ta kí hiệu X =  x1 x3   Ta viết phương trình dạng Ax = 0, x2 x4   A = H − µI = I ⊗ C + C T ⊗ I + 48I 2 n đó:  x = vecX Ta tìm  48 64    −7 112 A=   −64 −16 64  −64 −7 48 Khi  48 64    −7 112    −64 −16 64  −64 −7 48            x         x2   =       x3      x4 Vì det(A) = nên ma trận A không khả nghịch    0   0  (3.6) 55 Giải phương trình (3.6), ta có nghiệm  −8    −1 x=   64          Vậy phương trình cho có nghiệm   −8 64  X= −1 56 KẾT LUẬN Luận văn "Toán tử khả nghịch suy rộng áp dụng giải phương trình ma trận" đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: Hệ thống số kiến thức toán tử khả nghịch suy rộng Trình bày cách chuyển số phương trình ma trận dạng AX = B Ứng dụng giải phương trình ma trận dạng AX = B Hy vọng, nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện hơn, nhằm chứng tỏ ứng dụng đa dạng hiệu của toán tử khả nghịch suy rộng 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Trọng Huệ(1997), Giáo Trình Đại Số Tuyến Tính Hình Học Giải Tích, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Thái Xuân Tiên, Nguyễn Viết Đức, Đặng Ngọc Đức(1997), Đại Số Tuyến Tính, NXB Đà Nẵng Tiếng Anh [3] Alexander Andreevych Boichuk and Anatoly Samoilenko(2016), Generalized Inverse Operators, Walter de Gruyter GmbH and Co KG [4] Graham Alexander(1981), Kronecker products and matrix calculus: with applications,Ellis Horwood Ltd [5] M.Z.Nashed(1976), Generalized Inverses and Application, Academic Press New York [6] Nguyen Van Mau, Nguyen Minh Tuan(1997), Algebraic properties of generalized right invertible operators, Academic Press New York [7] Przeworska Rolewicz D.(1968), Equations in linear spaces, Warszawa [8] S.R Caradus(1978), Generalized Inverses and Operator Theory, Queen’s University ... nghịch khả nghịch suy rộng khơng khả nghịch thực Từ lý thuyết toán tử khả nghịch suy rộng đời Tầm quan trọng toán tử khả nghịch suy rộng vô to lớn, mà bật giải phương trình ma trận (Phương trình. .. quan đến toán tử khả nghịch suy rộng (định nghĩa, tính chất, ví dụ) - Trình bày cách giải phương trình với tốn tử khả nghịch suy rộng Chương Ứng dụng giải phương trình ma trận - Phương trình AX... tài “TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN” làm đề tài nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu rõ toán tử khả nghịch suy rộng, phương