Đặc trưng của toán tử khả nghịch dạng suy rộng và ứng dụng giải các bài toán biên tương ứng

Còng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bòi toàn t u khà nghich phài suy rong 34 Chu'o^ng I I.. Nghiéni cua phuong trình sinh beri toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao... C

DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI

LUAN AN TIEN SÌ TOAN HOC

Chuyén ngành : Gìài tich

1.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong 10

1.2 Càc còng thuc noi suy co bàn 24

1.3 Còng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bòi toàn t u

khà nghich phài suy rong 34

Chu'o^ng I I M o t so bài t o à n b i é n d o i vó'i pIiLTo'ng t r ì n h sinli

bò'i t o à n tT3f k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g 51

2.1 Bài toàn già tri ban dau 51

2.2 Bài toàn già tri bién ca bàn CI

2.3 Bài (.oàn già tri bién hón hgp thu nhat 73

2.4 Bài toàn già tri bién hón hgp t h u hai 84

2.5 Nhan xét ve bài toàn già tri bién tòng quàL 92

Chiro'ng I I I M o t so k é t q u a ve t o à n tiV k h à n g h : c h pliài suy

r o n g b a c cao LOG

3.1 Toàn t u k h à nghich phài suy rong bac cao 100

" 3.2 Dieu kien k h à nghich phài suy rong bac cao ciìa toàn t u d a i so 107

3.3 Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy

rong bac cao I l i

3.4 Nghiéni cua phuong trình sinh beri toàn tu khà nghich phài suy

rong bac cao " 117

K é t l u a n 122

C à c c ò n g t r ì n h d à c ò n g b o Hén q u a n d é n l u a n à n 123

T à i lìeu t h a m k h à o 124

Lò'i c à m o'n 126

1.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong 10

1.2 Càc còng thuc noi suy co bàn 24

1.3 Còng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bòi toàn t u

khà nghich phài suy rong 34

Chu'o^ng I I M o t so bài t o à n b i é n d o i vó'i pIiLTo'ng t r ì n h sinli

bò'i t o à n tT3f k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g 51

2.1 Bài toàn già tri ban dau 51

2.2 Bài toàn già tri bién ca bàn CI

2.3 Bài (.oàn già tri bién hón hgp thu nhat 73

2.4 Bài toàn già tri bién hón hgp t h u hai 84

2.5 Nhan xét ve bài toàn già tri bién tòng quàL 92

Chiro'ng I I I M o t so k é t q u a ve t o à n tiV k h à n g h : c h pliài suy

r o n g b a c cao LOG

3.1 Toàn t u k h à nghich phài suy rong bac cao 100

" 3.2 Dieu kien k h à nghich phài suy rong bac cao ciìa toàn t u d a i so 107

3.3 Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy

rong bac cao I l i

3.4 Nghiéni cua phuong trình sinh beri toàn tu khà nghich phài suy

rong bac cao " 117

K é t l u a n 122

C à c c ò n g t r ì n h d à c ò n g b o Hén q u a n d é n l u a n à n 123

T à i lìeu t h a m k h à o 124

Lò'i c à m o'n 126

X - Khòng gian tuyen tinh trén truò-ng so R hoac C

X' - Khòng gian doi ngàu vó-i X,

L{X) - Tap hgp càc toàn t u tuyen tmh vó-i niien xàc dinh va mien già tri dugc cliua trong X

doni A, {A E L{X)) - Mien xàc dinh cua toàn t u A

Im A, {A e L{X)) - Mien già tri cua toàn t u A

Lo{X) := {A G L{X) : doni A = X}

kerA = {x e doni A : A{x) = 0}

dim coker A = dim {X \ k e r ^ }

dim X - So chieu cua khòng gian X

rank G - Hang cua ma tran G

det G - Dinh thuc cua ma tran G

I - Toàn t u dòng nhat

R{X) - Tap hgp càc toàn t u khà nghich phài thuòc L{X)

TZo - Tap hgp càc nghich dào phài cua D G R{X)

A{X) ~ Tap hgp càc toàn tu khà nghich trai thuòc L{X)

Ci ~ Tap hgp càc nghich dào trai ciia L G A{X)

W{X) - Tap hgp càc toàn t u khà nghich suy rong thuòc L{X)

Wy - Tap hgp càc nghich dào suy rong cua V G W{X)

R\{X) - Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong thuòc L{X) TZy - Tap hgp càc nghich dào phài suy rong ciia V G R.i{X)

n\)^ = {IV e ni - wvw = w, vw^ = w}

Tv - Tap hgp càc toàn t u ban dau phài cua V

Qy - Tap hgp càc toàn t u ban dau trai cua V

Ty^w ' Tap hgp càc toàn tu' ban dau phài cua V co tinh chat c{W)

^VyWc ' T à p h g p càc toàn t u ban d a u phài cua V co t m h chat cc{W)

Rk{X) - T a p h g p càc toàn t u khà nghich phài suy rong bac k

TZy - T a p h g p càc k- nghich dào phài suy rong cua V G Rk{X)

TÓ^^ = {W G n^ : WVW = W}

V{X) - T a p h g p càc toàn t u Volterra thuòc L{X)

A^{X) - T a p h g p càc toàn t u dai so thuòc L{X)

C [a, b] - K h ò n g gian càc liàm so co d a o hàni lién tue dén c à p A'^ trén [a, b]

MÒ^ D A U

Ly t h u y é t càc toàn t u khà nghich mot phia khcri d a u tii' càc y tuò'ng cua Micusinski va d u g c Przeworska Rolewicz D xày d u n g lan d a u tién vào dau

nhirng nani 70, là mot trong càc linh vuc nghién cuu quan trong d a t ca sa khài

q u à t dai so cho n h u n g bài toàn cua Giài tfch nhu: p h u o n g trình vi phàn, p h u o n g trình tich p h à n , p h u o n g trình dao hàm riéng, p h u o n g trình sai p h à n , càc bài toàn nói suy,

Ngay sau khi ra dòi, h u ó n g nghién cuu này d à thu h u t d u g c s u chù y cua nhieu nlià toàn hoc N h u n g két qua quan trong ve ly t h u y é t toàn t u khà nghich mot phia ciìa Przeworska Rolewicz D ([17]- [22]), Tasclie M ([25]-[26]), Von Ti-otha H ([27]), Nguyén Vàn Mau ([7]- [12]), Binderman Z ([3]- [4]), cho

t h à y nhiéu bài toàn riéng ré cua giài tich co the bieu dién 6u'ac d u a i dang mò

liình cliung va co the d u g c nghién cuu theo nhirng t h u à t toàn co bàn tong quàt Cliang han, càc bài toàn noi suy Lagrange, nói suy Newton, noi suy Hermite va mot so bài toàn bién trong Giài tich co the d u g c xeni nliu là càc truò'ng h g p

d a c biet cua bài toàn già tri bién vói nhirng dieu kien ban d a u t u o n g thich va càc p l i u a n g trình vi phàn, p h u o n g trình sai phàn, p h u o n g trình dao hàm riéng, co the d u g c xeni n h u là p h u o n g trình sinh boi toàn t u khà nghich phài Hon nira, nhiéu két qua cua ly t h u y é t càc toàn t u khà nghich m o t phia d à dóng góp mot p h à n quan trong vào viec hoàn chinh ly t h u y é t Noether càc toàn t u tuyén

t m h

Ta biét rang, nioi toàn t u tuyén t m h tàc dòng trong mot khòng gian hiru han cliiéu hoac khà nghich hoac khà nghich suy rong n h u n g khòng khà nghich phài t h u c su T u do ly t h u y é t càc toàn t u khà nghich suy rong ra dòi (xeni Dinh nghia 1.1.3) va d u g c nhiéu n g u ò i quan t à m nghién cuu n h u Anselone P M., Nashed M Z ([1], [24]), Ben-israel A va GreviUe T N E ([2]), C a r a d u s S

R ([5]), Nguyén Vàn M a u ([10], [11]), Tuy nhién co r a t nhiéu t m h chat quan

t r o n g ciia n h u n g toàn t u quen biét trong Giài tich n h u : toàn t u d a o hàm, toàn

t u sai p h à n , toàn t u vi p h à n , khòng d u g c the hien n h u là nhirng d a c t r u n g

c a bàn n h a t ciia toàn tu' khà nghich suy rong

Vào n à m 1996, Nguyén Vàn Mau va Nguyén Minh T u a n ([13]-[14]) d à d u a

ra khài niem ve toàn tu* khà nghich phài suy rong (xem Dinh nghia 1.1.4) va nghién c u u mot so t m h chat cua no Co the nói r a n g t a p h g p t o à n t u khà nghich phài suy rong n a n i giira t a p h g p toàn t u khà nghich phài va t a p h g p toàn t u khà nghich suy rong T a p h g p t o à n t u khà nghich phài suy rong c h u a t à t cà càc toàn tu' khà nghich phài va nhiéu toàn tu' quen biét n h u : toàn t u chiéu, toàn tu' vi tich p h à n , mot so toàn t u dai so va toàn t u trong khòng gian hiru han chiéu,

Muc tiéu ciia luan àn này là tiép t u e nghién cuu m o t so t m h chat mói cua

toàn tu' khà nghich phài suy rong V nhu: nghién cuu càu triic khòng gian hach

va khòng gian ànli cua V^ Tiép theo nghién cuu mot so tinh chat cua toàn

(;u khà nghich phài suy rong bac cao va d u a ra viec p h à n lóp càc toàn t u tuyén

t m h theo dò khà nghich cua no B u ó c d a u nghién cuu mot so d a c t r u n g cua toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao

Viec nghién cuu tình chat c{R) va u n g d u n g vào giài mot so bài toàn bién

va bài toàn noi suy t o n g q u à t sinh bòi t o à n tu' khà nghich phài vói he toàn

t u ban d a u co tinh chat do d à d u g c Przeworska-Rolewicz D va Binderman Z nghién cuu (xem [18], [4]) Sau do Nguyén V à n Mau va P h a m Q u a n g H u n g d à

m ó rong tinli c h a t c{R) tliành t m h chat CG{R) va d u a ra còng t h u c nghiem cua

bài t o à n nói suy t o n g q u à t sinh bòi toàn tu* khà nghich phài vói he toàn t u ban

d a u co tinh c h a t CQ{R) (xem [15]) Luan àn này tiép t u e xày d u n g t m h c h a t

c{W) va ca{W) ciia toàn t u ban d a u phài cua V, tìx d ò d u a ra m o t so d a c t r u n g

mói cua he toàn t u ban d a u phài cua V co tinh chat c{W) va CG{W). Sau dò

d u a ra càcli giài bài toàn nói suy tong q u à t sinh bòi V vói he t o à n t u ban d a u phài co t m h chat c{W) va CG{W) m a mot so bài t o à n noi suy co dién n h u : nói

suy Lagrange, nói suy Newton, nói suy Hermite d u g c xem n h u là càc t r u ó n g

h g p riéng d a c biet

P h u a n g trình sinh b ò i t o à n tu' k h à nghich phài D va càc bài toàn bién

dà dugc Przeworska Rolewicz D nghién cuu (xem [18]) Sau do, trong [11]

Nguyén Vàn Mau dà nghién cuu lóp phuang trình dang

M N

Q[D]x ~J2Y^ D'^AmnD'^x = y, yeX (0.0.3)

771=0 n = 0

Luan àn này dua ra càch giài phuong trình sinh bòi toàn tu' khà nghich phài

suy rong V dang

M N

Q[V]x -J2Y1 y^^muV^x = y^yeX (0.0.4)

Tn=0 71=0

ó day AMN = L Amn ^ Lo{X), Amn^N-n C X ^ , Xm ~ dom V^ Sau dò

nghién cuu tmh giài dugc cua mot so bài toàn bién doi vói phuang trình (0.0.4)

thòng qua do khà nghich (khà nghjch, khà nghich phài, khà nghich trai, khà

nghich suy rong) cua toàn t u giài tuang ung va àp dung vào giài mot so lóp

phuang trình nhu phuang trình vi tich phàn hàm, phuang trình tich phàn ky

d i ,

Luan àn goni ba chuang

Chuang I nghién cuu dac trung cua toàn t u khà nghich phài suy rong

Chuang này gom 3 muc Muc 1.1 gòm 2 tiét : Trong tiét 1.1.1 dua ra dinh

nghia va mot so tinh chat ciia toàn tu' khà nghich phài suy rong V, toàn t u ban

dau phài va trai cua V, xày dung càu triic khòng gian k e r V ^ va d o m ì / ^ ; tiét

1.1.2 xày dung tinh chat c(W) va CG{W) cua toàn t u ban dau phài ciìa V sau

dò xày dung mot so dac trung mói cua he toàn tu' ban dau phài cua V co tmh

chat c(W) va CG{W) làm ca so de giài mot so bài toàn bién va bài toàn nói suy

ò càc muc sau Muc 1.2 d u a ra càch giài bài toàn noi suy t o n g q u à t sinh b a i

toàn t u khà nghich phài suy rong V vói he toàn t u ban d a u phài co t m h chat

c{W) v a CG{W) va àp dung bài toàn này d u a ra d u g c mot so còng t h u c noi

suy c a bàn nhu: nói suy Lagrange, noi suy Newton, noi suy Hermite Muc 1.3

nghién c u u càch giài p h u a n g trình sinh bòi toàn t u khà nghich phài suy rong V

dang (0.0.4) va ung dung vào giài p h u o n g trình tich p h à n ky di, p h u a n g trình

vi tich p h à n h à m ,

C h u a n g II d u a ra càch giài mot so bài toàn bién doi vói p h u a n g trình dang (0.0.4) C h u a n g này goni 5 muc Muc 2.1, nghién c u u bài t o à n già tri ban d a u doi vói t o à n t u (5[^], t u e là tini nghiem cua p h u a n g trình (0.0.4) tlióa m a n dieu kien ban d a u (2.1.1) Muc 2.2, néu càch giài bài toàn già tri bién c a bàn doi vói toàn t u Q[ì^], t u e là tini nghiem cua p h u a n g trình (0.0.4) t h ò a m a n dieu kien bién (2.2.1) Muc 2.3, nghién cuu bài toàn già tri bién hón h g p t h u n h a t doi vói toàn tu' Ql^]? t u e là tini nghiem cua p h u a n g trinh (0.0.4) t h ò a m a n dieu kien bién (2.3.1) Muc 2.4, nghién cuu bài toàn già tri bién hón h g p t h u hai doi vói toàn t u Q[K], t u e là tini nghiem cua p h u o n g trinh (0.0.4) t h ò a m a n dieu kien bién liòn h g p (2.4.1) Cuoi cìmg, muc 2.5 nghién cuu bài toàn già tri bién t o n g

q u à t doi vói toàn t u Q[l^], t u e là tini nghiem cua p h u a n g trinh (0.0.4) t h ò a

m a n dieu kien ban d a u (2.5.1) Ó mói bài toàn déu d u a ra d a n g cua toàn t u

giài, dieu kien de bài toàn tliiét lap diing d à n va vi du àp dung vào giài p h u a n g trình vi tich p h à n h à m co dieu kien trong giài tich

C h u a n g III trình bay mot so két qua ve toàn tu* khà nghich phài suy rong bac cao C h u a n g này goni 4 muc Muc 3.1 trinh bay khài niem t o à n t u k h à

nghich phài suy rong bac k (k G W ) ( a day coi toàn t u khà nghich phài va

khà nghich phài suy rong là toàn t u khà nghich phài suy rong bac 0 va bac 1), tìi" d o d à n dén viec p h à n lóp càc toàn t u tuyén t m h theo t ù n g dò khà nghich cua no (khà nghich, khà nghich phài, khà nghich phài suy rong, k h à nghich suy

rong bac k {k > 1), khà nghich suy rong) Dac biét trong m u c này chi ra rang,

toàn t u k h à nghich suy rong bac cao co nhiéu tinh c h a t quan t r o n g t u a n g t u

n h u t o à n t u khà nghich phài d à biét Khài niem toàn t u ban d a u phài va trai cua t o à n t u khà nghich phài suy rong bac cao d u g c xày d u n g giong n h u toàn

t u ban d a u phài v a trai ciia toàn t u khà nghich phài suy rong Ben canli mot

* so tinh chat quen thuòc n h u còng t h u c Taylor-Gontcharov, còng t h u c Taylor,

con co m o t so t m h chat mói cua toàn t u ban d a u phài suy rong bac k ( n h u

Dinh ly 3.1.5, 3.1.6) Trong muc 3.2, d u a ra diéu kien càn va du d e toàn t u dai

so t r o n g khòng gian hiru han chiéu là toàn t u khà nghich phài suy rong bac k, diéu d a c biet là nioi toàn t u dai so S khà nghich phài suy rong bac k u n g vói A:-nghich d à o phài W déu co tinh chat SW^-^^ = W^; S^W^S^ - S^ Tiép theo, m u c 3.3 nghién cuu dac t r u n g Volterra cua d a t h u c P{V) dang (3.3.2) vói V G Rh{X) va To dang (3.3.3) là nghich d à o suy rong Volterra cua P{V)^

d a y là s u m ó rong t r u c tiép diéu kien khà nghich phài cua d a t h u c P{D) vói

D E R{X) d à d u g c càc nhà toàn hoc Przeworska Rolewicz D va Von T r o t h a H

(xem [18]) khào sàt nani 1988 doi vói he so hàng, sau dò vào nani 1992 Nguyén Vàn M a u d à t o n g quàt cho t r u à n g h g p he so là toàn t u dai so dìrng (giao hoàn

vói D va i?)(xeni [11]) Trong muc 3.4 d u a ra càch giài m o t so p h u a n g trinh

vói toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao

Càc két qua cua luan àn d u g c nghién cuu b a n g p h u a n g pliàp cua Giài tich

- Dai so Càc két qua c a bàn cua luan àn d à d u g c d a n g va n h a n d a n g ó càc t a p chi chuyén ngành ([l]-[9]) va d à d u g c bào cào tai càc Hòi nghi K h o a hoc va càc Xéniina sau;

- Hòi nghi toàn quoc làn t h u n h a t ve IJng d u n g Toàn hoc, 12-1999

- Hòi nghi P h u a n g trinh dao h à m riéng va ITng dung, Vien Toàn hoc,

12-1999

- Hòi nghi Khoa hoc T r u à n g Dai hoc Khoa hoc T u nhién Dai hoc Quoc già

Ha Noi, 11- 2000

- X é m i n a Giài tich - Dai so, Khoa Toàn - C a - Tin h9c T r u à n g Dai hoc

K h o a hoc T u nhién Dai hoc Quoc già Ha Nói

X é m i n a P h u a n g trình d a o h à m riéng, lién t r u à n g Dai hoc Bach khoa Dai hoc K h o a hoc T u nhién

-Chu-ang I

D A C TRITNG C U A T O A N T l > K H À N G H I C H P H À I S U Y R O N G

Nói dung cua chuang này nghién cuu dac trung cua toàn t u khà nghich phài suy rong Trong muc 1.1, dau tién chiing tòi dua ra càc dinh nghia ve toàn

t u khà nghich phài suy rong V, toàn t u ban dau phài, toàn t u ban dau trai cua

V va mot so tinh chat mói ciìa V sé dugc ung dung vào giài phuang trinh ò* muc 1.3 Sau dò xày dung tinh chat c{W) va CG{W) cua toàn tu ban dau phài cua V dong thài dua ra mot so dac trung mói cua he toàn t u ban dau phài co

tmh chat trén Vàn de giài bài toàn noi suy tong quàt sinh bòi toàn t u khà

nghich phài suy rong V vói he toàn t u ban dau phài co tinh chat c{W) hoac CG{W) va thuat toàn xày dung còng thuc noi suy co bàn cua mot so bài toàn

noi suy co dien dugc trình bay trong muc 1.2 Cuoi cùng, trong muc 1.3 chiing tòi dua ra càch giài phuang trình tuyén tinh sinh bai toàn tu khà nghich phài

suy rong V

1 1 T o à n ti3f k h à n g h j c h p h à i s u y r o n g

Già su X là khòng gian tuyén tinh trén truàng so /C, K, — M hoac K", = C

Ky hieu L{X) là tàp hgp tàt cà càc toàn tu tuyén tmh tàc dòng trong X va Lo{X) = {A ^ L{X) : dom A = X} Ta co Lo{X) là mot dai so vói don vi /

1.1.1 Dinh n g h i a v a tfnh c h a t c ù a t o à n tu k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g Dinh nghia 1.1.1 [18] Toàn tó D e L{X) dicqc ggi là khà nghich phài néu

ton tqi toàn hi R e Lo{X) sao cho Im i? C doni D va DR, = I Toàn tu R dica e ggi là nghich dào phài cua D

Tàp hgp càc toàn t u khà nghich phài trong L{X) dugc ky hieu là R{X) Tap hgp càc nghich dào phài cua D G R{X) dugc ky hieu là Ti-o-

Dinh nghia 1.1.2 [18] Toàn tu L 6 Lo{X) duqc ggi là khà nghich trai néu

ton tqi toàn té A E L{X) sao cho Ini L C dom A va AL = I Toàn tu A duac ggi là nghich dào trai cua L

Tàp hgp càc toàn tu khà nghich trai trong L{X) dugc ky hieu là A{X)

Tap hgp càc nghich dào trai cùa L G A{X) dugc ky hieu là Ci

Dinh nghia 1.1.3 [11] Toàn tu V G L{X) dicqc ggi là khà nghich suy róng

néu ton tqi W G L{X) sao cho Im F C dom W, Ini W C doni V va VWV = V

trén dom V Toàn té W dicqc ggi là nghich dào suy rong cua V

Tap hgp càc toàn tu khà nghich suy rong trong L{X) dugc ky hieu là

W{X) Tàp hgp càc nghich dào suy rong cua V G H^(X) dugc ky hieu là Wy

Dinh nghia 1.1.4 [13] Toàn tu V G W{X) duqc ggi là khà nghich phài suy

rong néu ton tqi W G Wy sao cho Ini {VW - / ) C k e r l / , (tiic là V'^W = V)

Toàn té W dicqc ggi là nghich dào phài suy rong cua V

Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong trong L{X) dugc ky hieu là

Ri{X) Tap hgp càc nghich dào phài suy rong cua V dugc ky hieu là 7?.|/ Tue

M e n h d e 1.1.1 Vài moi V G Ri{X) deu ton tqi W G 7^Sj^

Chung minh Do ^ G Ri{X) nén ton tai Wi G n\, sao cho VW^V = V, V'^Wx =

V Néu dat W = VW^VWx thi de dàng Idem tra thay W G 7?/J\

M e n h d e 1.1.2 Cho V E Ri{X), W^ ,Wn ETéy\ Vài m,n e IN\ ta co

y ^ - ' ^ khi m > n, i) V^W^ • • W,, = { VWn khi m - n,

14^,,,+1 -Wn khim < n

ti) V'^Wi -WrnV''' = V''\

Chung minh i) Néu m = n = 1 thi i) hien nhién diing

Dac biet, khi Wi = • • • = Wn ta nhan dugc két qua quen thuòc sau:

M e n h d e 1.1.3 [13] Cho V 6 Ri{X) va W e u'yK Vài m,ne N*, ta co

( F ' " - " khi m > n, i) F'"H/'^ = <^ VW khi m = n, H) y " ' H / ' " F ' " = F"^

l l y " - " khi VI < n

D i n h ly 1.1.1 ([11], [13]) Già sic A,B e L{X) sao cho Im A e dom B va

Im B C dom A Khi dà I + AB lan luqt là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng, khà nghich phài suy róng va khà nghich khi va chi khi I + BA tieang ung là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng, khà nghich phài suy róng va khà nghich Han mìa, néu RAB G 7?.J^.AB, LAB G Cf.^.AB,

WAB e Wi+AB, w\s e 7^J+4i? ^à (I + AB)-^ e UJ+AB^CI+AB, thi

REA = I - BRAB^ € T^I+BA, LBA = I - BLABA G CJ+BA, WBA = I - BWABA e W,+BA, Wl^ =1- BW\„A e 7?,] + ^ ^ , {I + BA)-' =I-B{I + AB)-'A e TZj+BA n CJ+BA-

D i n h n g h i a 1.1.5 (cf [11]) Toàn tu F G L{X) duqc ggi là toàn tu ban dau

' phài dia V G Ri{X) ung vói W G 7?.|j' néu thòa m,àn càc diéu kien sau day:

F^ = F, Ini F - ker V, FW = 0 trén doni W

Ky liiéu J-y là t a p liop càc toàn tu' ban d a u phài ciìa V

D i n h ly 1.1.2 (cf [11]) Toàn tu F G L{X) là toàn tu ban dau phài cua

V G Ri{X) ring vói W G 7^S^^ khi va chi khi F = I - WV trén doni V

D i n h ly 1.1.3 (cf [11] Gòng t h u c Taylor - Gontcharov)

Néu {is,}7:=o, ,N-i ià càc toàn tu ban dau phài cua V G R]{X) tuang ung

vói {TV'^i}i=o, ,yv-i C Ry sao cho Ini Wj C doni Wj^\, ( j — 1 , , A^ — 1), thi

trén dom V^ ta co

/ - Fo + ^ Wo • • • Wi-iFiV' + Wo • • • Wj^.iV^,

i=ì

D i n h ly 1.1.4 Cho V G Ri{X) va VFo, • - •, ^ ^ N - i ^ T^y^ sao cho Ini Wj C

doni H ' j - i : (j = 1, - , A/' — 1) Khi do ta co

N-l i) ker V^ = IxeX : x ^ Zo + J^ ^^^^o ' • • Wk-iZ'k, z^ G ker V i , (1.1.3)

ii) doni V^ = Wo • • -WN-IV^Xj^ ekevV^, X^ : - d o m V^, (1.1.4)

;

N-1

xeX :x = Wo - Wp^^iy + J ] H^o • • • Wk^xZf,, y G V^X^

Chiing minh

i) Néu X G k e r T / ^ thi V^x = 0 Già s u FQ, , F/v-^i làn l u o t là càc

t o à n tu' ban d a u phài cua V ung vói WQ, - , Wjsf-] T h e o còng t h u c

Taylor-Gontcharov ta co

N-X

x = FoX+^Wo-" Wk-iF^V^x + P^o • • • W^-iV'x

k=l Dat 2fc = FkV^x, {k = 0, ,N -1), hien nhién Zf, G ker V Tir do suy ra

ii) Già SU' X G dom V^ Dat x = u + v vai u ~ WQ - • • Wj^^xV^x, v =

{I - Wo - WM-IV^)X Khi dò u G VKo • • • WN-IV^XJ^, V^V = 0 va X G

Wo - - - Wi^-iV^XN-^kerV^, Mat khàc, néu y G T^o • • • WN-IV^X^^ +kevV^

thi ton tai x G dom V^ vk z e ker V^ sao cho y = VFQ • • • W ^ A ^ - I ^ ^ X + z Do

dò F ^ y = V^Wo • • • WM-IV^X + V^z = V^x Suy ra y G dom V^

Già su rang u G T^o " • " WN^IV^XN nkerV^ Khi dò ton tai v G dom V^

sao elio n = V7o • • • WN-IV^V va F ^ u = 0 Mat khàc, tir

V^v = V^Wo - - • WN-IV^V = V^u = 0 suy ra n = 1^0 • • • Wpj-iV^v = 0 Vi

vày PFo -VF;v-iV^^^7vnkery^ = {0} Gòng thuc (1.1,4) d u a c chung minh

iii) Suy truc tiép tir i) va ii)

Dac biet, khi WQ = • • • = W A ^ - J , ta co càc he qua sau:

H e q u a 1.1.1 (cf [11] Gòng thuc Taylor)

Néu F G L{X) là toàn té ban dau phài cua V G R\{X) tuang lìng vói

W G n[^\ thi vói moi N e N* ta co

7 V - 1

I=Y1 W'FV' + W^V^ trén dom V^

7 = 0

H e q u a 1.1.2 Néu V G Ri{X), W G R\]^ thi

ii) dom V^ = W^V^XN®keiV^,

iii) dom V^ = ìxeX : x:=W^y+ ^ M/'^^fc, Zk G k e r F ,

geV'^Xr,}-[ k=0 )

D i n h n g h i a 1.1.6 (cf [11]) Toàn tic G G L{X) duqc ggi là toàn tu ban dau

trai cua V G Ri{X) tuang ung vói W G Ry néu thòa m.àn càc dieu kien sau

day:

G^ = G, Ini G = ker W, GV = 0 trén dom V

Ky hieu Qy là t à p t à t cà toàn t u ban d a u trai cua V

M e n h d e 1.1.5 (cf [11]) Néu G là toàn té ban dau trai cua V G R\{X) ring

vói W G n\!r^ , thi

i) Gu = u vói m.gi u G ker W,

il) WG = 0 trén doni G,

iii) k e r G ' n k e r i y = {0}

D i n h ly 1-1.5 (cf [11]) G G L{X) là toàn tu ban dau trai cua V G R\{X) ung

vói W G R.\l^ khi va chi khi G = 1 - VW trén dom W

C h ù y 1 1 1 Khi V là toàn t u khà nghich phài thi toàn t u ban d a u phài cua

V t r ì m g vói toàn t u ban dau d à biét cua toàn t u khà nghich phài va toàn t u

ban d a u trai cua V b a n g 0

V i d u 1 1 1 Già s u D G R{X),R G Rp- Dat K = X x X Xét càc m a t r a n

vuòng c à p 2 vó-i he so toàn t u n h u sau:

De dàng kieni tra thày rang Im l^ C doni VF, Im H^ C dom V Han nira, lai co

kerV = {(.T,c) :x G X , C G kerL>} ^ {(0,0)},

Ini V = { ( 0 , T ) , xeX} g / f

Vi vày V eRi{K), W eR^

Vi d u 1.1.2, Già SU' X là khòng gian tuyén tinh tìiy y , P e Lo{X) là toàn t u chiéu, nghia là P 7^ 0, P 7^ / va P^ == p Vay P G Ri (X), P G 7^},

Vi d u 1.1.3 Già SU' X = (7^[a, 6], a < fo < b, to co dinh Xét càc toàn t u trén X sau day:

Ap dung còng thuc Taylor doi vai mòi x{t) G C^[a,ò], ta co

Ghuòi trén chmh là chuòi Taylor kliai trién tai t = ÌQ

1.1.2 T i n h chat c{W) va CG{W) cùa toàn tò ban d a u phài

a) T i n h chat c{W)

Dinh nghia 1.1.7 ([20] Przeworska Rolewicz)

Cho D G R{X) va R E RD- Toàn té ban dau Fo cua D duqc ggi là co tinh

' chat c{R) néu vói m.oi k £ Fsf deu ton tai Cf^ E /C sao cho

k ^k

FoR z = -—2 vói moi z G kerZ?

A;!

Bay già chung ta sé xày dung tinh chat c{W) cho toàn tu' ban dau phài

doi vài toàn t u khà nghich phài suy róng V

Dinh nghia 1.1.8 Cho V G Ri{X) va W e Ry Toàn té ban dau phài FQ

cua V duqc ggi là co tmh chat c{W) néu vói mói fc G iV deu ton tai dk E IC

sao cho

FQW^Z = dkZ vói mgi z G k e r K Tàp hap toàn tu ban dau phài cua V co tinh chat c{W) d u a c ky hieu là Ty^w-

M e n h d e 1.1.6 Cho V G Ri{X), W G n\,, dim k e r F = 5, (0 < s < +oo) va

( e i , , , ,65) là mot ca sa cua k e r F Di^u kien càn va de de toàn té ban dau

phài Fo céa V co tinh chat c{W) là vói mgi k e N deu ton tai d^ E )C sao cho

FoW^z = ^ FoW^ajCj = ^ ajdkej = dk"^ ajSj = dkZ

j=i j=i j=i

Vay Fo G :Fy^w

Dinh ly 1.1.6 Néu dim kevV = 1 thi Tyy^ = Ty

Chung minh Già su dim kerV = 1, tue là k e r ^ = Un {e} vài e là ca sa cua

kerV Do Fo G Ty nén vài moi k e IN deu co FQW^S G kerX^ Tue là ton tai

•k

dk G /C sao cho FoWe = d^e Vày FQ CO tmh chat c{W) nén Ty^w = T^ y •

Vi d u 1.1.4 Cho X — IR va càc toàn tu' tuyén tinh trén X nhu sau:

- ( : " ) • "-^(oj)' - - ( o i ) ' ^-(J 0^

De kieni t r a t h à y r a n g V G Ri{X), W, Wi G R\,, Fi G Ty, k^iV = h n { e } ,

• v à i e = (1,0), dim k e r F =- 1 va F^W^e - 2^e, A: G W

< ^ 7 7 - l

FoX = u, u = (uo.ui, ) vai uo = xo, Ui = Xi - aiX2, w,, = 0, (n > 2)

De t h à y y G i ? i ( X ) , 1^,1^0 ^ 7^[., FQ G F K ung vài Wo, kevV = lin {ei, es}

vài ei = (1, 0 , ) , 62 = ( 0 , 1 , 0 , ) , dim ker V = 2 va

F o i y ^ e i = l e i , FoW^e2 = 0.e2, keJN

Tir Menh de 1.1.6 suy ra FQ khòng co tinh chat c{W)

Sau d a y t a xét mot so d a c t r u n g cua he toàn t u ban d a u phài cua V co

M e n h d e 1.1.7 Cho V G Ri{X), W eR\ va he { F i , , F , J d Ty^y• Dwu

kien càn va du de he vecta toàn té { F i , , F^,,} dgc lap tuyén tinh trén ker V là

he { d i , ,dn} ^9<^ làp tuyén tinh, trong dò Fj va di duqc xàc dinh bài (1.1.9)

Tir già thiét suy ra Pi = 0 Vày he { F i , , Fn} doc lap tuyén tfnh trén ker V,

D i n h ly 1.1.7 Cho V G Ri{X), W G 7^|, m he { F i , , F „ } C Fi/^v- i'^^eu

kien càn va du de Vn ^ Q là he { F i , , Fn} dgc lap tuyén tinh trén Pn{W), ò

day

F„(H/) = lin{TF'^^, ^ G k e r F , A — 0 , , n - l } (1.1.11)

Chung minh Già su Vi 7^ 0, tue là he { d i , , d,,} doc lap tuyén tfnh, tir Menh

de 1.1.7 suy ra he vecta toàn tu {Fi, • • •, Fn} doc lap tuyén tinh trén ker V va

doc lap tuyén tfnh trén Pn{W)

Nguac lai, già su he { F i , ,Fn} doc lap tuyén tfnh trén Pn{W) va

Tir già thiét suy ra ai = 0, z = 1 , , n Vay he { F i , , F„} doc lap tuyén tfnh

trén kerV Tii' Menh de 1.1.7 suy ra Vn 7^ 0 Dinh ly d u a c chung minh

b) Tfnh chat CG{W)

D i n h nghia 1.1.10 Cho V G Ri{X) va W e Ri Toàn té ban dau phài Fo

ella V dicqc ggi là co tinh chat CG{W) (tue là tinh chat c(W)- suy róng) néu ton tai bó càc khóng gian con Z i , , Zs (5 > 2) cria kerV sao cho

i) kerV = 0 Z j vói Zj ^ {0}, Zi n Zj = {0}, i 7^ j ,

ii^ FQVF'^ZJ = CkjZj vói mgi Zj G Zj^ c^ e ÌC, k e W ,

(^(i day Coj = l vi FQZ ~ z vói mgi z G ker V)

T à p h g p càc t o à n t u ban d a u phài cua V co tfnh c h a t CG{W) d u a c ky hieu

là F\/,VVG*

M e n h d e 1.1.8 Cho V G Ri{X), W G R},, dim k e r ì / < + 0 0 , k e r F - 0 Zj, (5 > 2) Dieu kien càn va dd de FQ G J^y co tinh chat CG{W) là vói mói k E IN

deu ton tai c^j G /C sao cho

FoW Cij — CkjSij

à day ( e i j , , e^jj) là mot ca sa cua Zj (j — 1 , , s; z = 1 , , 5j)

Chung minh Néu Zj G Zj thi Zj = ^ CLÌ^ÌJ^ ai G /C Tir dò suy ra

Tir Dinh nghia 1.1.9 va Menh de 1.1.8 suy ra r a n g moi toàn t u ban dau

phài co tfnh c h a t c{W) déu co tfnh chat CG{W). Dac biét néu dim keiV = 1

^^ = I 1^ i^ 0 ì , F, = ( # / | / 0

0 0 i ? i / V 0 0

Già s u he { F i , , F „ } C J^y^Wc ™ S "^ó^i bo khòng gian con khòng t à m

t h u ò n g { Z i , , Z5} cua k e r ì / , Khi dò vài mòi k G W , v G { 1 , , 5} déu ton

tai Ciky G /C sao elio

Ta biét rang, toàn t u ban d a u phài FQ CO tfnh chat CG{W) vài bo khòng

gian con Z i , , , Zg cua ker V khi va chi khi FQ CO tinh c h a t c{W) trén mòi khòng

gian Z i , Z5 Vi vay, d u a vào Menh de 1.1.7 va Dinh ly 1.1.7 suy ra càc két

q u a sau:

M e n h d e 1.1.9 Cho V G Ri{X), W G R\, va he {Fi, ,Fn} C F i / i r ^ - Va?,

m.oi V G { 1 , , s}, dieu kien càn va du de he càc vecta {Fi, , F „ } dgc lap

tuyén tinh trén Zy là he càc vecta { C } ' ' \ , C,/ } dgc lap tuyén tmh à day

Fi, C | ' ^ duqc xàc dinh bài (1.1.14) va (1.1.15)

D i n h l y 1.1.8 Già sé V e Ri{X), W G Ri va he {Fi, , F n } C J='y,Wa- Vài

moi V G { 1 , , s}, Dieu kien càn va du de Vn^ ^ 0 là he {F\, , Fn} dgc lap

tuyén tinh trén P^rviW), à day Vn dicqc xàc dinh bài (1.1.13) va

P,,,,{W)=\m{W^z^: Zy^Zy, A = 0 , , n - 1} (1.1.16)

1.2 Càc còng thiic nói suy co* bàn

Trong m u c này, chung t a de cap dén càch giài bài toàn noi suy tong q u à t

sinh b à i toàn t u khà nghich phài suy róng V vài he toàn t u ban dau phài co

tfnh c h a t c{W) hoac CG{W). Tir d o xày d u n g d u a c càc còng t h u c noi suy co

bàn doi v à i bài toàn noi suy Hermite, noi suy Lagrange, noi suy Newton

D i n h n g h i a 1 2 1 Cho V G Ri{X) , W G R\, Phàn té

N

u^^W'^-h.n vài ^iv/O; zu ,zj^ ekevV, (1.2.1)

m - l

dicqc ggi làV~ da thuc bac N — l

Xét bài toàn noi suy t o n g q u à t ( B T N S T Q ) sau day:

Gho n t a p hiru han J^;, (z = 1 , , n) càc so nguyén khòng ani v à i #7^ — r,;,

ri + • • • + rn = N Tini w là ì/ - d a t h u c bac A^ - 1 t h ò a m a n TV diéu kien sau:

FiV^u^Uikvàìk^Ii, z = l, ,n; (1.2.2)

trong &ÓV eR, ( X ) , W e n^y\ {Fu , F„} e Tv^wa, ker V = ^ Z„ G e Gy

v=l

u n g vài W t h ò a m a n diéu kien Gzy = dyZy, Vzy G Zy, dy G /C va Uik G k e r ì /

d à elio ( T u e là, tini u tlióa m a n p h u a n g trinh V^u = 0 va FiV^u =

liik)-Khòng giàm tong q u à t , già su li = {kn, , kin} sao cho 0 < A:,:i < • • • <

Fi'''''^ •= (F,;F^^'^ F,;I/'^"'>V7, , FiV^'^W'^-'^), (1.2.11)

ò day A^ là m a t r a n clruyén vi cùa A

M e n h d e 1.2.1 Vói moi v G { 1 , , 5 } ; he càc vecta toàn tv: {F- ' ; i —

1 , , 77.; j — 1 , , , ri} xàc dinh bài (1.2.11) dgc lap tuyén tinh trén Zy khi va

chi khi rank G^"^ = N, à day G'^) duqc xàc dinh bài (1.2.8) - (1.2.10)

Chung minh Già s u rank G^^'^ = TV, t u e là he {G-^^' ; i — l , , n ; j =

1 , , r^} doc lap tuyén tfnh va già s u r a n g

Tir già thiét suy ra aij — 0; (?' = 1 , , 77.; j = 1, , r^) Vi vày he {F^ " ;

?* = 1 , , n; j = 1 , , r i } doc lap tuyén tinh trén Zỵ

Nguac lai, già SÚ he { F | '^\ i = 1 , , 7 Ì ; j = l , , r i } doc lap tuyén

tmh trén Zy và già sú rang

Tir già thiét suy ra QIJ = 0, (z = 1 , , r?; 7 — 1 , , r^) Dieu này chung tò he

{^It/ ' ?' = 1, - ,n; y == 1 , ,rj} doc lap tuyén tmh, hay rank G^''' — Ậ

Dinh ly 1.2.1 Vài m.oi v G { 1 , , 5 } Dieu kien càn và du de ì/^^'-' :=

det G^^^ ^ 0 là he {FiV^^^, z = 1 , , n; j — 1 , , r J dgc lap tuyén tinh trén

PNV{W) , à day

PNv{W)=ìm {W^Zy, ZyGZy, k = 0, , N ~ l} (1.2.12)

Chiing minh Già su VJ;^^ ^ 0 Tir Menh de 1.2.1 suy ra he vecto toàn t u

{Fi ' , z = 1 , ,77.; j = 1 , , r i } doc lap tuyén tmh trén Zy và già sii*

n ri

J2 E ^rjFiy^"^v = 0, V.T, G PNV{W)

1 = 1 j=l

Khi do vài moi ?77., (1 < T??. < A^), ta co

Theo già thiét suy ra a^ = 0, z = 1 , , n; j = 1 , , rj

Vay he {FI^''\ 7 = 1 , , T?.; j = 1 , , r^} doc lap tuyén tinh trén Zy

Nguac lai, già sii' he {F,:ì/^^^ i = l, ,n] j = l , , r , ; } doc lap tuyén tinh trén F7Vi;(ìl^) và vài moi m (1 < m < A^) ta co

Vay he ( F / '^ , ?' = 1 , , r?.; j = l , , r ; : } doc lap tuyén tmh trén Z,, Tir Menh de 1.2.1 suy ra ì/^'^ ^ 0

Tii' Menh de 1.2.1 và Dinh ly 1.2.1 ta co két qua sau day:

Dinh ly 1.2.2 Cho V G Ri{X), k e r ì / = 0 Z^, toàn tu ban dau trai G cua

v=l

V ung vai W G 7?,[P thòa m.àn Gzy ^ dyZ^, iyz„ G Zy) và he toàn tu ban dau phài { F i , ,Fn} cria V co tinh chat CG'(Ì'Ì'^) ticang ling vài bó khóng gian con Z i , , Z , 5 cua kerì/ Dieu kien càn và du de BTNSTQ co nghiem duy nhat là he {FiV^^^, i = l, ,r?.; j = l , , r y } dgc lap tuyén tinh trén mói PNU{W)^ (f — 1, , 5) Néu dieu kien này thòa m.àn thi nghiem duy nhat cua BTNSTQ co dang

uiv := Uiki^y vàil = ro + ' - • + r,:_i + ,7, ro ^ 0

Chung minh Nghiem cua BTNSTQ co dang

s N

"• =

EE^"'"'^"'-V=l 777,= 1

a day Zyy, ., zj^jy, (y = 1, , 5) xàc dinh boi he (1.2.7) Theo già thiét, dinh

thuc ì/^' cua he (1.2.7) khàc 0 Do vay, theo còng thuc Grame, ta co

1 ^

Z = —— Vf-lì''^''"y^''^/;

V^ 1^1

Tini u là V~ d a t h u c bac N—l t h ò a m a n TV diéu kien

FiV^u = Uij, (z = l , , n ; j = 0 , , r i - 1, r i + h r,, = A^)

ò d a y F i , , F;i là càc toàn t u b a n d a u phài c u a ì/, Uij G ker V

H e q u a 1 2 1 Già su càc già thiét cua Dinh ly 1.2.2 duqc thòa man Khi

do BTNSH co nghiem duy nhat khi và chi khi he càc toàn tu {F^ì/^, z —

1 , , 72; j = 0 , , Tj — 1} dgc lap tuyén tinh trén mdi PNV{W)^ f = 1 , , 5

Néu dieu kien này dicqc thòa man thi nghiem duy nhat cua BTNSH co dang

(1.2.13), (1.2.14)^ trong dò V^ là dinh thuc cda ma tran tao thành bang càch

gach bó trong G^"^ dòng thu l và cót thu ni, (i, ni = 1 , , A ' ' ) , vài G^^^ xàc dinh bòi

^iv '•— (O5 • • • ) 0 , C j O y , C ^ i ^ ; , ,Ci(^J^_k _ly^J),

j SOO

r ~ rr^W r^(i) Mri-l)^T

G '-~ {GiyjG2vì • ' • ìGnv) )

và càc phàn tic n\v, - • • ,'^ÌNV dicqc xàc dinh nhic sau

U{j'^i)v '= '^ijv w z 7 = 0 , , ri - 1;

U(^rx-\-j-^i)x, '= U2jv w z j = 0 , , r 2 - 1;

'^^(7'i+r2 + + r , , _ i + j - f l)t; •— ^^'77.ju ^<^2 J = U, , r^, — 1

b) Bài toàn noi suy Lagrange

Néu li = {0}, (z = 1, , n ) , thi ta co bài toàn noi suy Lagrange (BTNSL)

sau day:

Tini 7/ là V- da thuc bac n — 1 thòa man n diéu kien

FiU = Ui] z =: 1 , , n ;

o day { F i , , Fn} C F\/ly^ là càc toàn t u ban dau phài cua ì/, Ui G ker V

H e qua 1.2.2 Già su: càc già thiét cua Dinh ly 1.2.2 duqc thòa man Khi dò

BTNSL co nghiem duy nhat khi và chi khi he càc toàn tu { F i , , Fn} dgc lap

tuyén tinh trén m.ói Pnv{W), (f ~ 1 , ,5) Néu dieu kien này dicqc thòa man

thi nghiem duy nhat cua BTNSL co dang

dòng thu j và cót thii k, vói G'^^ xàc dinh bài

G ^ := (Giy, G s u , , Gnv)

e) Bài toàn noi s u y New^ton

Nèu li = { z - l } , ( z = - l , - , n ) , thi ta co bài toàn noi suy Newton (BTNSN)

sau day:

Tìm u là V- da thuc bac n - l thòa man n diéu kien

FiV'^'u = tH; z = l , , n ;

a day { F i , , , F^j} C J^V,WG 5 ^^ ^ k^^' ^ ^^o truóc

H e qua 1.2.3 Gza su càc già thiét cua Dinh ly 1.2.2 dicqc thòa m.àn Khi dà

BTNSN co nghiem duy nhat khi và chi khi he càc toàn tri {FiV^-~\ z ~ 1 , , n}

dgc lap tuyén tmh trén m.oi PnvO^)^ v = 1,., ,s Néu dieu kien này duqc thòa

m.àn thi nghiem duy nhat aia BTNSN cà dang (1.2.15), (1.2.16), trong dà VJ^,^^

là dinh thuc cua m.a tran tao thành bang càch ggch bò trong G^^^ dòng thu j và

cót thù k, vói G^"^ xàc dinh bài

^iv -^^ l ^ ) • • • ) ^5 ^iOvì ^i]v> • ' ' ) ^i{n — i)vì )

i-l SOO

G^''-* :— (Gitj, G21M • • • 1 Gnv) •

Truò'ng hop he toàn tu ban dau phài { F i , , , F„,} cua V co tinh chat c{W) ta

nhan duac càc két qua sau:

Dinh ly 1.2.3, Già su V G R\{X), toàn tu ban dau trai G cua V ung vói

W G Ry thòa m.àn Gz = dz, {d e IC, V ^ G kerì/) và he toàn tu ban dau phài

{ F i , , F,,} cita V co tinh chat c{W) Khi do BTNSTQ co nghiem duy nhat

khi và chi khi he {F^ì/^'^, z = 1 , , n; j — 1 , , r^} dgc lap tuyén tinh trén

PNÌW). Néu dieu kien này thòa m.àn thi nghiem duy nhat cua BTNSTQ co

trong dò V^f,,,, là dinh thiìc cxìa m.a tran tao thành bang càch ggch bò trong G dòng thu l và còt thu ni, (/, m = 1 , , TV), vói G xàc dinh bài

và càc phàn tu ? / ] , , ìip^ duqc xàc dinh nhu sau:

Ui •= Uif^, vói l = ro-\ + r i _ i + j , ro : = 0

H e q u a 1.2.4 Già su càc già thiét aia Dinh ly 1.2.3 dicqc thòa m.àn Khi

do BTNSH co nghiem duy nhat khi và chi khi he càc toàn té {F^ì/-^, z =

1 , , 77,; j = 0 , , ri — 1} dgc lap tuyén tinh trén mói Pp^{W) Néu diéu kien

này dicqc thòa m.àn thi nghiem, duy nhat cua BTNSH co dang (1.2.17), (1,2.18), trong dà ì/^^^, là dinh thiìc cua m.a tran tao thành bang càch ggch bò trong G dòng thu l và cót thu ni, (/, r?z == 1 , , TV), vói G xàc dinh bài

Wn+ +7',_i+i+i :== linj vói j = 0 , ,r„, - 1

H e q u a 1.2.5 Gza sic càc già thiét cua Dinh ly 1.2.3 ditqc thòa m.àn Khi dò

BTNSL co nghiem duy nhat khi và chi khi he càc toàn tu {F-\, , F,,} dgc lap

tuyén tinh trén ^,,(11-^) Néu dieu kièn này dxcqc thòa m.àn thi nghiem duy nhat

trong dò ì/„.^.^ là dinh thuc cria m.a tran tao thành bang càch ggch bò trong G

dòng thìì j và cót thu k, vói G xàc dinh bài

Giy '.— ( C J O , C Ì I , , , C j ( , t _ i ) ) ,

G := ( G Ì , G2, • , Gn) T

H e q u a 1.2,6 Già su càc già thiét cita Dinh ly 1.2.3 duqc thòa m.àn Khi dà

BTNSN co nghiem duy nhat khi và chi khi he càc toàn tu {F^ì/^"^, z — 1 , , n }

dgc làp tuyén tinh trén Pn{W) Néu dieu kien này duqc thòa m.àn thi nghiem

duy nhat cita BTNSN co dang (1.2.19), (1.2.20), trong dò Vn,, là dinh thuc cua

m.a tran tao thành bang càch ggch bò trong G dòng thiì j và cót thu k, vói G

xàc dinh bài

GÌ := ( 0 , , 0 , C i o , Q i , ,Ci(^_,:)),

7 - 1 SOO

G := (Gj , G 2 , , Gn)

C h i i y 1 2 1 Trong truò'ng h g p dim kevV = 5, (0 < 5 < + 0 0 ) , B T N S T Q

sinh bai toàn t u khà nghich phài suy rong V dòi vói he toàn t u ban d a u phài

khóng dòi hòi thòa man tfnh chat c(ÌT'^) hoac ca{W) d à ducrc giài q u y é t (xeni

Dinh ly 1.3.1 Cho V G Ri{X), dim k e r ì / 7^ 0, dim cokerì/ 7^ 0, 14^ G R.\^^ và

G G ^\/ ung vói W Dieu kien can và du de Phuang trinh (1.3.2) co nghiem là

Gy = 0 Néu dieu kien này thòa m.àn thi càc nghiem cria (1.3.2) co dang

Nguac lai, néu Gy — 0 thi y — VWy — V^W^ỵ Suy ra x — W^y là mot

nghiem cda (1.3.2) Khi dò V^x = V^W^y nen x = W^y + z, z e ker V ^

Theo He qua (1,1.3) suy ra nghiem cua Phuang trình (1.3.2) co dang (1.3.3)

Ky hieu

N N

Q{V) :=J2BJV^^ Qil^V) :=J2BJW^-^^ (1.3.4)

j=0 j=0

a day Bj G Lo{X), X^.j C dom Bj, BjXp^.j C X^, j - 0 , , Ậ

M e n h de 1.3.1 Cho V G Ri{X), W G R^y\ Q{V) và Q{I,W) duqc xàc

dinh bài (1.3.4) Khi dò ta co X^ C doni Q{V), Q{V)XM C X^, ( / +

W'^Q{V))X^^, C XN+^-, Q ( / , Ì Ì O - ^ C X,, (/ + Q{L W)) X, c Y,

Chung minh Truac hét chi ra rang V^Xj^i C Xj^^j, {j = 0 , , TV)

That vày, néu j = 0 hoac j = N thi Xj\f C Xi^ hoac V^Xpj e X

N é u l <j<N-ìvèixe Xpj theo He qua 1.1.3 ton tai ,To G I n i ì / ^ , 20, • •-,

2/v-i G ker ì/ sao cho

N - l

X=: VI/^Xơ

J]^^''''^fc-Suy ra

N-l VJx = W^-''xo-\- J2 W^-^Zk-\-VWzj - •

XN-D i n h n g h i a 1.3.1 Toàn tu A G L{X) làn hcqt duqc ggi là khà nghich phài,

khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén X^, {k G IN) néu

Xk C doni A, AXk C Xk tuang ring ton tai RA € RA, LA G CA, WA G WA

và MA G R-A n HA sao cho RAK^ C Xk , LAX^ C X^, WAX^ C X^ và MAX^ C X,

Tir dinh nghia này suy ra néu A làn l u g t là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy rong và khà nghich trèn X ^ , {k G IN) thi A t u a n g u n g là

khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy rong và khà nghich

M e n h d e 1.3.2 Néu tdt cà già thiét cita Menh de 1.3.1 dicqc thòa m.àn, thi

toàn tic I + Q{I, W) - Bi^G làn hcqt là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén Xk vói k E IN khi và chi khi I + W^Q{V) ticang icng là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén X^^^k, à day G E Qy itng vói W

RQ e ^/+g(v)H"v sao cho BQXk C Xk và (/ + Q{V)W'')BQ = I Ky hieu

RQ = I-W^RQQ{V). De thày i?^ xàc dinh trén X;v+fc và R'^Xj^^k C Xyv+fc Trén Xjsj^k ta co

{I+W''Q{V))R'^ = {I + W''Q{V)){I~W''RQQ{V))

= I + W''Q{V) ^ {I + W''Q{V))W''RQQ{V)

= / + W'^QiV) - W^{I + Q{V)W^)RQQ{V)

= 1 + W^Q{V) - W^Q{V) = /

Vi vay / + W^Q{V) là khà nghich phài trén X/v+fc

Ngu'ac lai, già su' / + W'^Q{V) khà nghich phài trén X/V+A,-, tire là ton tai

R"^ ^ ^7+ir'VQ(r) sa° ^1^° R'^Xr.+k C X;v+;^- và {I + WQ{V))R'^ = / Ky hieu RQ •= I - Q{V)R^W^ Néu r € Xk thi u = W^x G X/V+A:, y = R^^u G

VI vày / + Q(I, W) — BjsfG là khà nghich phài trén X^

Hoàn toàn chiVng minh t u a n g tu cho càc tru'àng hap con lai cua Ménh de

1.3.2

Dat A: = 0 trong Ménh de 1.3.2, ta nhan duac càc he qua sau:

H e qua 1.3.1 Già su tdt cà già thiét cua Ménh de 1.3.1 duqc thòa m.àn Khi

dò toàn tu I + Q{L,W) — Bj^G làn hcqt là khà nghich phài, khà nghich trai,

khà nghich suy róng và khà nghich khi và chi khi I -\- W^Q{V) tuang ung là

khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén X/v

H e qua 1.3.2 Già su tdt ed già thiét cua Ménh de 1.3.1 duqc thòa m.àn Khi

dà , néu I + Q ( / , ìì^) - Bj^/G khà nghich thi phuang trinh

N I-^W^Q{V))x = y, yeXr,^

cà nghiem duy nhdt thuóc X^^

Bay giò- ta xét két qua chmh cua Phuang trình (1.3.1)

Dinh ly 1.3.2 Cho V G Ri{X), W G R\^^ và Q[V] xàc dinh bài (1.3.1)

Khi do Phuang trinh (1.3.1) co nghiem khi và chi khi ton tai ^o, - • •, ^y\/-f-N-] G

ker V sao cho

M-^N-l IT/A/+^^+ J2 Whje{L + W^Q{A))Xy, (1.3.8)

i) Néu Q{A) e R{X) và RQ G RQ{A) ihì càc nghiem cua Phuang trinh

(1.3.1) co dang

M-l-N-l X=(L~ W'^RQQÌA)) (W^'^'^y + Y "''^^^•) + ^- (^-^-^^

j=0 Chung minh Phuang trình (1.3.1) co nghiem khi và chi khi ton tai x G XM-\^N