b) Tfnh chat CG{W)
1.2. Càc còng thiic nói suy co* bàn
Trong m u c này, chung t a de cap dén càch giài bài toàn noi suy tong q u à t
sinh b à i toàn t u khà nghich phài suy róng V vài he toàn t u ban dau phài co tfnh c h a t c{W) hoac CG{W). Tir d o xày d u n g d u a c càc còng t h u c noi suy co bàn doi v à i bài toàn noi suy Hermite, noi suy Lagrange, noi suy Newton.
D i n h n g h i a 1 . 2 . 1 . Cho V G Ri{X) , W G R\,. Phàn té
N
u^^W'^-h.n vài ^iv/O; zụ..,zj^ ekevV, (1.2.1)
m - l
dicqc ggi làV~ da thuc bac N — l.
Xét bài toàn noi suy t o n g q u à t ( B T N S T Q ) sau day:
Gho n t a p hiru han J^;, (z = 1 , . . . , n) càc so nguyén khòng ani v à i #7^ — r,;,
ri + • • • + rn = N. Tini w là ì/ - d a t h u c bac  - 1 t h ò a m a n TV diéu kien sau:
FiV^u^Uikvàìk^Ii, z = l,...,n; (1.2.2)
trong &ÓV eR, ( X ) , W e n^y\ {Fụ.., F„} e Tv^wa, ker V = ^ Z„ G e Gy
v=l
u n g vài W t h ò a m a n diéu kien Gzy = dyZy, Vzy G Zy, dy G /C va Uik G k e r ì / d à eliọ ( T u e là, tini u tlióa m a n p h u a n g trinh V^u = 0 va FiV^u = liik)-
Khòng giàm tong q u à t , già su li = {kn,..., kin} sao cho 0 < A:,:i < • • • < • ki,.,; ?: = l , . . . , n . Khi d o (1.2.2) co dang FiV''<^u = Uik,,, ?: = l , . . . , n ; j = l,...,rị (1.2.3) Do k e r ì / = 0 Z^ va Uik.j, Zm ^ k e r ì / nén t ; = l s u^fc,, = ^ w , i f c , , - . , y-ik^.v^Zy, 7 : - l , . . . , n ; (L2.4) v=l s = ^ 2 ™ . « , Zn,.v<^Z,, m=l,...,N. (1.2.5) 771- V=l
Viét d a t h u c càn tini (1.2.1) d u à i dang
N s N
m = l v=l m=l
D o GZrr,,, = d„Z,nv, ^ Zmv G ^ t ; , G' G ^ U , { i ^ l , • • • , ^^n.} C J^VAVG " é n
FiW'^2„,,, = Cifc,2^„, F,VWz,nv = VWz^,, = (1 - d„)2.,,., k e N. (1.2.6)
Néu kij = 0 thi
s W s N
F,y^'<^U = F,U = Y1Y^ FiW^^-^Zrnv =^Y^ C,;(,„_ i )„ 2„, „ .
v=l 7rj.= l i ' = J m, = l
Néu /cij > 1 thi
s N s N
i j = l m.= l |J=] r7?.= Â,j + l
Tir diéu kien (1.2.3) va càc d a n g t h u c trén ta co
N
^ Ci(m-k,j-i)vZm.v^yik,jv, ìi = l , . . . , n ; j = l , . . . , r i . (1-2.7)
Ky hieu
^iv^ •— (Oj • • • )0,c,:ô,Cjiy,... .c'i^N-kij-i)!))-, (1.2.8)
kij s o 0
Gị:={Gt'\Gt'\---.G^^'V, (1-2.9)
G ( " ' : = ( G i . , G 2 , „ . . . , G ' n J ' ^ , (1-2-10)
Fí''''^ •= (F,;F^^'^ F,;I/'^"'>V7,..., FiV^'^W'^-'^), (1.2.11)
ò day  là m a t r a n clruyén vi cùa Ạ
M e n h d e 1.2.1. Vói moi v G { 1 , . . . , 5 } ; he càc vecta toàn tv: {F- ' ; i — 1 , . . . , 77.; j — 1 , . . , , ri} xàc dinh bài (1.2.11) dgc lap tuyén tinh trén Zy khi va
chi khi rank G^"^ = N, à day G'^) duqc xàc dinh bài (1.2.8) - (1.2.10).
Chung minh. Già s u rank G^^'^ = TV, t u e là he {G-^^' ; i — l , . . . , n ; j =
1 , . . . , r^} doc lap tuyén tfnh va già s u r a n g
V—^ V—^ "^ K'^ij)
2_^2i^^ijFi ^rnv = 0 , yZm.y G Zy, aij G IC.
i=l j = l
Tir do vài mòi ni co dinh (1 < ni < N)^ t a co
J ^ J]a,:,-Fiì/^^^PK^"-^2^., = 0, \fzmy G Z,.
i = i j=i
Theo (1.2.6), vài moi Zm.^) G Z^, /?„i G /C, m = 1 , . . . , Â", t a co
r7^=l i = l j = l ?!=! j = l T n = l
n Vi N
= ZIYI^'J A2 l^m.^i(m-kij-l)vZm.v = 0 v à i C,:o,; = 1 - rf,,. i=l j=l Tn=kij-\-l
Do z^r,,y G Z(, và /3,^j. G IC tuy y, nén
EE"vCi(m-fco-i)- = 0 ^ EÊv^^i"^ = 0-
Tir già thiét suy ra aij — 0; (?' = 1 , . . . , 77.; j = 1,.. ., r^). Vi vày he {F^ " ; ?* = 1 , . . . , n; j = 1 , . . . , r i } doc lap tuyén tinh trén Zỵ
Nguac lai, già SÚ he { F | '^\ i = 1 , . . . , 7 Ì ; j = l , . . . , r i } doc lap tuyén tmh trén Zy và già sú rang E E ^ i i ^ S ^ ^ ^ o , aij eiẹ i=l j=l liay là n l'i Y^Y^aijCnni-k.j-i)v = 0, w. = ì,...,N. r = l j = l
Vi dim Zy / 0, nén dang thuc trén tuong duang vài
n ri
/ ^ / ^^ij^i(m~kiĩl)v^m.v ^^ ^) ^ ^mv G /jỵ i=l 3 = 1 i=l 3 = 1
Theo (1.2.6), dàng thuc trén co the viét duài dang sau
n Vi
(kij)
/ j / ^ ^ij-^i ^rnv — O, V Zniy fc ^y i=l j=l
Tir già thiét suy ra QIJ = 0, (z = 1 , . . . , r?; 7 — 1 , . . . , r^). Dieu này chung tò he {^It/ ' ?' = 1,. -. ,n; y == 1 , . . . ,rj} doc lap tuyén tmh, hay rank G^''' — Ậ
Dinh ly 1.2.1. Vài m.oi v G { 1 , . . . , 5 } . Dieu kien càn và du de ì/^^'-' :=
det G^^^ ^ 0 là he {FiV^^^, z = 1 , . . . , n; j — 1 , . . . , r J dgc lap tuyén tinh trén
PNV{W) , à day
PNv{W)=ìm {W^Zy, ZyGZy, k = 0,..., N ~ l} . (1.2.12) Chiing minh. Già su VJ;^^ ^ 0. Tir Menh de 1.2.1 suy ra he vecto toàn t u
{Fi ' , z = 1 , . . . ,77.; j = 1 , . . . , r i } doc lap tuyén tmh trén Zy và già sii*
n ri
J2 E ^rjFiy^"^v = 0, V.T, G PNV{W).
Khi do vài moi ?77., (1 < T??. < Â), ta co 71 7'i J ] J ^ a i j F , ì / ^ ^ > ì y ^ - ^ ^ „ , , , = 0, yz,n. G Zỵ i=i j=i Tir dò dàn dén 71 Ti i = l j = l
Theo già thiét suy ra â = 0, z = 1 , . . . , n; j = 1 , . . . , rj.
Vay he {FI^''\ 7 = 1 , . . . , T?.; j = 1 , . . . , r^} doc lap tuyén tinh trén Zỵ
Nguac lai, già sií he {F,:ì/^^^ i = l,... ,n] j = l , . . . , r , ; } doc lap tuyén tinh trén F7Vi;(ìl^) và vài moi m. (1 < m < Â) ta co
71 ri
E E ^ij^i Zmv = 0 v à i V Zmv ^ Zy, aij G IC.
7 = 1 J = l Suy ra 71 7- Vi vày 7:=i j = i  71 ri E '^"^ E E " i i ^ i V ^ ' * ^ ' W ^ " ' ~ ' 2 m . = 0 v a i V A n e ^^ m.= l 7=1 j=l n ri N ^ E E <^ijFi^'" E An^^'"''^-. = 0. Ì=l j — l 771=1 Diéu dò co nghia là 71 ri J2J2^ijFiV^''^v - 0 vài V x^, G PNV{W). 1=1 j=i
Tir già thiét suy ra aij = 0, (z = 1 , . . . , TT; j = 1 , . . . ,ri).
Vay he ( F / '^ , ?' = 1 , . . . , r?.; j = l , . . . , r ; : } doc lap tuyén tmh trén Z,,. Tir Menh de 1.2.1 suy ra ì/^'^ ^ 0.
Tií Menh de 1.2.1 và Dinh ly 1.2.1 ta co két qua sau day:
Dinh ly 1.2.2. Cho V G Ri{X), k e r ì / = 0 Z^, toàn tu ban dau trai G cua
v=l
V ung vai W G 7?,[P thòa m.àn Gzy ^ dyZ^, iyz„ G Zy) và he toàn tu ban dau phài { F i , . . . ,Fn} cria V co tinh chat CG'(Ì'Ì'^) ticang ling vài bó khóng gian con Z i , . . . , Z , 5 cua kerì/. Dieu kien càn và du de BTNSTQ co nghiem. duy nhat là he {FiV^^^, i = l,...,r?.; j = l , . . . , r y } dgc lap tuyén tinh trén mói
PNU{W)^ (f — 1,.. ., 5). Néu dieu kien này thòa m.àn thi nghiem. duy nhat cua BTNSTQ co dang
v=l1=1
à day
^J^ 7 7 7 = 1
trong dò VJ^^ là dinh thuc cua m.a tran tao thành bang càch ggch bò trong G^'-'^ dòng thu l và còt thu ni, (/, r?7. = 1 , . . . , Â) và càc phàn tu u j ^ , . . . ^ iif^^ dicqc xàc dinh nhit sau
uiv := Uiki^y vàil = ro + ' - • + r,:_i + ,7, ro ^ 0.
Chung minh. Nghiem cua BTNSTQ co dang
s N
"• = EÊ"'"'^"'-
V=l 777,= 1
a day Zyy,. . ., zj^jy, (y = 1,.. ., 5) xàc dinh boi he (1.2.7). Theo già thiét, dinh
thuc ì/^' cua he (1.2.7) khàc 0. Do vay, theo còng thuc Grame, ta co
1 ^
Z = —— Vf-lì''^''"y^''^/;
Tir d ò suy ra N .. N -1 ^ V ^ / i \ / + 7nT/(^) u=j:^w-^-^j:i-iy^-v^:iu,,. ' u = l m = l ^N 1=1 -EEf7;I^E(-i)'"'"<i^^"^"0^^'^ v = l 1 = 1 \ ^N m = l / s N (v) = EE<^w-^- v=l/=1 Dinh ly d u o c c h u n g minh.
Ap dung Dinh ly 1.2.2 t a x é t m o t so bài toàn noi suy co dien ^ ^ . - o