VI vày /+ Q(I, W) — BjsfG là khà nghich phài trén X^.
2.1.Bài toàn già tri ban dau
Cho X là khòng gian tuyén tmh trén truàng Ạ", {K = C hoac ]R), V G ỉi(X), F và G làn lugt là toàn tu ban dau phài và trai cria V ung vài W E Ry . Xét bài toàn già tri ban dau (BTGTBD) doi vài toàn t u Q[V] sau day:
Tini nghiéni cua Phuang trình (2.0.1) thóa man càc diéu kien ban dau
FV^x^yj, yj ekerV, (./= 0 , . . . , M + Â - 1), (2.1.1) a day Gyj = 0, (j = 1,..., M ^ N - 1).
Dinh nghia 2.1.1. i) BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) duqc ggi là thiét làp dung
đn néu bài toàn này co nghiem. day nhat vài moi y G Q[V]XM^N; yo- • • •.-
ii) BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) dicqc ggi là thiét làp khóng diing đn néu ton taiye Q[V]XM^-N;yo: •••,yA/+/v-i GkerT/, Gyj - 0, (7 = 1 , . . . , M + Â - 1) sao cho bài toàn này vó nghiem. hoac bài toàn thuan nhat tuang ung (tue là y = yo = ' ' ' = yM-\-N-\ ~ 0) co nghiem. khóng tàm. thicàng.
Dinh nghia 2.1.2. Cho Q\V\ và Amn xàc dinh bòi (2.0.1) và (1.3.7). Ky hieu
M N M Q-ỴỴ ^^'^'^'"BrnnW^-'' - ^ PK ^^""'B^^TV G, (2.1.2) Q-ỴỴ ^^'^'^'"BrnnW^-'' - ^ PK ^^""'B^^TV G, (2.1.2) n?.=0 n—0 m = 0 khi n?, = 0, •^ ni n • M Àrnn ~ J^ FV'-'^'^'WÀku khi 777, - 1, . . . , M . ( 2 . 1 . 3 ) k^m
Khi do, I + Q duqc ggi là toàn tu giài cua BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1).
M e n h d e 2.1.1. Cho Q[V] và Bmn làn luqt xàc dinh bài (2.0.1) và (2.1.3).
Ky hieu M N Q:= J^T.^^'"''''''"'^"'"^" (2.1.4) m.=0 n=0 Khi dò ta co FV^{I + Q) = FV\ ( j - 0 , . . . , M + A ^ - 1 Chung minh. Néu j = 0 , . . . , Â — 1 thi
M N FV'{I + Q) = FV-^ + X^ X] FW''^-^-"-^BrnnV" = FV->, FV'{I + Q) = FV-^ + X^ X] FW''^-^-"-^BrnnV" = FV->, Néu j = N + i, {i = 0,...,M - 1) thi M N m - O n=0 M N M ^pyr^^i^ J2 ỴFV'-''^''''^'w(^Àm,n- J2 FV'~-'''^'WÀkn)v'' Tn=M-i n=0 M N k=Tn = Fv^+'+ J2 Ê^''"^^^'"^^^'^'''^'""^" ni — M — i n=0
M N
k=M — i n = 0
Menh d e 2.1.2. Cho Q xàc dinh bài {2 A A). Khi do, BTGTBD {2.0 A) ~{2.ì A)
thiét lap dung đn khi và chi khi I -\- Q khà nghich trèn XM-\-N -
Chung m.inh. Già sú BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) co nghiem. Tue là ton tai x G Xj\4-^j\! sao cho M N {v''^'' + EẾ"^'^nV")- = y m—o 71 = 0 M N Tn=l 7J = 0 Â M M - E E E W''+''-"'FV'^-"'-^'WÀknV^')x = y-J2 ^0"^"-^ Â M M N 7}. = 0 777 = 1 A:=7r7. 7 1 = 0 Ap dung Dinh ly 1.3.1, ta co M N N M M (/+ ỴỴ^V''^''-'''Àrr,.nV'' Y^Y^Ỵ W'''^"^-^ FV^-"^^' X 777.:=] 71 = 0 77.= 0 777.= 1 k = m N M-\-N-\ xWÀknV'')x = W ^ ^ + ^ ( y - X]^07,y".T) + X ] ^'^''^J^ ^j ^ k^í^- 77=0 j = 0 Tue là M + / V - 1 iI + Q)x = W''+''y+ J2 "^'^i-
Tir Menh de 2.1.1 suy ra
yo = Fx = F{I + Q)x = Fzo = Zo,
yj = FV'x = FV\I + Q)x = VWzj, {j = 1,... ,M + N - 1).
Do Gyj = 0 nèn yj = VWyj. Vi vay Wzj = Wpj + tj, tj G kerT/. Tir dó ta co
M + N-l M+N-l
Lai co
yo - Fx = F{I + Q)x = yo + ty^ti=0,
ỵ = FV^x = FV^{I+Q)x = VWzj + VWtj+i = yj + VWtj^u
(j = l , . . . , A f + A ^ - 2 ) .
Suy ra VWtj^y = 0. Vi vay, Wtj^i G k e r F và FWtj^^ = Wtj^^ - 0. Do
M + N - l
dó E WJ-^.j = 0. Vi vày BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) tuang duang vài
phuang trinh
M-\-N-l (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(/ + Q)x = W^^-^^y + X] ^^''yj- (2-1-5)
j=0
Néu A = — 1 là già tri riéng cua Q, thi phuang trinh thuan nhat tuang ung
{I + Q)x = 0 co nghiem khòng tam thuàng. Tue là BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1)
thiét lap khòng diing dàn và / + Q khòng khà nghich trén XM-\-N-
Già su A = —1 khòng là già tri riéng cua Q. Khi dó xày ra hai khà nàng (i) I + Q khòng khà nghich trén XM-\-N, tue là (/ + Q)XM-\-N 2 ^M-{-N và
(ii) I + Q khà nghich trén XM-\-N- Trong truàng hgp (i), Phuang trinh (2.1.5) co nghiem khi và chi khi
H/Â+^y+ Y, VF^y,-G(/ + Q)X,,+/v. (2-1-6)
Chon u G XM^N \ {I + Q)XM^N. V •= V^'^^u và y,- : - FV^u, (j = 0 , . . . , M + N-l). Theo còng thuc Taylor, ta co
i\/ + Ẫl A/ + N - 1
W^-^^y + J2 ^^''yj = W^^^^V^^^^u + Yl ^V'FVhi = ụ
Nhu vay BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thiét làp khÒng dung dan.
Trong t r u à n g hgp (ii), Phuang trinh (2.1.5) co nghiem duy nhat là
M+N-ì
.-r = (/ + Q)-i(iy^^+^y+ Ỵ ^^''y^
Tue là BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thiét lap dung dan. Menh de dugc chung ^ minh.
Dinh ly 2.1.1, BTGTBD (2.0.1) - (2,1.1) thiét lap dung dan khi và chi khi
toàn té giài I + Q khà nghich. Chiing minh. Ky hieu
M N
^- EÊ^'""'"^'""^"- (2-1-7)
m = 0 77=0
De thày / + Q = I ^ HW^ vk I ^Q = I-\-W^ H. Theo Dinh ly 1.1.1 và Menh de 1.3.2, I + Q khà nghich khi và chi khi I + Q khà nghich trén XAÌ+/V. Màt
khàc, theo Menh de 2.1.2, I + Q khà nghich trén XM+N khi và chi khi BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thiét lap diing dan.
Bay già, chiing t a co the dua ra dugc két qua chfnh cua BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1).
Dinh ly 2.1.2. Già sii Q, Q và H duqc cho làn luqt bài càc cóng thuc (2.1.2),
(2.1.4) và (2.1.7).
i) Néu toàn té giài I + Q khà nghich thi BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thiét làp dung đn và co nghiem. duy nhdt là
M-\-N-\
i=o
ii) Néu I+Q khà nghich phài và dim ker(/ + Q) ^ 0 thi BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thièt làp khóng dung đn. Han nùa, cdc nghiem cila bài toàn luón ton tai và co dang (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M+N-l
x=(l- WR-H) (w^^+^y + Yl ^'^'y^) + ^' (2.1.9)
iii) Néu I -\- Q khà nghich trai và dim coker(/ -^ Q) :^ 0 thi BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thiét lap khòng dung đn và co nghiem. duy nhdt khi và chi khi thòa man dieu kien (2.1,6). Khi dó nghiem. duy nhdt cua bài toàn co dang
= {l-W^L^H){w^^^y+ X: W-%)^ (2.1.10)
j=o
àdàyL^:=I-y + QL^Q,L^eC^^^.
iv) Néu I+Q khà nghich suy róng, d i m k e r ( / + ^ ) ^Q và dim coker(/+Q) ^^ 0 thi BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) thiét lap khóng dung dan và co nghiem khi và chi khi thòa m.àn dieu kien (2.1.6). Khi dó cdc nghiem. cua bài toàn co dang
M-\-N-ì
X =[l- W'W^H) [W'^^'^y + J2 ^''yj) + ^' (2-1-n)
à day W- :=I-Q + QW-Q, W- G W^^- và z e ker(/ + Q).
Chiing m.inh. Theo Menh de 2.1.2, BTGTBD (2.0.1) - (2.1.1) tuang duang vài
Phuang trinh (2.1.5). T u Dinh ly 1.1.1 suy ra
i) Néu I+Q khà nghich, thi I + Q khà nghich trén XM-]-N vk (I + Q)'^ = I - W^{I + Q)-^H, (/ + Q)~^XM^N C XM+N- Tir dó nhan dugc cÒng thuc (2.1.8).
ii) Néu I + Q khà nghich phài và dim ker(/ + Q) ^^ 0, thi I + Q khà nghich phài trén X^i^j\f. Theo Ménh de 13.2 trong [11], néu Bp- G 7? - thi Rp: := I — Q + QR-Q là mot nghich dào phài cua I + Q vk Rp-X^ C XM- DO
dó, RQ := / — W^R-H là nghich dào phài cua I + Q vk RQXM-\-N C XM^;^.
w
Tir dó nhan d u g c còng thuc (2.1.9).
iii) Néu I+Q khà nghich trai và dim coker {I+Q) ^ 0 thi I + Q cung chi khà nghich trai trén X^^j^ . T u dó, Phuang trình (2.1.5) giài dugc khi và chi khi diéu kien (2.1.6) dugc thòa man, Theo Menh de 13.2 trong [11], néu L- G ^-^,5 thi L- := I ^ Q + QL-Q là nghich dào trai cua / + Q và L-X^ C XM- DO
dó, LQ := I - W^LprH là nghich dào trai cua I + Q vk LQXM-\-N C XM-^N-
iv) Hoàn toàn chung minh tuang t u nhu (iii).
t
He q u a 2.1.1. Cho V G Ri{X), F và G làn luqt là toàn té ban dàu phài và trai cua V ung vói W G Hy . Ky hieu
Q{V):=ỴAnV\ H,:=J^A,,V\
7 1 = 0 71 = 0
N-l ; V - 1
Q, := J2 H/^^77l^", Qi : - J^ ^ n H ^ ^ ' " ,
n = 0 „ = 0
à day A„ e Lo{X), A;^ = I, ÂX^.^i C X^.
Xét bài toàn già tri ban dàu cho toàn tic Q{V) sau : Tìm x biét {Q{V)x = y,
{ (2.1.12) { FV^x = yj, j = 0,...,N-l; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ò day y thóa m.àn dieiL kién (1.3.15), yj € ker K (j = 0 , . . ., TV - 1); Gyj =
0 ( i = l , . . . , 7 V - l ) .
i) Néu I + Qi khd nghich thi BTGTBD (2.1.12) thiét làp dung dan và co nghiem duy nhdt là
N-l
x=^I-W''{I + Q,)~'H,)(w''y+J2 ^^^''yj)'
j=0
ii) Néu I+Q^ khd nghichphdi và dim k e r ( / + Q i ) ^ 0 thi BTGTBD (2.1.12) thiét lap khóng diing dan. Han nùa nghiem. cda bài toàn này luón ton tai và co dang
N-ì
x=^I- W'^R-^H,) {W^'y + X] H/^y,) + z.
j = 0
ò day R- G 7?. - và z e ker(/ + Qi).
iii) Néu I + Qi khd nghich trai và dim coker {I + Qi) ^ 0 thi BTGTBD (2.1.12) thiét lap khóng dung đn và co nghiem. duy nhdt khi và chi khi thòa man dieu kién
N-l
Khi do nghiem. duy nhat cua bài toàn này co dang
x=(l -W N
N-\
i=o
iv) Néu I + Qi khà nghich suy róng, dim ker(/ + Qi) ^Q và dim coker (/ + Qì) 7^ 0 thi BTGTBD (2.1.12) thiét lap khòng dung dan và co nghiem. néu dieu kien (2.1.13) dicqc thóa m.àn. Khi do càc nghiem. cua bài toàn này co dang
N~l
x=[l-^ W''W~^H,] (W^'y + Y, W^yA +
j = 0
à day W~ e W,~ và z e ker(/ + Qi).
H e qua 2.1.2. Cho V G Ri{X), F và G làn luqt là toàn tu ban dàu phài và
trai cùa V ring vài W G I^y • Ky hieu
N N-ì Q{V) := J2 y^n Q2 := E ^V^^-'^Bn, Q{V) := J2 y^n Q2 := E ^V^^-'^Bn, 7 1 = 0 77 = 0 ( AQ khi n = 0, Bn := 7 V - 1 An - J2 FV^~''^^WAk khin^l,...,N -1; k=0
à day Ar^ = / , An G Lo{X), AnXjsj C X„,
Xét bài toàn già tri ban dàu cho toàn tic Q{V) sau : Tìm. x biét (Q{V)x = y,
\ FV'x = yj, j - 0 , . - . , M - L
(2.1.14)
à day y thóa man dieu kién (1.3.17), yj G ker V, j = 0 , . . . , Â - 1 và Gyj = 0, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(j = l , . . . , A ^ - l ) .
i) Néu I + Q2 khd nghich thi BTGTBD (2.1.14) thiét lap diing đn và co nghiem. duy nhat là
N-l
ii) Néu I+Q2 khd nghich phài và dim kei{I+Q2) ^ 0 thi BTGTBD (2.1.14) • thiét làp khóng dung đn. Han nua, càc nghiem cua nò luón ton tai và co dang
N-ì
X = Rg^lw^'y + Y^W^yj^ + z,
à day RQ^ G 7ZJ-^Q^, Z G ker(/ + Q2).
iii) Néu I + Q2 khd nghich trai và dim coker (/ + ^2) / 0 thi BTGTBD (2.1.14) thiét làp khóng dung đn và co mot nghiem khi và chi khi thóa man dieu kien
N-l
Wy+ X ] W^yj G {I + Q2)XN- (2.1.15)
j=0
Khi do nghiem duy nhdt cua bài toàn này là
N~l
X = LQ, (W'^y + X ] W^yj) vói LQ, G CJ^Q,.
j = 0
iv) Néu I+ Q2 khà nghich suy róng, dim kex{I + Q2) ^Q và dim coker (7 +
Q2) / 0 thi BTGTBD (2.1.14) thiét lap khóng dung đn và co nghiem néu dieu
kien (2.1.15) duqc thóa man. Khi do càc nghiem cua bài toàn này co dang
N-l
X = WQ, (vF^y + J2 ^'yj) + ^'
j = 0
à day WQ, G W/+Q2 '^à z e ker(/ + Q2)-
Vi d u 2.1.1. Giài phuang trinh
t t
I è''^^^^^ + ^ / 'h''^'^^'^^ ^ ^^^^' A G e, i > 0, (2.1.16)
0 0
thòa man càc diéu kien
Xét càc toàn t u trén X sau day: {Vx){t):=x"{Q)~x"{-t), t U {Wx){t) :=- I fx(~v)dvdu + xiO)~, 0 0 {Fx){t) := x{0) + x'{0)t + x"{0)t, Neu dat D d di {Gx){t)-xiO). t
, ỉ - y , {Ax){t) = x{~t), thi V = RAD\ W = R^AD,
AR^ = R^A, AD^ = D^A, F^I- R^D\ G = ĨRD, = Ị De dàng Idem tra thay V G ỉj (X), W G 7?,, (X) và F, G lan Iircrt là toàn tu ban dau phài , trai cda V u-ng vói W, ker F = ìm{ì,t,t^}. Khi dó nghiem cda (2.1.16) - (2.1,17) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
chmh là nghiem cùa bài toàn già tri ban dàu sau day:
(iV^ + XV)x{t) = y{t), {Fx)it) = a + bt + c^-, (FVx){t) = dt-ê^.
Theo Dinh ly 2.1.2, BTGTBD (2.1.18) tuong tu-ong vói phrrong trình
' ( / + XW{I - FVW))x) (t) = W^y{t) + Wz: (t) + z,{t).
(2.1.18)
et et
a day 2o(0 ^ " + bt + —, zx{t) = dt - —. Toàn tir giài I + Q = I + X{I - FVW)W = / + XW = 1 + XR^AD. Do / + XADR^ = 1 + XAR,^, R^ e V{X), A là toàn tu- dai so và AR'^ = R'^A nèn AR'^ là toàn t u Volterra (xem [11]). Vi vay I+XAR"^ khà nghich, tire là I + Q khà nghich. Dàn den, BTGTBD (2.1.18)
co nghiem duy nhat là
x= (l - XW{I - XR^I + XAR^)-^AD){I ~ FVW) X
et^ dt^ et''