VI vày /+ Q(I, W) — BjsfG là khà nghich phài trén X^.
đn Bài toàn này co nghiem khi và chi khi thóa man dieu kièn (2.5.19) và càc nghiem co dang
nghiem co dang
M+N M+N
x= (l - {I - Env''W~K)E)(yM+N + E E d',,W^-'yk) + z, (2-5.21)
à day W- e W^^ - và z e ker(7 + E).
^Chiing m.inh. T h e o Menh de 2.5.3, B T G T B T Q (2.0.1) - (2.5.1) t u a n g d u a n g
vài p h u a n g trình (2.5.15). Tir Dinh ly 1.1.1 và Menh de 2.5.1, suy ra
i) Néu 7 + F k h à nghich, thi 7 + F khà nghich trèn XM+N và (7 + F ) ~ I =
7 - ( 7 - F + P K ^ ( 7 + È)-'K^ F . Tir do, B T G T B T Q (2.0.1) - (2.5.1) thiét lap
dung d a n và co nghiem duy n h a t dang (2.5.17).
ii) Néu 7 + F khà nghich phài và dim ker(7 + F ) ^ 0 thi 7 + F cung chi khà
nghich phài t r é n X M + / v v à 7?£: := I - {I - E-^W^ R-K)E, vói R- G7^^ - . Tir
do, B T G T B T Q (2.0.1) - (2.5.1) thiét lap khóng diing d a n và co nghiem dang (2.5.18).
iii) Néu 7 + F khà nghich trai và dim coker (7 + F ) 7^ 0 thi 7 + F cung chi
khà nghich trai t r é n XM^N và LE ~ I - {I ~ E-^W^L-K)E, vài L- G C^_^-.
Tir dó, B T G T B T Q (2.0.1) - (2.5.1) co nghiem khi và chi khi t h ó a man dieu kien (2.5.19). Vi vay, B T G T B T Q (2.0.1) - (2.5.1) thiét lap khÓng diing d a n và co nghiem d a n g (2.5.20).
iv) Néu 7 + F k h à nghich suy ròng, dim k e r ( 7 + F ) 7^ 0 và dim coker ( 7 + F ) 7^
0 thi I + E ciing chi khà nghich suy róng trén XM+N và WE := I - {I —
ÊW^W-K)E vài W- 6 W ^ ^ - . Tir do, B T G T B T Q (2.0.1)-(2.5.1) co nghiem
khi và chi khi t h ò a m a n dieu kien (2.5.19). Vi vay, B T G T B T Q (2.0.1) - (2.5.1) thiét lap khóng d u n g d a n và co nghiem dang (2.5.21).
Chu-ang III
M O T S O K É T Q u A V E T O A N T I >
K H À N G H I C H P H À I S U Y R Ò N G B A C C A O
Nói d u n g cua c h u a n g này de càp dén khài niem toàn t u khà nghich phài
suy róng bac fc, {k G TV). Trong muc 3.1, chiing tói trinh bay dinh nghia toàn t u khà nghich phài suy róng bac k, tir d o dan dén viec phàn làp càc toàn t u tuyén tinh trong L{X) theo dò khà nghich ciia no (khà nghich, khà nghich phài, khà
nghich phài suy rong, khà nghich phài suy ròng bac /e, (A: > 1) . . . ) . Trong muc 3.2, chiing tòi c h u n g minh diéu kien can và du de toàn tir dai so trong khòng
gian hiru han chiéu là t o à n t u khà nghich phài suy ròng bac k. Muc 3.3 d u a ra
dac t r u n g Volterra cua d a t h u c sinh bài toàn tú khà nghich phài suy róng bac
cao trong t r u à n g h g p he so h à n g hoac he so là toàn t u dai so giao hoàn vài V và W. Trong m u c 3.4 d u a ra càch giài mot so p h u a n g trình sinh bài toàn t u khà nghich phài suy ròng bac k.
3 . 1 . T o à n ti3f k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g b a c c a o
Già SÚ X là khòng gian t u y é n tinh trén t r u à n g so /C, /C = iR hoac /C — C . Ky hieu 7?(X), R.i{X), W{X) lan l u g t là t a p h g p càc toàn t u khà nghich phài, khà nghich p h à i suy róng, k h à nghich suy róng tàc dòng trong X (xem muc 1.1).
Dinh n g h i a 3.1.1.[13] Toàn té V e W{X) duqc ggi là khà nghich phài suy
ròng bac k,{k e N) néu ton tai W e Wy sao cho Im {VW - 7) C k e r y \ à day V^ ~ Ị Khi dó W duqc ggi là k- nghich dào phài suy róng cua V.
Ky hieu Rk{X) là t a p h g p càc toàn t u khà nghich phài suy róng bac k. Vài moi V e Rk{X), ky hieu 7^^ là t a p h g p t a t cà càc k-nghich dào phài suy rong cua V. T u e là
n'y = {WeL{X): VWV = V, V'^'W = V'}, (3.1.1)
Dac biet, khi A: - 1 t a qui u à c ggi Ri{X) là t a p h g p càc toàn t u khà nghich phài suy ròng (xem c h u a n g I), khi A; = 0 qui u à c ggi Ro{X) := R{X) là t à p h g p
Tir càc dinh nghia 1.1.1, 1.1.3, 1.1.4 và 3.1.1 de dàng suy ra càc bao hàm thuc sau:
R{X) = Ro{X) e R,{X) e B.2ÌX) e . . . e Rk{X) e IF(X). (3.1.2)
Menh d e 3.1.1. Cho V e Rk{X) vàW e W^. Khi dó vói m.,n e N, vi > k,
ta co:
\v'W"-"'+' kh.in>m-k. ^ ^ ^ Ghung minh. Ta co
ò day r = min(r??. — A:,n).
i) Néu n < m. - k thi r = min(r??. - k,n) = n, nén
ii) Néu n > m — Á: thi r = min(r?7 — k^n) = ni — A:, nén
Y^+V^ _ y m - ( m . - f c ) T | ^ n - ( m - f c ) _. ykjyn-ni + k
Dinh ly 3 . 1 . 1 . C/?.o V e Rk{X) và WQ e 7ệ. i)ièw A;?:én car?. và du de W là k-nghich dào phài suy ròng cua V là ton tai A G L{X) sao cho Im A C kerV^'^"'"^, Im V C dom A và
W = Wo + Ã WOVAVWQ, (3.1.4)
Chung m.inh. Néu W dugc cho bài (3.1.4) thi T/'^+U - 0, V^^^WQ = V ^
VWQV = V, Khi do ta co
VWV = VWV + VAV - VWQVAVWQV = V + VAV - VAV = V,
V^-^HV - V^^HVo + V^-^^A - V^^^WoVAVWo = V^- V^^UVWo = V'. VkyVeRkiX).
Nguac lai, già su Wo, W G 7?,^. Dat A = W - WQ. Tir dó suy ra V'^+^A = • yfc+i (]y - Wo) = V" - ¥>" = 0, nghia là Im ^ C ker V'+^lmV e dom Ạ Mat
khàc, tvcVWV = V và y i ^ o l ^ = ^ suy ra
Wo + A- WoVAVWo = Wo + W - Wo - WoV{W - Wo)VWo = W.
Dinh ly du-ccc chirng minh.
Sau day chung ta nghién cii-u Dinh ly 1.1.1 cho truàng hap / + AB là toàn
tii" khà nghich phài suy ròng bàc A;
Dinh ly 3.1.2. Già su A,B e L{X) sao cho Im A C dom B và Im B C dom Ạ Khi dó I + AB G Rk{X) khi và chi khi I + BA e Rk{X). Han nùa, néu WAB e n^i+AB, thi
WBA = I-BWABÂn)^sA-