VI vày /+ Q(I, W) — BjsfG là khà nghich phài trén X^.
2.2. Bài toàn già tri bién ce/ bcàn
Xét bài toàn già tri bién c a bàn ( B T G T B C B ) doi vai toàn t u Q[V] sau: Cho V G Rì{X), W G 7?.|,, F Q , . . . , FM^M-Ì là càc toàn t u ban dàu phài
khàc nhau cua V co tfnh chat c{W) và doc lap tuyén tinh trén F A / + W ( I 1 ' ) vai
P^j^r,{W):=\in{W^z, k = 0,,.. ,M + N - 1; ^ G k e r F } .
Tini nghiem cua P h u a n g trinh (2.0.1) thóa man càc dieu kien bién
FiX =yu yi G k e r F (z = 0 , . . . , Af + Â - 1). (2.2.1)
D i n h n g l i l a 2 . 2 . 1 .
i) BTGTBCB (2.0.1) — (2.2.1) dicqc ggi là thiét lap dung dan néu bài toàn này co nghiem. duy nhat vài mói y G Q[V]XM-^J\J; yo,..., T/M+AT-I G ker V.
ii) BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) duqc ggi là thiét làp khóng dung đn néu ton tai y G Q[V]XM-\-N,' yo, • • • i yM-\-N-i ^ k^í ^ sao cho bài toàn này khóng co
nghiem. hoac bài toàn thuàn nhdt tuang ung co nghiem. khóng tàm- thuàng.
Do Fi G T\\\y nén ton tai djj G K. sao cho
FiW^z -=dijz, v a i moi z G ker K, ?:, j = - 0 , . . . , M + Â - 1. (2.2.2)
Ky hieu
GM^N '•= {dij)ij=:zO,...,M-\-N-i- (2.2.3)
Theo Dinh ly 1.1.7, He {Fo, -. ., F M + A ^ - I } cioè lap tuyén t m h trén PM-^N{W)
nén GM-\-N k h à nghich. Ky hieu ^If-ì-N '"^ ('^jA;)j,/c-0....,M + N - l , (2.2.4) A/ + N - 1 M + N-] M N ^••={^- H E d',,\V^F,) ^ J2 W''+''-"'À,„„V'\ (2.2.5) j = 0 A—0 rn=On=0 y\/ j\f M + N - l M + N - l m = 0 n=0 J = 0 ^^=0 M N ^^ È:=J2È W-^'^B^r^nW'^-'' - Ỵ ÀmNG, (2.2.7)
M-^N~1 M-l-N-1 Ạ/ + N - 1
Brr^n '•= Amn[l - J ] J^ d'j },W ^ ~''F^.VW' + ^ < , G I F " ) . ( 2 . 2 . 8 ) j = n k=0 k = 0
ò day Amn xàc dinh bai (1.3.7).
Dinh nghia 2.2.2. Cho toàn ti} È xàc dinh bài (2.2.7). Toàn tic I + È duqc
ggi là toàn tu giài cua BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1).
Menh d e 2.2.1. Cho E và È xàc dinh bài (2.2.5) và (2.2.7). Khi dó, toàn
té I + E làn hcqt là khà nghich phài, khd nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich khi và chi khi toàn tic giài I + E tuang ung là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich. Han nùa, néu R- G "T^-r, ??
thi
R E : = I - { I - E+W^R~K)E G TZI+Ẹ
L E : = I - { I - E+W''L~K)E G JCJ+E,
\VE ~ I - { I - E+W''WgK)E G Wj+E,
(/ + E)-^ •.= I-{I- E+W^{I + È)-^K)E e TZj+E n Cr+E
à day M + N-\ M + N-l E+:=I- Ỵ E ^'jkW'F,, (2.2.9) j=0 k=0 M N K:=ỴT. W''-'"AmnV''. (2.2.10) jn=On=0
Chung m.inh. Ky hieu
M N
E- •.^ỴỴ W^''-"'À^.,X'. (2.2.11)
m = 0 71=0
Tir già thiet ve càc he so A,„„, de thày I + E e L{XM+N), I + EO G L{XI\, + N),
E = E+E-, Eo = E-E+ = W^KE+ và È = KE+W^. Theo Dinh ly 1.1.1, toàn t u / + ^ khà nghich phài khi và chi khi toàn tu I + Eo khà nghich phài và
phài khi và chi khi toàn tu I+E khà nghich phài và Ri^ = I-ÊR,Ê^Ẽ G 7^/ + /? . vai REO ^ Rj-^Eo- Vi vày
R E = I - Ê{I - W^R-KÊ)E- = I - {I - ÊW^R-K)Ẹ
Hoàn toàn lap luan túang tu, ta chiíng minh duac càc truàng hap con lai cua Menh de 2.2.1.
M e n h d e 2.2.2. Cho E xàc dinh bài (2.2.5), he {FQ, . . . , F M + / V - I } C Ty^w và dgc làp tuyén tinh trén. PM-\-N{W). Khi dó
Fi{I + E)x = FiX vài mgi x G X^;+/v, (^ = 0 , . . . , 7\/ + N - 1). Chung minh. Vài ?. = 0 , . . . , ilf + A/" - 1, ta co
Fi{I + E)x - Fi{I + ÊW^K)x
M^N-ì M + N - l ^FiX + FiW'^Kx- Ỵ Z r/;.,F,H/^'F,.Vl/^KT M + N - l M + N - l = F,x + F,W''Kx- Ỵ ( E d,jd!^^F,W''Kx k=0 j - O A / + N - 1 = FiX + F^W''Kx- J2 ^rkFkWKx fc=0
= FiX + FiW'^Kx - F.W^Kx = FiX.
Ménh de duoc chung minh.
M é n h d e 2.2.3. Cho E xàc dinh bài (2.2.5). Khi dó, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thièt lap dung đn khi và chi khi I + E khà nghich trén XM+N.
Chung minh. Già su BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) co nghiem. Tue là ton tai
.T G Xy\/+Af sao cho
M N
(V'''' + ^ + E E V"'^rnnV")x = y
M N Mi-N-1 M + N-ì rn^ 771 = 1 n=0 j=o ^.^0 M N /V X E E ^V''^''-À„>nV-)x = y - ^ io,, V",.. m.=0 n=0 yi^o
Tir Dinh ly 1.2.1 suy ra
^i N M + N - l A/ + N - ] Á/ /V ^+EẾ^'''''''"^--^"- E E ^'jk^v^F^YÈ^^'''^'' . N A ' / + N - l xÀmnV'')x = W''+''[y-J2ÀonV"x)+ J ] l ' F ^,•, ^,. G ker K Tue là A/ + / V - 1 (/ + F ) x = II/^^^+^y+ ^ ' W^zj. j=0
Tir Menh de 2.2.2 suy ra