e) Bài toàn noi suy New^ton
1.3, Còng thufc bieu dién nghiem ciia phtTcyng trình sinh bòi t o à n tu k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g
khóng dòi hòi thòa man tfnh chat c(ÌT'^) hoac ca{W) d à ducrc giài q u y é t (xeni
[3]).
1 . 3 , C ò n g t h u f c b i e u d i é n n g h i e m c i i a phtTcyng t r ì n h s i n h bòi t o à n tu k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g t o à n tu k h à n g h i c h p h à i s u y r o n g
Trong m u c này, chung t a de cap dén càch giài p h u a n g t r ì n h d a n g
M N
Ql^ì^- ^= E E ^"'^rn.nV^^ = y, y^X (1.3.1)
niì
òr day y G Ri (X), M, N e N, AMN e ^ o ( ^ ) , AMN = I, A„,n.XM+N-rn C X ' {m = 0,..., M, n = 0,..., N, m + n < M + Â), Xj := dom VK
Dau tièn, xét phirang trình
F^.T = y, yeX. (1.3.2)
Dinh ly 1.3.1. Cho V G Ri{X), dim k e r ì / 7^ 0, dim cokerì/ 7^ 0, 14^ G R.\^^ và
G G ^\/ ung vói W. Dieu kien can và du de Phuang trinh (1.3.2) co nghiem. là Gy = 0. Néu dieu kien này thòa m.àn thi càc nghiem. cria (1.3.2) co dang
N-l
X = Pl/^y + Y^ W'^Zk, z o , . . . , ZN-i e ker V (1.3.3)
k=0
Chiing m.inh. Néu phuang trình (1.3.2) co nghiem thi ton tai x G doni V^ sao elio V^x = ỵ Suy ra Gy = GV^x = 0.
Nguac lai, néu Gy — 0 thi y — VWy — V^W^ỵ Suy ra x — W^y là mot nghiem cda (1.3.2). Khi dò V^x = V^W^y nen x = W^y + z, z e ker V ^ .
Theo He qua (1,1.3) suy ra nghiem cua Phuang trình (1.3.2) co dang (1.3.3). Ky hieu
N N
Q{V) :=J2BJV^^ Qil^V) :=J2BJW^-^^ (1.3.4)
j=0 j=0
a day Bj G Lo{X), X^.j C dom Bj, BjXp^.j C X^, j - 0 , . . . , Ậ
M e n h de 1.3.1. Cho V G Ri{X), W G R^y\ Q{V) và Q{I,W) duqc xàc
dinh bài (1.3.4). Khi dò ta co X^ C doni Q{V), Q{V)XM C X^, ( / +
W'^Q{V))X^^, C XN+^-,. Q ( / , Ì Ì O - ^ C X,, (/ + Q{L W)) X, c .Y,.. Chung minh. Truac hét chi ra rang V^Xj^i C Xj^^j, {j = 0 , . . . , TV).
That vày, néu j = 0 hoac j = N thi Xj\f C Xi^ hoac V^Xpj e X.
N é u l <j<N-ìvèixe Xpj theo He qua 1.1.3 ton tai ,To G I n i ì / ^ , 20, • •-,
2/v-i G ker ì/ sao cho
N - l
Suy ra
N-l
VJx = W^-''xo-\- J2 W^-^Zk-\-VWzj. - •
A;=j + 1
Néu d a t l ^ k - j , VWzj ^ z^ e ker V thi
y v - j - i
V3x = W^-^x^+ Y, W'zi^j + z^. 1=1 1=1
Do vay V^Xr^ C X ^ v - j , BjV^Xr^ C BJXM-J C XẠ, (.? - 0,. . . ,iV). Vi vay,
X/v C doni Q{V) và Q ( F ) X i v C X ^ .
Già s u u G ( / + Vì^^ăì/))X7v+A:- Khi dò ton tai v G X^r^f, C X/v sao cho u = ( / + ì y ^ Q ( ì / ) ) t ; . Do z;i = Q{V)v G X ^ , nen u = t; + W^vi G X/v+fc.
Vi vay, ( / + Ì F ^ g ( ì / ) ) X ; v + f c C X N + ; ^ . Lai co Ì'Ì^-^Y C Xj nen 5 j - V F ^ - ^ X C
BJXN^J'C X,, (.7 - 0 , . . . ,7V). Suy ra QiI^V)X C X , .
Già s u z/ G ( / + (5(/, ìì^))Xfc, t u e là ton tai yi G X^ sao elio ?/ = (-/" + g ( / , ì ì O ) y i - D o y 2 : - Q ( / , ì ì O y i ^ ^ ^ n é n y = ^ / l + y 2 e X„.
Menh de d u g c chung minh.
Trong truò'ng h g p k = 0, t a co ( / + W^Q{V))XN C XN-
D i n h n g h i a 1.3.1. Toàn tu A G L{X) làn hcqt duqc ggi là khà nghich phài,
khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén X^, {k G IN) néu Xk C doni A, AXk C Xk tuang ring ton tai RA € RA, LA G CA, WA G WA và MA G R-A n HA sao cho RAK^ C Xk , LAX^. C X^, WAX^ C X^ và MAX^ C X,..
Tir dinh nghia này suy ra néu A làn l u g t là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy rong và khà nghich trèn X ^ , {k G IN) thi A t u a n g u n g là
khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy rong và khà nghich.
M e n h d e 1.3.2. Néu tdt cà già thiét cita Menh de 1.3.1 dicqc thòa m.àn, thi
toàn tic I + Q{I, W) - Bi^G làn hcqt là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén Xk vói k E IN khi và chi khi I + W^Q{V) ticang icng là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng và khà nghich trén X^^^k, à day G E Qy itng vói W.
Chiing minh . Ta co
N-ì
I + Q{I, W) -BJ^G = I+J2 BjW^--^ + B^{I- G)
N-l
Tir Menh de 1.3.1, suy ra / + W^Q{V) € L(X;v+0 và / + QiV)]^ G L{X,..). i) Già sir / + Q{I,W) - BNG khà nghich phài trèn X^.,, tiic là ton tai
RQ e ^/+g(v)H"v sao cho BQXk C Xk và (/ + Q{V)W'')BQ = Ị Ky hieu
RQ = I-W^RQQ{V). De thày ỉ^ xàc dinh trén X;v+fc và R'^Xj^^k C Xyv+fc. Trén Xjsj^k ta co
{I+W''Q{V))R'^ = {I + W''Q{V)){ĨW''RQQ{V))
= I + W''Q{V) ^ {I + W''Q{V))W''RQQ{V)
= / + W'^QiV) - W^{I + Q{V)W^)RQQ{V)
= 1 + W^Q{V) - W^Q{V) = /.
Vi vay / + W^Q{V) là khà nghich phài trén X/v+fc.
Ngúac lai, già sú / + W'^Q{V) khà nghich phài trén X/V+A,-, tire là ton tai
R"^ ^ ^7+ir'VQ(r) sa° ^1^° R'^Xr.+k C X;v+;^- và {I + WQ{V))R'^ = / . Ky hieu RQ •= I - Q{V)R^W^. Néu .r € Xk thi u = W^x G X/V+A:, y = R^^u G
Xyv+fe và ÌJQ.T = (/ - Q{V)R'^W^)x = x- Q{V)y G Xk- Trén X^, ta co ( / + Q{I, W) - BNG)RQ = (/ + Q ( F ) l ' F ^ ) (J - g ( F ) i ? Q T F ^ )
= / + Q ( K ) i y ^ - (/ + Q(F)T'F^)g(\/)ỉ'^iF'^
= i + Q{v)w^ ~ Q{v){i + iy^Q(y))ỉ,^iy^ = I + Q{V)W^-QiV)W^ =1. = I + Q{V)W^-QiV)W^ =1.