VI vày /+ Q(I, W) — BjsfG là khà nghich phài trén X^.
A/+N-1 A/+N-
Dodo
J2 dijZj = yi-FW'^+''y, {i ^ 0,... ,M + N - 1). (2.2.12)
Theo già thiet, he phu-ong trình (2.2.12) co nghiem duy nhat là
zj= ^ d ; . , ( y , - F f c ] y ^ ^ + ^ y ) , (j = 0 , . . . , M + 7 V - l ) .
k=0
Tir do BTGTBCB (2.0.1) ~ (2.2.1) tuang duang vài phuang trình
A/ + N - 1 A / + N - 1
{I + E)x = yM+N+ Ỵ E ^'jk^^'y^^ (2-2-13)
b day
M + 7 V - 1 Á/ + N - l
y M + N : = ( / - E E d]kW^F,)w^^''ỵ (2.2.14)
j = 0 fc=0
Néu ^ = - 1 là già tri riéng cua E thi p h u a n g trình thuàn n h a t {I + E)x — 0
co nghiem khòng t à m t h u à n g . T u e là B T G T B C B (2.0.1)-(2.2.1) thiét làp khÒng
dung d a n v à / + F khòng k h à nghich trén XM^-N •
Già s u /9 = — 1 khòng là già tri riéng cua Ẹ Khi dó xày ra hai khà nàng :
(i) / + F khòng k h à nghich trén XA/^_/V, t u e là, ( / + E)XM-\-N 2 ^ A Z + N và
(ii) I + E k h à nghich trén Xj\/[-^j\j. Trong t r u à n g h a p (i), P h u a n g trình (2.2.13)
co nghiem khi v à chi khi t h ò a m a n diéu kien M + N - l A/ + N - 1
yM+N+ E E dr,W^y,e{I + E)XM+N. (2.2.15)
j = 0 /c=0
Chon u G XM^N \{I + E)XM^N. V : - V^^^^u và
A/ + N - 1
y, := FkW^''V^''u + E dk,FV^'u, (Ạ = 0,..., M + N - 1).
Theo còng t h u c Taylor, t a co
A / + N - 1 A/ + N - 1 Â + N - 1 M-\-N~ì
yM,.+ E E d',^^ýy^ = {i- E E <-.W'-F.)ii/-+-x
j = Q k=0 j = 0 k==0
M+N-l A-/ + N - 1 A f + N - 1
xi/^^+^n+ ^ ^ d.'j,W^(^FkW''^''V''^''ư Ỵ dk,FV^'u
j^O k^Q 1'=^ ' M^-N-1 M+N-l
^^,^^M+/VyA/+yVy+ J2 Yl {d'jkdk^.)W^FV^'u
M+N-l
= ^^M + WyM+Á^ ^ ^ IV^FV^U = U^{I + E)XM + N.
j=0
Nhu vay, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét lap khÓng dung dan.
Trong truòng hop (ii), Phuong tiình (2.2.13) co nghiem duy nhat là
M+N-l M+N-l
x^{I + E)''(yM+N+ E E '^'jk^^'y")-
Tue là BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiet lap dung dàn. Tir càc Ménh de 2.2.1 và 2.2.3 suy ra két qua sau day:
Dinh ly 2.2.1. BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) duqc thièt làp dung dàn khi và chị
khi toàn tic giài I + E khà nghich.
Bay già, chung ta co the dua ra duac két qua chinh cua BTGTBCB (2.0.1)- (2.2.1).
Dinh ly 2.2.2. Cho E, È, Ê, K và y^+N làn luqt duqc xàc dinh bài
(2.2.5), (2.2.7), (2.2.9), (2.2.10) và (2.2.14).
i) Néu toàn tu giàil + È khd nghich, thi BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét làp diing đn và co nghiem. duy nhdt là
M+N-l M+N-l
^={l-{I-EnV^{I-È)-'K)E)(y,,^^+ Y: E dfj.W^y^.
7 = 0 A:=0
(2.2.16)
ii) Néu toàn tu giài I + È khà nghich phài và dim ker(/ + È) ^ Q thi BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét lap khóng dung đn. Han. nùa, càc nghiem. ella bài toàn. này luón ton tai và co dang
M+N-l M+N-l
x=[l-{l-E+W''Rj^K)E)[y,j+r,+ ^ E d^.W-'y^^j+z, (2.2.17)
j=0 k=0
à day R- G 7ê_^- và z e ker (I + E).
Hi) Néu toàn tu giài I + E kìià nghich trai và dim coker(/ + F) 7^ 0 thi BTGTBCB (2.0.1) — (2.2.1) thiét làp khóng dung đn và co nghiem- khi và chi khi thóa m.àn dieu kien (2.2.15). Khi do nghiem. duy nhdt cita bài toàn này là.
IVI i - j v — 1 nj -\-n — i :c={j[-{I-EM¥''L-K)E)(yM+N+ E E ^^^^''^^Ó ^^-^'^^^ M+N-ì M + N-ì E E j = 0 k=0 à day, L~ G Cj^~.
iv) Néu toàn til giài I + È khà nghich suy róng, dim kpr(/ + E) ^^ Q và dim coker(/ + ^ ) ^ 0, thi BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét làp khÓng dung dan
và co nghiem. khi và chi khi thóa man diéu kièn (2.2.15). Khi dó nghiem. cua bài toàn co dang
M+N-l M + N-l
x=[l~{I-E+W''W~K)E)[yM+N+ ^ E d'^kW^y,)+z, {2.2.19)
j=0 fe=0
à day, W- e >V^^~ và z e ker(/ + E).
Chiing minh. Theo Ménh de 2.2.3, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) tuong duong
vói Phuong trình (2.2.13). T u Dinh ly 1.1.1, Ménh de 2.2.1 và Phuong trình (2.2.16) suy ra:
i) Néu I + È khà nghich, thi I + E khà nghich trén XM + N và (/ + E ) " ' = / - (l - ÊW^{I + È)-^K\Ẹ T ù d ó , BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét lap dung dan và co nghiem duy nhat dang (2.2.16).
ii) Néu I + È khà nghich phài và dim ker(J + È) ^ 0 thi / + E cùng chi khà
nghjch phài trén XM+N và RE := I - {I - E+W^B,~K)E vói R- G U^^-. Tù-
dó, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét làp khòng dung dan và co nghiem dang (2.2.17).
iii) Néu I + È khà nghich trai, dim coker {I + È) j^ 0 thi I + E ciing chi
khà nghich trai trén XM+N và LE := I - {I - E+W^L~K)E, vói L- G C,^-.
Tir dó, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) co nghiem khi và chi khi dieu kién (2.2.15) dugc thòa man. VI vay, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiet lap khÒng dung dan và co nghiem dang (2.2.18).
iv) Néu I + È khà nghich suy róng, dim ker(/ + È) ^ 0 và dim coker (/ + È) ^ 0 thi I + E cung chi khà nghich suy ròng trén XM+N và WE := I - {I-E+WW-iqE vói W~ G Wj^^. Tir dò, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) co
nghiem khi và chi khi dieu kién (2.2.15) dugc thòa man. Vi vay, BTGTBCB (2.0.1) - (2.2.1) thiét làp khòng dung dàn và co nghiem dang (2.2.19).
Dinh ly dugc chung minh.
He q u a 2 . 2 . 1 . Cho V G Ri{X), W G n[P, he {F,,,... , . F A , _ I } C Tv,w và dóc làp tuyén ttnh trén PN{W) := Vm^W'z, k = 0,... ,N - 1; ze ker V
Ky hiéit
N
Q{V) : - J2 ^nV'\ {Ar, = 7, A,, e L o ( X ) , AnX^_,, e X;v),
n=0 N-lN-1 N-l ^1 ^= ( ^ - E E ^J^^V^F,) J2 W^Ay^\ j = 0 k = 0 T7=:0 È, := ^ B„iy^-", Et := / - E E ^;-^^'^'^^. ^^^ - E ^"^"' N - l 77=0 j=0 k=0 77.= 0 f^ (ìd?/, N - l N-l N-l B,, := A,\l -ỴE d'j,W^~"FkW" + J^ <,GVF"), j=n k=0 k=0 d'.^, xàc dinh bài (2.2.4) vói,?, A: = 0 , . . . , TV - 1; G G Qv ung vói W.
Xét bài toàn già tri bién ca bàn cho toàn tu Q{V) sau day: Tìm. x biét
Q{V)x = y^ y thòa man dieit kièn (1.3.15)
<
^ FiX =yi, y^ G k e r ì / ( ? : - 0 , . . . , A ^ - l ) .
(2.2.20)
i) NéuI-\-Èi khd nghich thi BTGTBCB (2.2.20) thiét làp dung đn và co nghiem. duy nhdt là
N-l N-l
.T = ( / - ( / - E+w^'ii - È,)-'K,)E,) {yN + ỴỴ ^'jf^^v'y^ j=Q A;=0 j=Q A;=0 à day UN N-l N-l j=0 k=0 (2.2.21)
ii) Néu toàn té gidi I + Èi khd nghich phài và dim k e r ( / + F i ) 7^ 0 thi BTGTBCB (2.2.20) thiét lap khóng dung dàn. Han nua, càc nghiem. cua bài toàn này luón ton tai và co dang
N-l N-l
x=(l-{l- F+lF^ỉ^/í,)Fi) {VN+Y^YI ^'jk^'^'^y^) + '^
à day R- e7?.^ - w 2 G ker ( / + F i ) .
Hi) Néu toàn tic giài / + F i khà nghich trai và dim coker(/ + F i ) ^ 0 thi BTGTBCB (2.2.20) thiét lap khóng dung dan và co nghiem. khi và eh?! khi thóa man dieu kien
N - l N - l
^^ + E E "^^jkW'yk e ( 7 + F I ) X A . . (2.2,22)
j = 0 k=0
Khi dó, nghiem duy nhdt cita bài toàn này là
N-ì N-l
.^ = ( / _ ( / _ Eiw''L-ju)E,) {yN + J2T. ^'jk^^'''y^).
j=0 k=0
ò dàyL~^&Cj^~^.
iv) Néu toàn tu giài I -\- E\ khd nghich suy róng, dimker(/ -^ E\) j^ 0 và dim coker (7 + F i ) 7^ 0, thi BTGTBCB (2.2.20) thiét lap khóng dung dan và co nghiem. khi và chi khi thóa m.àn dieu kien (2.2.22). Khi dó càc nghiem. cita bài toàn này co dang
N-l N-l
x = [i-{i- Etw''w~ju)E,) [vN + Y^Ỵ <^'jk^^''y>) + -^
j=0 k = 0