Đặc trưng họ phân phối Gamma Luận văn ThS. Toán học

21 2.3 Đặc trưng phân phối gamma thông qua tính hồi quy hằng số liên quan đến phân phối Gauss ngược suy rộng.. 48 3 Đặc trưng họ phân phối Gamma bởi tính tối ưu của ước lượng 52 3.1 Đặc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Quốc Toàn

ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Quốc Toàn

ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Đào Hữu Hồ

Hà Nội - 2012

Mục lục

1.1 Phân phối gamma 5

1.2 Hàm giải tích 6

1.2.1 Định nghĩa hàm giải tích phức 6

1.2.2 Tính giải tích của hàm đặc trưng 6

1.3 Một số bổ đề cần sử dụng 7

1.4 Một số kết quả liên quan đến lý thuyết ước lượng 11

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết ước lượng 11

1.4.2 Tham số tỷ lệ 13

2 Đặc trưng họ phân phối Gamma thông qua tính hồi quy hằng số 16 2.1 Các bổ đề cơ sở 16

2.2 Đặc trưng của phân phối Gamma 21

2.3 Đặc trưng phân phối gamma thông qua tính hồi quy hằng số liên quan đến phân phối Gauss ngược suy rộng 48

3 Đặc trưng họ phân phối Gamma bởi tính tối ưu của ước lượng 52 3.1 Đặc trưng họ phân phối Gamma thông qua tính chấp nhận được của các ước lượng tuyến tính tối ưu của tham số tỷ lệ 52

3.2 Đặc trưng của phân phối gamma thông qua tính tối ưu của các hàm của trung bình mẫu 61

3.3 Sự độc lập của trung bình mẫu và hệ số biến thiên mẫu 67

LỜI NÓI ĐẦU

Đặc trưng của các phân phối xác suất là một hướng nghiên cứu mạnh trong

lý thuyết thống kê trong nhiều thập kỷ Mặc dù đã có rất nhiều kết quả nổi tiếng

đã được biết đến, nhưng một vài kết quả mới về đặc trưng của các phân phốihay sử dụng cũng có ích trong nhiều ứng dụng Trong luận văn: “Đặc trưng họphân phối Gamma”, chúng tôi chỉ trình bày về đặc trưng của phân phối gamma.Những kết quả cơ bản của đặc trưng phân phối gamma được trình bày trongcuốn Characterization Problems in Mathemmatical Statistics của Kagan A M.,Linnik YU V và Rao C R Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày thêm một vàikết quả gần đây về đặc trưng họ phân phối gamma Đó là hai bài báo:

• Mutual characterizations of the gamma and the generalized inverse sian laws by constancy of regression của Vanamamalai Seshadri và JacekWesolowski, năm 2001

Gaus-• On a characterization of the gamma distribution: The independence ofthe sample mean and the sample coefficient of variation của Tea - YuanHwang và Chin - Yuan Hu, năm 1999

Luận văn của chúng tôi được chia ra làm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kết quả cơ bản nhất của phânphối gamma, một số kiến thức về hàm giải tích, tính giải tích của các hàm đặctrưng, một số định lý và bổ đề quan trọng được dùng để chứng minh các định

lý ở các chương sau

Chương 2 Đặc trưng họ phân phối Gamma thông qua tính hồiquy hằng số

Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung sau đây:

• Đặc trưng của phân phối gamma thông qua tính hồi quy hằng số

• Đặc trưng giữa phân phối Gauss ngược tổng quát (GIG) và phân phốigamma thông qua tính hồi quy hằng số

Chương 3 Đặc trưng họ phân phối Gamma bởi tính tối ưu củaước lượng

Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung sau đây:

• Đặc trưng họ phân phối Gamma thông qua tính chấp nhận được của cácước lượng tuyến tính tối ưu của tham số tỷ lệ

• Đặc trưng của phân phối gamma thông qua tính tối ưu của các hàmtrung bình mẫu

• Đặc trung của phân phối gamma thông qua tính độc lập của trung bìnhmẫu và hệ số biến thiên mẫu

Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướngdẫn luận văn của mình, PGS.TS Đào Hữu Hồ, người đã đưa ra đề tài và tậntình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn của tác giả Tôi cũng xin cảm

ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, đặc biệt là các thầy cô trong bộmôn Xác suất - Thống kê đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức quý báu Cuốicùng tôi xin cảm ơn các thành viên trong lớp cao học chuyên ngành Lý thuyếtXác suất và Thống kê toán học khóa 2009-2011 đã luôn động viên, giúp đỡ tôitrong quá trình hoàn thành luận văn

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình củacác thầy cô và các bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng năm 2012

Học viên

Phạm Quốc Toàn

Chương 1

Một số kết quả cần dùng

1.1 Phân phối gamma

Phân phối gamma là một họ phân phối xác suất liên tục hai tham số, trong

đó một tham số tỉ lệ θ và một tham số hình thức k Một biến ngẫu nhiên X

có phân phối gamma với tham số tỷ lệ θ và tham số hình thức k được ký hiệu

là X ∼ Γ(k, θ) hoặc X ∼ Gamma(k, θ) Sau đây là một số tính chất của phânphối gamma:

xk−1e−xdx

4 Giá trị trung bình: kθ

5 Phương sai: kθ2

6 Hàm đặc trưng: (1 − θit)−k

7 Rõ ràng f (x, 1, θ) là mật độ mũ Thật vậy do Γ(1) = 1 nên ta có

f (x, 1, θ) = 1

θ · exp(−x/θ)

Đây là hàm mật độ của phân phối mũ

8 Giả sử X1, , Xn độc lập, cùng phân phối mũ với mật độ f (x, 1, θ) thìn

f(n)(z0)n! (z − z0)

n

hội tụ tới f (z) với mọi z trong lân cận của z0

Hàm f (z) được gọi là giải tích trong tập mở D của mặt phẳng phức nếu fgiải tích tại mọi điểm z của tập D

1.2.2 Tính giải tích của hàm đặc trưng

Trong mục này, ta ký hiệu t và y là các biến số thực và z = t + iy là biến sốphức Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.1 Một hàm đặc trưng f (t) được gọi là một hàm đặc trưnggiải tích nếu với δ > 0 tồn tại một hàm A(z) của biến phức z, giải tích trongđường tròn |z| < δ (ở đây |z| là modun của số phức z) sao cho

A(t) = f (t),với |t| < δ

Nói một cách khác, một hàm đặc trưng là giải tích nếu nó đồng nhất vớimột hàm biến phức giải tích trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ trongmặt phẳng phức

Một số tính chất đặc biệt của hàm giải tích (xem [19]):

10 Hàm đặc trưng giải tích f thì f (z) sẽ là hàm giải tích trong dải:

và F (x) là hàm phân phối tương ứng với hàm đặc trưng f (t)

20 Tính giải tích của hàm đặc trưng f tương đương với tính dương của các

1.3 Một số bổ đề cần sử dụng

Bổ đề 1.3.1 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.1.1] Giả sử X và Y là hai biếnngẫu nhiên và EY tồn tại, Y có hồi quy hằng số đối với X nếu và chỉ nếu hệthức

nghiệm đúng với mọi t ∈ R

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Y có hồi quy hằng số đối với X, nghĩa là

Điều kiện đủ: Giả sử ta có (1.1), ta chứng minh Y có hồi quy hằng số đốivới X Gọi P là hàm phân phối biên duyên của X.

Giả sử EY khác 0, khi đó điều kiện (1.1) được viết lại như sau

E(Y |x)

EY dP =

ZA

+∞

Z

−∞

eitxdQ = 0 Suy ra Q(A)

là hàm hằng với mọi A Lấy A = R1, ta có

Q(A) = Q(R1) = EY = 0

Hay là E(Y |X) = 0 Vậy ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.3.2 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.4.3] Giả sử trong phương trình viphân

L(y) ≡ zny(n)+

nXj=1

zn−jy(n−j) = f (z), (1.8)với aj là các hằng số và f là hàm giải tích trong góc

Từ Bổ đề 1.3.3, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả 1.3.4 [ Xem [6], Chương 1, Hệ quả 1.5.2] Nếu phương trình (1.11)của Bổ đề 1.3.3 có dạng

rXi=1

ψi(u + biv) = au + cv + d, (1.12)

với r ≤ 3, thì dưới các điều kiện của Bổ đề 1.3.3, tất cả các hàm ψi, i = 1, , rđều là các hàm tuyến tính.

Bây giờ, chúng ta sẽ tổng quát hóa Bổ đề 1.3.3 cho trường hợp có nhiều hơnhai đối số Giả sử t, α1, α2, , αr là các vectơ cột p - chiều Ký hiệu các thànhphần của t là t1, , tp và tích vô hướng của t với αi bởi αTi t Ta xét phươngtrình

ψ1(αT1t) + · · · + ψr(αTrt) = ξ1(t1) + · · · + ξp(tp) (1.13)nghiệm đúng với |ti| < δ, i = 1, p Ký hiệu A là ma trận cỡ p × r với các cột là

α1, , αr Để phát biểu Bổ đề 1.3.5 dưới đây, chúng ta định nghĩa một tích matrận mới như sau: Cho C là ma trận cấp p × r và D là ma trận cấp q × r, khi

đó tích C D là ma trận cấp pq × r với các cột là các tích Kronecker γi δi,hay là

C D = (γ1 δ1| |γr δr), (1.14)

ở đây γ1, , γr là các cột của ma trận C và δ1, , δr là các cột của ma trận D

Ký hiệu C# là ma trận cấp p(p − 1) × r, nhận được bằng cách bỏ đi p hàngchứa các số hạng bình phương, đó là hàng đầu, hàng thứ p + 1, và hàng thứp(p − 1) + 1 của ma trận C C

Để minh họa cho tích ma trận mới này và ma trận C#, ta xét ví dụ sau:Giả sử C là ma trận cấp 2 × 3 được cho bởi

C = c11 c12 c13

c21 c22 c23

!

Khi đó, ma trận C C được xác định như sau

Sau khi bỏ đi hàng đầu và hàng thứ tư, ta nhận được ma trận C# có dạng

C# = c11c21 c12c22 c13c23

c21c11 c22c12 c23c13

!

Bổ đề 1.3.5 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.5.4] Giả sử (1.13) đúng với |ti| < δ,

i = 1, p, ở đây A là ma trận sao cho rank A# = r Khi đó, các hàm ψi, i = 1, r

là hàm liên tục tại 0 Khi đó, ψ là hàm tuyến tính

1.4 Một số kết quả liên quan đến lý thuyết ước

lượng

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết ước lượng

Chúng ta xét một mô hình thống kê (X , A, Pθ), ở đây X là không gian cácgiá trị quan sát x, A là σ-đại số các biến cố, và {Pθ} là một họ các phân phốixác suất, phụ thuộc θ ∈ Θ Giả sử thống kê T (x) được dùng như một ước lượngcho một hàm của tham số t(θ), và r(T, t) là một hàm tổn thất không âm Kỳvọng toán học của hàm tổn thất được cho bởi

R(T, θ) = Eθr(T, t)được gọi là hiểm của ước lượng T khi mà giá trị chân thực của tham số là θ.Sau đây là một số hàm tổn thất mà chúng ta sử dụng:

a) dạng toàn phương hay Gaussian: r(T, t) = (T − t)2,

Định nghĩa 1.4.1 Một ước lượng T0(x), thuộc lớp K các ước lượng của hàmtham số t(θ), được gọi là chấp nhận được trong lớp này, dưới hàm tổn thấtr(T, t), nếu không tồn tại phần tử T thuộc K sao cho

R(T, θ) ≤ R(T0, θ) với mọi θ, (1.16)

và hơn nữa bất đẳng thức chặt đúng với ít nhất một θ

Nếu một ước lượng T0 là chấp nhận được trong lớp tất cả các ước lượng, thì khi

đó chúng ta sẽ gọi nó là chấp nhận được tuyệt đối

Định nghĩa 1.4.2 Một ước lượng T0 ∈ K được gọi là tối ưu trong lớp K củacác ước lượng của hàm tham số t(θ), dưới hàm tổn thất r(T, t), nếu với mọi

T ∈ K,

R(T0, θ) ≤ R(T, θ), θ ∈ Θ

Định lý 1.4.3 Giả sử rằng T là một ước lượng cho t(θ) và hàm tổn thất r(T, t)

là lồi theo T Nếu họ {Pθ} chứa một thống kê đủ S, thì tồn tại một ước lượng

T0, chỉ phụ thuộc vào S, sao cho

Định lý 1.4.6 [ Xem [6], Chương 7, Định lý 7.1.3] Nếu phân phối của thống

kê vectơ đủ S = (S1, , Sm) được cho trong Rm bởi hàm mật độ (đối với độ đoLebesgue)

π(s, θ) = c(θ)q(s) exp

nXi=1

ci(θ)si

!,

ở đây s = (s1, , sm) và vectơ (c1(θ), , cm(θ)) căng trên miền nào đó trong

Rm cũng như θ căng trên Θ, thì họ phân phối {Pθ} là đầy đủ đối với thống kê

θ∈Θ

L2θ.Định nghĩa 1.4.7 Một thống kê h = h(x) được gọi là ước lượng không chệchcủa 0 (u.e.z) nếu Eθh ≡ 0 với mọi θ ∈ Θ

Chúng ta ký hiệu Hθ là tập tất cả các u.e.z trong L2θ, và H = T

θ∈Θ

Hθ

Bổ đề 1.4.8 [ Xem [6], Chương 7, Bổ đề 7.2.1] Một ước lượng T ∈ L2 (hoặc,

T ∈ L2θ) là tối ưu (hoặc, tối ưu địa phương tại θ) trong L2 cũng như là một ướclượng không chệch của t(θ) = EθT nếu và chỉ nếu

Eθ(T h) = 0 với tất cả h ∈ H, θ ∈ Θ (1.18)(hoặc, nếu và chỉ nếu với θ cho trước, Eθ(T h) = 0 với tất cả h ∈ Hθ)

dF (x1/σ, , xn/σ) (1.19)

thì chúng ta nói rằng σ là một tham số tỷ lệ Để ước lượng cho tham số tỷ lệ,một cách tự nhiên là chọn một lớp các ước lượng eσ = eσ(X1, , Xn) thỏa mãnđiều kiện sau với mọi λ > 0:

eσ(λX1, , λXn) = λσ(Xe 1, , Xn)

Những điều này đã được đưa ra bởi Pitman [18] Ta gọi các ước lượng thỏamãn điều kiện trên là chính quy, và ký hiệu lớp các ước lượng chính quy bởi F.Chúng ta giả sử rằng hàm tổn thất thỏa mãn điều kiện

r(eσ, σ) = r(σ − σ),e r(λu) = λmr(u), (1.20)với mọi λ > 0, với m nào đó Khi đó, hiểm của ước lượng eσ ∈ F cho tham số σlà

R(eσ, σ) = Eσ(σ − σ) = σe mE1r(eσ − 1) = σmR(eσ, 1)

Vì vậy, với hàm tổn thất (1.20), một phần tử của lớp F hoặc là tối ưu, hoặc

là không chấp nhận được trong lớp này

Định nghĩa 1.4.9 Một ước lượng σ =b bσ(X1, , Xn) tối ưu trong lớp F, tức

là thỏa mãn

R(bσ, σ) = min

e σ∈ FR(eσ, σ)

sẽ được gọi là ước lượng Pitman cho tham số tỷ lệ σ tương ứng với hàm tổnthất (1.20)

Từ nay trở về sau, chúng ta sẽ giả sử rằng không gian các quan sát X = Rn+,tức là xj > 0 với mọi j = 1, n Khi đó, nếu với mọi j, chúng ta đặt L =

nX1

là ước lượng Pitman cho σ, tương ứng với hàm tổn thất dạng toàn phương;hơn nữa, với eσ ∈F bất kỳ,

Eσ(eσ − σ)2 > Eσ(ˆσ − σ)2,với σ ∈ R1+, trừ khi ˆσ = σ với Pe 1 - xác suất một (và vì vậy với Pσ - xácsuất một với mọi σ ∈ R1+);

(2) nếu F , hàm phân phối đồng thời của các Xj, là liên tục tuyệt đối, với hàmmật độ là f thì

ˆ

σ =

∞Z0

unf (ux1, , uxn)du

∞Z0

un+1f (ux1, , uxn)du

Chúng ta ký hiệu FU là lớp các ước lượng không chệch chính quy của σ

Bổ đề 1.4.11 [ Xem [6], Chương 7, Bổ đề 7.11.2] Dưới các điều kiện của Bổ

đề 1.4.10, ước lượng tối ưu của σ trong FU là

Chương 2

Đặc trưng họ phân phối

Gamma thông qua tính hồi quy hằng số

để phát biểu kết quả trên Điều kiện này nhẹ hơn so với tính độc lập của S2 và

X, nhưng lại cần thêm giả thiết về sự tồn tại phương sai của Xi Tương tự, nếu

X và Y là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập thì sự độc lập của X + Y đốivới X

Y chỉ ra đặc trưng phân phối gamma (hoặc phân phối thoái hóa) Trongchương này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng với các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phânphối X và Y thì tính hồi quy hằng số của X + Y đối với X

Y sẽ chỉ ra đặc trưngcủa phân phối gamma (hoặc phân phối thoái hóa) Các kết quả này thuộc vềKhatri và Rao (xem [8], [9])

Bổ đề 2.1.1 Cho F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y , và g là hàmliên tục trên R1, sao cho

thì F liên tục tuyệt đối và có hàm mật độ là f liên tục thỏa mãn phương trình

vi phân sau đây

ρf0(y) = [µ − g(y)]f (y) (2.3)Phương trình trên có nghiệm là

f (y) = exp



−1ρ

yZa(g(v) − µ)dv



Chứng minh Đặt k(y) = g(y) − µ

ρ Khi đó, phương trình (2.2) có dạng sauZ

eityk(y)dF (y) = it

e−iαt − e−iβt

it rồi lấytích phân trên (−T, T ) theo biến t, rồi sau đó cho T → +∞, ta thấy vế phải códạng

Z

eitydF (y)

dt

−T

e−iαt− e−i(α+h)t

it f (t)dt −T →+∞lim

12π

TZ

−T

e−iβt − e−i(β+h)t

it f (t)dt.

Nếu α + h, α, β + h và β là các điểm liên tục của hàm F thì theo định lýngược, biểu thức bên trên bằng với:

[F (α + h) − F (α)] − [F (β + h) − F (β)] (2.6)Còn vế trái bằng với

lim

T →+∞

12π

TZ

−T

1 − e−iht

it dt

βZα

e−itudu

∞Z

βZαdu

∞Z

−∞

k(y)dF (y)

TZ

it · e−i(u−y)tdt bị chặn đều theo T nên qua giới hạn khi T tiến

ra +∞ biểu thức trong (2.7), ta có vế trái bằng với

βZα

trong đó

f (u, h) =

u+h−0Zu−0k(y)dF (y)

Từ (2.6) và (2.8), chúng ta có

βZα

f (u, h)du = [F (α + h) − F (α)] − [F (β + h) − F (β)] (2.9)

Cho h → −∞, do F (−∞) = 0 nên từ (2.9) chúng ta có

βZα

f (u)du = F (β) − F (α) =

βZα

tại mọi điểm liên tục α và β của hàm F , ở đây

f (u) = −

u−0Z

−∞

Phương trình (2.10) chỉ ra rằng F liên tục tuyệt đối và có hàm mật độ là f Hơn nữa, ta có

f (u) = −

u−0Z

−∞

k(y)dF (y) = −

u−0Z

−∞

k(y)f (y)dy (2.12)

Do g liên tục nên k liên tục, và do vậy hàm f cũng liên tục và khả vi Lấy

vi phân hai vế của (2.12), chúng ta thu được

f0(u) = −k(u)f (u) = −g(u) − µ

ρ · f (u),hay là

f (u) = exp



−

uZak(v)dv



Vậy bổ đề được chứng minh

Hệ quả 2.1.2 Nếu trong Bổ đề 2.1.1 g(y) = ey, khi đó ρ và µ phải dương, và

ở đây γ và α phụ thuộc vào ρ và µ, do vậy X có phân phối gamma G(α, γ)

Bổ đề 2.1.3 Cho F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn EeY <

hệ thức trên giải tích trong miền −1 < Im t < 0

Chứng minh Do (2.16) đúng với t thỏa mãn |t| ≤ ε nên thay t bởi −t, ta có

Zsin tydF (y), (2.18)

ở đây γ = iρ, với ρ là số thực Do vậy (2.16) có thể viết dưới dạng sau đây

Z

eyeitydF (y) = (c + iρt)

Z

eitydF (y), (2.19)với |t| ≤ ε Theo giả thiết, EeY tồn tại nên EeuY cũng tồn tại với 0 ≤ u ≤ 1

Do hàm eizY giải tích trong miền −1 < Im t < 0, và hàm số 1 + iρz

c cũng giảitích trong miền này nên hàm số

Bổ đề 2.1.4 Cho F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X Nếu E(1/X)tồn tại và hệ thức

với φ(t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Từ (2.21), trong lân cận nào

đó của gốc tọa độ, chúng ta có

A0(t)A(t) =



1 − ρρ

−γ

với |t| < ε, (2.27)

với ε > 0 nào đó Theo tính giải tích của hàm đặc trưng thì điều này đúng vớimọi t ∈ R Tính bị chặn của A(t), hay điều kiện tương đương là E(1/X) tồntại, dẫn tới ρ < 0 và vì vậy γ > 1 Vậy bổ đề được chứng minh

2.2 Đặc trưng của phân phối Gamma

Trong mục này, chúng ta xem xét một số đặc trưng của phân phối gammathông qua tính hồi quy hằng số của một thống kê đối với một thống kê khác

Để tránh rắc rối khi phát biểu các định lý, chúng ta giả sử rằng các biến ngẫunhiên được đề cập tới đều không thoái hóa

Định lý 2.2.1 Cho X1, , Xn, n ≥ 3, là các biến ngẫu nhiên độc lập, không âm

và nói chung không cùng phân phối với kỳ vọng EXj hữu hạn với mọi j = 1, n.Nếu sự hồi quy của

nPj=1

Xj đối với vectơ (X2/X1, , Xn/X1) là hằng số, thì Xj

có phân phối gamma, cụ thể hơn, Xj ∼ G(α, γj) với j = 1, , n, ở đây tham số

α là giống nhau đối với mọi Xj

Chứng minh Ta đặt Yj = log Xj, và viết lại điều kiện hồi quy hằng số dướidạng sau đây:

E(eY1 + · · · + eYn|Y2− Y1, , Yn− Y1) = m = const (2.28)Theo Bổ đề 1.3.1, điều kiện cần và đủ để (2.28) được thỏa mãn là

= mEeit1 (Y2−Y1)+···+itn−1(Yn−Y1) (2.29)

Ta biến đổi vế phải của (2.29) như sau:

Tương tự như vậy, ta cũng có

Eeit1 (Y2−Y 1 )+···+itn−1(Yn−Y 1 )= Eei(−t1 −···−t n−1 )Y1+it1Y2+···+itn−1Y1

= Eei(−t1 −···−t n−1 )Y1· Eeit1 Y2· · · Eeitn−1 Yn

Đặt E(eYj (1+it)) = ψj(t), EeitYj = φj(t) và ξj(t) = ψj(t)

φj(t) Khi đó chia cả hai

vế của (2.29) cho Eei(−t1 −···−tn−1)Y1· Eeit1 Y2· · · Eeitn−1 Yn, ta thu được

hệ thức sau đây

ξ1(−t1− · · · − tn−1) + ξ2(t1) + · · · + ξn(tn−1) = m, (2.30)đúng với |tj| < εj, j = 1, 2, , n − 1 với εj > 0 nào đó Cho t3 = = tn−1 = 0,

từ (2.30) chúng ta thu được

ξ1(−t1 − t2) + ξ2(t1) + ξ3(t2) = m1 (2.31)

Sử dụng Hệ quả 1.3.4, chúng ta có

ξj(t) = cj + γt, j = 1, 2, 3 (2.32)Tương tự, chúng ta chứng minh được rằng ξj = cj + γt với mọi j = 1, n.Mặt khác theo cách đặt trên, ta có:

với |t| < ε Theo cách đặt ban đầu, ta có Yj = log Xj hay là Xj = eYj Sử dụng

Bổ đề 2.1.3, chúng ta có (2.34) đúng với mọi số thực t Sau đó áp dụng Hệ quả2.1.2, ta suy ra điều phải chứng minh

Định lý 2.2.2 Cho X1, , Xn, n ≥ 3 là các biến ngẫu nhiên độc lập và khôngnhất thiết có cùng phân phối Nếu E(1/Xj) tồn tại với mọi j, và khác 0, và hơnnữa

E(X1−1+ · · · + Xn−1|X2− X1, , Xn− X1) = const = m, (2.35)thì hoặc là Xj ∼ G(αj, γ) với mọi j, hoặc −Xj ∼ G(αj, γ) với mọi j, ở đây

γ > 1

Chứng minh Điều kiện (2.35) được thỏa mãn khi và chỉ khi

Eh XXj−1eit1 (X 2 −X 1 )+···+it n−1 (X n −X 1 )i

= mEeit1 (X 2 −X 1 )+···+it n−1 (X n −X 1 ), (2.36)với |tj| < εj, εj > 0 nào đó

Đặt ψj(t) = EXj−1eitXj, φj(t) = EeitXj và ξj(t) = ψj(t)

φj(t) Khi đó, điều kiện(2.36) dẫn đến

ξ1(−t1− · · · − tn−1) + ξ2(t1) + · · · + ξn(tn−1) = m (2.37)Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.1, chúng ta thu được

Z

x−1eitxdF (x) = (µ + iρt)

Z

eitxdF (x), (2.38)với |t| < ε Áp dụng Bổ đề 2.1.4, chúng ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.3 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và cócùng phân phối thỏa mãn E(X1log X1) hữu hạn và

Chứng minh Đặt Y = log X, khi đó điều kiện (2.39) dẫn đến

Eha1eY1 + · · · + aneYn



· eit(b1 Y1+···+bnYn)i= m · Eheit(b1 Y1+···+bnYn)i (2.40)

Ta biến đổi vế trái của (2.40) như sau

ξj là hàm tuyến tính của t, tức là ξj(t) = cj + γjt Cuối cùng lập luận tương tựnhư trong chứng minh Định lý 2.2.1, chúng ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.2.4 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và cócùng phân phối thỏa mãn E(X1log X1) hữu hạn và

E(X1+ · · · + Xn|X1n−1X2−1· · · Xn−1) = m (2.42)Khi đó, Xj có phân phối gamma

Khi đó, điều kiện (2.42) được viết lại là

E(Y1+ · · · + Yn|Y1−1Y2−1· · · Ynn−1) = m (2.43)

Do các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập và có cùng phân phối nên cácbiến ngẫu nhiên Y1, Y2, , Yn cũng độc lập và có cùng phân phối Hơn nữa, tacũng có E(Y1log Y1) hữu hạn

Với a1 = a2 = = an = 1 và b1 = b2 = = bn−1 = −1, bn = n − 1 chúng

ta có

Xj

Định lý 2.2.5 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và cócùng phân phối Nếu E(1/X1) tồn tại và khác 0, và

E





nXj=1

ajXj−1|

nXj=1

Định lý này được chứng minh tương tự Định lý 2.2.3

Hệ quả 2.2.6 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và cócùng phân phối Nếu E(1/X1) tồn tại và khác 0, và

E(XXi−1|X1− X) = m 6= 0 (2.45)Khi đó, hoặc là Xi ∼ G(α, γ), hoặc là −Xi ∼ G(α, γ) với γ > 1 nào đó

1 − 1n

nY1− · · · − 1

nYn−1+



1 − 1n

Xj

ajbj = −1 − 1

n

+1 − 1

Yj = 1

Xj, M

0

j = aj1Y1+ · · · + ajnYn, j = 1, , p (2.49)

Chúng ta xét p hàm độc lập tuyến tính M1, , Mp hoặc M10, , Mp0 Trongmỗi trường hợp, Mj hoặc Mj0 có thể được biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc nhưsau:

E(eY1 + · · · + eYn|M1, , Mp) = m (2.51)được thỏa mãn thì Xj có phân phối gamma

(b) Nếu E(1/Xj) tồn tại và khác không với mọi j, và điều kiện

E(Y1+ Y2+ · · · + Yn|M10, , Mp0) = m (2.52)được thỏa mãn thì hoặc là Xj có phân phối gamma, hoặc là −Xj có phân phốigamma

Chứng minh (a) Trong trường hợp này, chúng ta đặt

ξj(t) =

Z

ey(1+it)dFj(y)Z

eitydFj(y)

ở đây Fj là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Xj

(b) Trong trường hợp này, chúng ta đặt

ξj(t) =

Z

yeitydFj(y)Z

eitydFj(y)

(2.54)

Khi đó, lần lượt, điều kiện (2.51) hoặc điều kiện (2.52) tương đương với

ξ1(t1) + · · · + ξp(tp) + ξp+1(αT1t) + · · · + ξn(αTn−pt) = const, (2.55)

với |tj| < δ, j = 1, , p, ở đây αj là vectơ cột thứ j trong ma trận A và

tT = (t1, , tp) Áp dụng Bổ đề 1.3.5, chúng ta có các hàm ξj là tuyến tính.Cuối cùng áp dụng các lập luận trong các chứng minh của các định lý 2.2.1-2.2.5,chúng ta có điều phải chứng minh

Chú ý rằng, trong các hệ thức (2.51) và (2.52), chúng ta có thể thay eY1 +

· · · + eY n bởi a1eY1 + · · · + aneYn trong trường hợp (a), và Y1 + · · · + Yn bởi

a1Y1+ · · · + anYn trong trường hợp (b), ở đây các aj là khác 0, để thu được cáckết luận tương tự

Xét ma trận cỡ q × n ((dij)) và một vectơ n-chiều (b1, , bn) Chúng ta nóirằng chúng thỏa mãn điều kiện (C) nếu tồn tại các hằng số a01, , a0q sao chocác hệ số

aj = X

i

a0idij, j = 1, , n (2.56)thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) P ajbj = 0,

(ii) nếu a1, , as (s ≤ n) là các số khác không, khi đó, giữa các số |b1|, ,

|bs| có đúng một giá trị lớn nhất, hơn nữa, không mất tính tổng quát, tagiả sử số lớn nhất đó là |b1|, khi đó a2b2, , anbn là cùng dấu, trong khi

a1b1 có dấu ngược lại

Định lý 2.2.8 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên dương, độc lập và cócùng phân phối và Yj = log Xj Xét

Chứng minh Chúng ta xác định hàm ξ(t) như trong định lý 2.2.1, khi đó (2.57)trở thành

Xj

dijξ(bjt) = gi, i = 1, , q (2.58)

Nhân lần lượt hệ thức (2.58) với a01, , a0q, rồi cộng lại, kết hợp với điều kiện(C), chúng ta có

nXi=1

aiξ(bit) = g = const (2.59)

Do E(Xj log Xj) hữu hạn nên sử dụng các lập luận trong chứng minh Định

lý 2.2.3, chúng ta suy ra điều phải chứng minh

Chứng minh Định lý này được chứng minh tương tự Định lý 2.2.8

Định lý sau đây thuộc về Laha và Lukacs [15]

Định lý 2.2.9 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phânphối với EX1−1 hữu hạn và khác 0 Hơn nữa, cho

Q =XajkXjXk +XbjXj (2.62)Đặt B1 = P ajj, B2 = P ajk, B3 = P bj và giả sử rằng B1, B2 khác 0,

B3 = 0, và B1σ2+ B2µ2 = 0 Khi đó Xj có phân phối gamma nếu và chỉ nếuhồi quy của Q đối với L = X1+ · · · + Xn là hằng số

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra trực tiếp Để chứng minh điều kiện đủ,chúng ta sử dụng công thức (1.1),

E(QeitL) = E(Q) · E(eitL) (2.63)

Ký hiệu hàm đặc trưng của Xj là f , và chú ý rằng

Do f (0) = 1, và f là hàm liên tục nên tồn tại một lân cận của điểm gốc mà

ở đó φ = log f được xác định, và theo (2.66), nó thỏa mãn hệ thức sau

B1φ00+ B2(φ0)2 = 0 (2.67)Giải phương trình này và sử dụng điều kiện B1σ2+ B2µ2 = 0, chúng ta thuđược

f (t) =1 − iσ

2tµ

−µ2

σ2

Theo lý thuyết về tính giải tích của hàm đặc trưng, (2.68) đúng với mọi

t ∈ R, và do vậy Xj có phân phối gamma

Định lý 2.2.11 Cho X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùngphân phối với EX1 = µ > 0, Var X1 = σ2 Đặt

L = X1+ · · · + Xn, Q = XajkXjXk, B1 =Xajj, B2 =Xajk,

và giả sử rằng B2 6= nB1 Khi đó Xj có phân phối gamma nếu và chỉ nếu hồiquy của Q/L2 đối với L là hằng số

Chứng minh được thực hiện tương tự như Định lý 2.2.10 Nhưng Định lý2.2.12 dưới đây lại được chứng minh bởi Linnik, Rukhin và Strelits [14].

Định lý 2.2.12 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên dương, độc lập và cócùng phân phối với hàm mật độ xác suất φ(x) thỏa mãn

∞Z0

xkφ(x)dx < ∞

Cho P (u1, , un) là một đa thức bậc k sao cho

E{P (X1/L, , Xn/L)|L} = const = c (2.69)Khi đó Xj có phân phối gamma nếu các điều kiện (1)-(3) sau đây được thỏamãn:

(1) Trong mọi khoảng dạng (0, ε),

φ(x) = A0xp−1+ A1xp + · · · + (As + o(1))xp+s−1,với p nào đó và một số tự nhiên đủ lớn s (điều kiện chính xác của s được chỉ

ra trong quá trình chứng minh định lý)

(2) Phương trình (2.71) dưới đây thỏa mãn

α0 =

∗X

i 1 +···+ik=k

Ai1, ,ik

kY

(3) Hàm số y(z) = z−p + z−p+1 không phải là một nghiệm của (2.71), vàphương trình

Q0(p) = X

i1+···+ik=k

Ai1, ,ikn

kXq=1

kY

j=1 j6=q

Γ(p + ij)Γ(p) · Γ(p + iq + µ)

Chứng minh Giả sử

P (u1, , un) = Xak1, ,knuk1

1 · · · ukn

n Khi đó (2.69) trở thành

kXs=0E

(X

Nhân cả hai vế của hệ thức trên với e−zL, với Re z > 0, sau đó lấy kỳ vọng

cả hai vế, chúng ta thu được

e−zxφ(x)dx

là một nghiệm của (2.71), thì biểu diễn sau đây đúng trong miền

A = {z : Re z > 0, | arg z| < π/2 − δ0} với δ0 > 0,

y(z) =

sXj=0

Bjz−(p+j)+ Rs(z), (2.72)

ở đây

|Rs(j)(z)| = o(1)|z|−(p+s+j), z ∈ A, j = 0, 1, 2, , ν,và

Bj = Aj

∞Z0

Ajup+j−1e−uz



du +

εZ0

e−uzw(u)up+s−1du +

∞Zε

e−uzφ(u)du,

ở đây w(u) = o(1) khi u → 0 Vì vậy, bất đẳng thức cần đạt được dễ dàng nhậnđược với z ∈ A nếu chúng ta chú ý rằng

... chỉ đặc trưng phân phối gamma (hoặc phân phối thối hóa) Trongchương này, với biến ngẫu nhiên độc lập, phânphối X Y tính hồi quy số X + Y X

Y sẽ đặc trưng< /sup>của phân. .. giải tích hàm đặc trưng điều vớimọi t ∈ R Tính bị chặn A(t), hay điều kiện tương đương E(1/X) tồntại, dẫn tới ρ < γ > Vậy bổ đề chứng minh

2.2 Đặc trưng phân phối Gamma< /h3>

Trong... hàm đặc trưng, (2.68) với

t ∈ R, Xj có phân phối gamma

Định lý 2.2.11 Cho X1, X2, , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có cùngphân phối