ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Quốc Toàn ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Quốc Toàn ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đào Hữu Hồ Hà Nội - 2012 Mục lục Lời nói đầu Một số kết cần dùng 1.1 Phân phối gamma 1.2 Hàm giải tích 1.2.1 Định nghĩa hàm giải tích phức 1.2.2 Tính giải tích hàm đặc trưng 1.3 Một số bổ đề cần sử dụng 1.4 Một số kết liên quan đến lý thuyết ước lượng 11 1.4.1 Một số khái niệm lý thuyết ước lượng 11 1.4.2 Tham số tỷ lệ 13 Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính hồi quy số 16 2.1 Các bổ đề sở 16 2.2 Đặc trưng phân phối Gamma 21 2.3 Đặc trưng phân phối gamma thông qua tính hồi quy số liên quan đến phân phối Gauss ngược suy rộng 48 Đặc trưng họ phân phối Gamma tính tối ưu ước lượng 52 3.1 Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính chấp nhận ước lượng tuyến tính tối ưu tham số tỷ lệ 3.2 52 Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính tối ưu hàm trung bình mẫu 61 3.3 Sự độc lập trung bình mẫu hệ số biến thiên mẫu 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 LỜI NÓI ĐẦU Đặc trưng phân phối xác suất hướng nghiên cứu mạnh lý thuyết thống kê nhiều thập kỷ Mặc dù có nhiều kết tiếng biết đến, vài kết đặc trưng phân phối hay sử dụng có ích nhiều ứng dụng Trong luận văn: “Đặc trưng họ phân phối Gamma”, chúng tơi trình bày đặc trưng phân phối gamma Những kết đặc trưng phân phối gamma trình bày Characterization Problems in Mathemmatical Statistics Kagan A M., Linnik YU V Rao C R Ngồi ra, chúng tơi trình bày thêm vài kết gần đặc trưng họ phân phối gamma Đó hai báo: • Mutual characterizations of the gamma and the generalized inverse Gaussian laws by constancy of regression Vanamamalai Seshadri Jacek Wesolowski, năm 2001 • On a characterization of the gamma distribution: The independence of the sample mean and the sample coefficient of variation Tea - Yuan Hwang Chin - Yuan Hu, năm 1999 Luận văn chia làm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu kết phân phối gamma, số kiến thức hàm giải tích, tính giải tích hàm đặc trưng, số định lý bổ đề quan trọng dùng để chứng minh định lý chương sau Chương Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính hồi quy số Trong chương này, chúng tơi trình bày nội dung sau đây: • Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số • Đặc trưng phân phối Gauss ngược tổng quát (GIG) phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số Chương Đặc trưng họ phân phối Gamma tính tối ưu ước lượng Trong chương này, chúng tơi trình bày nội dung sau đây: • Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính chấp nhận ước lượng tuyến tính tối ưu tham số tỷ lệ • Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính tối ưu hàm trung bình mẫu • Đặc trung phân phối gamma thơng qua tính độc lập trung bình mẫu hệ số biến thiên mẫu Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn luận văn mình, PGS.TS Đào Hữu Hồ, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn tác giả Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy cô môn Xác suất - Thống kê truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu Cuối xin cảm ơn thành viên lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn học khóa 2009-2011 ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Học viên Phạm Quốc Toàn Chương Một số kết cần dùng 1.1 Phân phối gamma Phân phối gamma họ phân phối xác suất liên tục hai tham số, tham số tỉ lệ θ tham số hình thức k Một biến ngẫu nhiên X có phân phối gamma với tham số tỷ lệ θ tham số hình thức k ký hiệu X ∼ Γ(k, θ) X ∼ Gamma(k, θ) Sau số tính chất phân phối gamma: Các tham số: tỷ lệ θ > 0, hình thức k > Giá: x ∈ [0; +∞) Hàm mật độ xác suất: +∞ exp(−x/θ) , Γ(k) = f (x, k, θ) = xk−1 · Γ(k)θk xk−1 e−x dx Giá trị trung bình: kθ Phương sai: kθ2 Hàm đặc trưng: (1 − θit)−k Rõ ràng f (x, 1, θ) mật độ mũ Thật Γ(1) = nên ta có f (x, 1, θ) = · exp(−x/θ) θ Đây hàm mật độ phân phối mũ Giả sử X1 , , Xn độc lập, phân phối mũ với mật độ f (x, 1, θ) n Xi có mật độ f (x, n, θ) i=1 1.2 1.2.1 Hàm giải tích Định nghĩa hàm giải tích phức Cho f (z) hàm nhận giá trị phức biến phức z Hàm f gọi ∞ f (n) (z0 ) (z − z0 )n giải tích z0 f khả vi vơ hạn cho chuỗi Taylor z0 : n! n=0 hội tụ tới f (z) với z lân cận z0 Hàm f (z) gọi giải tích tập mở D mặt phẳng phức f giải tích điểm z tập D 1.2.2 Tính giải tích hàm đặc trưng Trong mục này, ta ký hiệu t y biến số thực z = t + iy biến số phức Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.1 Một hàm đặc trưng f (t) gọi hàm đặc trưng giải tích với δ > tồn hàm A(z) biến phức z, giải tích đường trịn |z| < δ (ở |z| modun số phức z) cho A(t) = f (t), với |t| < δ Nói cách khác, hàm đặc trưng giải tích đồng với hàm biến phức giải tích lân cận gốc tọa độ mặt phẳng phức Một số tính chất đặc biệt hàm giải tích (xem [19]): 10 Hàm đặc trưng giải tích f f (z) hàm giải tích dải: −α < Im z < β, α = sup r : erx dF (x) < ∞ , β = sup r : e−rx dF (x) < ∞ , F (x) hàm phân phối tương ứng với hàm đặc trưng f (t) 20 Tính giải tích hàm đặc trưng f tương đương với tính dương số α, β 30 Tính giải tích hàm đặc trưng f tương đương với tồn R > cho: − F (x) + F (−x) = O(e−rx ) x → ∞, với r: < r < R 40 Hai hàm đặc trưng giải tích trùng lân cận gốc tọa độ trùng toàn miền xác định 50 Giả sử f hàm đặc trưng giải tích dải Khi thành phần giải tích dải biểu diễn f = f1 + f2 toàn dải 1.3 Một số bổ đề cần sử dụng Bổ đề 1.3.1 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.1.1] Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên EY tồn tại, Y có hồi quy số X hệ thức E(Y eitX ) = EY · EeitX (1.1) nghiệm với t ∈ R Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Y có hồi quy số X, nghĩa E(Y |X) = EY (1.2) Nhân hai vế biểu thức với eitX , ta có E(Y |X) · eitX = EY · eitX Lấy kỳ vọng hai vế biểu thức ta E E(Y |X) · eitX = E EY · eitX ⇔ E(Y · eitX |X) = EY · EeitX (1.3) Điều kiện đủ: Giả sử ta có (1.1), ta chứng minh Y có hồi quy số X Gọi P hàm phân phối biên duyên X Giả sử EY khác 0, điều kiện (1.1) viết lại sau +∞ +∞ E(Y |x) dP = eitx · EY eitx dP (1.4) −∞ −∞ E(Y |x) dP Q(A) hàm có biến phân bị chặn Theo cách EY Đặt Q(A) = A đặt điều kiện (1.4) viết lại sau eitx dQ = eitx dP (1.5) Do định lý phép biến đổi Fourier-Stieltjes hàm có biến phân bị chặn nên từ điều kiện (1.5) ta có E(Y |x) dP = EY A Từ (1.6) suy dP (1.6) A E(Y |x) = (hầu khắp nơi) Hay Y có hồi quy số EY X Cịn EY = điều kiện (1.1) viết lại sau +∞ eitx E(Y |x)dP = (1.7) −∞ +∞ eitx dQ = Suy Q(A) E(Y |x)dP Khi từ (1.7) ta có Đặt Q(A) = −∞ A hàm với A Lấy A = R , ta có Q(A) = Q(R1 ) = EY = Hay E(Y |X) = Vậy ta có điều phải chứng minh ... sau đây: • Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số • Đặc trưng phân phối Gauss ngược tổng quát (GIG) phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số Chương Đặc trưng họ phân phối Gamma tính... dụng có ích nhiều ứng dụng Trong luận văn: ? ?Đặc trưng họ phân phối Gamma? ??, chúng tơi trình bày đặc trưng phân phối gamma Những kết đặc trưng phân phối gamma trình bày Characterization Problems... 13 Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính hồi quy số 16 2.1 Các bổ đề sở 16 2.2 Đặc trưng phân phối Gamma 21 2.3 Đặc trưng phân phối gamma