Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều Vũ Thị Thảo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số 60 46 01 06 Người hướng dẫn: PGS.TS Đào Hữu Hồ Năm bảo vệ: 2013 Abstract Giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối tổng, phân phối đuôi, phân phối X(ci), tính trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ Nghiên cứu số dạng khác phân phối mũ hai chiều, theo quan điểm dựa phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa đặc tính vật lý, tính trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy Trình bày kết qủa đặc trưng phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel Keywords Xác suất; Thống kê toán học; Mũ hai chiều; Tốn học LỜI NĨI ĐẦU Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên đó, thơng tin đầy đủ nhất, quan trọng mà ta mong muốn có ta xác định xem quy luật phân phối biến ngẫu nhiên phân phối Chính từ thập niên 50 - 60 - 70 kỷ trước toán đặc trưng phân phối xác suất phát triển mạnh mẽ Tuyển tập kết theo hướng ba nhà khoa học lớn giới: Linnik Yu.V, Kagan A.M Rao C.R tổng kết lại "Characterization Problems in Mathematical Statistics" xuất năm 1972 Một tính chất S gọi tính chất đặc trưng cho họ phân phối F = {F (x, θ), θ ∈ O} X ≈ F ∈ F ta có tính chất S ngược lại, có tính chất S ta suy X có phân phối thuộc họ F Trong chuyên khảo nhiều tính chất đặc trưng cho họ phân phối xác suất quen thuộc Song kết chủ yếu tập trung vào biến ngẫu nhiên chiều Trên thực tế phân phối nhiều chiều quen thuộc phân phối chuẩn phân phối đa thức Vì xây dựng phân phối nhiều chiều khác tính chất đặc trưng chúng toán mở, thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học giới Luân văn ” Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều ” theo hướng nghiên cứu họ phân phối mũ Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số kết cần dùng Chương giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối tổng, phân phối đuôi, phân phối i X , tính trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương luận văn giới thiệu số dạng khác phân phối mũ hai chiều, theo quan điểm dựa phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa đặc tính vật lý, tính trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy Chương 3: Đặc trưng phân phối mũ hai chiều Chương trình bày kết qủa đặc trưng phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel Các kết trình bày chương chương luận văn dựa luân án tiến sỹ tác giả Muraleedharan Nair K.R thuộc trường Đại học Khoa học Kỹ thuật Cochin - Ấn độ ii Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, (2012 In lần thứ 13) Xác Suất thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, (2009) Lý thuyết Xác suất, NXB giáo dục [3] Abrahams J and Thomas J.B (1984) A note on the characterization of bivariate densities by conditional densities, Commun Statist A, 13(3), 395400 [4] Arnold B.C, (1973) Some characterization of the exponential distribution by geometric compounding, SIAM.J.Appl.Maths, 24; 242-244 [5] Azlarov T.A and Vilodin N.A (1986) Characterization problems associated with the exponential distribution, Springer-Verlag [6] Basu A.P (1971) Bivariate failure rate, J.Amer statist Assoc 66, 103-104 [7] Block H W, (1973) Monotone hazard and failure rates for absolutely continuous multivariate failure distributions Department of Mathematics Research Report 73 - 20, University of Pittsburg [8] Block H W, (1974) Constant multivariate hazard rate and continuous multivariate extensions, Department of Mathematics Research Report 74-12 University of Pittsburg 63 [9] Block H W, (1977) A characterization of a bivariate exponential distribution, Ann.Statist , 5, 808-812 [10] Bloch H.W, and Basu A.P (1974) A continuous bivariate exponential extension, J.Amer Statist Assoc 69, 1031 - 1037 [11] Downton F, (1970), Bivariate exponential distributions in reliability theory, J.Roy Statist Soc., Series B,33, No.3, 408-417 [12] Durling F.C, (1975), The bivariate Burr distribution in G.P Patil, S Kotz and J.K Ord (Eds) Statistical distributions in scientific work, vol I, Models and Structures, 329-335, Dordrecht, Reidel [13] Farlie D.J.G (1960), The performance of some correlation coefficients for a general bivariate distribution, Biometrika 47, 307-323 [14] Freund J.E, (1961) A bivariate extension of the exponential distribution, J.Amer Statist Assoc ,56, 971- 977 [15] Galambos J and Kotz S (1978) Characterizations of probability distributions, Springer-Verlag [16] Gumbel E.J (1960) Bivariate exponential distributions, J Amer Statist Assoc 55, 698- 707 [17] Gupta R.C (1975) On characterization of distributions by conditional expectations, Commun Statistics A, 4, 99-103 [18] Johnson N.L and Kotz S (1972) Distributions in Statistics, Continuous univariate distribution I John Wiley [19] Johnson N.L and Kotz S (1975) A vector valued multivariate hazard rate, J.Multiv Anal 5, 53-66 64 [20] Lindley D.V and Singpurwala N.D (1986) Multivariate distributions for the life lengths of a system sharing a common environment, J Appl Prob 23, 418-431 [21] Mardia K.V (1962) Multivariate Pareto distributions, Ann.Math.Statist, 33, 1008-1015 [22] Marshall A.W, (1975) Some comments on the hazard gradient, Stoch Proc Appl 3, 293-300 [23] Marshall A.W and Olkin I (1967) A multivariate exponential distribution, J Amer Statist Assoc 62, 30-44 [24] Moran P.A.P (1967) Testing for correlation between non-negative variates, Biometrika, 54, 385- 394 [25] Morgenstern D (1956) Einfache Beispiele Zweidimensionalar Verteilungen Milt fur, Math Stat 8, 234-235 in Jonhnson and Kotz (1970) [26] Nair K.R.M and Nair N.U (1988 a) On characterizing the bivariate exponential and geometric distributions, Ann, Inst Statist Math.40, 267-271 [27] Paulson A.S (1973) A characterization of the exponential distributions and a bivariate exponential distribution, Sankhya A, 35, 69-78 [28] Puri P.S and Rubin H (1974) On a characterization of the family of distributions with constanob multivariate failure rates, Ann Prob 2, 738-740 [29] Raftery A.E (1984) A continuous bivariate exponential distributions, Commun Statist, Theory and Methods, 13, 947- 965 [30] Rao C.R and Rubin H (1964) On a characterization of the Poisson distributions, Sankhya A, 26, 294-298 65 [31] Renyi A (1956) A characterization of the Poisson process, selected papers of Alfred Renyi Vol.I, Akademia Kaido, Budapest [32] Sarkar K.S, (1987) A continuous bivariate exponential distributions, J.Amer Statist Assoc 82, 398, 667-675 [33] Seshadri V and Patil G.P (1964) A characterization of bivariate distributions by the marginal and conditional distributions of the same component, Am Inst Statist math 15, 215- 221 [34] Shanbhag D.N (1970) Characterizations for exponential and geometric distribution, J.Amer Statist Assoc 65, 1256-1259 [35] Zahedi H (1985) Some new classes of multivariate survival distribution functions, J Statist Plann and Inf II, 171-188 [36] Reimhardt H.E (1968) Characterizing the exponential distribu- tion,Biometrcs 24, 437-438 [37] Nagaraja H.N (1975) Characterization of some distributions by conditional moments, J.Ind Statist.Assoc 13, 57-61 [38] Mukherjee S.P and D.Roy (1986) Some characterizations of the exponential and ralated life distributions, Cal Statist Assoc Bull 189-197 [39] Gupta P.L and Gupta R.C (1983) On the moments ò residual life in reliability and some characterization results, Commun Statistics A, 12, 449461 [40] Talwalker S (1970) A characterization of the double Poisson distribution, Sankhya, A, 32, 265-270 66 [41] Patil G.P and Ratnaparkhi M.V (1975) Problems of damaged random variables and related characterizations, (in Statistical characterizations in scientific work Vol 3) Ed.G.P.Patil, S.Kotz and J.K.Ord, D-Reidel [42] Characterizations of the Gumbel’s bivariate exponential distribution, Statistical Vol 21 (1990) (Reference 39) 67 ... dựng phân phối nhiều chiều khác tính chất đặc trưng chúng toán mở, thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học giới Luân văn ” Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều ” theo hướng nghiên cứu họ phân. .. phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối tổng, phân phối đuôi, phân phối i X , tính trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương luận... nhiều tính chất đặc trưng cho họ phân phối xác suất quen thuộc Song kết chủ yếu tập trung vào biến ngẫu nhiên chiều Trên thực tế phân phối nhiều chiều quen thuộc phân phối chuẩn phân phối đa thức