(Luận văn thạc sĩ) đặc trưng họ phân phối gamma

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Quốc Toàn ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Quốc Toàn ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đào Hữu Hồ Hà Nội - 2012 Mục lục Lời nói đầu Một số kết cần dùng 1.1 Phân phối gamma 1.2 Hàm giải tích 1.2.1 Định nghĩa hàm giải tích phức 1.2.2 Tính giải tích hàm đặc trưng 1.3 Một số bổ đề cần sử dụng 1.4 Một số kết liên quan đến lý thuyết ước lượng 11 1.4.1 Một số khái niệm lý thuyết ước lượng 11 1.4.2 Tham số tỷ lệ 13 Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính hồi quy số 16 2.1 Các bổ đề sở 16 2.2 Đặc trưng phân phối Gamma 21 2.3 Đặc trưng phân phối gamma thông qua tính hồi quy số liên quan đến phân phối Gauss ngược suy rộng 48 Đặc trưng họ phân phối Gamma tính tối ưu ước lượng 52 3.1 Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính chấp nhận ước lượng tuyến tính tối ưu tham số tỷ lệ 3.2 52 Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính tối ưu hàm trung bình mẫu 61 3.3 Sự độc lập trung bình mẫu hệ số biến thiên mẫu 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 LỜI NÓI ĐẦU Đặc trưng phân phối xác suất hướng nghiên cứu mạnh lý thuyết thống kê nhiều thập kỷ Mặc dù có nhiều kết tiếng biết đến, vài kết đặc trưng phân phối hay sử dụng có ích nhiều ứng dụng Trong luận văn: “Đặc trưng họ phân phối Gamma”, chúng tơi trình bày đặc trưng phân phối gamma Những kết đặc trưng phân phối gamma trình bày Characterization Problems in Mathemmatical Statistics Kagan A M., Linnik YU V Rao C R Ngồi ra, chúng tơi trình bày thêm vài kết gần đặc trưng họ phân phối gamma Đó hai báo: • Mutual characterizations of the gamma and the generalized inverse Gaussian laws by constancy of regression Vanamamalai Seshadri Jacek Wesolowski, năm 2001 • On a characterization of the gamma distribution: The independence of the sample mean and the sample coefficient of variation Tea - Yuan Hwang Chin - Yuan Hu, năm 1999 Luận văn chia làm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu kết phân phối gamma, số kiến thức hàm giải tích, tính giải tích hàm đặc trưng, số định lý bổ đề quan trọng dùng để chứng minh định lý chương sau Chương Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính hồi quy số Trong chương này, chúng tơi trình bày nội dung sau đây: • Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số • Đặc trưng phân phối Gauss ngược tổng quát (GIG) phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số Chương Đặc trưng họ phân phối Gamma tính tối ưu ước lượng Trong chương này, chúng tơi trình bày nội dung sau đây: • Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính chấp nhận ước lượng tuyến tính tối ưu tham số tỷ lệ • Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính tối ưu hàm trung bình mẫu • Đặc trung phân phối gamma thơng qua tính độc lập trung bình mẫu hệ số biến thiên mẫu Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn luận văn mình, PGS.TS Đào Hữu Hồ, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn tác giả Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy cô môn Xác suất - Thống kê truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu Cuối xin cảm ơn thành viên lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn học khóa 2009-2011 ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Học viên Phạm Quốc Toàn Chương Một số kết cần dùng 1.1 Phân phối gamma Phân phối gamma họ phân phối xác suất liên tục hai tham số, tham số tỉ lệ θ tham số hình thức k Một biến ngẫu nhiên X có phân phối gamma với tham số tỷ lệ θ tham số hình thức k ký hiệu X ∼ Γ(k, θ) X ∼ Gamma(k, θ) Sau số tính chất phân phối gamma: Các tham số: tỷ lệ θ > 0, hình thức k > Giá: x ∈ [0; +∞) Hàm mật độ xác suất: +∞ exp(−x/θ) , Γ(k) = f (x, k, θ) = xk−1 · Γ(k)θk xk−1 e−x dx Giá trị trung bình: kθ Phương sai: kθ2 Hàm đặc trưng: (1 − θit)−k Rõ ràng f (x, 1, θ) mật độ mũ Thật Γ(1) = nên ta có f (x, 1, θ) = · exp(−x/θ) θ Đây hàm mật độ phân phối mũ Giả sử X1 , , Xn độc lập, phân phối mũ với mật độ f (x, 1, θ) n Xi có mật độ f (x, n, θ) i=1 1.2 1.2.1 Hàm giải tích Định nghĩa hàm giải tích phức Cho f (z) hàm nhận giá trị phức biến phức z Hàm f gọi ∞ f (n) (z0 ) (z − z0 )n giải tích z0 f khả vi vơ hạn cho chuỗi Taylor z0 : n! n=0 hội tụ tới f (z) với z lân cận z0 Hàm f (z) gọi giải tích tập mở D mặt phẳng phức f giải tích điểm z tập D 1.2.2 Tính giải tích hàm đặc trưng Trong mục này, ta ký hiệu t y biến số thực z = t + iy biến số phức Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.1 Một hàm đặc trưng f (t) gọi hàm đặc trưng giải tích với δ > tồn hàm A(z) biến phức z, giải tích đường trịn |z| < δ (ở |z| modun số phức z) cho A(t) = f (t), với |t| < δ Nói cách khác, hàm đặc trưng giải tích đồng với hàm biến phức giải tích lân cận gốc tọa độ mặt phẳng phức Một số tính chất đặc biệt hàm giải tích (xem [19]): 10 Hàm đặc trưng giải tích f f (z) hàm giải tích dải: −α < Im z < β, α = sup r : erx dF (x) < ∞ , β = sup r : e−rx dF (x) < ∞ , F (x) hàm phân phối tương ứng với hàm đặc trưng f (t) 20 Tính giải tích hàm đặc trưng f tương đương với tính dương số α, β 30 Tính giải tích hàm đặc trưng f tương đương với tồn R > cho: − F (x) + F (−x) = O(e−rx ) x → ∞, với r: < r < R 40 Hai hàm đặc trưng giải tích trùng lân cận gốc tọa độ trùng toàn miền xác định 50 Giả sử f hàm đặc trưng giải tích dải Khi thành phần giải tích dải biểu diễn f = f1 + f2 toàn dải 1.3 Một số bổ đề cần sử dụng Bổ đề 1.3.1 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.1.1] Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên EY tồn tại, Y có hồi quy số X hệ thức E(Y eitX ) = EY · EeitX (1.1) nghiệm với t ∈ R Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Y có hồi quy số X, nghĩa E(Y |X) = EY (1.2) Nhân hai vế biểu thức với eitX , ta có E(Y |X) · eitX = EY · eitX Lấy kỳ vọng hai vế biểu thức ta E E(Y |X) · eitX = E EY · eitX ⇔ E(Y · eitX |X) = EY · EeitX (1.3) Điều kiện đủ: Giả sử ta có (1.1), ta chứng minh Y có hồi quy số X Gọi P hàm phân phối biên duyên X Giả sử EY khác 0, điều kiện (1.1) viết lại sau +∞ +∞ E(Y |x) dP = eitx · EY eitx dP (1.4) −∞ −∞ E(Y |x) dP Q(A) hàm có biến phân bị chặn Theo cách EY Đặt Q(A) = A đặt điều kiện (1.4) viết lại sau eitx dQ = eitx dP (1.5) Do định lý phép biến đổi Fourier-Stieltjes hàm có biến phân bị chặn nên từ điều kiện (1.5) ta có E(Y |x) dP = EY A Từ (1.6) suy dP (1.6) A E(Y |x) = (hầu khắp nơi) Hay Y có hồi quy số EY X Cịn EY = điều kiện (1.1) viết lại sau +∞ eitx E(Y |x)dP = (1.7) −∞ +∞ eitx dQ = Suy Q(A) E(Y |x)dP Khi từ (1.7) ta có Đặt Q(A) = −∞ A hàm với A Lấy A = R , ta có Q(A) = Q(R1 ) = EY = Hay E(Y |X) = Vậy ta có điều phải chứng minh Do U thống kê đủ đầy đủ, suy σ(U ) = U với Pσ - xác suất N +1 Do vậy, ước lượng n Zj ˆ= L j=1 N +1 n c0j Xj = j=1 tham số σ tuyệt đối chấp nhận Định lý 3.1.1 chứng minh hoàn toàn Chúng ta ý biến ngẫu nhiên X1 , , Xn phân phối, Xj ∼ F (x/σ), ước lượng tuyến tính tối ưu có dạng ˆ = c0n X, với c0n = L nα1 , αj = α2 + (n − 1)α12 xj dF (x), ước lượng tuyến tính tối ưu khơng chệch σ ˆU = X L α1 Từ Định lý 3.1.1 3.1.2 có hệ sau Hệ 3.1.4 Cho X1 , , Xn mẫu ngẫu nhiên rút từ phân phối F (x/σ), σ ∈ R1+ , thỏa mãn (3.1) Khi tính chấp nhận tuyệt đối ước ˆ = c0n X cho σ (hoặc tính chấp nhận ước lượng L ˆ U = X lượng L α1 lớp ước lượng không chệch σ) với cỡ mẫu n1 n2 , n1 n2 hai số nguyên thỏa mãn n2 > n1 ≥ 3, tính chất đặc trưng phân phối gamma 3.2 Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính tối ưu hàm trung bình mẫu Nếu giả sử biến ngẫu nhiên X1 , , Xn không thối hóa độc lập phân phối, kết mục trước mở rộng phần Sự mở rộng liên quan đến hàm q(X) X, tính tối ưu hàm lớp ước lượng khơng chệch hàm tham số 61 Eσ q đặc trưng phân phối gamma, Định lý 3.1.2, trường hợp q(X) = a0 X + a1 xem xét Chúng ta bắt đầu với tính tối ưu L2 hàm tổn thất dạng toàn k phương đa thức q(X) = a0 X + · · · + ak lớp ước lượng không chệch g(σ) = Eσ q(X) = c0 σ k + · · · + ck Một cách tự nhiên, ta giả sử F thỏa mãn điều kiện F (0−) = 0, α2k = x2k dF (x) < ∞ (3.12) Kết thuộc Kagan [7] Định lý 3.2.1 Cho (X1 , , Xn ) mẫu ngẫu nhiên rút từ phân phối F (x/σ), thỏa mãn điều kiện (3.12) với σ ∈ I, I khoảng khơng suy biến k Đa thức q(X) = a0 X + · · · + ak , a0 = 0, có bậc k ≥ tối ưu L2 σ ∈ I, hàm tổn thất dạng toàn phương, lớp ước lượng không chệch Eσ q = g(σ) dựa k mẫu cỡ n = m, m + 1, , m + k − 1, với m ≥ đó, F hàm phân phối gamma Chú ý 3.2.2 Định lý giả sử với n = m, m + k 1, , m + k − 1, đa thức - phụ thuộc n - qn (X) = an0 X + · · · + ank , an0 = 0, ước lượng không chệch tối ưu Eσ qn , với σ ∈ I Chứng minh Điều kiện cần Theo Bổ đề 1.4.8, từ tính tối ưu L2 ước lượng q(X) lớp ước lượng không chệch g(σ) cho σ ∈ I, suy với h ∈ H Eσ [hq(X)] = 0, σ ∈ I (3.13) Chúng ta sử dụng (3.13) h có dạng h(X2 /X1 , , Xn /X1 ) = h(Yn ) Khi vế trái (3.13) đa thức bậc k σ với hệ số đầu k a0 E1 (X h) Khi đó, từ (3.13) có k E1 (X h) = 0, 62 với h ∈ H Điều đồng nghĩa với k E1 (X |Yn ) = const,  k n E1  Xi  Yn  = const (3.14) i=1 Từ điều kiện định lý, (3.14) thỏa mãn với n = m, m + 1, , m + k − với m ≥ Để chứng minh tiếp Định lý 3.2.1 ta cần phát biểu chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 3.2.3 Cho Q(z) = b0 z k + · · · + bk , b0 = Nếu, với m ≥ n = m, m + 1, , m + k − 1, n E1 Q Xi Yn = const, (3.15) i=1 Xi ∼ G(α, γ) Chứng minh Bổ đề Chúng ta chứng minh quy nạp Với k = 1, hệ thức (3.15) quy (3.6), hệ thức mà theo Định lý 2.2.1 suy Xi ∼ G(α, γ) Bây giả sử bổ đề với k = 1, , p, với k = p + Tức là, (3.15) thỏa mãn đa thức Q(z) = b0 z p+1 + · · · + bp+1 , n với b0 khác Chúng ta viết Q Xi dạng i=1 n p+1 n−1 Xi Q = b0 i=1 + · · · + bp+1 Xi + Xn i=1  p+1 n−1 = b0  Xi i=1 + p+1 p n−1 Xi  Xn + · · · + Xnp+1  i=1 + · · · + bp+1 (3.16) 63 Nếu k ≥ j,  E1   j n−1 Xi Xnk−j Yn−1  i=1     j n−1   k−j   = E1 E1 Xi Xn |X1 , , Xn−1 Yn−1   i=1   j  n−1  k−j = E1 Xi E1 (Xn |X1 , , Xn−1 )|Yn−1   i=1   j n−1 = E1 Xnk−j E1 Xi  Yn−1  , (3.17) i=1 Xn độc lập với (X1 , , Xn−1 ) Bây ta viết hệ thức m+p E1 Q Xi Ym+p = const = cm+p (3.18) Ym+p−1 = cm+p−1 (3.19) Ym+p−1 = cm+p (3.20) i=1 m+p−1 E1 Q Xi i=1 Dĩ nhiên, từ (3.18) suy m+p E1 Q Xi i=1 Trừ hai vế (3.19) cho (3.20) sử dụng hệ thức (3.17) (3.16), thu m+p E1 Q1 Xi Ym+p−1 = const, i=1 Q1 (z) = b0 p+1 E1 Xm+p z p + · · · , dấu chấm thay cho đa thức có bậc ≤ p − Một điều quan trọng bậc đa thức Q1 (z) p, tức nhỏ bậc Q(z) bậc 64 Bây giờ, lặp lại lập luận cho cặp m+p−1 Q m+p−2 Xi Xi Q i=1 m+1 , , Q i=1 m Xi Q Xi i=1 i=1 thu n E1 Q1 Xi Yn = const với n = m, m + 1, , m + p − 1, i=1 đa thức Q1 có bậc p Như vậy, chuyển từ đa thức Q bậc p + 1, mà đa thức hệ thức (3.15) thỏa mãn với n = m, m + 1, , m + p tới đa thức Q1 có bậc p, mà với Q1 hệ thức với n = m, m + 1, , m + p − Với p = 1, khẳng định bổ đề đúng, suy với p = k + Bổ đề chứng minh xong Bây giờ, ta quay lại chứng minh Định lý 3.2.1, ý từ tính tối ưu q(X) lớp ước lượng không chệch Eσ q(X) với σ ∈ I với n = m, m+ 1, , m+k −1, thu hệ thức (3.14) với n = m, , m+k −1 Từ Bổ đề 3.2.3 suy Xi ∼ G(α, γ) Điều kiện đủ Nếu Xi ∼ G(α, γ), i = 1, , n, từ (3.7) (3.8) suy X thống kê đủ đầy đủ họ phân phối F (x1 /σ) · · · F (xn /σ), σ ∈ I Vì vậy, kết luận q(X) tối ưu với σ ∈ I (và chí với σ ∈ R1+ ) ước lượng không chệch Eσ q(X) Định lý 3.2.1 chứng minh xong Nhận xét 3.2.4 Nếu đưa biến ngẫu nhiên Vi với Xi = exp(Vi ), i = 1, , n, đặt G(u) = P [Vi < u; σ = 1], ký hiệu hàm đặc trưng G g, hệ thức (3.14) có dạng   k  n  Yi E e V1 − V , , Vn − V = E   i=1 65 k n e i=1 Vi , V = ( n Vi )/n, dẫn tới phương trình liên quan tới g sau n g(tj − ikj ) (k; k1 , , kn ) i=1 n = n (k; k1 , , kn ) g(−ikj ) i=1 n g(tj ) i=1 tj = 0, (3.21) j=1 (k; k1 , , kn ) = k!/(k1 ! · · · kn !) tổng hai vế lấy tất (k1 , , kn ) với kj ≥ với j kj = k Do E exp(2kVi ) hữu hạn theo giả thiết, nên vế phải vế trái (3.21) có nghĩa Lập luận dùng chứng minh Bổ đề 3.2.3 trở thành phương pháp giải (3.21) trường hợp mà thỏa mãn với m ≥ với n = m, m + 1, , m + k − Sẽ thú vị ta có phương pháp trực tiếp để giải (3.21), điều cho phép mở rộng Định lý 3.2.1 cho trường hợp X1 , , Xn không phân phối Hệ 3.2.5 Với điều kiện Định lý 3.2.1, tính tối ưu ước lượng X/α1 lớp ước lượng không chệch cho tham số σ ∈ I tính chất đặc trưng phân phối gamma Hệ không mạnh Định lý 3.1.2, hai cần đến tính độc lập phân phối X1 , , Xn Trong Định lý 3.1.2 liên quan đến tính tối ưu L lớp FU (trong lớp tính tối ưu tính chấp nhận tương đương), hệ đề cập đến tính tối ưu ước lượng X/α1 lớp tất (khơng đơn quy) ước lượng không chệch σ Bây chuyển sang xác định điều kiện cho tính tối ưu L2 hàm bị chặn ψ(X) Với tập Borel R1 , đặt dF (x1 /σ) · · · F (xn /σ) νσ (A) = x∈A Với hàm bị chặn ψ(u), xây dựng không gian L2σ (ψ) L2 (ψ) = L2σ (ψ), σ∈I 66 I khoảng khơng thối hóa Chúng ta giả sử với k ≥ đó, L2 (ψ) chứa đa thức qn (u) không đồng số có bậc xác k (3.22) Đa thức qn (u) phụ thuộc vào n Hệ 3.2.6 Cho (X1 , , X2 ) mẫu ngẫu nhiên rút từ phân phối F (x/σ), σ ∈ I Nếu với m ≥ n = m, m + 1, , m + k − 1, điều kiện (3.22) thỏa mãn, tính tối ưu ψ(X) cho σ ∈ I lớp ước lượng không chệch Eσ ψ(X) L2 với tất giá trị n trên, đặc trưng phân phối gamma Từ tính tối ưu L2 ψ(X) với n cho, điều kiện (3.22), suy k qn (X) = an0 X + · · · + ank với an0 = 0, tối ưu L2 cho σ ∈ I ước lượng không chệch Eσ qn (X) Nhưng (3.14) thỏa mãn với n = m, m + 1, , m + k − 1, biết F hàm phân phối phân phối gamma 3.3 Sự độc lập trung bình mẫu hệ số biến thiên mẫu Hai thống kê thường sử dụng lý thuyết thực hành trung bình mẫu X n độ lệch tiêu chuẩn mẫu Sn Ta biết độc lập X n Sn (dựa mẫu ngẫu nhiên) đặc trưng cho phân bố chuẩn Tuy nhiên, dường toán đặc trưng dựa tính chất hệ số biến thiên mẫu Vn = Sn /X n nghiên cứu Đây lý mà Vn khơng sử dụng thường xuyên Trong mục này, phát biểu kết sau: Định lý 3.3.1 Giả sử n ≥ X1 , X2 , , Xn n biến ngẫu nhiên dương độc lập phân phối với hàm mật độ xác suất f (x) Khi độc lập trung bình mẫu X n hệ số biến thiên mẫu Vn = Sn /X n tương đương với việc f hàm mật độ phân phối gamma 67 Định lý bị hiểu sai hệ trực tiếp Định lý 2.2.11 Định lý cần đến hồi quy số Vn X n , điều yếu tính độc lập Vn X n , lại cần thêm giả thiết tồn moment biến ngẫu nhiên Xi Định lý 3.3.1 mà không cần đến tồn moment biến ngẫu nhiên Xi Để chứng minh Định lý 3.3.1, ta cần ba bổ đề sau mà chứng minh bổ đề dựa Định lý Anosov (xem [3]) kết gần Hwang Hu (xem [22]) Ta xác định phép biến đổi phi tuyến (x1 , , xn ) → (t1 , , tn−2 , xn , ), n−i+1 ti = (n − 1)(n − i) 1/2 xi − xn + · sn n−i+1 i−1 k=1 xk − xn , sn (3.23) 1≤i≤n−2 xn = n n xi , = i=1 sn , xn tổng (3.23) nhận giá trị i = 1, sn độ lệch tiêu chuẩn x1 , , xn Khi theo kết Hwang Hu (xem [22]), ta có (n − i)(n − 1) λi (t) = n−i+1 i−1 1/2 n−1 (n − k)(n − k + 1) · ti − k=1 1/2 · tk , 1≤i≤n−2 (n − 1) · fn−2 λn−1 (t) = − (n − 1) · fn−2 λn (t) = n−2 1/2 − k=1 n−2 1/2 − k=1 n−1 (n − k)(n − k + 1) n−1 (n − k)(n − k + 1) 1/2 (3.24) · tk , 1/2 · tk , λi (t) = (xi − xn )/sn fn−2 = − t21 − · · · − t2n−2 Do vậy, có n n λ2i (t) = n − 1, λi (t) = 0, i=1 (3.25) i=1 xi = xn [vn · λi (t) + 1], ≤ i ≤ n 68 (3.26) Bổ đề 3.3.2 Giả sử n ≥ X1 , , Xn n biến ngẫu nhiên dương độc lập phân phối, với hàm mật độ xác suất f (x), X n Vn trung bình mẫu phương sai mẫu Khi đó, hàm mật độ đồng thời f (x, v) (X n , Vn ) n cn · x n−1 ·v n−2 · ··· f (x(vλi (t) + 1))dµ(t), (3.27) i=1 Bv,n √ với x > < v < n, trường hợp khác, √ cn = n! n(n − 1)(n−1)/2 , hàm λi (t) định nghĩa (3.24), √ −1/2 dµ(t) = fn−2 dt1 , , dtn−2 tập Bv,n phụ thuộc vào v, với < v < n sau: Bv,n =      max t:     max √ − n −1 (n−1)v , −1 ≤ t1 ≤ n−1 1/2 −1/2 n−k+2 · tk−1 , −fk−1 n−k f 1/2 k−1 ≤ tk ≤ − n−k      , (3.28)     ≤ k ≤ n − 2, fi = − t21 − · · · − t2i , ≤ i ≤ n − Bổ đề 3.3.3 Dưới điều kiện Bổ đề 3.3.2, giả sử X n Vn độc lập Khi đó, hàm mật độ xác suất X n Vn cho fX n (x) = an · xn−1 · [f (x)]n , x>0 (3.29) trường hợp khác, an số chuẩn hóa; n fVn (v) = bn · v n−2 · ··· Bv,n f (vλi (t) + 1)dµ(t), 0 < v < điều Đặt x = phương trình Khi đó, thu biểu diễn cho fVn (v) (3.30) Bây thay (3.30) vào phương trình, chia hai vế phương trình cho v n−2 , có n fX n (x) · bn · ··· Bv,n f (vλi (t) + 1)dµ(t) i=1 n = cn · x n−1 · ··· f (x(vλi (t) + 1))dµ(t) i=1 Bv,n √ Chú ý biến v thuộc lân cận gốc tọa độ, tức < v < n/(n − 1), miền xác định Bv,n tích phân độc lập với v; sử đụng điều sau cho v → 0+ phương trình mới, thu biểu diễn fX n (x) (3.29) Bởi vậy, chứng minh xong Bổ đề 3.3.3 Bổ đề sau suy trực tiếp từ Bổ đề 3.3.2 3.3.3 từ tính độc lập X n Vn Bổ đề 3.3.4 (Một phương trình hàm - tích phân) Dưới điều kiện Bổ đề 3.3.3, phương trình hàm - tích phân sau đây: n f (x · (λi (t) + 1))dµ(t) Bv,n i=1 n n = cn · [f (x)] · f (vλi (t) + 1)dµ(t), (3.31) Bv,n i=1 với x > < v < √ n, cn > 0, phụ thuộc vào n, số, λi (t) Bv,n tương ứng xác định (3.24) (3.28), t = (t1 , , tn−2 ) điểm tập (n−2) - chiều Bv,n Đặc biệt, v thuộc lân cận gốc tọa độ, miền xác định Bv,n tích phân độc lập với biến 70 v, nghĩa là, Bv,n thay Bn (3.31) với x > < v < √ n/(n−1), Bv,n =          −1 ≤ t1 ≤ t: max −1 n−1 n−k+2 n−k 1/2 −1/2 · tk−1 , −fk−1 f 1/2 k−1 ≤ tk ≤ − n−k      , (3.32)     ≤ k ≤ n − 2, fi = − t21 − · · · − t2i , ≤ i ≤ n − Bây quay lại chứng minh Định lý 3.3.1 Dễ dàng trung bình mẫu X n hệ số biến thiên mẫu Vn = Sn /X n độc lập phân phối gốc gamma Điều suy trực tiếp từ Bổ đề 3.3.2 cách tính tốn hệ thức thứ (3.25) Ngược lại, từ Bổ đề 3.3.4 suy f (x) thỏa mãn phương trình tích phân √ (3.31) với x > < v < n X n Vn độc lập, dạng mà Anosov xem xét (xem [6], mục 4.9) Vai trò t, s, φ thay x, x · v t; và, thay miền giá trị [0, 2π] tích phân cho φ, √ có Bv cho t, tập khơng phụ thuộc vào v < v < n/(n − 1) Nếu u := log f tập mở lớn cố định I ⊂ (0, ∞) f > 0, ta xác định Lv,t u(x) tiến hành chứng minh định lý Anosov, có u(x) = A + B log x + Cx với x ∈ I, I = (0, ∞), cuối f hàm mật độ gamma Các kết trình bày mục 3.3 thuộc Tea - Yuan Hwang Chin Yuan Hu (xem [22]) 71 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết đặc trưng phân phối gamma: thơng qua tính hồi quy số hai thống kê phi tuyến, thơng qua tính hồi quy số liên quan đến phân phối Gauss ngược suy rộng, thơng qua tính chấp nhận ước lượng tuyến tính tối ưu tham số tỷ lệ, thơng qua tính tối ưu hàm trung bình mẫu, thơng qua tính độc lập trung bình mẫu hệ số biến thiên mẫu Do khn khổ luận văn luận văn chưa phải tổng kết đầy đủ kết đặc trưng phân phối gamma, song cung cấp cho tranh tương đối hoàn chỉnh đặc trưng phân phối gamma từ thập niên phát triển mạnh mẽ kỷ trước năm đầu kỷ 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như (2004), “Thống kê toán học”, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006), “Lý thuyết xác suất”, Nhà xuất Giáo Dục Tiếng Anh Anosov D V (1964), “On an intergral equation arising in statistics”, Vestnik Leningrad University 7, 151 - 154 Kagan A M (1968), “Theory of estimation for famillies with shift-, scaleand expomential parameters”, Trudy Matem, Inst, Steklov AN SSSR Kagan A M and Rukhin A L (1967), “On the theory of estimation for a scale parameter”, Teoriia Veroiatn Prim XII Kagan A M., Linnik Y U V and Rao C.R (1973), “Characterization Problems in Mathematical Statistics”, John Wiley & Sons, New York London Sydney Toronto Kagan F M (1968), “The condition of optimality of certain estimators for famillies with scale parameters”, DAN Uzb SSR 6, 3-5 Khatri C G and Rao C R (1968), “Some characterizations of the gamma distribution”, Sankhya, Ser, A 30 Khatri C G and Rao C R (1968), “Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions”, Sankhya, Ser, A 30 10 Lehmann E (1959), “Testing of Satistical Hypotheses”, John Wiley, New York 73 11 Letac G., Seshadri V (1983), “A characterization of the generalized inverse Gaussian distribution by continued fractions, Zeitschrift fă ur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (62), 485 - 489 12 Letac G., Wesolowski J (2000), “An independence property for product of GIG and gamma laws”, Annals of Probability (28), 1371 - 1383 13 Linnik Yu V (1964), “Decomposition of Probability Laws”, Oliver and Boyd, Edinburgh 14 Linnik Yu V., Rukhin A L and Strelits Sh I (1970), “The gamma distribution and partial sufficiency of polynomials”, Trudy Matem Inst Steklov AN SSSR (111), 40 - 51 15 Lukacs E and Laha R G (1964), “Applications of characteristic functions”, Hafner Publishing Co., New York 16 Lukacs E (1960), “Characteristic functions”, Charles Griffin & Company Limited LONDON 17 Matsumoto H., Yor M (1998), “Some extensions of Pitman’s theorem involving exponential Brownian functional via generalized inverse Gaussian distributions”, Preprint Nov 98 18 Pitman E J G (1938), “The estimation of location - and scale - parameters of a continous population of any given form”, Biometrica 30, 390 421 19 Ramachandran B (1967), “Advanced Theory of Characteristic Functions”, Statistical Publishing Society, Calcuta 20 Rao C R (1966), “Characterization of the distribution of random variables in linear structural relations”, Sankhya Ser A 28 21 Strelits Sh I (1972), “On a differential equation arising in the theory of sufficient statistics”, Litrovskii Materm Sbornik 74 22 Tea - Yuan Hwang and Chin - Yuan Hu (1999), “On a characterization of the gamma distribution: The independence of the sample mean and the sample coefficient of variation”, Ann Inst Math Vol 51, No 4, 749 - 753 23 Vanamamalai Seshadri and Jacek Wesolowski (2001), “Mutual characterizations of the gamma and the generalized inverse Gaussian”, Sankhya: The Indian Journal of statistics, Volume 63, Series A, Pt 1, pp 107 112 75 ... sau đây: • Đặc trưng phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số • Đặc trưng phân phối Gauss ngược tổng quát (GIG) phân phối gamma thơng qua tính hồi quy số Chương Đặc trưng họ phân phối Gamma tính... sử dụng có ích nhiều ứng dụng Trong luận văn: ? ?Đặc trưng họ phân phối Gamma? ??, chúng tơi trình bày đặc trưng phân phối gamma Những kết đặc trưng phân phối gamma trình bày Characterization Problems... 13 Đặc trưng họ phân phối Gamma thơng qua tính hồi quy số 16 2.1 Các bổ đề sở 16 2.2 Đặc trưng phân phối Gamma 21 2.3 Đặc trưng phân phối gamma