Đặc trưng họ phân phối gamma

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Pham Quoc Tồn Đ¾C TRƯNG HO PHÂN PHOI GAMMA LUẳN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Pham Quoc Tồn Đ¾C TRƯNG HO PHÂN PHOI GAMMA Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê toán HQC Mã so: 60 46 15 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS Đào HEu Ho Mnc lnc Lài nói đau M®t so ket qua can dùng 1.1 Phân phoi gamma 1.2 Hàm giai tích 1.2.1 Đ%nh nghĩa hàm giai tích phúc 1.2.2 Tính giai tích cna hàm đ¾c trưng 1.3 M®t so bő đe can su dung 1.4 M®t so ket qua liên quan đen lý thuyet ưóc lưong 11 1.4.1 Mđt so khỏi niắm c ban cna lý thuyet ưóc lưong 11 1.4.2 Tham so ty l¾ 13 Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma thơng qua tính hoi quy hang so 16 2.1 Các bő đe so 16 2.2 Đ¾c trưng cna phân phoi Gamma 21 2.3 Đ¾c trưng phân phoi gamma thơng qua tính hoi quy hang so liên quan đen phân phoi Gauss ngưoc suy r®ng 48 Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma bai tính toi ưu cua ưác lưang 52 3.1 Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma thơng qua tính chap nh¾n đưoc cna ưóc lưong tuyen tính toi ưu cna tham so ty l¾ 52 3.2 Đ¾c trưng cna phân phoi gamma thơng qua tính toi ưu cna hàm cna trung bình mau 61 3.3 Sn đc lắp cna trung bỡnh mau v hắ so bien thiên mau 67 Ket lu¼n 72 Tài li¼u tham khao 73 LèI NĨI ĐAU Đ¾c trưng cna phân phoi xác suat m®t hưóng nghiên cúu manh lý thuyet thong kê nhieu th¾p ky M¾c dù có rat nhieu ket qua női tieng đưoc biet đen, m®t vài ket qua mói ve đ¾c trưng cna phân phoi hay su dung có ích nhieu úng dung Trong lu¾n văn: “Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma”, chúng tơi chi trình bày ve đ¾c trưng cna phân phoi gamma Nhung ket qua ban cna đ¾c trưng phân phoi gamma đưoc trình bày cuon Characterization Problems in Mathemmatical Statistics cna Kagan A M., Linnik YU V Rao C R Ngoài ra, chúng tơi trình bày thêm m®t vài ket qua gan ve đ¾c trưng HQ phân phoi gamma Đó hai báo: • Mutual characterizations of the gamma and the generalized inverse Gaussian laws by constancy of regression cna Vanamamalai Seshadri Jacek Wesolowski, năm 2001 • On a characterization of the gamma distribution: The independence of the sample mean and the sample coefficient of variation cna Tea - Yuan Hwang Chin - Yuan Hu, năm 1999 Lu¾n văn cna chúng tơi đưoc chia làm ba chương Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi giói thi¾u ket qua ban nhat cna phân phoi gamma, m®t so kien thúc ve hàm giai tích, tính giai tích cna hàm đ¾c trưng, m®t so đ%nh lý bő đe quan TRQNG đưoc dùng đe chúng minh đ%nh lý o chương sau Chương Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma thơng qua tính hoi quy hang so Trong chương này, chỳng tụi trỡnh by cỏc nđi dung sau õy: ã Đ¾c trưng cna phân phoi gamma thơng qua tính hoi quy hang so ã ắc trng giua phõn phoi Gauss ngưoc tőng quát (GIG) phân phoi gamma thông qua tính hoi quy hang so Chương Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma bai tính toi ưu cua ưác lưang Trong chương này, chúng tơi trình bày n®i dung sau õy: ã ắc trng HQ phõn phoi Gamma thơng qua tính chap nh¾n đưoc cna ưóc lưong tuyen tớnh toi u cna tham so ty lắ ã Đ¾c trưng cna phân phoi gamma thơng qua tính toi u cna cỏc hm trung bỡnh mau ã ắc trung cna phõn phoi gamma thụng qua tớnh đc lắp cna trung bình mau h¾ so bien thiên mau Qua đây, tơi xin đưoc gui lịi cam ơn sâu sac đen ngưịi thay, ngưịi hưóng dan lu¾n văn cna mình, PGS.TS Đào Huu Ho, ngưòi đưa đe tài t¾n tình hưóng dan suot q trình làm lu¾n văn cna tác gia Tơi xin cam ơn thay khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, ắc biắt l cỏc thay cụ bđ mụn Xác suat - Thong kê truyen đat cho nhieu kien thúc quý báu Cuoi xin cam ơn thành viên lóp cao HQc chuyên ngành Lý thuyet Xác suat Thong kê tốn HQc khóa 2009-2011 ln đ®ng viên, giúp đõ tơi q trình hồn thành lu¾n văn Do thịi gian trình đ cũn han che, chac chan ban luắn khụng the tránh khoi nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc sn chi bao t¾n tình cna thay cô ban, tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng năm 2012 HQc viên Pham Quoc Tồn Chương M®t so ket qua can dùng 1.1 Phân phoi gamma Phân phoi gamma m®t HQ phân phoi xác suat liên tuc hai tham so, ú mđt tham so ti lắ v mđt tham so hình thúc k M®t bien ngau nhiên X có phân phoi gamma vói tham so ty l¾ θ tham so hình thúc k đưoc ký hi¾u X ∼ Γ(k, θ) ho¾c X ∼ Gamma(k, θ) Sau m®t so tính chat cna phân phoi gamma: Các tham so: ty l¾ θ > 0, hình thúc k > Giá: x ∈ [0; +∞) Hm mắt đ xỏc suat: exp(x/) + f (x, k, θ) = xk−1 · Γ( ) k θk Giá tr% trung bình: kθ Phương sai: kθ2 Hàm đ¾c trưng: (1 − θit)−k , o Γ(k) = xk−1e−xdx Rõ ràng f (x, 1, ) l mắt đ m Thắt vắy (1) = nên ta có f (x, 1, θ) = à exp(x/) õy l hm mắt đ cna phõn phoi m Gia su X1, , Xn đc lắp, cựng phõn phoi m vúi mắt đ f (x, 1, ) thỡ n Xi se cú mắt đ f (x, n, i= θ) 1.2 1.2.1 Hàm giai tích Đ%nh nghĩa hàm giai tích phÉc Cho f (z) m®t hàm nh¾n giá tr% phúc cna bien phúc z Hàm f đưoc GQI ∞ Σ (n) giai tích tai f (z0 ) z − n neu f kha vi vô han cho chuoi Taylor : n! ( z0 0) n=0 tai z0 z h®i tu tói f (z) vói MQI z lân c¾n cna z0 Hàm f (z) đưoc GQI giai tích t¾p mo D cna m¾t phang phúc neu f giai tích tai MQI điem z cna t¾p D 1.2.2 Tính giai tích cua hàm đ¾c trưng Trong muc này, ta ký hi¾u t y bien so thnc z = t + iy bien so phúc Ta có đ%nh ngha sau: %nh ngha 1.2.1 Mđt hm ắc trng f (t) oc GQI l mđt hm ắc trng giai tớch neu vói δ > ton tai m®t hàm A(z) cna bien phúc z, giai tích đưịng trịn |z| < δ (o |z| modun cna so phúc z) cho A(t) = f (t), vói |t| < Núi mđt cỏch khỏc, mđt hm ắc trng l giai tích neu đong nhat vói m®t hàm bien phỳc giai tớch mđt lõn cắn no ú cna goc TQA đ mắt phang phỳc Mđt so tớnh chat đ¾c bi¾t cna hàm giai tích (xem [19]): 10 Hàm đ¾c trưng giai tích f f (z) se hàm giai tích dai: −α < Im z < β, α = sup r : ∫ erx dF (x) < ∞Σ , β = sup r : ∫ e−rx dF (x) < ∞Σ , F (x) hàm phân phoi tương úng vói hàm đ¾c trưng f (t) 20 Tính giai tích cna hàm đ¾c trưng f tương đương vói tính dương cna so α, β 30 Tính giai tích cna hàm đ¾c trưng f tương đương vói ton tai R > cho: − F (x) + F (−x) = O(e−rx ) x → ∞, vói MQI r: < r < R 40 Hai hàm đ¾c trưng giai tớch trựng lõn cắn cna goc TQA đ trùng tồn mien xác đ%nh 50 Gia su f hàm đ¾c trưng giai tích dai Khi neu m®t thành phan cna giai tích dai MQI bieu dien f = f1 + f2 đeu tồn b® dai 1.3 M®t so bo đe can sE dnng Bo đe 1.3.1 [ Xem [6], Chương 1, Bő đe 1.1.1] Gia su X Y hai bien ngau nhiên EY ton tai, Y có hoi quy hang so đoi vái X neu chs neu h¾ thúc E(Y eitX ) = EY · EeitX (1.1) nghi¾m vái MQI t ∈ R Chúng minh Đieu ki¼n can: Gia su Y có hoi quy hang so đoi vói X, nghĩa E(Y |X) = EY (1.2) Nhân hai ve cna bieu thúc vói eitX , ta có E(Y |X) · eitX = EY · eitX Lay kỳ vQNG hai ve bieu thúc ta đưoc EΣE(Y |X) · eitX Σ = EΣEY · eitX Σ ⇔ E(Y · eitX|X) = EY · EeitX (1.3) Đieu ki¼n đu: Gia su ta có (1.1), ta chúng minh Y có hoi quy hang so đoi vói X GQI P hàm phân phoi biên duyên cna X Gia su EY khác 0, đieu ki¾n (1.1) đưoc viet lai sau +∞ ∫ E (Y | eitx · x) −∞ EY ∫ +∞ dP = ∫ eitxdP (1.4) −∞ E(Y |x) Đ¾t Q(A) = dP Q(A) hàm có bien phân b% ch¾n Theo cách EY đ¾t đieu ki¾n (1.4) đưoc viet lai sau ∫ eitxdQ = ∫ eitxdP (1.5) A Do đ%nh lý nhat cna phép bien đői Fourier-Stieltjes đoi vói hàm có bien phân b% ch¾n nên tù đieu ki¾n (1.5) ta có ∫ E(Y |x) ∫ dP dP = EY (1.6) A A Tù (1.6) suy x) E(Y | = (hau khap nơi) Hay Y có hoi quy hang so EY đoi vói X Cịn neu EY = đieu ki¾n (1.1) đưoc viet lai sau +∞ ∫ eitxE(Y |x)dP = −∞ ∫ Đ¾t Q(A) = A E(Y |x)dP Khi tù (1.7) ta có (1.7) +∞ ∫ eitxdQ = Suy Q(A) −∞ hàm hang vói MQI A Lay A = R1 , ta có Q(A) = Q(R1) = EY =    i=1  nE = E1Xnk−j E1 Σ−1 (X n k−j  |X1, , Xn−1)|Yn−1 Σj Yn−1  , i=  X (3.17) i Xn l đc lắp vúi (X1, , Xn1) Bây giị ta viet h¾ thúc E1 ΣQ m+ XiΣ Ym+pΣ = const = cm+p p (3.18) Σ i=1 m+p− E1 ΣQ Σ i=1 (3.19) XiΣ Ym+p−1Σ = cm+p−1 Dĩ nhiên, tù (3.18) suy rang E1 ΣQ m+ XiΣ Ym+p−1Σ = p Σ cm+p (3.20) i=1 Trù hai ve cna (3.19) cho (3.20) su dung h¾ thúc (3.17) (3.16), thu đưoc m+p E1 ΣQ1 Σ = const, XiΣ Ym+p−1Σ i=1 o Q1(z) = b0 p+ Σ E Xm+ p zp + · · · , dau cham thay the cho m®t đa thúc cú bắc p Mđt ieu quan trQNG b¾c cna đa thúc Q1 (z) bang p, tỳc l nho hn bắc cna Q(z) ỳng mđt bắc Bây giị, l¾p lai l¾p lu¾n o cho c¾p Σ XiΣ m+p− Q QΣ m+p− m+ XiΣ , , Q Q Σ XiΣ i= m Σ i= i=1 i=1 XiΣ thu đưoc n Xi E1 ΣQ1 Σ.YnΣ = const vói n = m, m + 1, , m + p − 1, Σ i= đoi vói m®t đa thúc Q1 có b¾c p Như v¾y, chuyen tù mđt a thỳc Q bắc p + 1, m oi vói đa thúc h¾ thúc (3.15) đưoc thoa mãn vói n = m, m + 1, , m + p túi mđt a thỳc Q1 cú bắc l p, mà vói Q1 h¾ thúc vói n = m, m + 1, , m + p − Vói p = 1, khang đ%nh cna bő đe đúng, v¾y suy vói p = k + Bő đe đưoc chúng minh xong Q Bây giò, ta quay lai chúng minh Đ%nh lý 3.2.1, ý rang tù tính toi ưu cna q(X) lóp ưóc lưong khơng ch¾ch cna Eσq(X) vói σ ∈ I vói n = m, m+ 1, , m+ k−1, thu đưoc h¾ thúc (3.14) vói n = m, , m+ k−1 Tù Bő đe 3.2.3 suy rang Xi ∼ G(α, γ) Đieu ki¼n đu Neu Xi ∼ G(α, γ), i = 1, , n, tù (3.7) (3.8) suy rang X m®t thong kê đn đay đn đoi vói HQ phân phoi F (x1/σ) · · · F (xn/σ), σ ∈ I Vì v¾y, ket lu¾n q(X) toi ưu vói σ ∈ I (và th¾m chí vói σ+∈ R1 ) m®t ưóc lưong khơng ch¾ch cna Eσq(X) Đ%nh lý 3.2.1 đưoc chúng minh xong Nh¼n xét 3.2.4 Neu đưa bien ngau nhiên Vi vói Xi = exp(Vi), i = 1, , n, đ¾t G(u) = P [Vi < u; σ = 1], ký hi¾u hàm đ¾c trưng cna G boi g, h¾ thúc (3.14) có dang Y  Σn e Σk  E  i  .V1 − V , , Vn −V i=1 n = EΣ e  i=1 Σk Vi , o V = ( Σn 1Vi)/n, dan tói phương trình liên quan tói g sau n Σ (k; k1, , kn) g(tj − ikj) i=1 Y n n n Σ Y Y Σ = (k; k1 , , kn ) g(−ikj ) g(tj ) neu tj = 0, i= i= (3.21) j= o (k; k1 , , kn ) = k!/(k1 ! · · · kn !) tőng o hai ve đưoc lay tat ca b® (k1 , , kn ) vói kj ≥ vói mΣ Qi j kj = k Do E exp(2kVi) huu han theo gia thiet, nên ve phai ve trái cna (3.21) đeu có nghĩa L¾p lu¾n dùng chúng minh Bő đe 3.2.3 tro thành m®t phương pháp giai (3.21) trưịng hop mà đưoc thoa mãn vói m ≥ vói n = m, m + 1, , m + k − Se rat thú v% neu ta có m®t phương pháp trnc tiep đe giai (3.21), đieu se cho phép mo r®ng Đ%nh lý 3.2.1 cho trưòng hop X1, , Xn khơng phân phoi H¼ qua 3.2.5 Vái đieu ki¾n cua Đ%nh lý 3.2.1, tính toi ưu cua ưác lưang X/α1 láp ưác lưang khơng ch¾ch cho tham so I l mđt tớnh chat ắc trưng cua phân phoi gamma H¾ qua khơng manh Đ%nh lý 3.1.2, ca hai đeu can đen tính đc lắp cựng phõn phoi cna X1, , Xn Trong Đ%nh lý 3.1.2 liên quan đen tính toi ưu cna L^ chi lóp FU (trong lóp tính toi ưu tính chap nh¾n đưoc tương đương), h¾ qua đe c¾p đen tính toi ưu cna ưóc lưong X/α1 lóp tat ca (khơng chi đơn thuan quy) ưóc lưong khơng ch¾ch cna σ Bây giò chuyen sang xác đ%nh đieu ki¾n cho tính toi ưu L2 cna mđt hm b% chắn (X) bat k Vúi mđt Borel bat kỳ cna R1, đ¾t ∫ νσ(A) = dF (x1/σ) · · · F (xn/σ) x∈A Vúi mđt hm b% chắn (u), chỳng ta xõy dnng không gian L2 (ψ) σ \ L2(ψ) = Lσ2 (ψ), σ∈I I m®t khoang khơng thối hóa Chúng ta gia su rang vói k ≥ đó, L2(ψ) chúa m®t đa thúc qn(u) khơng đong nhat bang hang so có b¾c xác bang k (3.22) Đa thúc qn(u) có the phu thu®c vào n Hẳ qua 3.2.6 Cho (X1, , X2) l mđt mau ngau nhiên rút tù phân phoi F (x/σ), σ ∈ I Neu vái m ≥ n = m, m + 1, , m + k − 1, đieu ki¾n (3.22) đưac thóa mãn, tính toi ưu cua ψ(X) cho σ ∈ I láp ưác lưang khơng ch¾ch cua Eσψ(X) L2 vái tat ca giá tr% cua n trên, mđt ắc trng cua phõn phoi gamma Tự tớnh toi ưu L2 cna ψ(X) vói n cho, đieu ki¾n (3.22), suy rang qn(X) = an0X k+ · · · + ank vói an0 ƒ= 0, toi ưu L2 cho σ ∈ I l mđt úc long khụng chắch cna Eqn(X) Nhng (3.14) đưoc thoa mãn vói n = m, m + 1, , m + k − 1, v¾y biet F hàm phõn phoi cna phõn phoi gamma 3.3 SE đc lắp cua trung bình mau h¾ so bien thiên mau Hai thong kê thưòng đưoc su dung ca lý thuyet thnc hành trung bình mau X n v đ lắch tiờu chuan mau Sn Ta cng biet rang sn đc lắp cna X n v Sn (dna trờn mđt mau ngau nhiờn) ắc trng cho phõn bo chuan Tuy nhiên, dưịng tốn đ¾c trưng dna tính chat cna h¾ so bien thiên mau Vn = Sn/Xn rat hiem đưoc nghiên cúu Đây có the lý tai mà Vn khơng đưoc su dung thưịng xun Trong muc này, phát bieu ket qua sau: Đ%nh lý 3.3.1 Gia su n ≥ X1, X2, , Xn n bien ngau nhiờn dng đc lắp v cựng phõn phoi vỏi hm mắt đ xỏc suat l f (x) Khi ú sn đc lắp cua trung bỡnh mau X n h¾ so bien thiên mau Vn = Sn/X n tng ng vỏi viắc f l hm mắt đ cua phân phoi gamma Đ%nh lý có the b% hieu sai nh l mđt hắ qua trnc tiep cna Đ%nh lý 2.2.11 Đ%nh lý can đen sn hoi quy hang so cna Vn đoi vói X n , ieu ny yeu hn tớnh đc lắp cna Vn X n , lai can thêm gia thiet ve sn ton tai moment cna bien ngau nhiên Xi Đ%nh lý 3.3.1 mà không can đen sn ton tai moment cna bien ngau nhiên Xi Đe chúng minh Đ%nh lý 3.3.1, ta can ba bő đe sau mà chúng minh cna bő đe đưoc dna Đ%nh lý Anosov (xem [3]) ket qua gan cna Hwang Hu (xem [22]) Ta xác đ%nh m®t phép bien đői phi tuyen (x1, , xn) → (t1, , tn−2, xn, vn), Σ ti = n−i+1 Σx − i · x Σ i− x − s xn Σ k + n− i+1 n (n − 1)(n − i) s n 1Σ n n k=1 , 1≤ i≤ n − n xn = Σ1/2 ix , = i= sn x (3.23) , n tőng (3.23) nh¾n giá tr% i = 1, v sn l đ lắch tiờu chuan cna x1, , xn Khi theo ket qua cna Hwang Hu (xem [22]), ta có λi(t) = i−1 n − i)(n − 1) n− Σ(1/2 Σ · ti Σ 1/2 − (n − k)(n − k + Σ n− i+1 Σ k=1 1) 1≤ i≤ n · tk, − λn−1(t) = − Σ (n − 1) · fn−2 Σ1/2 nΣ−2 −Σ 1/2 λn(t) = Σ (n − 1) · fn−2 Σ1/2 k=1 nΣ−2 − Σ1/2 k=1 Σ Σ n−1 · tk, (n − k)(n − k + 1) n−1 (n − k)(n − k + 1) · tk, (3.24) 2đó λi (t) = (xi − xn )/sn fn−2 = − t2 − · · · −t n Σ i=1 Do v¾y, có n−2 n λi(t) = 0, Σ λi 2(t) = n − 1, (3.25) i=1 xi = xn[vn · λi(t) + 1], ≤ i ≤ n (3.26) Bo đe 3.3.2 Gia su n ≥ X1, , Xn n bien ngau nhiên dương đc lắp v cựng phõn phoi, vỏi hm mắt đ xác suat f (x), X n Vn lan lưat trung bình mau phương sai mau Khi ú, hm mắt đ ong thi f (x, v) cua (Xn , Vn) cn · xn−1 · vn−2 ∫ · n ∫ iY f (x(vλi(t) + 1))dµ(t), · · · =1 (3.27) Bv,n √ vái x > < v < n, bang trưàng hap khác, cn = √ n! n(n − 1)(n−1)/2, hàm λi(t) đưac đ%nh nghĩa (3.24), dà(t) = f1/2dt1, , dtn2 v Bv,n phn thu®c vào v, vái < v < n n− sau: −1 , n , −1, ≤ t1 ≤   n− max −√  (n−1)v Σ :  · tk−1,  −f −1/2 = − 1/2 fk−1 Bv,n t n−k+2 , (3.28) ≤ t k k−1 Σ1/2n k n−k ≤ −   2≤k≤n − 2, 2 fi = − t − · i· · − t , ≤ i ≤ n − Bo đe 3.3.3 Dưái đieu ki¾n cua Bő đe 3.3.2, gia su rang Xn v Vn l đc lắp Khi ú, hm mắt đ® xác suat cua Xn Vn lan lưat đưac cho bái f Xn (x) = an · xn−1 · [f (x)]n, x>0 ∫ hap ∫ khác, an hang so chuan hóa; bang trưàng · · · iYn f (vλi(t) + 1)dµ(t), < v √ n−2 =1 < Bv,n fVn (v) = bn · v n · (3.29) (3.30) bang trưàng hap khác, bn hang so chuan hóa, λi(t) Bv,n đưac xác đ%nh (3.24) (3.28) tương úng Chúng minh Gia su fX (x) fVn (v) lan lưot hàm mắt đ xỏc suat cna Xn n v Vn tng ỳng Tự B e 3.3.2 v tự tớnh đc lắp cna Xn v Vn suy rang hm mắt đ đong thịi cna (Xn, Vn) phai bang tích cna hai hm mắt đ, n fX (x) à fV n n (v) = cn · xn−1 · vn−2 · ∫ · · · iY f (x(vλi(t) + 1))dµ(t), Bv,n =1 vói MQI x > < v < √ n Chúng ta thay rang fX n (x) ƒ= neu √ khơng v¾y ve phai cna phương trình se tri¾t tiêu vói MQI < v < n, đieu khơng the Đ¾t x = phương trình Khi đó, thu đưoc bieu dien cho fVn (v) (3.30) v Bây giị thay (3.30) vào phương trình, chia hai ve cna phương trình cho , có n−2 fXn (x) · bn · ∫ ∫·· · n iY =1 f (vλi(t) + 1)dµ(t) = cn · xn−1 · ∫ · · · ∫ Y Bv,n Bv,n √ n f (x(vλi(t) + 1))dµ(t) i=1 Chú ý rang neu bien v thuđc lõn cắn cna goc TQA đ, túc < v < n/(n − 1), mien xỏc %nh Bv,n cna tớch phõn l đc lắp vói v; đau tiên su đung đieu sau cho v → 0+ phương trình mói, thu đưoc bieu dien cna f (x) (3.29) Boi v¾y, chúng minh xong Bő đe 3.3.3 Xn Bő đe sau đưoc suy trnc tiep tù Bő đe 3.3.2 3.3.3 tù tính đc lắp cna X n v Vn Bo e 3.3.4 (M®t phương trình hàm - tích phân) Dưái đieu ki¾n cua Bő đe 3.3.3, phương trình hàm - tích phân sau đây: ∫ Bv,n n iY =1 f (x · (λi(t) + 1))dµ(t) = cn · [f (x)]n · ∫ n Y Bv,n i=1 f (vλi(t) + 1)dµ(t), (3.31) √ vái MQI x > < v < n, cn > 0, phn thu®c vào n, m®t hang so, λi (t) Bv,n tương úng đưac xác đ%nh (3.24) (3.28), t = (t1 , , tn−2 ) m®t điem t¾p (n − 2) - chieu Bv,n Đ¾c biắt, neu v thuđc lõn cắn cua goc TQa đ, mien xác đ%nh Bv,n cua tích phân đ®c l¾p vái bien v, nghĩa là, Bv,n đưac thay bái Bn (3.31) vái x > < v < √ n/ (n−1), Bv,n −1  −1 ≤ t1 ≤  n−  n−k = : t  2≤ k≤ n − 2, n−k+2 Σ1/2 · tk−1, −1/ Σ    ≤ tk ≤ − k−1 , (3.32) f n− k −fk−1 1/   fi = − t2 − · i· · − t2, ≤ i ≤ n − Bây giò quay lai chúng minh Đ%nh lý 3.3.1 De dàng chi rang trung bình mau X n h¾ so bien thiên mau Vn = Sn/X n l đc lắp neu phõn phoi goc gamma Đieu đưoc suy trnc tiep tù Bő đe 3.3.2 bang cách tính tốn h¾ thúc thú nhat (3.25) Ngưoc lai, tù Bő đe 3.3.4 suy rang f (x) thoa mãn phương trình tích phân √ (3.31) vói MQI x > < v < n neu X n Vn đc lắp, boi vắy nú cựng dang m Anosov ó xem xét (xem [6], muc 4.9) Vai trò cna t, s, φ bây giò đưoc thay the boi x, x · v t; và, thay mien giá tr% [0, 2π] cna tích phân cho φ, có Bv cho t, ny khụng phu thuđc vo v neu < v √ < n/(n − 1) Neu u := log f trờn mđt mo lún nhat co đ%nh I ⊂ (0, ∞) f > 0, ta xác đ%nh Lv,t u(x) tien hành chúng minh đ%nh lý Anosov, có u(x) = A + B log x + Cx vói x ∈ I, I = (0, ), v cuoi cựng f l hm mắt đ gamma Q Các ket qua trình bày muc 3.3 thu®c ve Tea - Yuan Hwang Chin Yuan Hu (xem [22]) KET LU¾N Lu¾n văn trình bày ket qua ve đ¾c trưng phân phoi gamma: thơng qua tính hoi quy hang so cna hai thong kê phi tuyen, thơng qua tính hoi quy hang so liên quan đen phân phoi Gauss ngưoc suy r®ng, thơng qua tính chap nh¾n đưoc cna ưóc lưong tuyen tính toi ưu cna tham so ty l¾, thơng qua tính toi ưu cna hàm trung bỡnh mau, thụng qua tớnh đc lắp cna trung bình mau h¾ so bien thiên mau Do khn kh cna mđt luắn cho nờn ban luắn chưa phai m®t tőng ket đay đn ve ket qua ve đ¾c trưng phân phoi gamma, song cung cap cho m®t búc tranh tương đoi hồn chinh ve đ¾c trưng phân phoi gamma tù nhung th¾p niên phát trien manh me o the ky trưóc cho đen nhung năm đau cna the ky TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Vi¼t Đào Huu Ho, Nguyen Văn Huu, Hoàng Huu Như (2004), “Thong kê tốn HQc”, Nhà xuat ban ĐHQG Hà N®i Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên (2006), “Lý thuyet xác suat”, Nhà xuat ban Giáo Duc Tieng Anh Anosov D V (1964), “ On an intergral equation arising in statistics”, Vestnik Leningrad University 7, 151 - 154 Kagan A M (1968), “Theory of estimation for famillies with shift-, scale- and expomential parameters”, Trudy Matem, Inst, Steklov AN SSSR Kagan A M and Rukhin A L (1967), “On the theory of estimation for a scale parameter”, Teoriia Veroiatn Prim XII Kagan A M., Linnik Y U V and Rao C.R (1973), “Characterization Problems in Mathematical Statistics”, John Wiley & Sons, New York London Sydney Toronto Kagan F M (1968), “The condition of optimality of certain estimators for famillies with scale parameters”, DAN Uzb SSR 6, 3-5 Khatri C G and Rao C R (1968), “Some characterizations of the gamma distribution”,˜Sankhya, Ser, A 30 Khatri C G and Rao C R (1968), “Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions”, Sankhya, ˜ Ser, A 30 10 Lehmann E (1959), “Testing of Satistical Hypotheses”, John Wiley, New York 11 Letac G., Seshadri V (1983), “ A characterization of the generalized in- verse Gaussian distribution by continued fractions, Zeitschrift fuăr Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (62), 485 - 489 12 Letac G., Wesolowski J (2000), “An independence property for product of GIG and gamma laws”, Annals of Probability (28), 1371 - 1383 13 Linnik Yu V (1964), “Decomposition of Probability Laws”, Oliver and Boyd, Edinburgh 14 Linnik Yu V., Rukhin A L and Strelits Sh I (1970), “The gamma distribution and partial sufficiency of polynomials”, Trudy Matem Inst Steklov AN SSSR (111), 40 - 51 15 Lukacs E and Laha R G (1964), “Applications of characteristic functions”, Hafner Publishing Co., New York 16 Lukacs E (1960), “Characteristic functions”, Charles Griffin & Company Limited LONDON 17 Matsumoto H., Yor M (1998), “ Some extensions of Pitman’s theorem involving exponential Brownian functional via generalized inverse Gaussian distributions”, Preprint Nov 98 18 Pitman E J G (1938), “ The estimation of location - and scale - parameters of a continous population of any given form”, Biometrica 30, 390 421 19 Ramachandran B (1967), “Advanced Theory of Characteristic Functions”, Statistical Publishing Society, Calcuta 20 Rao C R (1966), “Characterization of the distribution of random variables in linear structural relations”, Sankhya Ser A 28 21 Strelits Sh I (1972), “ On a differential equation arising in the theory of sufficient statistics”, Litrovskii Materm Sbornik 22 Tea - Yuan Hwang and Chin - Yuan Hu (1999), “On a characterization of the gamma distribution: The independence of the sample mean and the sample coefficient of variation”, Ann Inst Math Vol 51, No 4, 749 - 753 23 Vanamamalai Seshadri and Jacek Wesolowski (2001), “Mutual character- izations of the gamma and the generalized inverse Gaussian”, ˜ Sankhya: The Indian Journal of statistics, Volume 63, Series A, Pt 1, pp 107 - 112 ... Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma thơng qua tính hoi quy hang so 16 2.1 Các bő đe so 16 2.2 Đ¾c trưng cna phân phoi Gamma 21 2.3 Đ¾c trưng phân phoi gamma. .. nhieu úng dung Trong lu¾n văn: “Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma? ??, chúng tơi chi trình bày ve đ¾c trưng cna phân phoi gamma Nhung ket qua ban cna đ¾c trưng phân phoi gamma đưoc trình bày cuon Characterization... hoi quy hang so liên quan đen phân phoi Gauss ngưoc suy r®ng 48 Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma bai tính toi ưu cua ưác lưang 52 3.1 Đ¾c trưng HQ phân phoi Gamma thơng qua tính chap nh¾n