Một số bài toán đặc trưng của phân phối hình học hai chiều

„I HÅC QC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N €O ANH TU‡N MËT SÈ B€I TON C TR×NG CÕA PH…N PHÈI HœNH HÅC HAI CHI—U LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC H Nëi, N«m 2015 „I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N €O ANH TU‡N MËT SÈ B€I TON C TR×NG CÕA PH…N PHÈI HœNH HÅC HAI CHI—U Chuyản ng nh: Lỵ thuyát xĂc suĐt v thống kả to¡n håc M ¢ sè: 60.46.01.06 LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc PGS TS O HU Hầ H Nởi, Nôm 2015 i LI NI U Khi nghiản cựu mởt bián ngău nhiản n o õ, thổng tin Ưy nhĐt, quan trồng nhĐt m ta mong mn câ ÷đc l ta x¡c ành xem quy luêt phƠn phối cừa bián ngău nhiản õ l phƠn phối n o Chẵnh vẳ vêy tứ nhỳng thêp niản 50 - 60 - 70 cừa thá k trữợc b i toĂn c trững phƠn phối xĂc suĐt  phĂt trin rĐt mÔnh m Tuyn têp cĂc kát quÊ theo hữợng n y  ữủc ba nh khoa hồc lợn trản thá giợi: Linnik Yu.V, Kagan A.M v Rao C.R tờng kát lÔi "Characterization Problems in Mathematical Statistics" xuĐt bÊn nôm 1972 Mởt tẵnh chĐt S ữủc gồi l tẵnh chĐt c trững cho hồ phƠn phối F = {F (x, θ), θ ∈ O} n¸u X ≈ F F thẳ ta cõ tẵnh chĐt S v ngữủc lÔi, náu cõ tẵnh chĐt S thẳ ta suy X câ ph¥n phèi thuëc hå F Trong chuyản khÊo trản rĐt nhiÃu tẵnh chĐt c trững cho cĂc hồ phƠn phối xĂc suĐt quen thuởc  ữủc ch Song kát quÊ chừ yáu têp trung v o bián ngău nhiản mởt chiÃu Trản thỹc tá c¡c ph¥n phèi nhi·u chi·u quen thc cơng ch¿ l phƠn phối chuân v phƠn phối a thực Vẳ vêy x¥y düng c¡c ph¥n phèi nhi·u chi·u kh¡c v c¡c tẵnh chĐt c trững cừa chúng ang l b i toĂn m, thu hút ữủc nhiÃu sỹ quan tƠm cừa cĂc nh khoa hồc trản thá giợi CĂc kát quÊ nhên ữủc têp trung v o phƠn phối mụ v phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Luên vôn cừa hồc viản Vụ Th ThÊo khõa 2011-2013 vợi à t i Mởt số b i toĂn c trững cừa phƠn phối mụ hai chiÃu  cho mởt bực tranh Ưy và phƠn phối mụ hai chiÃu v cĂc kát quÊ c trững cừa phƠn phối n y Trong luên vôn n y chúng tổi trẳnh b y cĂc kát quÊ cừa b i toĂn m trản ối vợi phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Luên vôn "Mởt số b i toĂn c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu" bao gỗm phƯn m Ưu, phƯn kát luên, danh mửc t i liằu tham khÊo v gỗm hai chữỡng: Chữỡng 1: PhƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Chữỡng n y chúng tổi nhc lÔi mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt liản quan tợi phƠn phối hẳnh hồc mởt chiÃu: khĂi niằm h m sinh, h m c trững, tẵnh mĐt trẵ nhợ, h m sống sõt, tốc thĐt bÔi Sau õ chúng tổi giợi thiằu cĂc phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu, m rởng tẵnh mĐt trẵ nhợ, phƠn phối biản duyản v phƠn phối cõ iÃu kiằn, cĂc mổ men, dÔng giợi hÔn Chữỡng 2: Mởt số tẵnh chĐt c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Trong chữỡng n y luên vôn giợi thiằu cĂc tẵnh chĐt c trững dỹa trản tẵnh mĐt trẵ nhợ, mổ men b cht cửt, dỹa trản phƠn phối cõ iÃu kiằn v phƠn phối biản duyản, dỹa trản h m tốc thĐt bÔi v h m sống sõt trung bẳnh CĂc kát quÊ trẳnh b y chữỡng v chữỡng cừa luên vôn ữủc dỹa trản luƠn Ăn tián s cừa tĂc giÊ Muraleedharan Nair K.R thuởc trữớng Ôi hồc Khoa hồc v K thuêt Cochin - ‡n ë v b i b¡o "Bivariate Geometric Distributions" cõa Edward Omey v Leda D Minkova LÍI CƒM èN Trữợc trẳnh b y nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sc tợi PGS.TS O HU Hầ ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tổi cõ th ho n th nh luên vôn n y Tổi cụng xin b y tọ lỏng biát ỡn chƠn th nh tợi to n thº c¡c th¦y cỉ gi¡o Khoa To¡n - Cì - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, Ôi hồc Quốc gia H Nởi, cụng nhữ cĂc thƯy cổ  tham gia giÊng dÔy cho khõa cao hồc khõa 2012 - 2014 Nh¥n dàp n y tỉi cơng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b ¢ ln cê vơ, ëng vi¶n, gióp ï º tỉi câ thº ho n th nh nhi»m vư cõa m¼nh H Nëi, th¡ng 12 n«m 2014 Mưc lưc Líi nâi Ưu Lới cÊm ỡn PhƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu i iv 1.1 PhƠn phối hẳnh hồc mởt chiÃu 1.2 PhƠn phối hẳnh håc hai chi·u 1.2.1 CĂc phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu 1.2.2 .M rởng tẵnh mĐt trẵ nhợ 13 1.2.3PhƠn phối biản duyản v phƠn phối cõ iÃu ki»n 14 1.2.4 .C¡c mæ men 16 1.2.5 DÔng giợi hÔn 16 Mởt số tẵnh chĐt c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hồc hai chiÃu 18 2.1 CĂc tẵnh chĐt c trững dỹa trản tẵnh mĐt trẵ nhợ 18 2.2 CĂc tẵnh chĐt c trững dỹa trản cĂc tẵnh chĐt cừa mổ men b cht cửt (xem [5]) .24 2.3 C¡c t½nh chĐt c trững dỹa trản cĂc tẵnh chĐt phƠn phối cõ iÃu kiằn v phƠn phối biản duyản (xem [7]) .34 2.4 CĂc c trững dỹa trản tốc thĐt bÔi v h m sống thảm trung bẳnh (xem [5]) 38 Kát luên T i liằu tham khÊo 43 44 Chữỡng PhƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Trong chữỡng n y chúng tổi s giợi thiằu và phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu  ữủc cĂc nh khoa hồc xƠy dỹng, cụng nhữ cĂc tẵnh chĐt cừa nõ Những trữợc i án cổng viằc õ, tiằn theo dói, chúng tổi nhc lÔi cĂc khĂi niằm v mởt số kát quÊ liản quan cừa phƠn phối hẳnh hồc mởt chiÃu 1.1 PhƠn phối hẳnh hồc mởt chiÃu Chúng ta xt dÂy n php thỷ Bernoulli vợi khÊ nông th nh cæng cõa méi ph²p thû l p (kh£ nông php thỷ thĐt bÔi l q = p) Chúng ta quan tƠm tợi bián cố: cõ bao nhiảu php thỷ trữợc kát quÊ th nh cổng thự r, r l số nguyản, dữỡng cố nh Nõi chung sè c¡c k¸t qu£ n ph²p thû s³ nhä hỡn r, xĂc suĐt kát quÊ thự r x£y ð ph²p thû thù ν, â ν ≤ n , rã r ng l khỉng phư thc v o n m ch¿ phö thuëc v o ν, r, p Vẳ r nản cho tiằn ta viát = r + k XĂc suĐt kát quÊ thự r xÊy tÔi php thỷ (r + k), k = 0, 1, 2, s³ ÷đc kẵ hiằu l f (k; r, p) XĂc suĐt n y chẵnh l xĂc suĐt cõ úng k thĐt bÔi trữợc th nh cổng thự r Bián cố nhữ vªy x£y v ch¿ sè (r + k − 1) ph²p thû câ óng k th§t bÔi v php thỷ sau cũng, tực l php thỷ (r + k) , ữủc kát thúc th nh cổng; cĂc xĂc suĐt tữỡng ựng s l Ck pr1qk v p, n+k−1 f (k; r, p) = Ck prqk ; k = 0, 1, 2, n+k−1 â Chùng minh: Khi c¡c ph¥n phèi câ i·u ki»n cõa Xi vỵi håc, h m sèng Xj ≥ tj ¢ cho l h¼nh sât câ i·u ki»n cõa X1 vợi iÃu kiằn X2  cho, l biu thực R (t1|t2) = P [X1 ≥ t1|X2 ≥ t2] = [p1 (t2)]t1 (2.49) < p1 (t2) < 1, t1 = 0, 1, 2, °t t2 = R1 (t1) = P [X1 ≥ t1] = (p1)t1 , â p1 = p1 (0) Ta câ R (t1, t2) = R (t1|t2) R2 (t2) = [p1 (t2)]t1 pt2 T÷ìng tü, thay vai trá X2 cho X1 chóng (2.50) ta câ R (t1, t2) = [p2 (t1)]t2 pt1 (2.51) Tø (2.50) v (2.51) chóng ta câ [p1 (t2)]t1 pt2 = [p2 (t1)]t2 pt1 (2.52) Phữỡng trẳnh (2.52) úng vợi mồi t1, t2, nghiằm cõa nâ ch¿ câ thº l Σ Σ1/t p (t1 ) p l hơng số ởc lêp vợi1 t1 v Σ = t2 2p 1(t ) Σ1/t p Tø 1â cho pi (tj ) = pi θtj m thay v o (2.51) hoc (2.52) dăn án (2.6) M°t kh¡c, n¸u chóng ta gi£ sû R (t1, t2) = pt1 pt2 θt1t2 chóng ta câ R (t =θ (2.53) R (t1, |t ) = t 2) = pt1 θt1t2 R2 (t2) H m xĂc suĐt cõ iÃu kiằn cừa X1 vợi i·u ki»n X2 > t2 ¢ cho: f (x1 |X2 ≥ x2 )=R (t1 | )−R t2 (t1 )= + 1| t2 p1 Σt θ t2 −p t2 v nõ lÔi l hẳnh hồc vợi tham số p1 Cụng vẳ ≤ 1, n¶n < p θt < (∀t2) Do õ phƠn phối cõ iÃu kiằn cừa X1 vợi X2 > t2  cho l hẳnh hồc Tữỡng tỹ phƠn phối cõ iÃu kiằn cừa X2 vợi X1 t1  cho l hẳnh hồc Khi vctỡ ngău nhiản X l phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu, nhc lÔi h m xĂc suĐt cõ iÃu kiằn cừa X1 X2 = x2  cho, ữủc cho bi (1.28) v h m xĂc suĐt biản duyản ữủc cho bi (2.18) DÔng cừa h m xĂc suĐt cõ iÃu kiằn (1.28) cõ th ữủc sỷ dửng dăn án cĂc c trững cừa mổ hẳnh hẳnh hồc mởt chiÃu cụng nhữ mổ hẳnh hẳnh hồc hai chiÃu dÔng (2.6) t2 nh lẵ 2.7 Náu X = (X1, X2) l vctỡ ngău nhiản vợi giĂ I+ cho phƠn phối cõ iÃu kiằn cừa X1 vợi X2  cho l biºu thùc (1.28), â X1 l ph¥n phối hẳnh hồc náu X2 cõ phƠn phối hẳnh hồc Chựng minh: GiÊ sỷ X2 cõ phƠn phối hẳnh hồc Khi â h m x¡c su§t cõa X2 l biºu thùc f2 (x2 ) = px (1 − p2 ) , x2 = 0, 1, 2, (2.54) 2 Sû dưng biºu thùc èi vỵi f (x1|x2 ) tø (1.28) v trản, h m xĂc suĐt ỗng thới cừa X s³ l f2 (x2 ) ÷đc cho ð f (x1 , x2 ) = px1 px2 θx1 x2 −1 Σ − p1 θx2 +1 Σ Σ Σ − p2 θx1 +1 + θ − L§y têng theo gi¡ cõa X2, (2.55) f1 (x1 ) = px1 (1 − p1 ) , x1 = 0, 1, 2, Cịng thíi iºm n y náu th nh phƯn X1 ữủc cho l hẳnh hồc dÔng (2.55), thẳ ng thực f1 (x1 ) = f (x1 |x2 ) f2 (x2 ) x2=0 cho ta x θx1x2−1 p =1 (1 − p1) ho° c Σ ∞ px1 x2=0 x2= Σ − p1θ 1− p2 x2= (1 − p1 ) (1 − p2 ) = ∞ ∞ Σ =Σ x +1 Σ θ x1 x2 Σ x +1 Σ 1 − p1θ Σ + θ − f2 (x2 ) Σ θx1 x2 −1 Σ θ − p2 θx1 +1 − p1 θx2 +1 + p1 p2 θx1 +x2 −2 f2 (x2 ) (1 − p1 Cho c¡c h» sè cõa θrx θ ) − θx1 (x2 p2 p1 x2 , r = 0, 1, 2, , +1) − θ x2 ΣΣ +1 (x2) f2 hai vá bơng nhau: f2 (x2 ) = px2 (1 − p2 ) , x2 = 0, 1, 2, v k¸t qu£ cõa chóng ta  ữủc chựng minh Hằ quÊ: PhƠn phối cõ iÃu kiằn cừa Xi vợi Xj = xj  cho l biu thực (1.28) v Xi cõ phƠn phối hẳnh hồc l i·u ki»n c¦n v õ º (X1, X2) câ phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu nh lẵ 2.8 GiÊ sỷ X = (X1, X2) l vctỡ ngău nhiản vợi giĂ I + X cõ phƠn phối hẳnh hồc hai chi·u (2.6) n¸u v ch¿ n¸u c¡c i·u ki»n sau Ơy ữủc thọa mÂn: (i) PhƠn phối biản duyản cõa X1 l h¼nh håc; (ii) l p2 K¼ vång câ i·u ki»n cõa X2 vỵi X1 ≥ t ¢ cho: E (X2 − t2|X1 ≥ t) θt2 − θt1 Σ−1 p2 Chùng minh: i·u ki»n (ii) nh lẵ cõ th viát lÔi nhữ sau r2 (t1) R (t1, t2) = Thay t2 l t2 + Σ Σ t t (x2 − t2) f (x1, x2) = Σ s= R (t1, t2 + s) (2.56) v trø i tø (2.56): r2 (t1) [R (t1, t2) − R (t1, t2 + 1)] = R (t1, t2 + 1) ho° c r2 ( t ) R R , + 1) = Σ (t1 t2 (t Σ1 + r2 (t1) Gi£m t2 liản tiáp ta ữủc Khi (ii) thọa m Ân: R (t1, t2) = r2 ( t ) =p + r2 (t1) , ) t2 (2.57) Σt r2 (1t ) + r2 (t1) R (t1, 0) (2.58) θ t1 Tø i·u ki»n (i) cừa nh lẵ BƠy giớ (2.58) s l t1 R (t1, 0) = p R (t1, t2t)1t2= pt1 pt2 Ngữủc lÔi X cõ phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu, (i) v (ii) ÷ñc suy tø (2.9) v (1.27) v chùng minh ÷ñc ho n th nh 2.4 C¡c °c tr÷ng dỹa trản tốc thĐt bÔi v h m sống thảm trung bẳnh (xem [5]) Trong phƯn n y à cêp án khĂi niằm tốc thĐt bÔi (failure rate) v h m sống thảm trung bẳnh (mean residual life (MRL)) trữớng hủp rới rÔc v sỷ dưng nâ nh÷ l cỉng cư º °c tr÷ng cho phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Chúng ta nh nghắa tốc thĐt bÔi hai chiÃu nhữ l mởt vctỡ hai th nh ph¦n h (t) = (h1 (t) , h2 (t)) â h (t) = i P (Xi = ti, Xj ≥ tj ) ; i, j = 1, 2; ƒ i = j P (X1 ≥ t1, X2 ≥ t2) R2 (t2 ) fi (ti |Xj ≥ tj ) R (t1, t2) (2.59) Chú ỵ rơng phƠn phối cõ iÃu kiằn trản tỷ số l mởt nhỳng phƠn phối m  gp phƯn 1.2 Trong cĂc nh lẵ tiáp theo s chựng minh rơng tẵnh hơng số a phữỡng cừa hi(t1, t2) l mởt tẵnh chĐt c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu (2.6) = nh lẵ 2.9 Vc tỡ ngău nhiản X = (X1, X2) vợi giĂ2 I + cõ phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu (2.6) náu v ch náu h m tốc thĐt bÔi cừa nõ cõ dÔng h (t1, t2) = [h1 (t2) , h2 (t1)] â h1 v h2 l c¡c h m khổng tông theo cĂc bián tữỡng ựng, cho hi(0) = − pi, i = 1, Chùng minh: º chùng minh i·u ki»n c¦n, tø (2.59) chóng ta câ R (t1, t2) h1 (t1, t2) = R (t1, t2) − R (t1 + 1, t2) Do â R (t1 + 1, t2) = [1 − h1 (t1, t2)] R (t1, t2) (2.60) R (t1, t2 + 1) = [1 − h2 (t1, t2)] R (t1, t2) (2.61) T÷ìng tü °t t2 = (2.60) R1 (t1) = [1 − h1 (t1 − 1, 0)] R (t1 1) Lp lÔi phữỡng trẳnh n y vợi cĂc giĂ tr t1 giÊm dƯn ta ÷đc t1 Y R1 (t1) = [1 − h1 (t1 − r, 0)] r=1 T÷ìng tü t R2 (t2) = Y [1 − h2 (0, t2 − r)] (2.62) r=1 Hỡn nỳa lp lÔi (2.60) vợi cĂc giĂ trà t1 gi£m, cho ta t Y R (t1, t2) = [1 − h1 (t1 − r, t2)] R (0, t2) (2.63) r=1 Thay R(0, t2) bði (2.62): R (t1, t2) = Y t1 t2 [1 − h1 (t1 − r, t2)] r= Y [1 − h2 (0, t2 r)] (2.64) r= Nhữ vêy (2.64) cho cổng thực tờng quĂt liản quan án h m tốc thĐt bÔi v h m sống sõt Nõ biu diạn rơng h m tốc thĐt bÔi xĂc nh nhĐt phƠn phối tữỡng ựng Dữợi iÃu kiằn cừa ành l½, (2.63) s³ l R (t1, t2) = [1 − h1 (t2)]t1 R2 (t2) (2.65) Khi t2 = (2.65) chóng ta câ R (t1, t2) = pt1 Sỷ dửng k thuêt tữỡng tỹ, hằ thùc R (t1, t2) = [1 − h2 (t1)]t2 R1 (t1) (2.66) cho R2 (t2) = pt2 C¡c phữỡng trẳnh (2.65) v (2.66) dăn án phữỡng trẳnh h m: [1 − h1 (t2)]t1 pt2 = [1 − h2 (t1)]t2 pt1 Nghiằm phữỡng trẳnh trản l 1 − h1 (t2 ) p Σ õ l ởc lêp vợi1 cÊ t1 v thực t2 = t2 1 − h2 (t1 ) Σ p t1 =θ (2.67) (2.67) cho chóng ta c¡c biºu hi (tj ) = − pi θtj (2.68) Thay (2.68) v o (2.65) ho°c (2.66) chóng ta câ R (t1, t2) = pt1 pt2 θt1t2 v nhữ vêy (X1, X2) cõ phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Ngữủc lÔi X cõ phƠn phối h¼nh håc hai chi·u, chóng ta câ Ri (ti) = pti i v f (ti |Xj ≥ tj ) ÷đc cho bði (1.31), â tø (2.59): hi (t1 , t2 ) = − pi θtj m rã r ng nõ ởc lêp vợi ti v chựng minh ữủc ho n th nh Trong trữớng hủp rới rÔc xĂc nh h m sống thảm trung bẳnh (MRLF) hai chi·u K½ hi»u X = (X1, X2) v X > x ngh¾a l Xi > xi, i = 1, H m sống thảm trung bẳnh hai chiÃu cừa X ÷đc x¡c ành nh÷ l mët h m v²ctì r(t) = E (X − t/X > t) , â Do â t = (t1, t2) v ti l c¡c sè thüc, khỉng ¥m ∞ ri (t1, t2) R (t1, t2) = Sû dưng (1.22), ngh¾a l ∞ Σ Σ t1 (xi − ti) f (x1, x2) t2 r1 (t1, t2) R (t1, t2) = R (t1 + 1, t2) [1 + r1 (t1 + 1, t2)] v sû dửng (2.60) thĐy rơng h1 v hằ thực h1 r (t) r1 ữủc liản hằ bi r1 ( t , t ) (t , ) = + r1 (t1 + 1, t2) t2 (2.69) nhữ l mởt vctỡ vợi cĂc th nh ph¦n ri (t1, t2) = E [Xi − ti|Xi ≥ ti, i = 1, 2] (2.70) Theo ngæn ngú cõa MRLF hai chi·u, ành l½ 2.9 câ thº ữủc phĂt biu lÔi nhữ sau: nh lẵ 2.10 Vctỡ ngău nhiản rới rÔc X nh lẵ 2.9 cõ phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu (2.6) náu v ch náu MRLF cừa nõ cõ dÔng r (t) = (r1 (t2) , r2 (t1)) vỵi c£ hai r1 v r2 l khổng tông theo cĂc bián tữỡng ựng, vợi ri (0) = pi/1 − pi Chùng minh cõa ành l½ ữủc suy trỹc tiáp tứ (2.69) v nh lẵ 2.9 Kát luên Luên vôn " Mởt số b i toĂn c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu "  giợi thiằu cĂc dÔng khĂc cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu, cụng nhữ cĂc tẵnh chĐt tữỡng ựng cừa chúng Tiáp án luên vôn  trẳnh b y cĂc tẵnh chĐt c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu dỹa trản cĂc c trững sau: + c trững dỹa trản tẵnh mĐt trẵ nhợ; + c trững dỹa trản cĂc tẵnh chĐt cừa mổmen b cht cửt; + c trững dỹa trản cĂc tẵnh chĐt cừa phƠn phối cõ iÃu kiằn v phƠn phối biản duyản; + c trững dỹa trản h m tốc thĐt bÔi v h m sống thảm trung bẳnh Do khÊ nông cõ hÔn nản mc dũ  cố gng luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu xõt Tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa quỵ thƯy cổ v bÔn ồc T i liằu tham kh£o [1] K.R Muraleedharan Nair, (1990) Some characterization problems associ- ated with the bivariate exponential and distributions [2] Gupta P.L., (1985) Some characterizations of distributions by truncated moments, Statistics, 16, 465-473 [3] Lukacs E and Laha R.G (1964) Applications of characteristic functions, Griffin, London [4] Nagaraja H.N (1975) Characterization of some distributions by conditional moments, J.Ind.Statist.Assoc, 13, 57-61 [5] Nair K.R.M and Nair N.U (1989) Bivariate mean residual life, I.E.E.E Trans Rel 38, p 362-364 [6] Nair N.U distributions, (1983) Ameasure of memory for some discrete J.Ind.Statist.Assoc., 21, 141-147 [7] Nair N.U and Nair K.R.M (1990) Characterizationsof the Gumbels bivari- ate exponential distribution, Statistics 21 (to appear) [8] Pathak A.G and Sreehari M (1981) Some characterization of a bivariate geometric distribution, J.Ind.Statist.Assoc 19, 141-146 [9] Paulson A.S and Uppuluri V.R.R (1972) A characterization of the geo- metric distribution and a bivariate geometric distribution,Sankhuya, A, 34, 88-91 [10] Xekalaki E (1983) Hazard functions and life distributions in discrete time, Commun Statist., 12, 2503-2509 [11] Edward Omey and Leda D Minkova (1999) Bivariate geometric distribu- tions,Lirias.Hubrussel.be, - ... phƠn phối mụ v phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Luên vôn cừa hồc viản Vụ Th ThÊo khõa 2011-2013 vỵi · t i Mët sè b i to¡n c trững cừa phƠn phối mụ hai chiÃu  cho mởt bực tranh Ưy và phƠn phối mụ hai. .. cừa phƠn phối n y Trong luên vôn n y chúng tổi trẳnh b y c¡c k¸t qu£ cõa b i to¡n mð trản ối vợi phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu Luên vôn "Mởt số b i toĂn c trững cừa phƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu"... lửc Lới nõi Ưu Lới cÊm ỡn PhƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu i iv 1.1 PhƠn phèi h¼nh håc mët chi·u 1.2 PhƠn phối hẳnh hồc hai chiÃu 1.2.1 CĂc phƠn phối hẳnh håc hai chi·u 1.2.2 .Mð rëng