Phương pháp giải một số bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TSKH Lê Dũng Mưu GS.TSKH Phạm Kỳ Anh XÁC NHẬN NCS Đà CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS.TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna tơi Các ket qua viet chung vói tác gia khác, đeu đưoc sn nhat trí cna đong tác gia đưa vào lu¾n án Các ket qua nêu lu¾n án hồn tồn trung thnc chưa tùng đưoc cơng bo bat cú m®t cơng trình khác Hà nđi, ngy thỏng nm Nghiờn cẫu sinh ắng Xuõn Sn LèI CAM ƠN Ban lu¾n án đưoc hồn thành tai B® mơn Giai tích, Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Lê Dũng Mưu GS TSKH Pham Kỳ Anh Tác gia xin bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac nhat đen Thay ve sn chi bao hưóng dan t¾n tình suot thịi gian tác gia làm nghiên cúu sinh Tác gia xin gui lòi cam ơn tói thành viên nhóm Xêmina liên quan Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Trưịng Đai HQ c Bỏch khoa H Nđi, Viắn nghiờn cỳu cao cap ve Tốn đóng góp nhieu ý kien q báu thòi gian tác gia tham dn Xêmina Tác gia trân TRQNG gui lòi cam ơn đen Phòng Sau Đai HQc, Ban Chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, ban giám hi¾u Trưịng THPT chun Tran Phú Hai Phịng ln giúp đõ, tao ieu kiắn thuắn loi v đng viờn tỏc gia suot q trình HQ c t¾p nghiên cúu Ban lu¾n án se khơng the hồn thành neu khơng có sn thơng cam, chia se giúp đõ cna nhung ngưịi thân gia đình tác gia Tác gia thành kính dâng t¾ng q tinh than lên b¾c sinh thành tồn the gia đình thân u cna vói tam lịng trân TRQNG biet ơn sâu sac MUC LUC Trang Lài cam đoan2 Lài cam ơn3 Mnc lnc4 Bang kí hi¾u6 Bang chE viet tat8 Ma đau9 Chương KIEN THÚC CHUAN B±15 1.1 Toán tu chieu 15 1.2 Bài toán điem bat đ®ng 16 1.3 Bài toán bat thúc bien phân 17 1.4 Bài toán cân bang 22 Chương BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN TRÊN T¾P NGHIfiM CUA BÀI TỐN CHAP NH¾N LOI SUY RđNG28 2.1 Nghiắm chung cna bi toỏn iem bat đng cna ánh xa gia co ch¾t tốn cân bang 28 2.2 Bat thúc bien phân t¾p nghi¾m chung cna toán bat thúc bien phân tốn điem bat đ®ng cna ánh xa bán co38 2.3 Bat thúc bien phân t¾p điem bat đ®ng chung cna ánh xa bán co 52 Chng BI TON CHAP NHắN TCH SUY RđNG64 3.1 Bi toỏn chap nhắn tỏch suy rđng liờn quan en tốn cân bang điem bat đ®ng 64 3.2 Bài tốn tìm cnc tr% cna hàm khoang cách t¾p nghi¾m cna tốn cân bang tách .75 Ket lu¾n kien ngh%89 Danh mnc cơng trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n án91 Tài li¾u tham khao92 BANG KÍ HIfiU R t¾p so thnc N t¾p so tn nhiên N∗ t¾p so nguyên dương ∅ t¾p rong AB A l cna B AìB tớch Descartes cna hai t¾p A B x∈A phan tu x thuđc A x / A phan tu x khụng thuđc A x ton tai x x vúi MQI x Rn không gian Euclide n−chieu H không gian Hilbert thnc ǁxǁ chuan cna vectơ x (x, y) y argmin{f (x) : x ∈ C} argmax{f (x) : x ∈ C} NC(x) tích vơ hưóng cna hai vectơ x phan tu cnc tieu hàm f C phan tu cnc đai hàm f C nón pháp tuyen ngồi cna C tai x ∂f (x) dưói vi phân cna hàm f tai x PC(x) hình chieu cna x lên C {xn} dãy vectơ xn xn −→ x dãy {xn} h®i tu manh tói x xn ~ x dãy {xn} h®i tu yeu tói x lim sup giói han lim inf giói han dưói A∗ tốn tu liên hop cna A Fix(T ) V IP (C, F ) iem bat đng cna ỏnh xa T bi toỏn bat thúc bien phân Sol(C, F ) EP (C, f ) t¾p nghi¾m cna tốn V IP (C, F ) tốn cân bang Sol(C, f ) t¾p nghi¾m cna tốn cân bang EP (C, f ) Q ket thúc chúng minh BANG CÁC CHU VIET TAT VIP toán bat thúc bien phân EP toán cân bang SEP toán cân bang tách CFP tốn chap nh¾n loi GCFP tốn chap nh¾n loi suy rđng SFP bi toỏn chap nhắn tỏch MSSFP tốn chap nh¾n tách đa t¾p hop SFPP tốn điem bat đ®ng tách Mê ĐAU L%ch sE van đe lý cHQN đe tài Nhieu van đe khoa HQ c kĩ thu¾t khơi phuc anh, xu lý tín hi¾u nhieu tốn như: toi ưu, bat thúc bien phân, giai h¾ phương trình, cân bang, (xem [10,29,31] tài li¾u tham chieu o đây) đeu có the đưa ve vi¾c giai tốn chap nh¾n loi (CFP - Convex Feasibility Problem) sau đây: Tìm điem x ∈ ∗ N \ C i, i=1 Ci, i = 1, 2, , N t¾p loi đóng khác rong khơng gian Hilbert ho¾c khơng gian Banach Bài tốn CFP đưoc Cauchy đe c¾p tù giua the ki 19 nh¾n đưoc sn quan tâm nghiên cúu rđng rói hai thắp niờn gan õy ca ve lý thuyet v thuắt toỏn õy l mđt bi toỏn ban tőng qt cna tốn giai tích, tốn HQc tính tốn tốn úng dung Bài tốn chap nh¾n loi thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà toán HQc tù nhung năm 30 cna the ky trưóc, cho đen nay, van m®t van đe thịi sn, tính lý thú ve m¾t tốn HQc đ¾c bi¾t pham vi úng dung rat r®ng rãi cna tốn lĩnh vnc xu lý tín hi¾u, khơi phuc anh, lý thuyet toi ưu, kĩ thu¾t y sinh lý thuyet xap xi [29] M®t so tác gia tiêu bieu ve hưóng nghiên cúu Bauschke Borwein [10], Butnariu, Censor, Reich [15], Dang đơn gian nhat cna toán CFP tìm điem chung cna t¾p loi đóng cho trưóc Trong trưịng hop kĩ thu¾t phő bien giai toán CFP su dung phép chieu lờn cỏc loi vúi mđt so phng phỏp nh phương pháp chieu xoay vòng (tuan tn), phương pháp chieu l¾p song song (đong thịi), phương pháp l¾p khoi, Tuy nhiên, thnc te thưịng t¾p Ci đeu khơng đưoc cho dưói dang Nghiên cúu thu¾t tốn song song giai toán bat thúc bien phân t¾p nghi¾m cna tốn chap nh¾n tách suy r®ng liên quan đen ánh xa bán co DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN Anh P.N., Son D.X (2011), "A new method for a finite family of pseudo- contractions and equilibrium problems", Journal of Applied Mathematics and Informatics., 29, pp 1179-1191 (SCOPUS) Dinh B.V., Son D.X., Anh T.V (2017), "Extragradient-Proximal Methods for Split Equilibrium and Fixed Point Problems in Hilbert Spaces", Vietnam J Math., 45 (4), pp 651-668 (SCOPUS) Son D.X (2018), "An algorithm for solving a class of bilevel split problems involving pseudomonotone equilibrium problem", Afrika Matematika DOI :10.1007/s13370-018-0614-0 (SCOPUS) Hieu D.V., Son D.X., Anh P.K., Muu L.D (2018), "A two-step extragradient- viscosity method for variational inequalities and fixed point problems", Acta Math Vietnam DOI: 10.1007/s40306-018-0290-z (SCOPUS) Anh T.V., Muu L.D., Son D.X (2018), "Parallel algorithms for solving a class of variational inequalities over the common fixed points set of a finite family of demicontractive mappings", Numer Funct Anal Optim DOI: 10.1080/01630563.2018.1485695 (SCIE) Tài li¾u tham khao Tài li¾u tieng Vi¾t Nguyen Văn [1] Hien, Lê Dũng Mưu, Nguyen Huu Đien (2014), Giáo Trình Giai Tích Loi Úng Dnng, NXB Đai HQc Quoc gia H Nđi, H Nđi Ti liắu tieng Anh [2] Acedo G.L., Xu H.K Methods Strict Sseudo- Contractions in Hilbert Spaces", for (2007), "Iterative Nonlinear Anal., 67, pp 2258-2271 [3] Aoyama K., Kimura Y., Takahashi W., Toyoda M (2007), "Approximation of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal 67 (8), pp 23502360 [4] Anh P.K., Anh T.V., Muu L.D (2017), "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42 (3), pp 413-429 [5] Anh P.K., Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems, and common fixed point problems", Viet- nam J Math., 44 (2), pp 351-374 [6] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization 62 (2), pp 271283 [7] Anh T.V (2017), "An extragradient method for finding minimum-norm so- lution of the split equilibrium problem", Acta Math Vietnam., 42 (4), pp 587-604 [8] Anh T.V (2017), "A parallel method for variational inequalities with the multiple-sets split feasibility problem constraints", J Fixed Point Theory Appl., 19 (4), pp 2681-2696 [9] Anh T.V., Muu L.D (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization 65 (6), pp 1229-1243 [10] Bauschke H.H., Borwein J.M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review 38, pp 367-426 Bauschke H.H., Combettes P.L [11] (2011), Convex Analysis and Monotone Op- erator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York Baiocchi C., Capelo A (1984), [12] Variational and Quasivariational Inequalities Applications to Free Boundary Problems, Wiley, New York [13] Blum E., Oettli W (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Student 63, pp 123-145 [14] Buong N (2017), "Iterative algorithms for the multiple-sets split feasibility problem in Hilbert spaces", Numer Algorithms 76 (3), pp 783798 [15] Butnariu D., Censor Y., Reich S (Editors) (2001), Inherently Parallel Algo- rithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier Sci- ence Publishers, Amsterdam, The Netherlands [16] Byrne C (2004), "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Probl 20 (1), pp 103120 [17] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Probl 18 (2), pp 441-453 [18] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null point problem", J Nonlinear Convex Anal 13 (4), pp 759-775 [19] Cegielski A (2015), "General method for solving the split common fixed point problem", J Optim Theory Appl 165 (2), pp 385-404 [20] Cegielski A., Al-Musallam F (2016), "Strong convergence of a hybrid steepest descent method for the split common fixed point problem", Optimization 65 (7), pp 1463-1476 [21] Ceng L.C., Petrusel A., Lee C., Wong M.M (2009), "Two Extragradient Ap- proximation Methods for Variational Inequalities and Fixed Point Problems of Strict Pseudo-Contractions", Taiwanese Journal of Mathematics, 13, pp 607-632 [22] Ceng L.C., Schaible S., Yao J.C (2008), "Implicit iteration scheme with per- turbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl 139 (2), pp 403-418 [23] Censor Y., Segal A (2009) "The split common fixed point problem for directed operators", J Convex Anal 16, pp 587-600 [24] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol 51, pp 2353-2365 [25] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl 148 (2), pp 318-335 [26] Censor, Y., Gibali, A., Reich, S (2011), "Strong convergence of subgradi- ent extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space", Optim Meth Softw 26(4-5), pp 827-845 [27] Censor Y., Elfving T (1994), "A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms (2), pp 221239 [28] Censor Y., Elfving T., Kopf N., Bortfeld T (2005), "The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems", Inverse Probl 21 (6), pp 2071-2084 [29] Combettes P.L (1996), "The convex feasibility problem in image recovery", in, P.Hawkes(Ed.), Advances in Imaging and Electron Physics, Academic Press, New York 95, pp 155-270 [30] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonlinear Convex Anal (1), pp 117-136 [31] Daniele P., Giannessi F., and Maugeri A (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [32] Eslamian M., Eslamian P (2016), "Strong convergence of a split common fixed point problem", Numer Funct Anal Optim 37 (10), pp 1248-1266 [33] Eslamian M., Saadati R., Vahidi J (2017), "Viscosity iterative process for demicontractive mappings and multivalued mappings and equilibrium prob- lems", Comp Appl Math 36, pp 1239-1253 Facchinei F., Pang, J.S (2003), [34] Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementary Problems, NewYork: Springer-Verlag [35] Fan K (1972), "A minimax inequality and applications", in: O Shisha, In- equality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities Academic Press, New York [36] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Studies in Advanced Math, vol 28 Cambridge University Press, Cam- bridge He Z (2012), "The split equilibrium problems and its convergence algorithms", [37] J Inequal Appl 2012:162, DOI:10.1186/1029-242X-2012-162 [38] Hieu D.V (2017), "An explicit parallel algorithm for variational inequalities", Bull Malys Math Sci Soc DOI:10.1007/s40840-017-0474-z [39] Hieu D.V (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, vari- ational inequalities and nonexpansive mappings in Hilbert space", J Korean Math Soc 52 (2), pp 373-388 [40] Hieu D.V (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilib- rium problems", Math Model Anal., 21 (4), pp 478-501 [41] Hieu, D.V., Anh P.K., Muu L.D (2017), "Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems", Comput Optim Appl., 66, pp 75-96 [42] Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient meth- ods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer Algorithms, 73 (1), pp 197-217 Konnov I.V (2000), [43] Combined Relaxation Methods for Variational Inequali- ties, Springer, Berlin [44] Kraikaew R., Saejung S (2014), "Strong convergence of the Halpern sub- gradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl 163 (2), pp 399-412 [45] Liu B., Qu B., Zheng N (2014), "A successive projection algorithm for solving the multiple-sets split feasibility problem", Numer Funct Anal Optim 35 (11), pp 1459-1466 [46] Maingé, P.E (2008), "A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems", SIAM J Control Optim 47 (3), pp 1499-1515 [47] "Mean value methods in iteration", Mann W.R (1953), Proc Amer Math Soc 4, pp 506-510 [48] Martinez-Yanes C., Xu H.K (2006), "Strong Convergence of the CQ Method for Fixed Point Processes", Nonlinear Anal 64 (11), pp 24002411 [49] Moudafi A (1999), "Proximal point algorithm extended to equilibrium prob- lems", J Nat Geom 15, pp 91-100 [50] (2011), "Split monotone variational inclusions", Appl 150 (2), pp 275-283 Moudafi A J Optim Theory [51] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontrac- tive mappings", Inverse Probl 26 (5), ID: 055007 [52] Muu L.D (1984), "Stability property of a class of variational inequality", Optimization 15 (3), pp 347-351 [53] Muu L.D., Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal 18, pp 11591166 [54] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an ex- tragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl 128, pp 191-201 [55] H., Isoda K (1955), "Note on noncooperative convex games", Nikaido Pac J Math 5, pp 807-815 [56] Opial Z (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approxima- tions for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc 73, pp 591-597 [57] Peng J.W (2010), "Iterative Algorithms for Mixed Equilibrium Problems, Strict Pseudocontractions and Monotone Mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 144, pp 107-119 [58] Quoc T.D., Muu L.D., Nguyen, V.H (2008), "Extragradient algorithms ex- tended to equilibrium problems", Optimization 57 (6), pp 749-776 [59] Tada A., Takahashi W (2007), "Weak and strong convergence theorem for nonexpansive mapping and equilibrium problem", J Optim Theory Appl 133, pp 359-370 [60] Takahashi S., Takahashi W (2007), "Viscosity approximation methods for equilbrium problems and fixed point problems in Hilbert space", J Math Anal Appl 331, pp 506-515 [61] Takahashi W., Toyoda M (2003), "Weak convergence theorems for nonex- pansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl 118, pp 417-428 [62] Wang S (2016), "Strong convergence of a regularization algorithm for common solutions with applications", Comp Appl Math 35 (1), pp 153169 [63] Wang S., Cho Y.J., Qin X (2010), "A New Iterative Method for Solving Equilibrium Problems and Fixed Point Problems for Infinite Family of Nonexpansive Mappings," Fixed Point Theory and Applications 2010, Article ID 165098, 18 pages [64] Wang S., Guo B (2010), "New Iterative Scheme with Nonexpansive Map- pings for Equilibrium Problems and Variational Inequality Problems in Hilbert Spaces," Journal of Computational and Applied Mathematics 233, pp 2620- 2630 [65] Wen M., Peng J G., Tang Y.C (2015), "A cyclic and simultaneous itera- tive method for solving the multiple-sets split feasibility problem.", J Optim Theory Appl 166 (3), pp 844-860 Xu H.K [66] (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66 (1), pp 240-256 [67] Xu H.K (2006), "A variable Krasnosel’skii–Mann algorithm and the multiple- set split feasibility problem", Inverse Probl 22, pp 2021-2034 [68] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinite- dimensional Hilbert spaces", Inverse Probl 26 (10), ID: 105018 [69] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 [70] Yao Y., Liou Y.C., Wu Y J (2009), "An Extragradient Method for Mixed Equilibrium Problems and Fixed Point Problems", Fixed Point Theory and Applications DOI: 10.1155/2009/632819 Zeidler E (1985), Nonlinear Functional Analysis and its [71] Applications III: Variational Methods and Optimization, Springer-Verlag, New York [72] Zeng L.C., Yao J.C (2006), "Strong convergence theorem by an extragra- dient method for fixed point problems and variational inequality problems", Taiwanese J Math 10 (5), pp 1293-1303 [73] Zhao J.L., Yang Q.Z (2011), "Self-adaptive projection methods for the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 27 (3), ID: 035009 [74] Zhao J.L., Yang Q.Z (2013), "A simple projection method for solving the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 21 (3), pp 537546 [75] Zhao J.L., Zhang Y.J., Yang Q.Z (2012), "Modified projection methods for the split feasibility problem and the multiple-sets split feasibility problem", Appl Math Comput 219 (4), pp 1644-1653 ... - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... tốn cân bang loi đơn đi¾u, phai ke đen phương pháp điem trong, phương pháp su dung nguyên lý toán phu, phương pháp hàm đánh giá, phương pháp điem gan ke, phương pháp hi¾u chinh Tikhonov phương pháp. .. dnng phương pháp giai Trong phương pháp giai toán bat thúc bien phân phương pháp chieu đóng m®t vai trị quan TRQNG đơn gian thu¾n ti¾n cho vi¾c tính toán Phương pháp chieu đơn gian nhat cho toán