Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ắng Th% Thao DY SO V MđT SO PHƯƠNG PHÁP GIAI TỐN VE DÃY SO LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60.46.40 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYEN VN MắU H NđI - NM 2011 MUC LUC Ma đau Dãy so 1.1 Đ%nh nghĩa đ%nh lý ban 1.2 M®t vài dãy so đ¾c bi¾t 1.3 M®t so toán áp dung 5 13 M®t so phương pháp giai tốn ve dãy so 2.1 M®t so phương pháp giai tốn tìm so hang tőng qt cna dãy so 2.1.1 Phương pháp quy nap 2.1.2 Phép the lưong giác 2.1.3 Phương pháp su dung phương trình sai phân, tính chat cna hàm so 2.1.4 Ky thu¾t tuyen tính hóa 2.2 M®t so phương pháp giai tốn tìm giói han cna dãy so 2.2.1 Giói han cna dãy so l¾p 2.2.2 Giói han cna dãy trung bình Cesaro 2.2.3 Giói han cna dãy phân tuyen tính 2.3 M®t so phương pháp giai toán ve dãy so so HQc 2.3.1 Phương pháp quy nap 2.3.2 Nguyên lý Dirichlet 2.3.3 Dãy so sinh boi phan nguyên 2.4 M®t so phương pháp ưóc lưong tőng tích cna m®t so dãy so 2.4.1 Phương pháp sai phân 2.4.2 Phương pháp đai so 2.4.3 Su dung so phúc 18 18 18 20 24 31 38 38 41 43 48 48 50 52 55 55 58 62 Mđt so phng phỏp thiet lắp bi toỏn mỏi ve dãy so 64 3.1 Xây dnng dãy so h®i tu sinh boi đai lưong trung bình 64 3.1.1 Trưòng hop chi so .64 3.1.2 Trưịng hop l¾ch chi so .67 3.1.3 Phoi hop ba dãy so 76 3.2 Xõy dnng dóy so l nghiắm cna mđt HQ phương trình 79 Ket lu¾n 86 Tài li¾u tham khao 87 Me ĐAU Đe tài ve dãy so thu®c m®t lĩnh vnc rat khó r®ng (xem [1] - [8]), su dung nhieu kien thúc khác cna tốn hQc Muc tiêu cna lu¾n văn nham đe cắp en mđt so van e c ban cna dóy so liên quan đen chương trình tốn b¾c phő thơng N®i dung chn yeu cna đe tài "Dãy so m®t so phương pháp giai tốn ve dãy so" hắ thong mđt so phng phỏp giai toỏn ve dóy so m®t so cách xây dnng tốn mói ve dãy so Đó m®t so phương pháp giai toán xác đ%nh so hang tőng quát cna dãy so, tốn tìm giói han cna dãy so, toán ve dãy so so HQc toán ưóc lưong tőng tích cna dãy so Và m®t so cách thiet l¾p tốn mói ve dãy so thiet l¾p dãy so tù đai lưong trung bình, dãy so nghi¾m cna HQ phương trình Đe giai quyet đưoc nhung toán này, ta can nhung kien thúc tőng hop ve tính chat dãy so, giói han cna dãy so, Muc tiêu cna lu¾n văn h¾ thong phương pháp xây dnng tốn minh HQA, tőng quát ve van đe nêu o trờn Nđi dung cna luắn gom phan Mo au, Ket lu¾n đưoc phân thành ba chương, đe c¾p đen van đe sau • Chương trình bày m®t so kien thúc ban cna dãy so gom m®t so đ %nh nghĩa, đ%nh lý, m®t vài dãy so ắc biắt v mđt so bi toỏn ỏp dung ã Chng hắ thong mđt so phng phỏp giai tốn ve dãy so Vói tốn xác đ%nh cơng thúc tőng quát cna dãy so h¾ thong phương pháp quy nap, phép the lưong giác, su dung phương trình sai phân, tính chat cna hàm so, ky thu¾t tuyen tính hóa Vói tốn tìm giói han cna dãy so, xét dang toán dãy so dang l¾p, dãy trung bình Cesaro, dãy phân tuyen tính Vói tốn ve dãy so so HQc có phương pháp quy nap, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh boi phan ngun Vói tốn ưóc lưong tőng tích cna dãy so, h¾ thong phương pháp sai phân, đai so, su dung so phúc ã Chng trỡnh by mđt so cỏch thiet lắp tốn mói ve dãy so thiet l¾p dãy so tù đai lưong trung bình (trung bình c®ng, trung bình nhân, trung bình đieu hịa), dãy so nghi¾m cna HQ phương trình Tác gia xin bày to sn kính TRQng lịng biet ơn sâu sac đen GS.TSKH Nguyen Văn M¾u Thay t¾n tình hưóng dan, chi bao cho HQc trị q trình HQc t¾p, nghiên cúu giúp tác gia hồn thành đưoc lu¾n văn Tác gia xin gui lòi cam ơn chân thành tói thay giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc seminar Phương pháp Toán sơ cap cna trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên- HQc Quoc gia H Nđi ó nhắn xột, gúp ý cho ban lu¾n văn Xin bày to tình cam chân thành tói gia đình, ban bè quan tâm, đ®ng viên giúp đõ tác gia suot q trình HQc t¾p tai trưịng M¾c dù có nhieu co gang, song q trình thnc hi¾n khơng tránh khoi nhung sơ suat v¾y tác gia rat mong đưoc thay giáo, ban đong nghi¾p góp ý đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011 HQc viên Đ¾ng Th% Thao CHƯƠNG DÃY SO Chương giói thi¾u nhung khái ni¾m ban ve dãy so, đ %nh ngha, %nh lý v mđt so dóy so ắc bi¾t Nhung kien thúc em xem trình bày lai [1], [2] 1.1 Đ%nh nghĩa đ%nh lý ban Đ%nh nghĩa 1.1 Dãy so m®t hm so tự N (hoắc N) vo mđt hop so (N, Q, R, C) hay mđt no cna t¾p hop Các so hang cna dãy so thưịng đưoc kí hi¾u un, vn, xn, yn thay u(n), v(n), x(n), y(n) Ban thân dãy so đưoc kí hi¾u {xn} Nh¾n xét 1.1 Vì dóy so l mđt trũng hop ắc biắt cna hm so nên có tính chat cna m®t hàm so Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy so {un } đưoc GQI dãy so tăng (giam) neu vói MQI n ta có un+1 ≥ un (un+1 ≤ un ) Dãy so tăng ho¾c giam đưoc GQI chung dãy đơn đi¾u Dãy so {un } đưoc GQI b% ch¾n neu ton tai so thnc M cho vói MQI n ∈ N ta có un ≤ M Dãy so {un } đưoc GQI b% ch¾n dưói neu ton tai so thnc m cho vói MQI n ∈ N ta có un ≥ m M®t dãy so vùa b% ch¾n trên, vùa b% ch¾n dưói đưoc GQI dãy b% ch¾n Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy {un } đưoc GQI m®t dãy tuan hồn (c®ng tính) neu ton tai so nguyên dương l cho un+l = un, ∀n ∈ N (1.1) So nguyên dương l nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.1) đưoc GQI chu kỳ so cna dãy Dãy {un } đưoc GQI m®t dãy phan tuan hồn (c®ng tính) neu ton tai so nguyên dương l cho un+l = −un, ∀n ∈ N (1.2) So nguyên dương l nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.2) đưoc GQI chu kỳ so cna dãy Ví dn 1.1 Chúng minh rang dãy so {un} tuan hoàn c®ng tính chu kỳ chi dãy có dang n+ un = [a + b + (a − b) ], a, b ∈ R (−1) Giai Gia su u0 = b, u1 = a Theo gia thiet, dãy so {un} tuan hoàn chu kỳ nên ta có un+2 = un, ∀n ∈ N - Neu n = 2k + un = u2k+1 = a2 = [a + b + (a − b)(−1)2k+2] - Neu n = 2k un = u2k = b =2 [a + b + (a − b)(−1)2k+1] V¾y n+ un = [a + b + (a − b) (−1) ], n ∈ N Ngưoc lai, neu un có dang n+ un = [a + b + (a − b) ], a, b ∈ R, n ∈ N (−1) vói MQI n ∈ N ta có un+2 = [a + b + (a − b) (−1) n+ ] = [a + b + (a − b)(−1) n+ ] = un Suy un dãy tuan hồn chu kỳ Ví dn 1.2 Chúng minh rang MQI dãy so {un } phan tuan hồn c®ng tính chu kỳ r đeu có dang (vn − vn+r) vói vn+2r = (1.3) = −un vói ∀n ∈ N dãy tuan hồn c®ng tính chu kỳ un = Giai Ta có un+r 2r CHQN un = , ta có 1 (vn − vn+r) = (un − un+r) = (un + un) = un Ngưoc lai , ta thay MQI dãy xác đ%nh theo (1.3) đeu dãy phan tuan hồn chu kỳ r Th¾t v¾y un+r 1 = (vn+r − vn+2r) = (vn+r − vn) = −un 2 Ta có đieu phai chúng minh Nh¾n xét 1.2 Dãy tuan hồn chu kỳ chi dãy hang Đ%nh nghĩa 1.4 Dãy {un } đưoc GQI m®t dãy tuan hồn nhân tính neu ton tai so ngun dương s (s > 1) cho usn = un, ∀n ∈ N (1.4) So nguyên dương s nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.4) đưoc GQI chu kỳ so cna dãy Dãy {un } đưoc GQI m®t dãy phan tuan hồn nhân tính neu ton tai so nguyên dương s (s > 1) cho usn = −un, ∀n ∈ N (1.5) So nguyên dương s nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.5) đưoc GQI chu kỳ so cna dãy Ví dn 1.3 Chúng minh rang dãy {un} tuan hoàn nhân tính chu kỳ chi dãy có dang αn tùy ý vói n le, u2k+1 vói n = 2m(2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N .u n Giai Nh¾n = thay vói MQI n ∈ N đeu có the viet dưói dang n = 2s (2k + 1), vói MQI s ∈ N Do un = u2s(2k+1) = u2k+1 Vì v¾y αn tùy ý vói n le, u2k+1 vói n = 2m(2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N .u =nthay {un} xác đ%nh dãy tuan hồn nhân tính chu kỳ Ngưoc lai, de Ví dn 1.4 Chúng minh rang dãy {un} phan tuan hồn nhân tính chu kỳ chi dãy có dang   αn tùy ý vói n un = 2m+1 le, −u2k+1 + 1), m ∈ N∗, k  ∈ N, u2k+1vói n = vói(2k n = (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N 2m Giai Nh¾n thay vói MQI n ∈ N đeu có the viet dưói dang n = 2s (2k + 1), vói MQI s ∈ N Do u Vì v¾y =u  un = =sn u2k+1 neu s = 2m, m ∈ N∗, −u2k+1 neu s = 2m + 1, m ∈ N∗ (2k+1) αn tùy ý vói n le,  −u vói n = 22m+1(2k + 1), m ∈ N∗, k  ∈ N2k+1 , u2k+1 vói n = (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N 2m Ngưoc lai, de thay {un} xác đ%nh dãy phan tuan hồn nhân tính chu kỳ Nh¾n xét 1.3 i) Dãy phan tuan hoàn chu kỳ l dãy tuan hoàn chu kỳ 2l ii) Dãy phan tuan hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuan hồn nhân tính chu kỳ s2 Đ%nh nghĩa 1.5 Ta nói dãy so {xn } có giói han huu han a n dan đen vơ neu vói MQI ε > 0, ton tai m®t so tn nhiên N0 (phu thu®c vào dãy so xn ε) cho vói MQI n > N0 ta có |xn − a| < ε lim n→+ ∞ xn = a ⇔ ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn − a| < ε Ta nói dãy so {xn } dan đen vô n dan đen vô neu vói MQI so thnc dương M lón tùy ý, ton tai m®t so tn nhiên N0 (phu thu®c vào dãy so xn M ) cho vói MQI n > N0 ta có |xn | > M lim n→+ ∞ xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn| > M Dãy so có giói han huu han đưoc GQI dãy hđi tu Dóy so khụng cú giúi han hoắc dan đen vô n dan đen vô GQI dãy phân kỳ Đ%nh lý 1.1 (Tőng, hi¾u, tích, thương dãy h®i tu) Neu {xn}, {yn} dãy h®i,tu v,à có giói han tương úng a, b dãy so {xn + yn }, {xn a x · (Trong − yn }, {xcũng n yn } h®i tu có giói han tương úng a + b, a−b, a.b, v n b y trưòng hop dãy so thương, ta gia su yn b khác khơng) Đ%nh lý 1.2 (Chuyen qua giói han bat thúc) Cho dãy so {xn} có giói han huu han l, neu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b a ≤ l ≤ b x + x−1 + + a) Chúng minh dãy {xn} h®i tu; b) Hãy tìm giói han x− = n Nh¾n xét 3.1 x đưoc xác đ%nh nhat hàm so f + + (x) =1 + x x − n n liên tuc đơn xđi¾u (0, − 1) Tuy nhiên, ta khơng the xác đ%nh đưoc giá tr% cu the cna xn Rat may man, đe chúng minh tính h®i tu cna xn, ta khơng can đen đieu Chi can chúng minh tính đơn đi¾u b% ch¾n đn Vói tính b% ch¾n, MQI thú đeu őn < xn < Vói tính đơn đi¾u, ta ý m®t chút đen n m( n(n( (x Đây ++ o x1x1x)+ i ) ) ) xlà li v : = − chìa n êà f − f n hf n ¾ g i u a f n khóa đe chúng minh tính đơn đi¾u cna xn nói bang Đe chúng minh đieu này, ta can đen ket qua quen thu®c sau: Giai a) Rõ ràng xn đưoc xác đ%nh m®t cách nhat, < xn < Ta có − −f 1 cna hàm liên tuc, khoang (0, xn ) cú ớt2 nhat mđt nghiắm cna fn+1 (x) Nghiắm xn+1 Như the ta chúng 2minh đưoc xn+1 < xn Túc dãy so {xn} giam Do dãy b% ch¾n dưói boi nên dãy có giói han b) Ta se chún g h giói han x 11 > ln (n) 11 + + + 3n fn+1 (xn ) = f) 1= 1< n(0+) > + + n x0, 10 ( x n tro Theo x n − −ng tính n chat n n Th¾t x = a > Khi đó, n v¾y, dãy so giam nên ta có xn gia su ≥ a vói lim n→∞ M Q I n − tham so nguyên dương a) Chúng minh rang vói moi so nguyên dương n, + phương trình nêu có x − n Do + + + + 1 → n ∞ n → ∞ nên ton tai N + cho vói MQI n ≥ N ta 1 có + + + + > n a Khi vói MQI n ≥ N ta có 1 1 1 · 1 + < + + + − n −1 −2 = + < − −n a a + x = + n x x− xn Mâu thuan V¾y ta phai có lim xn = Bài tốn 3.18 (VMO, 2002) Xét phương trình 1 + n x − = nhat nghi¾m lón 1; ký hi¾u nghi¾m xn b) Chúng minh rang dãy so xn có giói han bang n → +∞ Giai Viet lai phương trình cna tốn dưói dang 1 x−1 + 4x − 1 + + n 2x − − (3.4) =0 Ký hi¾u fn(x) hàm ve trái cna phương trình (3.4) a) De thay, vói moi n ∈ N∗, hàm so fn(x) liên tuc ngh%ch bien khoang (1; +∞) Hơn nua, ta có (x) → +∞ x → 1+ (x) → − x → +∞ fn fn Tù suy vói moi n ∈ N∗, phương trình có nghi¾m nhat xn > b) Vói moi n ∈ N∗, ta có 1 + + + − 4−1 16 − −1 1 1− = +1 + + 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 1 = − + − + + − Σ− 3 2n + 2n − 1 fn(4) = 4n2 =− < = fn(xn) 4n + Tù đó, hàm fn(x) ngh%ch bien (1, +∞), suy xn < vói MQI n ∈ N∗ (3.5) M¾t khác, vói moi n ∈ N∗, hàm fn(x) kha vi đoan [xn, 4] nên theo đ %nh lý Lagrange, vói moi n ∈ N∗ ton tai c ∈ (xn, 4) cho fn (4) − fn (xn ) J 4− xn Suy Tù (3.5) (3.6) ta đưoc −1 −n2 −4 = fn(c) = + + + 4− N 4− < xn4n + , ∀n ∈ 4n + ∗ < 4, ∀n ∈ N∗ (3.6) Tù đó, theo đ%nh lý ve giói han dãy so kep giua hai dãy so dan tói m®t giói han, ta có đieu can chúng minh Bài tốn 3.19 (VMO, 2007) Cho so thnc a> fn(x) = a10xn+10 + xn + + x + a) Chúng minh rang vói moi so nguyên dương n, phương trình fn(x) = a ln có m®t nghi¾m dương nhat B) GQI nghi¾m xn, chúng minh rang dãy xn có giói han huu han n dan đen vô Giai a) Ket qua câu a) hien nhiên hàm fn(x) hàm tăng (0, +∞) b) De dàng nh¾n thay < xn < Ta se chúng minh dãy xn tăng, túc xn+1 > xn Tương tn o nhung lòi giai trên, ta xét fn+1 (xn ) = a10 xn+11 + xn+1 + + xn + = xn fn (xn ) + = axn + n n Vì ta có fn+1 (1) = a10 + n + > a nên ta chi can chúng minh axn + < a se suy xn < Như v¾y, can chúng minh < aa− < xn+1 xn Th¾t v¾y, neu xn a− ≥ a a− fn(xn) ≥ a10 Σ a n+10 −Σ−1 a n+10 + − a a−1 = (a−1) a− Σ a a − n +a− (a−1) Σ n a a (a − > 1) V¾y dãy so xn tăng b% ch¾n dưói boi nờn hđi tu Nhắn xột 3.2 Mđt lan nua moi liên h¾ fn+1 = xfn + lai giúp ta tìm đưoc moi quan h¾ giua xn xn+1 Tù lịi giai trên, ta có the chúng minh đưoc · rang lim xn = a−1 a Th¾t v¾y, đ¾t c = a−1 a < 1, theo tính tốn o fn(c) − fn(xn) = kcn(vói k = (a − 1)((a − 1)9 − 1) > 0) Theo đ%nh lý Lagrange >a fn (c) − fn (xn ) = f j (ξ)(c − xn )( vói ξ thu®c (xn , c)) Nhưng f j (ξ) = (n + 10)a10 ξ n+9 + nξ n−1 + + > nên tù suy kcn > c − xn Tù ta có c − kcn < xn < c xn = có nghĩa lim c Bài tốn 3.20 Cho n m®t so nguyên dương > Chúng minh rang phng trỡnh xn = x + cú mđt nghiắm dương nhat, ký hi¾u xn Chúng minh rang xn dan ve n dan đen n(xn − 1) vơ tìm lim n→∞ n→∞ n n n Giai Rõ ràng xn > Đ¾t fn (x) = xn − x − Khi fn+1 (1) = −1 < fn+1 (xn ) = xn+1 − xn − > xn − xn − = fn(xn) = Tù ta suy < xn+1 < xn Suy dãy {xn} có giói han huu han a Ta chúng minh a = Th¾t v¾y, gia su a > Khi xn ≥ a vói MQI n ta tìm đưoc n đn lón cho: xn ≥ an > xn + < 3, mâu thuan fn(xn) = Đe giai phan cuoi cna tốn, ta đ¾t xn = + yn vói lim yn = Thay vào n→∞ phương trình fn(xn) = ta đưoc (1 + yn)n = + yn Lay logarit hai ve ta đưoc n ln(1 + yn) = ln(2 + yn) Tù suy lim n ln(1 + yn) = ln Nhưng lim ln(1 + yn)/yn = nên tù suy lim nyn = ln 2, túc lim n(xn − 1) = ln n Trong toán 3.18 toán 3.19 su dung đ %nh lý Lagrang e đe đánh giá hi¾u so giua xn giá tr % giói han e toán tiep theo ta tiep tuc nêu úng dung đ %nh lý m®t tình huong phúc tap Bài toán 3.21 Cho n m®t so nguyên dương > Chúng m i n h r a n g p h n g t r ì n h x n = x + x + c ó m ® ton tai, huu han khác l na(xn − xn+1) i m n → ∞ Nh¾n xét 3.3 De thay giá tr% a neu ton tai nhat Tương tn tốn trên, có the chúng minh đưoc rang ∼ + ln(3) Tù có the đoán a = Đ%nh n lý Lagrange se giúp đánh giá hi¾u xn −xn+1 chúng minh dn đoán xn Pn(x) = xn − x2 − x − Giai Đ¾t Ta có Pn+1(x) = xn+1 − x2 − x − = xn+1 − xn + Pn(x) = xn(x − 1) + Pn(x) Tù Pn+1(xn) = xn(xnn− 1) + Pn(xn) = (x2n+ xn + 1)(xn − 1) = x3 − n Áp dung đ%nh lý Lagrange ta có (c) (x2 + xn + 1)(xn − 1) = Pn+1 (xn ) − Pn+1 (xn+1 ) = (xn − xn+1 )P j n n+1 vói c thu®c (xn+1 , xn ), Pn+j (x) = (n + 1)xn − 2x − (xn+1 ) < Tù (n + 1)(x2 + xn+1 + 1) − 2xn+1 − n+ = Pj J < P Tù vói lưu ý lim n+ n→∞ lim n→ ∞ n P J n+ (c) n+ n xn = 1, ta suy (c) lim n→∞ n+ (xn) = (n + 1)(x2 + xn + 1) − 2xn − n→ ∞ Tiep tuc su dung lim Pj P J n+1 n = n(xn − 1) = ln 3, ta suy (c)(xn − xn+1) = lim n(x2 + xn + 1)(xn − 1) = ln n→∞ n Pj lim n (xn − xn+1) lim ⇔ n→ ∞ (c) n+1 = ln n ⇔ lim (xn − xn+1)3 = ln n n→∞ n→∞ ⇔ lim n (xn − xn+1) = ln n→∞ V¾y vói a = giói han cho ton tai, huu han khác De thay vói a > giói han cho bang vơ vói a < giói han cho bang V¾y a = đáp so nhat cna toán Bài toán 3.22 (Olympic 1996) Cho g(x) l mđt a thỳc bắc 1996 Biet rang, ỳng vói MQI x ∈ R, ta đeu có g(x + h) = g(x) + hg J (x + hθ(x + h)), θ(x + h) b% ch¾n g JJ (x) ƒ = Tính lim θ(x, h) h→0 Giai Vói x xác đ%nh, ta khai trien Taylor vói đa thúc f (x) = g(x + h) tai h = g(x + h) = g(x) + g J (x)h + g JJ + h + g (x)2 (1996 (x ) h1996 ) 1996! (f J (0) = g J (x), , f (1996) (0) = g (1996) (x)) Theo đe ta có g(x + h) = g(x) + hg J (x + hθ(x + h)) Do v¾y J J h2 JJ hg (x + hθ(x + h)) = hg (x) + (1996) h1996 g g (x) + + 1996 ! (x) Khai trien Taylor b¾c hai vói hàm g J (x + hθ(x + h)) tai điem h = g J (x + hθ(x + h)) = g J (x) + g JJ (x)hθ(x + h) + 0(hθ(x + h)), nên hg J (x + hθ(x + h)) = + = hg J (x) + h2 g JJ (x)θ(x + h) + h0(hθ(x + h)) hg J (x) hJJ (x) + g2 + Suy h199 199 6! 6) JJ g (x)θ(x + h) + JJ 0(hθ(x + h)) = (x) + + g h (1996 ) 199g h 1996 ! Do θ(x, h) b% ch¾n nên ta có lim g JJ (x)θ(x + h) = lim Vì g JJ (x) ƒ= nên ta đưoc g(199 (x) h→ h→0 g JJ (x) (x) lim θ(x + h) = · h→0 KET LU¾N Lu¾n văn Dãy so m®t so phương pháp giai tốn ve dãy so giai quyet đưoc van đe sau: Trỡnh by hắ thong mđt so kien thỳc ban ve dãy so H¾ thong hóa đưoc m®t so dang tốn ve dãy so phương pháp giai tốn Đó tốn tìm so hang tőng qt cna dãy so vói phương pháp quy nap, phép the lưong giác, su dung phương trình sai phân, tính chat cna hàm so, ky thu¾t tuyen tính hóa; tốn tìm giói han cna dãy so (xét dang dãy so l¾p, dãy trung bình Cesaro, dãy phân tuyen tính); tốn ve dãy so so HQc vói phương pháp quy nap, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh boi phan nguyên tốn ưóc lưong tőng tích cna m®t so dãy so vói phương pháp sai phân, đai so, su dung so phỳc Thiet lắp oc mđt so tốn mói ve dãy so Đó tốn dãy so h®i tu sinh boi đai lưong trung bình tốn ve dãy so nghiắm cna mđt HQ phng trỡnh Do thũi gian cú han lnc cá nhân han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban đong nghi¾p Tác gia xin chân thành cam ơn! TÀI LIfiU THAM KHAO [1] Nguyen Văn M¾u (Chn biên), Tran Nam Dũng, Nguyen Minh Tuan, 2007, Chuyên đe CHQN LQc dãy so áp dnng, NXB Giáo duc [2] Nguyen Văn M¾u, 2003, Chuyên đe phép tính dãy so, Ky yeu h®i ngh% khoa HQc [3] Nguyen Văn M¾u, Nguyen Thny Thanh, 2003, Giái han dãy so hàm so, NXB Giáo duc [4] Nguyen Văn M¾u (Chn biên), Tran Nam Dũng, Đ¾ng Hựng Thang, ắng Huy Ruắn, 2008, Mđt so van e so hQc CHQN LQc, NXB Giáo duc [5] Nguyen Văn M¾u, Lê NGQc Lăng, Pham The Long, Nguyen Minh Tuan, 2006, Các đe thi Olympic sinh viên toàn quoc, NXB Giáo duc [6] Phan Huy Khai, 2009, Chuyên đe so HQc dãy so, NXB Giáo duc [7] Các thi Olympic Tốn Trung HQc phő thơng Vi¾t Nam (1990- 2006), NXB Giáo duc, 2007 [8] Tap chí Tốn HQc tuői tre so 410, NXB Giáo duc, 2011 ... ưóc lưong dãy so Các phương pháp ban đe giai toán dãy so đa dang Chúng ta xét cu the m®t so phương pháp 2.1 2.1.1 M®t so phương pháp giai tốn tìm so hang tong quát cua dãy so Phương pháp quy nap... dnng tốn mói ve dãy so Đó m®t so phương pháp giai toán xác đ%nh so hang tőng quát cna dãy so, tốn tìm giói han cna dãy so, toán ve dãy so so HQc tốn ưóc lưong tőng tích cna dãy so Và mđt so cỏch... bình Cesaro, dãy phân tuyen tính Vói tốn ve dãy so so HQc có phương pháp quy nap, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh boi phan ngun Vói tốn ưóc lưong tőng tích cna dãy so, h¾ thong phương pháp sai phân,