Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG VĂN KHÁNH CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG VĂN KHÁNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị Dãy số 1.1 Một số khái niệm dãy số 1.2 Cách xác định dãy số 1.3 Một số dãy số đặc biệt .2 Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết tập hợp số nguyên 2.2 Hàm phần nguyên số phương Chương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Phương pháp đổi biến đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa 2.Phương pháp sai phân 10 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính 10 2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát 11 Phương pháp tìm cơng thức tổng qt dãy số định hướng công thức lượng giác 20 Chương .30 Một số toán liên quan đến công thức tổng quát dãy số .30 Tính tổng dãy số 30 Dãy số tính chất số học dãy số 34 2.1 Tính phương dãy số 34 2.2 Toán chia hết phần nguyên 43 Dãy số giới hạn dãy số .52 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO .69 LỜI NÓI ĐẦU Dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị quan trọng phục vụ cho việc tính tốn phương trình hàm, lý thuyết biểu diễn, hay cụ thể toán thực tế tính lãi xuất ngân hàng, tính số nhiễm sắc thể, tính số phân bào… Hiện có nhiều tài liệu đề cập tới toán dãy số Tuy nhiên tài liệu chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm cơng thức tổng qt dãy số số toán liên quan tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn vài dãy số… Mục đích luận văn khái quát cách hệ thống phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số hay dùng số toán liên quan hay đưa kỳ thi học sinh giỏi, OLYMPIC 30/4, hay số kỳ thi khác Luận văn chia làm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn tóm tắt số định nghĩa tính chất số học hay dùng Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Chương tác giả đề cấp tới phương pháp để tìm cơng thức tổng qt dãy số: phương pháp đổi biến đưa cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa; phương pháp sai phân; phương pháp sử dụng định hướng công thức lượng giác Chương 3: Một số toán liên quan tới công thức tổng quát dãy số Chương đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn hoàn thành với bảo hướng dẫn tận tình, chu đáo TS PHẠM VĂN QUỐC Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn quý quan tạo điều kiện giúp đỡ mặt để luận văn hoàn thành thời hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo nhiệt tình giảng dạy cung cấp thêm cho chúng em kiến thức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12/2015 Tác giả Hoàng Văn Khánh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Dãy số 1.1 Một số khái niệm dãy số Định nghĩa 1: Dãy  un  (hoặc un  ) dãy số u1 , u2 , , un tuân theo quy luật gọi dãy số + Nếu dãy un có vơ hạn phần tử ta nói dãy un dãy số vô hạn   + Nếu dãy un có hữu hạn phần tử ta nói dãy un dãy số hữu hạn   + Số u1 gọi số hạng đầu dãy, ui gọi số hạng thứ i dãy (1  i ) 1.2 Cách xác định dãy số a Dãy số cho công thức tổng quát Ví dụ 1: un  Có u  : ; ; n n  ; n ; 1 n 1 1 b Dãy số cho cơng thức truy hồi Ví dụ : Dãy Phibonacci  u1  u2  n ;  un  un1  un2 (n  3) Khi un:1;1; ; ; ; c Dãy số cho phương pháp mơ tả Ví dụ : Cho số   3,141592653589 Lập dãy un  giá trị gần  , lấy từ số thập phân thứ đến thứ n Như ta có dãy u1  3,1; u2  3,14 ; u3  3,141; 1.3 Một số dãy số đặc biệt a Cấp số cộng Định nghĩa : Dãy số u1 , u2 , , un , gọi cấp số cộng với công sai d un1  un  n 1 d Tính chất : 1i; u  u  (n 1)d n 2i; un  un1  un1 3i; s  u  u n n  n    u  u1  un n 2u1  (n 1)d  n  n b Cấp số nhân Định nghĩa : Dãy số u1 , u2 , , un , gọi cấp số nhân với công bội q un1  un.q n 1 Tính chất : 1i; un  u qn1 2i; u2  n u n  n1 un1 n  3i; sn  u1  u2   un  u1 qn 1 q 1 Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết tập hợp số nguyên Định nghĩa : Cho a , b  ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a bội Z b b ước a k  cho a  bk Z Trường hợp ngược lại ta nói a khơng chia hết cho b (kí hiệu a  b ) Định nghĩa : Cho số p  Z  ; p  , ta nói p số nguyên tố p có ước nguyên dương p Định nghĩa : Ta nói số a đồng dư b modul m a b có số dư chia cho m Kí hiệu : a  b(mod m) Tính chất :  a  b(mod m)  a  b  0mod m   a1  b1 (mod m)  a   b  b (mod m)  aa  b (mod m) 2  2  a1  b1 (mod m)  b b (mod m)   a a a  b (mod m) 12  2  a  b(mod m)  ak  bk (mod m) 2.2 Hàm phần nguyên số phương a Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên số số ngun lớn khơng vượt q số Kí hiệu : Cho số x  ta kí hiệu phần nguyên số x R x Tính chất :  d x  a  x  a  (0  d  1; x  0)  a  x  a  1  x   (a  Z :; x  0) a   x    y    x  y b Số phương Định nghĩa : Số n  gọi số phương k  N cho Nnk2 Tính chất : Điều kiện cần để số số phương số phải có chữ số tận 0,1, 4, 5, 6, Chương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Phương pháp đổi biến đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Một dãy số bất kỳ, sau một vài phép đổi biến khéo léo ta đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Từ tìm cơng thức tổng qt dãy số dãy số cho Cấp số cộng: Nếu un1  un  d; cơng thức tổng quát un  u1  (n (n  2) n 1)d Cấp số nhân: Nếu u  u q; n cơng thức tổng qt u  u qn1 (n  2) n1 n n Dãy lũy thừa: Nếu un1  uk n cơng thức tổng qt un  k n1 (n  2) u n Chúng ta xét số toán cụ thể sau để làm rõ phương pháp Bài toán Cho dãy số u1  :   un  2un1  Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Đặt un   3 Ta có dãy số  v1  2  v1  2 v   2(v  2v  3)    n vn n1 n1  n1      n1   lim v   Do : n n  cos w  u u u n n  sin (sin  n  2n   sin lim wn n cos  .cos   22  23  2n  1 cos cos cos )  sin  2 n sin 2 n n  2n n sin   2n sin sin 2n 2n Ta :    2n sin   Tham số tốn vấn đề khơng thể thiếu toán Dãy số việc tồn thêm tham số làm toán trở nên phức tạp nhiều Tuy tham số tốn dãy số thường khơng ngăn trở ta tìm cơng thức tổng qt dãy số vấn đề ta cần giải xét tham số dãy số tìm cơng thức tổng qt Ta có số tốn sau để làm rõ Bài toán 11 (HSG QG bảng A-2004) x1    Cho dãy xác định : x   Đặt : y  n n i1 2xi 1  n1  (2  Cos2 ) n  Cos  x (2  2Cos2 ) n   Cos2 x (n  1) Tìm  để y có giới hạn, tìm giới hạn n 2sin  Bài giải :  Ta có : 2xn1 1  1) n 3(2x 2sin   a , ta có an1  n 2x n1 1 a   (1 )sin  3n Giải phương trình ta n : 3n1 Đặt un  Do 1   (1 2xn1 1 )sin  3n1 n Nên yn   ( i  (1 )sin2  ) 3i i1 n 1  i1  Do lim n 3n Khi : i  sin   (1  1 ) i1 3  )  n  (1  ) sin    n  Vậy để n (1  lim y n  n  i1 n  yn có giới hạn  sin      k Bài toán 12. (Olympic Toán sinh viên 2013) Cho dãy số  x R 2 (n 1)  n  2n 1 x x  n1 n Tìm lim x n n Bài Giải : Từ phương trình : (n 1) x n1 n x  (n 1)  n n 2 2  (n 1)  (n 1)  n x  n n1 x n 2 Đặt v  n x  n v   1 n n Ta có : v  n1 Là dãy nên v   1 n Do :  1  n x  n n  xn   1 n2 n lim xn  lim n  1 n2  n n Bài toán 13 Cho dãy số : u1    1 1  u 2n un  Tìm A cho : lim v có giới hạn giới hạn khác (ở v  n n n  Bài giải :  sin ; Ta có : u1  u2   1  u 21  1  sin  2    1  cos   sin  sin 2 Bằng quy nạp ta : un Khi : lim v  lim un  sin  lim  2n sin   lim(   sin ( 2n ) n n n ) u n ) An n n n An n An kh q  0  Nhận xét : lim qn  1 i q1 kh i n  kh q   i n  2n An 2A  n Như : Để giới hạn lim   lim   có giới hạn giới hạn khác  1 1A 2A n n  2A  Bài toán 14 (Olympic tốn sinh viên tồn quốc năm 2012) (n  1)  a1   Cho dãy số a n1 a    n1 n n n  Tìm  để dãy a n có giới hạn Bài giải : an1  an  Từ giả thiết ta có : Đặt : x  n 1 a n n(n 1) , ta có phương trình : x  n1 n xn n Do : x  x  ; 1.2 xx ; 2.3 x x  n n1 (n 1).n n  n(n 1) với x Cộng vế ta có : x  x   x  x  x xx n n 2 n1    x  xn  x1 ( n1 1.2  2.3   (n 1)n ) k 1 k (k  1)   x n   2(n 1) n 2(n 1) n Khi : a n 2(n 1)    (  2)n  n   a  n n   Do : an có giới hạn    Bài toán 15 (Đề thi học sinh giỏi Gia Lai 2012-2013 bảng A) (n  1)  a1   Cho dãy a  n   an   2013  n1 n  Tìm số hạng tổng quát an, tìm  để a Bài giải : Từ giả thiết ta có :  a  n  2 a n n1  có giới hạn, xác định giới hạn n 2013 n n a a  n1  n  2013 n  n n(n  2)  Đặt xn  an an1   2013 (n 1)(n  2) n(n 1) n(n 1)(n  2) , ta có dãy số : an 2013 n(n  1) x x Khi : x xx 1.2.3 x 2013  2.3.4 ; a n1 2013 n ;  , với x   n(n 1)(n  2) 2 x x  n 2013 n1 x  Cộng vế : x n (n 1)n(n  1) n1  2013 k 1 k(k 1)(k  2) n 1  2013  n1 1 k 1 k(k  1) k 1 (k  1)(k  2)  x1        2013  1    (1  )  (2  n  )    2013(n2  n  2) 2  4n(n  1) n(n 1) 2013n(n 1)(n  n  2) Do : an  n(n 1)xn   4n(n 1) 2  (n  n) 2013(n  n  2)  2013 2013   (n 2 n)(  ) 4 Để a có giới hạn  n  2013     2013 Bài toán 16 (Chọn HSG TP Hà Nội 2/10/2015)  x 1 Cho dãy số xác định x  x1 2016  x   n1 n n 2015 2015 2015 Xét dãy yn  với yn x  x2   x n xn1 x2 x3 a Chứng minh y   n xn1 b Tính lim yn Bài giải: Từ giả thiết xn x x x  2016 x n  1 1 2015 x n    xn2015  1  xn1 xn xn1 x2015 n1 n x 2015 n Và lim a n  n 2013  xn1  n xn1  xn  xn1 , n  x12015 2015 2015 x x    n xn1 x3 x12 1 1 1   1 1      x    x    x x x x Do ta có yn   1     n n1   1 xn1 x1 xn1  Như ta có điều phải chứng minh  ta truy hồi x1   Theo giả thiết x 2016  x x   n1 n n xn1  n 1; n  Do lim xn   n lim  1 Nên yn  lim 1   x  n1  KẾT LUẬN Các tốn tìm cơng thức tổng quát dãy số số toán liên quan đề cập hầu hết tài liệu giải tích, đại số, … tác giả tóm tắt sơ qua tốn, nội dung luận văn Đồng thời luận văn trình bày sơ lược phương pháp tìm cơng thức tổng quát hay dùng, toán liên quan đến công thức tổng quát hay gặp kỳ thi Thường toán đưa giải cách khéo léo qua phép đổi biến, hay bước biến đổi truy hồi hay phân tích Tuy khơng phải phương pháp tổng qt, phương pháp chung Tác giả mong muốn từ số tốn trên, bạn đọc tìm thêm nhiều hướng biến đổi, cách giải phong phú tạo nên đa dạng kho tàng toán học nhân loại TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Điển (2003), Phương pháp quy nạp toán học, Nhà xuất Giáo dục [3] Phan Huy Khải (2006), Số học dãy số, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số toán chọn lọc dãy số, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định (2012), Phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội ... cơng thức tổng quát dãy số định hướng công thức lượng giác 20 Chương .30 Một số tốn liên quan đến cơng thức tổng qt dãy số .30 Tính tổng dãy số 30 Dãy số tính... cơng thức tổng quát dãy số dãy số cho Cấp số cộng: Nếu un1  un  d; công thức tổng quát un  u1  (n (n  2) n 1)d Cấp số nhân: Nếu u  u q; n cơng thức tổng qt u  u qn1 (n  2) n1 n n Dãy. ..   + Nếu dãy un có hữu hạn phần tử ta nói dãy un dãy số hữu hạn   + Số u1 gọi số hạng đầu dãy, ui gọi số hạng thứ i dãy (1  i ) 1.2 Cách xác định dãy số a Dãy số cho cơng thức tổng qt Ví