Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HỒNG VĂN KHÁNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HỒNG VĂN KHÁNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội - 2015 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị Dãy số 1.1 Một số khái niệm dãy số 1.2 Cách xác định dãy số 1.3 Một số dãy số đặc biệt 2 Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết tập hợp số nguyên 2.2 Hàm phần nguyên số phương Chương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Phương pháp đổi biến đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa 2.Phương pháp sai phân 10 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính 10 2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát 11 Phương pháp tìm cơng thức tổng qt dãy số định hướng công thức lượng giác 20 Chương 30 Một số tốn liên quan đến cơng thức tổng qt dãy số 30 Tính tổng dãy số 30 Dãy số tính chất số học dãy số 34 2.1 Tính phương dãy số 34 2.2 Toán chia hết phần nguyên 43 Dãy số giới hạn dãy số 52 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 LỜI NÓI ĐẦU Dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị quan trọng phục vụ cho việc tính tốn phương trình hàm, lý thuyết biểu diễn, hay cụ thể toán thực tế tính lãi xuất ngân hàng, tính số nhiễm sắc thể, tính số phân bào… Hiện có nhiều tài liệu đề cập tới toán dãy số Tuy nhiên tài liệu chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm cơng thức tổng qt dãy số số tốn liên quan tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn vài dãy số… Mục đích luận văn khái quát cách hệ thống phương pháp tìm cơng thức tổng quát dãy số hay dùng số toán liên quan hay đưa kỳ thi học sinh giỏi, OLYMPIC 30/4, hay số kỳ thi khác Luận văn chia làm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn tóm tắt số định nghĩa tính chất số học hay dùng Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Chương tác giả đề cấp tới phương pháp để tìm cơng thức tổng qt dãy số: phương pháp đổi biến đưa cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa; phương pháp sai phân; phương pháp sử dụng định hướng công thức lượng giác Chương 3: Một số tốn liên quan tới cơng thức tổng quát dãy số Chương đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn hoàn thành với bảo hướng dẫn tận tình, chu đáo TS PHẠM VĂN QUỐC Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn quý quan tạo điều kiện giúp đỡ mặt để luận văn hoàn thành thời hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo nhiệt tình giảng dạy cung cấp thêm cho chúng em kiến thức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12/2015 Tác giả Hoàng Văn Khánh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Dãy số 1.1 Một số khái niệm dãy số Định nghĩa 1: Dãy  un  (hoặc un  ) dãy số u1 , u2 , , un tuân theo quy luật gọi dãy số + Nếu dãy  un  có vơ hạn phần tử ta nói dãy  un  dãy số vô hạn + Nếu dãy  un  có hữu hạn phần tử ta nói dãy  un  dãy số hữu hạn + Số u1 gọi số hạng đầu dãy, ui gọi số hạng thứ i dãy (1  i ) 1.2 Cách xác định dãy số a Dãy số cho công thức tổng quát n Ví dụ 1: un  n 1 n Có un  : ; ; ; ; ; 2 1 1 n 1 b Dãy số cho công thức truy hồi Ví dụ : Dãy Phibonacci  u1  u2  (n  3)  un  un1  un2 Khi un  :1;1; ; ; ; c Dãy số cho phương pháp mơ tả Ví dụ : Cho số   3,141592653589 Lập dãy  un  giá trị gần  , lấy từ số thập phân thứ đến thứ n Như ta có dãy u1  3,1; u2  3,14 ; u3  3,141; 1.3 Một số dãy số đặc biệt a Cấp số cộng Định nghĩa : Dãy số u1 , u2 , , un , gọi cấp số cộng với công sai d un1  un  d n  Tính chất : 1i; un  u1  (n  1)d 2i; un  un1  un1 n  n  3i; sn  u1  u2   un  u1  un  2u  (n  1)d  n  n 2 b Cấp số nhân Định nghĩa : Dãy số u1 , u2 , , un , gọi cấp số nhân với công bội q un1  un q n  Tính chất : 1i; un  u1.q n1 n  2i; un2  un1.un1 n  qn  3i; sn  u1  u2   un  u1 q 1 Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết tập hợp số nguyên Định nghĩa : Cho a , b  Z ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a bội b b ước a k  Z cho a  bk Trường hợp ngược lại ta nói a khơng chia hết cho b (kí hiệu a  b ) Định nghĩa : Cho số p  Z  ; p  , ta nói p số nguyên tố p có ước nguyên dương p Định nghĩa : Ta nói số a đồng dư b modul m a b có số dư chia cho m Kí hiệu : a  b(mod m) Tính chất :  a  b(mod m)  a  b   mod m   a  b (mod m)   1  a1  a2  b1  b2 (mod m) a  b (mod m )  2  a  b (mod m)   1  a1.a2  b1.b2 (mod m) a  b (mod m )  2  a  b(mod m)  a k  b k (mod m) 2.2 Hàm phần nguyên số phương a Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên số số nguyên lớn khơng vượt q số Kí hiệu : Cho số x  R ta kí hiệu  x  phần nguyên số x Tính chất :     x  a  x  a  d (0  d  1; x  0) a  x  a    x   a (a  Z :; x  0)  x    y    x  y  b Số phương Định nghĩa : Số n  N gọi số phương k  N cho n  k2 Tính chất : Điều kiện cần để số số phương số phải có chữ số tận 0,1, 4, 5, 6, Chương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Phương pháp đổi biến đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Một dãy số bất kỳ, sau một vài phép đổi biến khéo léo ta đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Từ tìm công thức tổng quát dãy số dãy số cho Cấp số cộng: Nếu un1  un  d ; n cơng thức tổng qt un  u1  (n  1)d (n  2) Cấp số nhân: Nếu un1  un q; n công thức tổng quát un  u1.q n1 (n  2) Dãy lũy thừa: Nếu un1  unk n công thức tổng quát un  u1k n 1 (n  2) Chúng ta xét số toán cụ thể sau để làm rõ phương pháp Bài toán Cho dãy số : u1    un  2un1  Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Đặt un   v1  2   v  2 Ta có dãy số   vn   2(vn1  3)  vn  2vn1 Do cấp số nhân với v1  2 ; q  nên:  v1.q n1  2n Vậy un  2n  công thức tổng quát dãy cho Bài toán Cho dãy số : u1  1; u2    un  3un1  2un2 ; (n  3) Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Ta biến đổi : u1  1; u2    un  2un1  un1  2un2 Đặt  un  2un1  v 0 Ta có dãy  (n  3) v  v  n n1 Vì dãy số nên  u1    u 1 Do :   un  2un1  un  2un1 Nên un cấp số nhân với u1  1; q  Vậy un  2n Bài toán Cho dãy số u1   (n  2)  un  un1  2n  Tìm cơng thức tổng quát un Bài giải : Đặt un   n2  2n ta có dãy v1  1   2 vn  n  2n  vn1  (n  1)  2(n  1)  2n   v  1  vn  vn1 Do cấp số nhân với v1  1, q  Nên  1 Vậy un  n2  2n  Bài toán Cho dãy số u1    n un  3un1  (n  2) Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Đặt un   2n1 ta có dãy v1    n 1 n n vn   3(vn1  )   v 5  vn  3vn1 Có cấp số nhân với v1  , q  Nên  v1.q n1  5.3n1 Vậy có un  5.3n1  2n1 Bài toán Cho dãy u0  1; u1    n un  4un1  3un2  5.2 (n  2) Tìm cơng thức tổng qt dãy số Bài giải : Đặt  un  4.5.2n ta có dãy v0  19 ; v1  43   n n 1 n2 n vn  20.2  4(vn1  20.2 )  3(vn2  20.2 )  5.2  v  19 ; v1  43  vn  4vn1  3vn2   v0  19 ; v1  43  vn  3vn1  vn1  3vn2  z  14 Đặt zn   3vn1 Ta có dãy :   zn  zn1 v1  43  Vì zn dãy nên Khi  vn  3vn1  14 (n  2)  1  1  2   xn    Do với n :  xn  xn      1 n 1    n1    C2kn1  k 0 n 2t 1  2 C2 n1 t 0 n 1 n 1    n 1 k  2   1   1     1 n 1 n 1   C2kn1 k 0 n 1 t 1 n 1  , n  ,1, ,  n 1  , n  ,1, ,     2  1 n 1 k n 1  1 n   C22nt 11 2nt  Z k      1 t o Hơn dễ thấy 0   1  1, n  ,1, ,     Do x  x      1 2  Từ (1) (2) suy  n1 xn  1 n1 2 , n  ,1, ,  , n  ,1, ,  n2   lim 1     2 2 n2 n n   Dẫn tới lim xn x xn    Bài toán (Đề thi vô địch Bungari) Gọi an bn hai số nguyên dương thỏa mãn hệ thức   n an  bn   , n  1, , an tìm giới hạn x  b n Chứng minh tồn lim Bài giải : Bằng quy nạp ta chứng minh   n an  bn   , n  N * (với an bn hai số nguyên dương )   n an  bn   , n  1, , Ta có 55   a  b    n n   an  bn        2    n an  lim n b n n 2 Vậy lim   n n 1   a      n    n n bn         2  n      2   n  2 n 2 1  2  lim n 2 1  2 2  2 n 2  2 n    n n  Bài toán Cho dãy số  xn n1 sau :  x1  Hãy tìm lim  n   2007 x x x n 1    n  xn , n  1, , n  2010  n xn   Bài Giải : Trong (*) lấy n=2, ta x1 x2 2007   x2  x2  x1  2 Từ (*) ta có: x1 x2 x x n 1    n1  n  xn n 1 n x1 x2 x n    n1  xn1 n 1 x  n  1 xn nxn1 Trừ hai đẳng thức ta : n   , n  n 2 Vậy với n  , ta có n2  n  n n2  n 1  n xn     xn1  xn  xn1  xn  xn1 n 2n n n2  56  * Do với n  ta có : n2 n2 xn  xn1  x n n2  n  1 n   n1 n2  n  1 x   n  1 n    n   n  1 n2 n  1 n  2 n  3 n2    32  x  n  1 n    n   n  1  n  3 n  n   n  1 2.5 2 Suy xn  2 4.3.n 2007.n x2  , n   n   n  1  n   n  1 Do lim  x    2010  n xn   2007  Bài toán (Đề thi Olympic 30/04/2011) Cho dãy số  xn  sau : x1  x  x2  x3    n  1 xn1 xn  , n  , , n2  n  1 Tìm lim  30n2  x  2011 xn x Bài giải : Ta có  x1  x2  x3    n  12 xn1   n xn  xn1    n  1 n  n  n  1 xn  n xn  n  1  n n3 xn  n  1  n n2  n  1 xn Nên  n  1 xn1  n2 xn  n2 xn   n  1 xn1   n   xn2   x2  1.x1  2 30n2  4n  2011 x 4n Vậy lim  30n2  4n  2011 xn  lim x 57 1  xn  4n  lim 30  x  2011  n n  30  15 4 Bài tốn (Đề thi 30/04/2013) Tìm giới hạn dãy số  xn  xác định x1  , 3 n   xn21   n  1 xn2   n   , n  Bài giải : Ta có : 3 n   xn21   n  1 xn2   n     n   xn21   n  1 xn2   n  1   n     n   xn21   n     n  1 xn2   n  1   n    xn21  1   n  1  xn2  1 Đặt yn  xn2  , thay vào (*) ta yn1   n  1 yn Do 3 n    n  1 2n 2 yn1  y1    y1 3 n   3 n  1 3 n2 n 1 Suy lim yn  Vậy lim xn  Một số giới hạn dãy số liên quan tới biểu diễn công thức lượng giác, ta thực tìm cơng thức tổng qt xét chương để từ giải tiếp vấn đề xét giới hạn dãy số Bài toán Cho dãy số xn  2n     ( biểu thức chứa n dấu căn) Tính lim( xn tan n   2n  ) Bài Giải : Ta có : 58     x1  2   2(1  cos )  2(2cos   1)  4cos  22.cos 8   x2  22    22  2(1  cos )  2 2cos   23.cos  24  8cos  16 Bằng quy nạp ta chứng minh : xn  2n 2.cos Do : lim( xn tan n   )  lim(cos n2 n   tan n2  2n   2n )  lim n2 n  sin  2n  1 2n  Bài toán Cho dãy un      (biểu thức chứa n dấu căn) Tìm lim(u1 u2 un ) n Bài Giải : u1   2cos   2cos  22 ;  u2    2(1  cos )  2(1  2cos Dễ dàng quy nạp ta có : un  2cos   2n1  1)  2cos  23    1  (2 c os 2cos 2cos ) Do : lim(u1.u2 un )  nlim   2 2n1 2n         lim cos cos cos n1  n  2   Nhận xét : A  cos  2 cos  .cos  2n1 59  sin  (sin  n 1 cos  2 cos  .cos  2n1 ) 2n1 2n     ( sin n cos cos cos n )   2  2 sin n1 sin n1 2  n 1 n    Khi : lim(u1 u2 un )  lim A  lim  lim n  n  n    n    sin n1 sin n1 2  Bài toán 10 Cho dãy  1  u0     un1 un   (n  1) Xét :  4n (1  un ) ; w n  u1.u2 un v ; lim w n Tính nlim  n n Bài Giải : Theo giả thiết u0  (1;1) nên   (0 ;  ) cho cos  u0 Khi :  u0  cos u1    2 u2   u1   cos Dễ dàng quy nạp ta có un  cos  2n 60  2cos 2  1  cos  ; Ta :  4n (1  un )  4n (1  cos    sin 2n1    n1     2 2n1 )  4n (1  (1  2sin n ))  2.4n.2sin n 1     sin 2 n 1     n   2.4 n       n1     2 Do : nlim v   n 2 w n  u1.u2 un  cos  sin  (sin  n  2 cos cos   cos .cos   2n .cos n  n ) 1 sin   2n sin n   n n sin   sin       sin n n sin n 2 sin  Ta : lim w n  n n   Tham số tốn vấn đề khơng thể thiếu toán Dãy số việc tồn thêm tham số làm toán trở nên phức tạp nhiều Tuy tham số tốn dãy số thường khơng ngăn trở ta tìm cơng thức tổng quát dãy số vấn đề ta cần giải xét tham số dãy số tìm cơng thức tổng qt Ta có số toán sau để làm rõ Bài toán 11 (HSG QG bảng A-2004) x1    Cho dãy xác định :  (2  Cos2 ) xn  Cos 2 x   n1 (2  2Cos 2 ) x   Cos2  n n Đặt : yn   (n  1) Tìm  để yn có giới hạn, tìm giới hạn xi  i 1 61 Bài giải : 2sin  Ta có :   xn1  3(2 xn  1) 2sin  Đặt un  , ta có an1   an 3 xn1  1 Giải phương trình ta : an  Do 1  (1  n1 )sin  n 3 1  (1  n1 )sin  n xn1  3  1  (1  )sin  ) i i 1 i 1 n n 1   i  sin   (1  i 1 ) i 1 i 1 1    (1  n )   n  (1  n )  sin  3   n Nên yn   (  Vậy để yn có giới hạn  sin      k n y  Khi : nlim n  Do lim n Bài toán 12 (Olympic Toán sinh viên 2013) x1    R  Cho dãy số  2 (n  1) xn1  n xn  2n  x Tìm nlim  n Bài Giải : Từ phương trình : (n  1) xn1  n xn  (n  1)  n  (n  1) xn1  (n  1)  n xn  n Đặt  n2 xn  n2 v1    Ta có : vn1  62 Là dãy nên    Do :    n2 xn  n2  xn     n2 n2    n2 lim x  lim  n  n n  n2 Bài toán 13 Cho dãy số : u1     u    un2 n   v có giới hạn giới hạn khác (ở  Tìm A cho : nlim  n Bài giải :  Ta có : u1   sin ; u2   1    u12    sin 2 2     cos  sin  sin 2 Bằng quy nạp ta : un  sin  2n sin  sin   un  lim( 2n 2n )   ( ) n  lim n   An An n An 2A n q  0  q n  1 q  Nhận xét : nlim   q   Khi : lim  lim n  n  n 63 un ) An n     lim  Như : Để giới hạn nlim  có giới hạn giới hạn khác  n   2A  1  1 A  2A Bài toán 14 (Olympic toán sinh viên toàn quốc năm 2012) a1     Cho dãy số  n 1 a  a  n  n1 n n Tìm  để dãy an có giới hạn (n  1) Bài giải : Từ giả thiết ta có : Đặt : xn  an1 an   n  n n(n  1) an , ta có phương trình : xn1  xn  với x1   n(n  1) n ; 1.2 x3  x2  ; 2.3 xn  xn 1  (n  1).n Do : x2  x1  Cộng vế ta có : 2 x2  x3   xn  x1  x2   xn1  (    ) 1.2 2.3 (n  1)n n 1  xn  x1  2 k 1 k ( k  1) 2(n  1)  xn  x1  n 2(n  1)  xn    n 64 2(n  1)   Khi : an      n  an  (  2)n  n   Do : an có giới hạn    Bài toán 15 (Đề thi học sinh giỏi Gia Lai 2012-2013 bảng A) a1     Cho dãy   n   an  2013 (n  1) a   n1 n  Tìm số hạng tổng quát an , tìm  để an có giới hạn, xác định giới hạn Bài giải : Từ giả thiết ta có :  n  2 a 2013 n n a a 2013  n1  n  n  n n(n  2) an 1   Đặt xn  n  an1 an 2013   (n  1)(n  2) n(n  1) n(n  1)(n  2) an , ta có dãy số : n(n  1) xn1  xn  a  2013 , với x1   n(n  1)(n  2) 2 2013 ; 1.2.3 2013 x3  x2  ; 2.3.4 2013 xn  xn1  (n  1)n(n  1) Khi : x2  x1  n 1 2013 k 1 k ( k  1)( k  2) Cộng vế : xn  x1   65  x1      n 1  2013  n 1 1     k 1 k (k  1) k 1 (k  1)(k  2)   2013  1  (1  )  (  )  n n    2013(n  n  2) 4n(n  1) n(n  1) 2013n(n  1)(n  n  2)  Do : an  n(n  1) xn  4n(n  1) 2013(n2  n  2)  2013 2013  (n2  n)(  ) 4  2013 2013 2013    a  Để an có giới hạn   Và nlim n  2   ( n  n)  Bài toán 16 (Chọn HSG TP Hà Nội 2/10/2015) x1   Cho dãy số xác định  2016  xn1  xn  xn Xét dãy  yn  x12015 x22015 xn2015 với yn     x2 x3 xn1 a Chứng minh yn   xn1 b Tính lim yn Bài giải: a Từ giả thiết xn1  xn2016  xn  xn1  xn  xn2015  1 2015  xn  1 xn2015     xn xn1 xn1 xn1 xn2015 1    , n  xn1 xn xn1 66 Do ta có yn  x12015 x22015 x 2015    n x2 x3 xn1 1 1 1 1 1                x1 x2   x2 x3   xn xn1  1   1 x1 xn1 xn1 Như ta có điều phải chứng minh x1   b Theo giả thiết  ta truy hồi 2016 x  x  x n n  n1 xn1  n  1; n  Do lim xn1   n   Nên lim yn  lim 1    x n    67 KẾT LUẬN Các tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số số toán liên quan đề cập hầu hết tài liệu giải tích, đại số, … tác giả tóm tắt sơ qua tốn, nội dung luận văn Đồng thời luận văn trình bày sơ lược phương pháp tìm cơng thức tổng qt hay dùng, tốn liên quan đến cơng thức tổng qt hay gặp kỳ thi Thường toán đưa giải cách khéo léo qua phép đổi biến, hay bước biến đổi truy hồi hay phân tích Tuy khơng phải phương pháp tổng quát, phương pháp chung Tác giả mong muốn từ số toán trên, bạn đọc tìm thêm nhiều hướng biến đổi, cách giải phong phú tạo nên đa dạng kho tàng toán học nhân loại 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Điển (2003), Phương pháp quy nạp toán học, Nhà xuất Giáo dục [3] Phan Huy Khải (2006), Số học dãy số, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số toán chọn lọc dãy số, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định (2012), Phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 69