Đang tải... (xem toàn văn)
Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập tới các bài toán dãy số. Tuy nhiên tài liệu này chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm công thức tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan như tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn một vài dãy số… Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HỒNG VĂN KHÁNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HỒNG VĂN KHÁNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội - 2015 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị Dãy số 1.1 Một số khái niệm dãy số 1.2 Cách xác định dãy số 1.3 Một số dãy số đặc biệt 2 Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết tập hợp số nguyên 2.2 Hàm phần nguyên số phương Chương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Phương pháp đổi biến đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa 2.Phương pháp sai phân 10 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính 10 2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát 11 Phương pháp tìm cơng thức tổng qt dãy số định hướng công thức lượng giác 20 Chương 30 Một số tốn liên quan đến cơng thức tổng qt dãy số 30 Tính tổng dãy số 30 Dãy số tính chất số học dãy số 34 2.1 Tính phương dãy số 34 2.2 Toán chia hết phần nguyên 43 Dãy số giới hạn dãy số 52 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 LỜI NÓI ĐẦU Dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị quan trọng phục vụ cho việc tính tốn phương trình hàm, lý thuyết biểu diễn, hay cụ thể toán thực tế tính lãi xuất ngân hàng, tính số nhiễm sắc thể, tính số phân bào… Hiện có nhiều tài liệu đề cập tới toán dãy số Tuy nhiên tài liệu chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm cơng thức tổng qt dãy số số tốn liên quan tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn vài dãy số… Mục đích luận văn khái quát cách hệ thống phương pháp tìm cơng thức tổng quát dãy số hay dùng số toán liên quan hay đưa kỳ thi học sinh giỏi, OLYMPIC 30/4, hay số kỳ thi khác Luận văn chia làm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn tóm tắt số định nghĩa tính chất số học hay dùng Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Chương tác giả đề cấp tới phương pháp để tìm cơng thức tổng qt dãy số: phương pháp đổi biến đưa cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa; phương pháp sai phân; phương pháp sử dụng định hướng công thức lượng giác Chương 3: Một số tốn liên quan tới cơng thức tổng quát dãy số Chương đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn hoàn thành với bảo hướng dẫn tận tình, chu đáo TS PHẠM VĂN QUỐC Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn quý quan tạo điều kiện giúp đỡ mặt để luận văn hoàn thành thời hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo nhiệt tình giảng dạy cung cấp thêm cho chúng em kiến thức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12/2015 Tác giả Hoàng Văn Khánh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Dãy số 1.1 Một số khái niệm dãy số Định nghĩa 1: Dãy un (hoặc un ) dãy số u1 , u2 , , un tuân theo quy luật gọi dãy số + Nếu dãy un có vơ hạn phần tử ta nói dãy un dãy số vô hạn + Nếu dãy un có hữu hạn phần tử ta nói dãy un dãy số hữu hạn + Số u1 gọi số hạng đầu dãy, ui gọi số hạng thứ i dãy (1 i ) 1.2 Cách xác định dãy số a Dãy số cho công thức tổng quát n Ví dụ 1: un n 1 n Có un : ; ; ; ; ; 2 1 1 n 1 b Dãy số cho công thức truy hồi Ví dụ : Dãy Phibonacci u1 u2 (n 3) un un1 un2 Khi un :1;1; ; ; ; c Dãy số cho phương pháp mơ tả Ví dụ : Cho số 3,141592653589 Lập dãy un giá trị gần , lấy từ số thập phân thứ đến thứ n Như ta có dãy u1 3,1; u2 3,14 ; u3 3,141; 1.3 Một số dãy số đặc biệt a Cấp số cộng Định nghĩa : Dãy số u1 , u2 , , un , gọi cấp số cộng với công sai d un1 un d n Tính chất : 1i; un u1 (n 1)d 2i; un un1 un1 n n 3i; sn u1 u2 un u1 un 2u (n 1)d n n 2 b Cấp số nhân Định nghĩa : Dãy số u1 , u2 , , un , gọi cấp số nhân với công bội q un1 un q n Tính chất : 1i; un u1.q n1 n 2i; un2 un1.un1 n qn 3i; sn u1 u2 un u1 q 1 Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết tập hợp số nguyên Định nghĩa : Cho a , b Z ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a bội b b ước a k Z cho a bk Trường hợp ngược lại ta nói a khơng chia hết cho b (kí hiệu a b ) Định nghĩa : Cho số p Z ; p , ta nói p số nguyên tố p có ước nguyên dương p Định nghĩa : Ta nói số a đồng dư b modul m a b có số dư chia cho m Kí hiệu : a b(mod m) Tính chất : a b(mod m) a b mod m a b (mod m) 1 a1 a2 b1 b2 (mod m) a b (mod m ) 2 a b (mod m) 1 a1.a2 b1.b2 (mod m) a b (mod m ) 2 a b(mod m) a k b k (mod m) 2.2 Hàm phần nguyên số phương a Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên số số nguyên lớn khơng vượt q số Kí hiệu : Cho số x R ta kí hiệu x phần nguyên số x Tính chất : x a x a d (0 d 1; x 0) a x a x a (a Z :; x 0) x y x y b Số phương Định nghĩa : Số n N gọi số phương k N cho n k2 Tính chất : Điều kiện cần để số số phương số phải có chữ số tận 0,1, 4, 5, 6, Chương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Phương pháp đổi biến đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Một dãy số bất kỳ, sau một vài phép đổi biến khéo léo ta đưa dãy số cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Từ tìm công thức tổng quát dãy số dãy số cho Cấp số cộng: Nếu un1 un d ; n cơng thức tổng qt un u1 (n 1)d (n 2) Cấp số nhân: Nếu un1 un q; n công thức tổng quát un u1.q n1 (n 2) Dãy lũy thừa: Nếu un1 unk n công thức tổng quát un u1k n 1 (n 2) Chúng ta xét số toán cụ thể sau để làm rõ phương pháp Bài toán Cho dãy số : u1 un 2un1 Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Đặt un v1 2 v 2 Ta có dãy số vn 2(vn1 3) vn 2vn1 Do cấp số nhân với v1 2 ; q nên: v1.q n1 2n Vậy un 2n công thức tổng quát dãy cho Bài toán Cho dãy số : u1 1; u2 un 3un1 2un2 ; (n 3) Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Ta biến đổi : u1 1; u2 un 2un1 un1 2un2 Đặt un 2un1 v 0 Ta có dãy (n 3) v v n n1 Vì dãy số nên u1 u 1 Do : un 2un1 un 2un1 Nên un cấp số nhân với u1 1; q Vậy un 2n Bài toán Cho dãy số u1 (n 2) un un1 2n Tìm cơng thức tổng quát un Bài giải : Đặt un n2 2n ta có dãy v1 1 2 vn n 2n vn1 (n 1) 2(n 1) 2n v 1 vn vn1 Do cấp số nhân với v1 1, q Nên 1 Vậy un n2 2n Bài toán Cho dãy số u1 n un 3un1 (n 2) Xác định công thức tổng quát dãy số Bài giải : Đặt un 2n1 ta có dãy v1 n 1 n n vn 3(vn1 ) v 5 vn 3vn1 Có cấp số nhân với v1 , q Nên v1.q n1 5.3n1 Vậy có un 5.3n1 2n1 Bài toán Cho dãy u0 1; u1 n un 4un1 3un2 5.2 (n 2) Tìm cơng thức tổng qt dãy số Bài giải : Đặt un 4.5.2n ta có dãy v0 19 ; v1 43 n n 1 n2 n vn 20.2 4(vn1 20.2 ) 3(vn2 20.2 ) 5.2 v 19 ; v1 43 vn 4vn1 3vn2 v0 19 ; v1 43 vn 3vn1 vn1 3vn2 z 14 Đặt zn 3vn1 Ta có dãy : zn zn1 v1 43 Vì zn dãy nên Khi vn 3vn1 14 (n 2) 1 1 2 xn Do với n : xn xn 1 n 1 n1 C2kn1 k 0 n 2t 1 2 C2 n1 t 0 n 1 n 1 n 1 k 2 1 1 1 n 1 n 1 C2kn1 k 0 n 1 t 1 n 1 , n ,1, , n 1 , n ,1, , 2 1 n 1 k n 1 1 n C22nt 11 2nt Z k 1 t o Hơn dễ thấy 0 1 1, n ,1, , Do x x 1 2 Từ (1) (2) suy n1 xn 1 n1 2 , n ,1, , , n ,1, , n2 lim 1 2 2 n2 n n Dẫn tới lim xn x xn Bài toán (Đề thi vô địch Bungari) Gọi an bn hai số nguyên dương thỏa mãn hệ thức n an bn , n 1, , an tìm giới hạn x b n Chứng minh tồn lim Bài giải : Bằng quy nạp ta chứng minh n an bn , n N * (với an bn hai số nguyên dương ) n an bn , n 1, , Ta có 55 a b n n an bn 2 n an lim n b n n 2 Vậy lim n n 1 a n n n bn 2 n 2 n 2 n 2 1 2 lim n 2 1 2 2 2 n 2 2 n n n Bài toán Cho dãy số xn n1 sau : x1 Hãy tìm lim n 2007 x x x n 1 n xn , n 1, , n 2010 n xn Bài Giải : Trong (*) lấy n=2, ta x1 x2 2007 x2 x2 x1 2 Từ (*) ta có: x1 x2 x x n 1 n1 n xn n 1 n x1 x2 x n n1 xn1 n 1 x n 1 xn nxn1 Trừ hai đẳng thức ta : n , n n 2 Vậy với n , ta có n2 n n n2 n 1 n xn xn1 xn xn1 xn xn1 n 2n n n2 56 * Do với n ta có : n2 n2 xn xn1 x n n2 n 1 n n1 n2 n 1 x n 1 n n n 1 n2 n 1 n 2 n 3 n2 32 x n 1 n n n 1 n 3 n n n 1 2.5 2 Suy xn 2 4.3.n 2007.n x2 , n n n 1 n n 1 Do lim x 2010 n xn 2007 Bài toán (Đề thi Olympic 30/04/2011) Cho dãy số xn sau : x1 x x2 x3 n 1 xn1 xn , n , , n2 n 1 Tìm lim 30n2 x 2011 xn x Bài giải : Ta có x1 x2 x3 n 12 xn1 n xn xn1 n 1 n n n 1 xn n xn n 1 n n3 xn n 1 n n2 n 1 xn Nên n 1 xn1 n2 xn n2 xn n 1 xn1 n xn2 x2 1.x1 2 30n2 4n 2011 x 4n Vậy lim 30n2 4n 2011 xn lim x 57 1 xn 4n lim 30 x 2011 n n 30 15 4 Bài tốn (Đề thi 30/04/2013) Tìm giới hạn dãy số xn xác định x1 , 3 n xn21 n 1 xn2 n , n Bài giải : Ta có : 3 n xn21 n 1 xn2 n n xn21 n 1 xn2 n 1 n n xn21 n n 1 xn2 n 1 n xn21 1 n 1 xn2 1 Đặt yn xn2 , thay vào (*) ta yn1 n 1 yn Do 3 n n 1 2n 2 yn1 y1 y1 3 n 3 n 1 3 n2 n 1 Suy lim yn Vậy lim xn Một số giới hạn dãy số liên quan tới biểu diễn công thức lượng giác, ta thực tìm cơng thức tổng qt xét chương để từ giải tiếp vấn đề xét giới hạn dãy số Bài toán Cho dãy số xn 2n ( biểu thức chứa n dấu căn) Tính lim( xn tan n 2n ) Bài Giải : Ta có : 58 x1 2 2(1 cos ) 2(2cos 1) 4cos 22.cos 8 x2 22 22 2(1 cos ) 2 2cos 23.cos 24 8cos 16 Bằng quy nạp ta chứng minh : xn 2n 2.cos Do : lim( xn tan n ) lim(cos n2 n tan n2 2n 2n ) lim n2 n sin 2n 1 2n Bài toán Cho dãy un (biểu thức chứa n dấu căn) Tìm lim(u1 u2 un ) n Bài Giải : u1 2cos 2cos 22 ; u2 2(1 cos ) 2(1 2cos Dễ dàng quy nạp ta có : un 2cos 2n1 1) 2cos 23 1 (2 c os 2cos 2cos ) Do : lim(u1.u2 un ) nlim 2 2n1 2n lim cos cos cos n1 n 2 Nhận xét : A cos 2 cos .cos 2n1 59 sin (sin n 1 cos 2 cos .cos 2n1 ) 2n1 2n ( sin n cos cos cos n ) 2 2 sin n1 sin n1 2 n 1 n Khi : lim(u1 u2 un ) lim A lim lim n n n n sin n1 sin n1 2 Bài toán 10 Cho dãy 1 u0 un1 un (n 1) Xét : 4n (1 un ) ; w n u1.u2 un v ; lim w n Tính nlim n n Bài Giải : Theo giả thiết u0 (1;1) nên (0 ; ) cho cos u0 Khi : u0 cos u1 2 u2 u1 cos Dễ dàng quy nạp ta có un cos 2n 60 2cos 2 1 cos ; Ta : 4n (1 un ) 4n (1 cos sin 2n1 n1 2 2n1 ) 4n (1 (1 2sin n )) 2.4n.2sin n 1 sin 2 n 1 n 2.4 n n1 2 Do : nlim v n 2 w n u1.u2 un cos sin (sin n 2 cos cos cos .cos 2n .cos n n ) 1 sin 2n sin n n n sin sin sin n n sin n 2 sin Ta : lim w n n n Tham số tốn vấn đề khơng thể thiếu toán Dãy số việc tồn thêm tham số làm toán trở nên phức tạp nhiều Tuy tham số tốn dãy số thường khơng ngăn trở ta tìm cơng thức tổng quát dãy số vấn đề ta cần giải xét tham số dãy số tìm cơng thức tổng qt Ta có số toán sau để làm rõ Bài toán 11 (HSG QG bảng A-2004) x1 Cho dãy xác định : (2 Cos2 ) xn Cos 2 x n1 (2 2Cos 2 ) x Cos2 n n Đặt : yn (n 1) Tìm để yn có giới hạn, tìm giới hạn xi i 1 61 Bài giải : 2sin Ta có : xn1 3(2 xn 1) 2sin Đặt un , ta có an1 an 3 xn1 1 Giải phương trình ta : an Do 1 (1 n1 )sin n 3 1 (1 n1 )sin n xn1 3 1 (1 )sin ) i i 1 i 1 n n 1 i sin (1 i 1 ) i 1 i 1 1 (1 n ) n (1 n ) sin 3 n Nên yn ( Vậy để yn có giới hạn sin k n y Khi : nlim n Do lim n Bài toán 12 (Olympic Toán sinh viên 2013) x1 R Cho dãy số 2 (n 1) xn1 n xn 2n x Tìm nlim n Bài Giải : Từ phương trình : (n 1) xn1 n xn (n 1) n (n 1) xn1 (n 1) n xn n Đặt n2 xn n2 v1 Ta có : vn1 62 Là dãy nên Do : n2 xn n2 xn n2 n2 n2 lim x lim n n n n2 Bài toán 13 Cho dãy số : u1 u un2 n v có giới hạn giới hạn khác (ở Tìm A cho : nlim n Bài giải : Ta có : u1 sin ; u2 1 u12 sin 2 2 cos sin sin 2 Bằng quy nạp ta : un sin 2n sin sin un lim( 2n 2n ) ( ) n lim n An An n An 2A n q 0 q n 1 q Nhận xét : nlim q Khi : lim lim n n n 63 un ) An n lim Như : Để giới hạn nlim có giới hạn giới hạn khác n 2A 1 1 A 2A Bài toán 14 (Olympic toán sinh viên toàn quốc năm 2012) a1 Cho dãy số n 1 a a n n1 n n Tìm để dãy an có giới hạn (n 1) Bài giải : Từ giả thiết ta có : Đặt : xn an1 an n n n(n 1) an , ta có phương trình : xn1 xn với x1 n(n 1) n ; 1.2 x3 x2 ; 2.3 xn xn 1 (n 1).n Do : x2 x1 Cộng vế ta có : 2 x2 x3 xn x1 x2 xn1 ( ) 1.2 2.3 (n 1)n n 1 xn x1 2 k 1 k ( k 1) 2(n 1) xn x1 n 2(n 1) xn n 64 2(n 1) Khi : an n an ( 2)n n Do : an có giới hạn Bài toán 15 (Đề thi học sinh giỏi Gia Lai 2012-2013 bảng A) a1 Cho dãy n an 2013 (n 1) a n1 n Tìm số hạng tổng quát an , tìm để an có giới hạn, xác định giới hạn Bài giải : Từ giả thiết ta có : n 2 a 2013 n n a a 2013 n1 n n n n(n 2) an 1 Đặt xn n an1 an 2013 (n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(n 2) an , ta có dãy số : n(n 1) xn1 xn a 2013 , với x1 n(n 1)(n 2) 2 2013 ; 1.2.3 2013 x3 x2 ; 2.3.4 2013 xn xn1 (n 1)n(n 1) Khi : x2 x1 n 1 2013 k 1 k ( k 1)( k 2) Cộng vế : xn x1 65 x1 n 1 2013 n 1 1 k 1 k (k 1) k 1 (k 1)(k 2) 2013 1 (1 ) ( ) n n 2013(n n 2) 4n(n 1) n(n 1) 2013n(n 1)(n n 2) Do : an n(n 1) xn 4n(n 1) 2013(n2 n 2) 2013 2013 (n2 n)( ) 4 2013 2013 2013 a Để an có giới hạn Và nlim n 2 ( n n) Bài toán 16 (Chọn HSG TP Hà Nội 2/10/2015) x1 Cho dãy số xác định 2016 xn1 xn xn Xét dãy yn x12015 x22015 xn2015 với yn x2 x3 xn1 a Chứng minh yn xn1 b Tính lim yn Bài giải: a Từ giả thiết xn1 xn2016 xn xn1 xn xn2015 1 2015 xn 1 xn2015 xn xn1 xn1 xn1 xn2015 1 , n xn1 xn xn1 66 Do ta có yn x12015 x22015 x 2015 n x2 x3 xn1 1 1 1 1 1 x1 x2 x2 x3 xn xn1 1 1 x1 xn1 xn1 Như ta có điều phải chứng minh x1 b Theo giả thiết ta truy hồi 2016 x x x n n n1 xn1 n 1; n Do lim xn1 n Nên lim yn lim 1 x n 67 KẾT LUẬN Các tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số số toán liên quan đề cập hầu hết tài liệu giải tích, đại số, … tác giả tóm tắt sơ qua tốn, nội dung luận văn Đồng thời luận văn trình bày sơ lược phương pháp tìm cơng thức tổng qt hay dùng, tốn liên quan đến cơng thức tổng qt hay gặp kỳ thi Thường toán đưa giải cách khéo léo qua phép đổi biến, hay bước biến đổi truy hồi hay phân tích Tuy khơng phải phương pháp tổng quát, phương pháp chung Tác giả mong muốn từ số toán trên, bạn đọc tìm thêm nhiều hướng biến đổi, cách giải phong phú tạo nên đa dạng kho tàng toán học nhân loại 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Điển (2003), Phương pháp quy nạp toán học, Nhà xuất Giáo dục [3] Phan Huy Khải (2006), Số học dãy số, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số toán chọn lọc dãy số, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định (2012), Phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 69 ... hướng công thức lượng giác Chương 3: Một số tốn liên quan tới cơng thức tổng quát dãy số Chương đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn hoàn... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HỒNG VĂN KHÁNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa. .. + Nếu dãy un có hữu hạn phần tử ta nói dãy un dãy số hữu hạn + Số u1 gọi số hạng đầu dãy, ui gọi số hạng thứ i dãy (1 i ) 1.2 Cách xác định dãy số a Dãy số cho công thức tổng quát n