xác định công thức tổng quát của dãy số và kết hợp với sự tiếp cận lý thuyết phương trình sai phân

ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy

số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết

Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát

của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học

Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo

Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống

của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ Tuy nhiên những vấn đề áp

dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt

và giới hạn trong trường số thực

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xâydựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI

TOÁN VỀ DÃY SỐ

A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

*

u  a u  b u f n Ntrong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và f là biểu thức của n cho trước n

Dạng 1

Tìm u thoả mãn điều kiện n

u  a u  b u  (1.1)trong đó a b, , cho trước n N *

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm  Khi đó n

n

u q (q

là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1 

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu

tiên bằng 1 và công bội bằng 2

Bài giải Ta có

u   u u  (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm  2 Vậy 2n

n

u c Từ u  suy ra1 11

trong đó f là đa thức theo n n

Dạng 3

Tìm u thoả mãn điều kiện n

u  a u  bu v n N (3.1)trong đó f là đa thức theo n n

B PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

*

u  u  a u  bu c u  f n N

trong đó a,b,c,  ,  là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n cho n

trước

(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Giải phương trình đặc trưng a.2 b. c 0 tìm  Khi đó

1) Nếu  1, 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì 1n 2n

n

u A B , trong

đó A và B được xác định khi biết u u 1, 2

2) Nếu  1, 2 là hai nghiệm kép 1 2  thì   n

n

u  A Bn  , trong

đó A và B được xác định khi biết u u 1, 2

Bài toán 5: Tìm u thoả mãn điều kiện sau n

u  A B n (5.2)Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình

 

0 1

2) Nếu 1 là nghiệm đơn thì u*n n g g ,n n là đa thức cùng bậc với f n

3) Nếu 1 là nghiệm kép thì u n* n g g.2 n, n là đa thức cùng bậc với

n

u vào phương trình (6,2) , ta được

n12a n 1 b  2n a n b2    n 12a n  1 b  n 1Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình

u là nghiệm riêng tùy ý của

phương trình không thuần nhất au n1bu n c u n1 f n u là nghiệm*2n

riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất au n1 bu n c u n1 g n

Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )

Tìm u thoả mãn điều kiện n

14

C PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA

Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng

u  u  u  a u  bu  c u d u  f n (a.1)trong đó a,b,c, d,  ,  ,  là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n n

cho trước

(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lạitrong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực  1, 2 ,3 phân biết thì

0

1 1n 2 2n 3 3n n

u a  a  a b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn

c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (1 2 3) thì

Vậy 1 3  1 1

n n

D BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số a được xác định theo công thức sau n

a  a  a   a  a   n (10.1) Chứng minh số A4 .a a n n2 1 là số chính phương

có nghiệm  1 là nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là

Bài toán 11: Cho dãy số  x được xác định theo công thức sau n

    có nghiệm 1 1,2 5Nghiệm tổng quát của (11.1) là

 1n 5n n

Ta có

1 2

8 25.53

1996

25 3 1997 18

Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002

đều là số chính phương

Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)

Cho dãy số  u ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi i

F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI

Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng

quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúpcác Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác Bên cạnh đó ta

có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số

Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số

có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn

đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số

Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình

 1 9  0 2 8 9 0 (12.1)phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy

số có quy luật Chẳng hạn dãy số u được xác định theo công thức sau n

Bài toán 1: Cho dãy số x xác định như sau n

Bài toán 2: Cho dãy số x xác định như sau n

Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình

 12  0 2  2 1 0 (12.2)phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy

số có quy luật Chẳng hạn dãy số u được xác định theo công thức sau n

Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau

Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số x thoả mãn các điều kiện sau n

Bài toán 3: Cho dãy số x xác định như sau n

đã thu được một số kết quả nhất định sau :

1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp

và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy

Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc màtoàn xã hội và nghành đang quan tâm Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán

bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa

“Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ” Qua đó ta có thể

tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất bản

Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004

2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản

Giáo Dục

3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà

xuất bản Giáo Dục

4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục

5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH

Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục

6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản

Giáo Dục - 2003

Trị đặc trưng và vector đặc trưng

23 tháng 10, 2007

Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện cực kỳ nhiều trong các ngành khoa học và kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v Để hiểu ý nghĩa của chúng, có hai hướng nhìn thông dụng, áp dụng được trong rất nhiều trường hợp.

1 Loại động cơ (motivation) thứ nhất.

Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước một ma trận A

và nhiều vectors x, tính với nhiều giá trị khác nhau của số mũ Ví dụ 1: nếu A là

ma trận của một phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) nào đó, như phép quay

và co dãn trong computer graphics chẳng hạn, thì cho ra kết quả của phép BĐTT này áp dụng k lần vào x Các games máy tính hay các annimations trong phim của Hollywood có vô vàn các phép biến đổi kiểu này Mỗi một object trong computer graphics là một bộ rất nhiều các vector x Quay một object nhiều lần là làm phép nhân với từng vectors x biểu diễn object đó Khối lượng tính toán là khổng lồ, dù chỉ

trong không gian 3 chiều Ví dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc và x là distribution của trạng thái hiện tại, thì chính là distribution của chuỗi

Markov sau k bước Ví dụ 3: các phương trình sai phân (difference equation) như kiểu

phương trình cũng có thể được viết thành dạng để tính với k tùy ý Ví dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiên khi giải các

phương trình vi phân, xuất hiện trong khai triển Taylor của ma trận chẳng hạn.

Tóm lại, trong rất nhiều ứng dụng thì ta cần tính toán rất nhanh lũy thừa của một ma trận vuông, hoặc lũy thừa nhân một vector

Mỗi ma trận vuông đại diện cho một phép BĐTT nào đó Lũy thừa bậc k của ma trận đại diện cho phép biến đổi này áp dụng k lần Ngược lại, bất kỳ phép BĐTT nào cũng có thể được đại diện bằng một ma trận Có rất nhiều ma trận đại diện cho cùng một BĐTT, tùy theo ta chọn hệ cơ sở nào Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng là ta đã ngầm định một hệ cơ sở nào đó, thường là hệ cơ sở trực chuẩn ,

, và Các tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ của x trong hệ cơ sở ngầm định này.

Hệ cơ sở như trên thường được dùng vì ta “dễ” hình dùng chúng trong không gian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng trong không gian 2 chiều Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors

thường cũng bị biến đổi theo luôn, rất bất tiện nếu ta phải tính cho nhiều giá trị k

và x khác nhau.

Bây giờ, giả sử ta tìm được hướng độc lập tuyến tính và bất biến qua phép BĐTT đại diện bởi A (Đây là giả sử rất mạnh, may mà nó lại thường đúng trong các ứng dụng kể trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ Bất biến có nghĩa là áp dụng A vào hướng nọ thì hướng không đổi Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu

với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (dù ta giả sử A là thực).

Do các hướng này độc lập tuyến tính, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng

Nếu ta lấy làm hệ cơ sở thỡ cỏi hay là cú ỏp dụng A bao nhiờu lần thỡ cũng khụng đổi hướng của cỏc vectors trong hệ cơ sở! Điều này rất tiện lợi, bởi vỡ

Như vậy, thay vỡ tớnh lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ cần tớnh lũy thừa của n con số và làm một phộp cộng vectors đơn giản Cỏc giỏ trị

là cỏc trị đặc trưng (eigenvalues) của A, và cỏc vectors là cỏc vector đặc trưng (eigenvectors)

Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tính với nhau Nếu ta bỏ các vectors này vào các cột của một ma trận , và các eigenvalues lên đường chéo của một ma trận thì ta có Trong trường hợp này ma trận A có tính

diagonalizable (chéo hóa được) Diagonalizability và sự độc lập tuyến tính của n

eigenvectors là hai thuộc tính tương đương của một ma trận Ngược lại, ta cũng có

, và vì thế lũy thừa của A rất dễ tính: do lũy thừa của một

ma trận đường chéo rất dễ tính.

Cụm từ “khả năng đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê răng quá, có bạn nào biết tiếng Việt là gì không?

Nếu ta biết được các eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — ngoài việc tính

lũy thừa của ma trận — ta còn dùng chúng vào rất nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta

đang xét Ví dụ: tích các eigenvalues bằng với định thức, tổng bằng với trace, khoảng cách giữa eigenvalue lớn nhất và lớn nhì của transition matrix của một chuỗi Markov đo tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) và eigenvector đầu tiên là steady state distribution, vân vân.

Quay lại với cái “giả thiết rất mạnh” ở trên Có một loại ma trận mà giả thiết này đúng;

và hơn thế nữa, ta có thể tìm được các eigenvectors vuông góc nhau, đó là các normal matrices Rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật cho ta các normal matrices Các trường hợp đặc biệt thường thấy là các ma trận (thực) đối xứng và các ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức)

Còn các ma trận không thỏa mãn “giả thiết rất mạnh” này, nghĩa là không

diagonalizable, thì làm gì với chúng? Ta có thể tìm cách làm cho chúng rất “gần” với một ma trận đường chéo bằng cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan Đề tài này nằm ngoài phạm vi bài đang viết.

2 Loại động cơ (motivation) thứ hai.

Trong rất nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với một ma trận đối xứng: nó có đủ bộ eigenvectors, do đó diagonalizable và vì thế có thể thiết kế các thuật toán hiệu quả cho các bài toán tương ứng Không những đối xứng, chúng còn có một thuộc tính mạnh hơn nữa gọi là positive (semi) definite, nghĩa là các eigenvalues đều không âm Ví dụ 1: bài

toán least squares có ứng dụng khắp nơi (linear regression trong statistics chẳng hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite Ví dụ 2: bài toán xác

định xem một một điểm tới hạn của một hàm đa biến bất kỳ có phải là điểm cực tiểu hay không tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian của các đạo hàm bậc

hai tại điểm này là positive definite Ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector (hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite.

Nếu A là một ma trận symmetric positive definite thì ta có thể hiểu các eigenvectors và eigenvalues theo cách khác Bất phương trình

trong đú c là một hằng số dương là một bất phương trỡnh bậc 2 với n biến (cỏc tọa độ của vector x) Nghiệm của nú là cỏc điểm nằm trong một hỡnh e-lớp trong khụng gian n chiều (Ellipsoid) mà n trục của ellipsoid chớnh là hướng của cỏc eigenvectors của A, và chiều dài cỏc trục

tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của căn của eigenvalue) Đõy là trực quan hỡnh học phổ biến thứ hai của eigenvectors

và eigenvalues

Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như có bạn đã hỏi trong phần bình luận bài tư duy trừu tượng , thì ta có thể hiểu nôm na về sự xuất hiện của eigen-vectors/values như sau Giả sử ta có một đống các sample vectors (data points) trên một không gian n chiều nào đó Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn) Thì đa số các vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi covariance matrix (positive semi-definite) Trục dài nhất của ellipsoid là trục có variance cao nhất, nghĩa là SNR cao Trục này chỉ cho ta hướng biến thiên quan trọng nhất của data PCA lấy các trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đó lấy k trục dài nhất làm

principal components để biểu diễn data (Dĩ nhiên, ta phải shift cái mean về gốc tọa độ trước khi đổi hệ cơ sở.)

Ngô Quang Hưng | Đề tài: Toán Ứng Dụng | | In bài này