Skkn một số phương pháp xác định công thức tổng quát của về dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA VỀ DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ” skkn 1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2013-2014 năm học tiếp tục thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “ Hai khơng”; “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào q trình dạy học " Do q trình dạy học địi hỏi thầy giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em 1.2 Lý chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy dạng toán dãy số tốn tìm số hạng tổng qt Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác tốn thực khơng phải dễ với học sinh Xuất phát từ lí chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số ” Qua nội dung ví dụ đề tài nhằm giúp em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần đáp ứng việc học chuyên đề lớp 11 chuyên tốn việc ơn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến lớp 11A1, 11A2 skkn Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Chương III: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 ban nâng cao 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung mơn Đại số Giải tích 11 nói riêng 1.5 Điểm kết nghiên cứu: Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số gọi dãy số tăng * Dãy số gọi dãy số giảm Vậy: Nếu suy dãy số tăng Nếu suy dãy số giảm * Nếu tồn số cho thì bị chặn * Nếu tồn số cho * Nếu dãy số bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng skkn bị chặn * Dãy số cấp số cộng đổi gọi công sai cấp số cộng với * Nếu dãy số cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng tổng , số khơng d) Cấp số nhân * Dãy số cấp số nhân gọi công bội cấp số nhân * Nếu dãy số cấp số nhân * Nếu dãy số cấp số nhân vơi với , số khơng đổi tổng e) Một số đinh lí giới hạn - Nếu - Nếu thì - Nếu dãy số - Nếu dãy số tăng bị chặn Nếu dãy số giảm bị chặn thì có giới hạn có giới hạn 2.2 Nội dung nghiên cứu đề tài A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng : a,b, số ,a # biểu thức n cho trước Dạng skkn Tìm thoả mãn điều kiện (1.1) cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng q xác định biết để tìm Khi (q số ) , Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng cơng bội Bài giải Ta có (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm Vậy Từ suy Do Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (2 1) đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng ta tìm Ta có Trong nghiệm phương trình (1.1) nghiệm riêng tuỳ ý phương trình khơng (2.1) Vậy q số xác định sau Ta xác định sau : 1) Nếu 2) Nếu Thay đa thức bậc với với đa thức bậc với vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số Bài tốn 2: Tìm thoả mãn điều kiện (2.2) skkn Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có Thay vào phương trình (2.2) ta (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương trình sau Do Ta có Vì nên Vậy Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (3.1) đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng , c số chưa xác định , 1) Nếu 2) Nếu ta tìm Ta có xác định sau : Trong Thay vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số từ hệ thức , tính c Bài tốn 3: Tìm Biết thoả mãn điều kiện (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng Thay có nghiệm vào phương trình (3.2) , ta thu skkn Ta có Suy Do nên c=1 Vậy Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (4.1) Trong đa thức theo n Phương pháp giải Ta có , Bài tốn 4: Tìm Trong nghiệm tổng quát phương trình , nghiệm riêng phương trình khơng nghiệm riêng phương trình khơng thoả mãn điều kiện (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng Thay vào phương trình có nghiệm Ta có , ta Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình Vậy thay vào phương trình Vậy skkn Ta Do Ta có nên Vậy B PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng a,b,c, , số , a # biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ln có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng tìm Khi 1) Nếu hai nghiệm thực khác xác định biết , A B 2) Nếu hai nghiệm kép xác định biết , A B Bài tốn 5: Tìm thoả mãn điều kiện sau (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình Vậy skkn Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (6.1) a # 0, đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi ta có nghiệm tổng quát phương trình nghiệm tuỳ ý phương trình Theo dạng ta tìm sau : , hệ số A, B chưa xác định , 1) Nếu 2) Nếu nghiệm đơn 3) Nếu nghiệm kép xác định đa thức bậc với đa thức bậc với đa thức bậc với , Thay vào phương trình , đồng hệ số, tính hệ số từ hệ thức tính A, B Bài tốn 6: Tìm Biết thoả mãn điều kiện (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng Thay có nghiệm kép vào phương trình (6,2) , ta Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình skkn Ta có Vậy Do Mặt khác Vậy Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi ta có xác định dạng hệ số A B chưa xác định, định sau 1) Nếu 2) Nếu nghiệm đơn 3) Nếu nghiệm kép xác Thay vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết từ hệ thức tính A,B Bài tốn 7: Tìm thoả mãn điều kiện skkn Bài giải Phương trình đặc trưng Thay có nghiệm kép Ta có vào phương trình , ta Vậy Do phương trình (1) ta thu (1) Thay vào Vậy Dạng Tìm thoả mãn điều kiện (8.1) a # , đa thức theo n Phương pháp giải Ta có , nghiệm tổng quát phương trình nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng Bài tốn 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm thoả mãn điều kiện (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Thay vào phương trình , ta skkn Ta có Vậy Do Thay vào phương trình , ta Do Vậy (8.3) Ta thay vào (8.3) ta hệ phương trình Vậy C PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng (a.1) a,b,c, d, , , số , a # skkn biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính nhất, nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng , Xét phương trình đặc trưng (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực phân biệt b) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn c) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội 2) Xác định nghiệm riêng  Xét a) Nếu phương trình (a.1) đa thức n ta có đa thức bậc với b) Nếu (nghiệm đơn ) c) Nếu (bội ) đa thức bậc với d) Nếu (bội 3) đa thức bậc với  Xét , ta có a) Nếu b) Nếu (nghiệm đơn ) c) Nếu (nghiệm bội s ) skkn đa thức bậc với Bài tốn 9: Tìm dãy số biết (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng có nghiệm thực Vậy Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta Vậy D BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số xác định theo công thức sau (10.1) Chứng minh số số phương Bài giải Ta có (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta (10.3) Trừ vế (10.1) cho (10.2) ta thu (10.4) Phương trình đặc trưng (10.4) có nghiệm nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phương trình (10.4) skkn Cho n=0, n=1, n=2 ta Ta thu từ ta có Điều chứng tỏ A số phương Bài tốn 11: Cho dãy số xác định theo công thức sau (11.1) Chứng minh Bài giải Xét dãy số với (11.2) Dễ thấy Đặt Do cần chứng minh suy Nhận xét (11.3) Ta lại có suy (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta Suy (11.5) Phương trình đặc trưng (11.5) có nghiệm Nghiệm tổng quát (11.1) skkn Ta có Do ta nhận (11.6) Từ (11.6) ta suy Ta cần chứng minh Do Nên Từ , ta có , Vậy E BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức dãy số thoả mãn điều kiện sau 1) 2) 3) 4) skkn 5) Bài 2: Cho dãy số Chứng minh thoả mãn điều kiện số lẻ Bài 3: Cho dãy số xác định Chứng minh Bài 4: Cho dãy số Chứng minh thoả mãn điều kiện số phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số thoả mãn sau Chứng minh : 1) 2) ( kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số thoả mãn điều kiện skkn Chứng minh tồn số nguyên M cho số phương số Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số ( i=1,2,3,4…)được xác định Tính giá trị biểu thức Bài 8: Cho dãy số nguyên dương thoả mãn điều kiện Tìm số ngun dương h bé có tính chất F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm cơng thức tổng qt lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy kiểm tra kết tốn theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số Dưới số ví dụ “ xây dựng thêm tốn dãy số có tính quy luật ” mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình (12.1) phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số xác định theo công thức sau cho Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dãy số xác định sau skkn Xác định công thức Bài toán 2: Cho dãy số xác định sau Tính giá trị biểu thức Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số xác định theo cơng thức sau cho qt dãy số vận dụng thuật tốn xác định cơng thức tổng Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định cơng thức dãy số Bài tốn 2: Cho dãy số Chứng minh xác định sau số phương Bài tốn 3: Cho dãy số xác định sau skkn thoả mãn điều kiện sau Xác định số tự nhiên n cho 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung để làm bật nội dung cần phân tích 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2013 – 2014 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A1, 11A2 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A1 lớp thực nghiệm q trình triển khai đề tài lớp 11A2 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Sau chấm kiểm tra thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh) Điểm Lớp 3 – 1 – 2,5 4,5 6,5 Lớp 11A1 Lớp 11A2 – – 8,59 9– 10 0% 2% 18% 20% 60% 4% 28% 52% 14% 2% Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao qt cách skkn giải toán dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun giúp em tự tin đứng trước toán dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic KẾT LUẬN 3.1 Những học kinh nghiệm: Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt môn học người giáo viên phải có số kỹ sau: * Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề * Kỹ giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc * Kỹ trình bày lời giải 3.2 Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 3.3 Khả ứng dụng, triển khai: Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm nối bậc phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phận tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn học, thân có kiến nghị với phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số tài liệu tham khảo thường xuyên tổ chức buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Người Viết Đào Hữu Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO skkn 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dãy số , Nhà xuất Giáo Dục 2003 skkn ... trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số xác định theo cơng thức sau cho quát dãy số vận dụng thuật tốn xác định cơng thức tổng Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định cơng thức dãy số Bài. .. luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số gọi dãy số tăng * Dãy số gọi dãy số giảm Vậy: Nếu suy dãy số tăng Nếu suy dãy số giảm * Nếu tồn số cho... TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức dãy số thoả mãn điều kiện sau 1) 2) 3) 4) skkn 5) Bài 2: Cho dãy số Chứng minh thoả mãn điều kiện số lẻ Bài 3: Cho dãy số xác định Chứng minh Bài 4: Cho dãy số Chứng