SKKN một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THPT VĨNH TRẠCH BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN CẢI TIẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Người viết: Lê Hồ Ngọc Toản Tổ: Tốn Lĩnh vực: Chun mơn Tốn Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Trạch An Giang – 2/2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch BÁO CÁO Kết thực sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến kỹ thuật nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ tên: LÊ HỒ NGỌC TOẢN Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 10/02/1981 - Nơi thường trú: Vĩnh Thành, Châu Thành, An Giang - Đơn vị công tác: THPT Vĩnh Trạch - Chức vụ nay: - Lĩnh vực cơng tác: giáo viên giảng dạy mơn tốn II.- Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị: Nêu tóm tắt tình hình đơn vị, thuận lợi, khó khăn đơn vị việc thực nhiệm vụ Thuận lợi: - Được quan tâm đạo sâu sát Ban Giám Hiệu nhà trường công tác ôn tập học sinh giỏi Đặc biệt giai đoạn nay, việc tự nghiên cứu, tìm tịi học hỏi giáo viên ngày dễ dàng nhờ vào internet, sách báo, tư liệu - Đa số học sinh có ý thức tự học cao, tự nghiên cứu tìm tịi tài liệu - Nội dung “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số đề thi học sinh giỏi” quen thuộc, thú vị, đa dạng, khơi gợi hứng thú học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia Khó khăn: Đối với giáo viên: Đây lĩnh vực tương đối khó, địi hỏi giáo viện phải nghiên cứu kĩ, chun sâu GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Đối với học sinh: Đây chuyên đề khó học sinh, đòi hỏi phải hiểu kĩ nắm vững kiến thức; phải tự học nghiên cứu nhiều - Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ” - Lĩnh vực: mơn tốn Sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ” quen thuộc, thú vị, gợi hứng thú học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia III- Mục đích yêu cầu đề tài, sáng kiến Thực trạng ban đầu trước áp dụng sáng kiến Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng toán liên quan tới nội dung sách giáo khoa mức độ mở đầu, Trong câu hỏi đề thi học sinh giỏi thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình tốn lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, tơi nhận thấy dạng tốn dãy số tốn tìm số hạng tổng quát Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng qt dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác toán thực dễ với học sinh Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia thường xuất toán dãy số Để giải tốn dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số học tính chất giải tích dãy số Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng biết cách xác định công thức dãy số Các toán dãy số thường toán hay khó, thân sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Nội dung sáng kiến 3.1 Tiến trình thực Đối với giáo viên: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, chọn lọc tài liệu Bước 2: Hệ thống dạng Bước 3: Hướng dẫn học sinh học dạng Bước 4: Hướng dẫn học sinh phân tích, mở rộng nhiều toán khác từ dạng Đối với học sinh: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, nghe giáo viên hướng dẫn dạng Bước 2: Giải thành thạo dạng Bước 3: Phân tích, mở rộng sang toán khác Bước 4: Tự rèn luyện qua đề thi 3.2 Thời gian thực Sáng kiến thực từ 8/2018 – 3/2019 3.3 Biện pháp tổ chức 3.3.1 Kiến thức 3.3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 3.3.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số (un ) * Dãy số (un ) Vậy: Nếu un +1 Nếu un +1 * Nếu tồn số * Nếu tồn số * Nếu dãy số (u 3) Cấp số cộng * Dãy số (un ) gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số * Nếu dãy số (un ) cấp số cộng tổng 4) Cấp số nhân * Dãy số (un ) công bội cấp số nhân * Nếu dãy số (un ) * Nếu dãy số (un ) d số không đổi số không đổi gọi (2) GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 5) Một số đinh lí giới hạn - Nếu limbn = L - Nếu - Nếu dãy số - Nếu dãy số (un 3.3.2 Phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số 3.3.2.1 Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ) số dãy đặc biệt Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tởng qt dãy số (un ) xác định bởi: Ta thấy dãy số Ta có: u n = − 2(n − 1) = −2n + Ví dụ 1.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: Ta thấy dãy (u Ví dụ 1.3 Xác định số hạng tổng quát dãy số u1 = −2, un = 3u n−1 − Trong tốn gặp khó khăn dãy (un ) CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) khơng phải CSN xuất số −1 vế trái Ta tìm cách làm −1 chuyển dãy số CSN Ta có −1 = − + nên ta viết công thức truy hồi dãy sau: un − Đặt v = u n v = v qn −1 n GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích −1 = − hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy không tự nhiên Làm để phân tích −1 = − Ta phân tích −1 = k − 3kk = Với cách làm ta xác định CTTQ dãy Thật vậy: * Nếu a = dãy (u * Nếu a viết b = (u : u n CSC có cơng sai d = b nên un = u1 + ( n −1)b công thức truy hồi dãy viết sau: b + un =a a−1 Hay u n = u1a n −1 Từ ta suy dạng sau Dạng 1: Dãy số (un ) : u Ví dụ 1.4 Xác định CTTQ dãy Để tìm CTTQ dãy số ta tìm cách làm 3n −1 3n − = −3n − + Ta có Khi cơng thức truy hồi dãy: u + 3n + = n =u Đặt v + 3n + n n Vậy CTTQ dãy Chú ý: 1/ Để phân tích đẳng thức (2) ta sau: 3n − = an + b − a ( n − 1) + b Cho n = 1; n = 2/ Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : u a −b= −b = u1 f (n ) a = −3 b = −5 n f ( n) n đa thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ sau GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 n Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch n Khi ta có Phân tích −g(n)=au u n Vây ta có Vấn đề cịn lại ta xác định Ta thấy: * Nếu a =1 g ( n) − ag ( n −1) đa thức có bậc nhỏ bậc g ( n) bậc không phụ thuộc vào hệ số tự g ( n) , mà f ( n) đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn g ( n) đa thức bậc k +1 , có hệ số tự khơng để xác định g ( n) đẳng thức (3) ta cho k +1 giá trị n ta hệ k +1 phương trình, giải hệ ta tìm hệ số g ( n) * Nếu a g ( n) − ag ( n −1) đa thức bậc với g ( n) nên ta chọn g n) đa ( xác định g ( n) thức bậc k đẳng thức (3) ta cho Vậy ta có kết sau = x0 Dạng 2: Để xác định CTTQ sãy (un ) đó f ( n) đa thức bậc k theo n ; a = a.u n−1 + f (n) , ... Nếu - Nếu dãy số - Nếu dãy số (un 3.3.2 Phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số 3.3.2.1 Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ) số dãy đặc biệt... tồn số * Nếu dãy số (u 3) Cấp số cộng * Dãy số (un ) gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số * Nếu dãy số (un ) cấp số cộng tổng 4) Cấp số nhân * Dãy số (un ) công bội cấp số nhân * Nếu dãy số (un... 1.1 Xác định số hạng tởng qt dãy số (un ) xác định bởi: Ta thấy dãy số Ta có: u n = − 2(n − 1) = −2n + Ví dụ 1.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: Ta thấy dãy (u Ví dụ 1.3 Xác