SKKN dạy học SINH sử DỤNG máy TÍNH cầm TAY tìm GIỚI hạn của dãy số và hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “DẠY HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ” I MỞ ĐẦẦ̀U 1.1 Lý chọn đề tài Trong q trình giảng dạy mơn Đại số giải tích lớp 11, tơi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số hàm số Điều lẽ tất yếu mà giới hạn khái niệm khó, trừu tượng mang tính bước ngoặt nhận thức giới số với đại lượng vô nhỏ vô lớn Do làm để lột tả khái niệm giới hạn để đa số học sinh hiểu vận dụng khái niệm giải toán điều trăn trở Hơn nữa, theo chủ trương đổi toàn diện giáo dục Đảng mà khâu then chốt đổi phương pháp dạy học, theo hướng lây hoat đông hoc cua hoc sinh lam trung tâm, hoc sinh la chu thê cua qua trinh nhân thưc va hoat đông hoc, dươi sự điêu hanh, dẫn dắt, gơi mơ cua giao viên Vi vây, giao viên cần thiêt kê bai day thê nao đê thu hút đươc nhiêu hoc sinh tham gia nhât va đat hiêu qua cao nhât Cùng với việc đổi phương pháp dạy học phương pháp kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh khâu quan trọng Từ năm học 2017 – 2018, mơn tốn chuyển từ hình thức làm thi tựự̣ luận sang hình thức trả lời trắắ́c nghiệm khách quan kì thi THPT Quốc gia Do vậy, giáo viên cầầ̀n điều chỉnh phương pháp dạy để phù hợp với tình hình Khi dạy chương giới hạn, dạy khái niệm, quy tắắ́c tính giới hạn cách thuầầ̀n túắ́y lí thuyết truyền thống học sinh khó nhớ, khó thựự̣c hiện, nhiều thời gian dễ nhàm chán Tuy nhiên sử dụng cơng cụ máy tính cầầ̀m tay học sinh dễ dàng lĩnh hội khái niệm giới hạn tính tốn giới hạn cách xác nhanh chóng, phù hợp với hình thức thi trắắ́c nghiệm Chính vậy, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Sử dụng máy tính việc tính giới hạn dãy số hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi viết SKKN với mục đích chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm thân dạy chương giới hạn, giúắ́p học sinh hiểu khái niệm giới hạn cách tường minh tính giới hạn cách đơn giản 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng cho tất đối tượng học sinh đặc biệt học sinh trung bình, yếu 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm GD; - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động; - Phương pháp lấy ý kiến đồng nghiệp; - Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm II NỘI DUNG SÁÁ́NG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong thời loại bước vào cách mạng công nghiệp lầầ̀n thứ 4, người cầầ̀n phải khơng ngừng thích ứng với tình hình nhằm chiếm lĩnh kiến thức KHKT tiên tiến, đại Vì giáo dục cầầ̀n tạo sản phẩm người động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,…Trong lộ trình cải cách toàn diện giáo dục nước nhà, việc đổi khâu tổ chức kỳ thi, có việc chuyển từ hình thức làm tựự̣ luận sang hình thức làm trắắ́c nghiệm khâu quan trọng giúắ́p chúắ́ng ta đánh giá học sinh diện rộng cách khách quan, toàn diện, nhanh chóng xác Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lầầ̀n đầầ̀u tiên đề thi mơn tốn câu hỏi trắắ́c nghiệm khách quan.Theo cấu trúắ́c đề thi có 50 câu với thời gian 90 phúắ́t, trung bình 1,8 phúắ́t/1 câu Như vậy, học sinh việc phải nắắ́m vững kiến thức bản, phương pháp giải tốn điều quan trọng kỹ làm bài, phải biết khai thác tính máy tính cầầ̀m tay, coi máy tính vừa cơng cụ hỗ trợ, vừa phương pháp giải toán hiệu Phương pháp tư tựự̣ luận có ưu điểm kết đảm bảo xác tuyệt đối, phù hợp với học sinh giỏi nhược điểm : phải huy động nhiều kiến thức, kỹ phải nắắ́m vững phương pháp giải đa dạng Phương pháp tư máy tính (tư thuật tốn) có ưu điểm : tốc độ xử lí nhanh, tính tốn xác, cầầ̀n phương pháp, dễ hiểu, dễ làm, phù hợp với đa số học sinh Tuy nhiên nhược điểm số trường hợp kết toán không đảm bảo tuyệt đối 2.2 Khai niêm giới hạn theo ngôn ngữ truyên thông a) Giơi han cua day sô : Cho day sô Ta noi day (u ) (u ) n co giơi han la L n tiên tơi dương vô cực nghia la n limun L |u L| n la môt hay đơn gian la sô dương nho y nêu ta cho n đu lơn Ki hiêu : n limun L (u ) Ta noi day co giơi han la dương vô cực n tiên tơi dương vô cực nghia la n limun u n hay đơn gian la môt sô dương lơn y nêu ta cho n đu lơn Ki hiêu : n la limun Ta noi day (u ) n co giơi han la âm vô cực n tiên tơi dương vô cực nghia la u n la hay đơn gian la limun môt sô âm nho y nêu ta cho n đu lơn Ki hiêu : n limun b) Giơi han cua ham sô : Cho ham sô y f x (a; b) \{x } () xac đinh nghia la nêu cho x cac gia x y f ( x) Ta noi : ham co giơi han la L x tiên tơi tri x x x f(x) L n n ma thi y miên la ta chon n gia tri x n ma y f ( x) x x n x Ki hiêu : x x co giơi han la thi |f x L | () la môt sô dương nho lim f ( x) L x đu gần Ta noi : ham : hay noi cach khac x tiên tơi x nghia la nêu cho x cac lim f ( x) f(x ) n Ki hiêu : x x Ta noi : ham y f ( x) co giơi han lakhi x tiên tơi x nghia la nêu cho x cac lim f ( x) f(x) thi n Ki hiêu : x x y f ( x) Ta noi : ham co giơi han la L x tiên tơi gia tri tri x n x n ma ma x n x n ma x n x n 0 f ( x )L thi Ta noi : ham tri x n y f ( x) lim f ( x) L Ki hiêu : x co giơi han la L x tiên tơi f ( x )L thi n Giơi han phai tai a: x a a thi f(x) tiên vê L (hoăc lim f ( x) L Giơi han trai tai a: x a a thi f(x) tiên vê L (hoăc x ) ( hoăc nghia la nêu cho x cac gia lim f ( x) L Ki hiêu : lim f ( x) L nghia la nêu cho x cac gia nêu x tiên vê a x lơn ) ( hoăc ) nêu x tiên vê a x ln bé ) 2.3 Phương pháp tính giới hạn truyền thống Phương pháp rúắ́t nk , xk , an (với k bậc cao nhất) Phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp nhân liên hợp Phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp Phương pháp tổng hợp : phối hợp phương pháp 2.4 Khai niêm giới hạn theo ngôn ngữ máy tính Chỉ số, biến chạy Dang giơi han limun ( un f ( X) ) Nhâp gia trị biên X =10;100;… lim f ( x) X= a 0,0001 X =a 0,0001 X =a 0,0001 X =10;100; … X = -10; - 100; … x a lim f ( x) x a lim f ( x) x a lim f ( x) x lim f ( x) x Kết giới hạn n a.10 Kêt qua gần đúng (may tinh) (n nguyên dương, a > 0) Hoăc cac sô hang trăm, hang ngan, a.10 n hoăc dang thâp phân 0,000 (co nhiêu sô sau dâu phây) a.10n (n nguyên dương, a < 0) Hoăc cac sô âm hang trăm, hang ngan, Sô thâp phân co nhiêu chư sô giông 2,4999 chẳng han 15,3333 Dự đoan kêt qua chinh xac 2,5 46/3 -5/3 1,666 2.5 Phương pháp máy tính a Giơi han day Bươc : Nhâp công thưc u n thay chi sô n băng biên X ta co u n f ( X) Sư dung phim CALC đê khao sat cac gia tri f(X) Đôi vơi day sô thi chi sô n tiên tơi dương vô cực nên ta co thê cho X cac gia tri 10, 100, 1000,… Bươc Dựa vao kêt qua gần đúng đê dự đoan kêt qua chinh xac b Giới hạn hàm số Dang Tinh giơi han ham sô x tiên tơi a Phương phap giai bằng may tinh - Ghi biêu thưc cần tinh giơi han vao may (biên X) - Nhân phim CALC (đê tinh gia tri biêu thưc) - Nhâp gia tri cua X (cho X = a + 0,001, X = 0,0001,…) - Dựa vao cac gia tri cua biêu thưc đê dự đoan kêt qua giơi han Dang Tinh giơi han ham sô x tiên tơi hoăc Phương phap giai bằng may tinh - Ghi biêu thưc cần tinh giơi han vao may (biên X) - Nhân phim CALC (đê tinh gia tri biêu thưc) - Nhâp gia tri cua X + Nêu x tiên tơi thi ta nhâp cac gia tri x 10;100;1000 + Nêu x tiên tơithi ta nhâp x 10; 100; 1000 - Dựa vao cac gia tri cua biêu thưc đê dự đoan kêt qua giơi han Chú y : Nên cho X tăng tư tư 10, 100, 1000 (hoăc giam tư tư -10; -100; -1000) đê dự đoan gia tri cua ham sô Trong môt sô trương hơp nêu cho X qua lơn (hoăc qua bé) thi may se cho kêt qua sai lêch ( thương vê la kêt qua sai = 0) Dang Tinh giơi han ham sô x tiên tơi a hoăc a - Ghi biêu thưc cần tinh giơi han vao may (biên X) - Nhân phim CALC (đê tinh gia tri biêu thưc) - Nhâp gia tri cua X + Nêu x tiên tơi a thi ta nhâp cac gia tri x a 0,001; x a 0,0001 + Nêu x tiên tơi a thi ta nhâp x a 0,001; x a 0,0001 Dựa vao cac gia tri cua biêu thưc đê dự đoan kêt qua giơi han 2.6 Thựự̣c trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong thựự̣c tiễn giảng dạy, thấy nhiều em học sinh lúắ́ng túắ́ng sợ toán giới hạn đặc biệt học sinh trung bình, yếu, phầầ̀n khơng hiểu khái niệm, phầầ̀n có nhiều kỹ thuật tính tốn, biến đổi, quy tắắ́c phức tạp, khó nhớ Nhiều học sinh vẫẫ̃n mang nặng tư tựự̣ luận, chưa có thói quen sử dụng cơng cụ hỗ trợ máy tính cầầ̀m tay Do làm thi em nhiều thời gian khơng thể tìm đáp án cho toán giới hạn,… em chưa biết kết hợp cách linh hoạt phương pháp giải toán, dẫẫ̃n đến tốc độ làm chưa cao Qua việc nghiên cứu kỹ thuật sử dụng máy tính, tơi thấy có số dạng tốn sử dụng tư máy tính thời gian làm nhiều lầầ̀n so với làm theo tư tựự̣ luận NỘI DUNG CỤự̣ THỂ 2.7 Các ví dụ minh họa DẠự̣NG Giới hạn dãy số Vi du Tinh cac giơi han sau A lim 3n 10 n3 4n B lim( 5n2 14n 100) D limn( n2 4n n 5) E lim(3n 1)( C lim(2n n2 5n 1) n2 n) F lim(3n 8n2 2n 3) Cách giai bằẦ̀ng máy tính cầẦ̀m tay Tinh A 3X 10  Ghi biêu thưc X 4X  Nhân phim CALC  Nhâp 10 = (kq 1,239)  Tiêp tuc nhân = 100 = (kq 0,31) nhân = 1000 = ( 0,095) Nêu ta nhân = 1000000 = ( kq 3,00001x10-3)  Vây ta đoan co thê khẳng đinh kêt qua la A = Tinh B  Ghi biêu thưc 5X 14X 100  Nhân phim CALC  Nhâp 10 = (kq -260)  Nhâp tiêp = 1000 = (kq -4985900)  Dự đoan kêt qua chinh xac B Tinh C X 5X  Ghi biêu thưc 2X  Nhân phim CALC  Nhâp 100 = (kq -4,95)  Nhâp = 1000 = (kq -4,995)  Nhâp = 1000000 = (kq -4,99999)  Dự đoan kêt qua chinh xac C = -5 Tinh D  Ghi biêu thưc X (  Nhân phim CALC X 4X X 5) Cach giai bằng may tinh cầm tay Tinh A X34X3  Ghi biêu thưc X  Nhân CALC  Nhâp 1,0001 = (kq -0,99969)  Dự đoan kêt qua chinh xac A = -1 Tinh B X X  Ghi biêu thưc X4 81  Nhân CALC  Nhâp 3,0001 = (kq 0,0324)  Dự đoan kêt qua gần đúng B = 0,0324 Tinh C X   Ghi biêu thưc Nhân CALC ( X 5)2  Nhâp 5,0001 = (kq 1,0001x1010)  Dự đoan kêt qua chinh xac A = Tinh D  Ghi biêu thưc 12X 313X X2  Nhân CALC  Nhâp 0,0001 = (kq 0,4998) 12 0,5  Dự đoan kêt qua chinh xac A = 2019 Tinh E x3 3x2  Ghi biêu thưc | x 2|  Nhân CALC  Nhâp -2,001 = (kq -30000,0003)  Dự đoan kêt qua chinh xac A = Tinh F 1  Ghi biêu thưc X X22X8  Nhân CALC  Nhâp 4,00001 = (kq 83333,36111)  Dự đoan kêt qua chinh xac A = Vi du Tinh cac giơi han sau A lim( 4x x 2) lim x( x2 B x C lim( x3 10x 6x x 3) x x2) x D lim( x2 2x 3) x E lim( x2 x x 2019) x Cach giai bằng may tinh cầm tay Tinh A  Ghi biêu thưc  Nhân CALC 4X X  Nhâp 1000 = (kq - 0,0395 )  Nhâp 1000000 = (kq -1.24x10-3) 13  Dự đoan kêt qua chinh xac A = Tinh B  Ghi biêu thưc X ( X 6X X 3)  Nhân CALC  Nhâp 1000 = (kq -2,49 )  Nhâp 10000 = (kq -2,499 )  Dự đoan kêt qua chinh xac B = -2,5 Tinh C  Ghi biêu thưc X3 10X X2  Nhân CALC  Nhâp 1000 = (kq -968377,0652)  Dự đoan kêt qua chinh xac C = Tinh D  Ghi biêu thưc X 2X  Nhân CALC  Nhâp - 1000 = (kq 2997,005)  Dự đoan kêt qua chinh xac D = Tinh E  Ghi biêu thưc  Nhân CALC X2 X X  Nhâp -1000 = (kq -0,499 )  Dự đoan kêt qua chinh xac E = -0,5 +2019 14 Vi du Tinh cac giơi han sau A lim x E lim( 2x B lim | x| x2 x ( x 1)2 x 1 D lim x x ) x Cách giai bằng may tinh cầm tay Tinh A 2X X  Ghi biêu thưc  Nhân CALC  Nhâp 2+0,0001 = (kq -10002)  Dự đoan kêt qua chinh xac A = Tinh B |X|   Ghi biêu thưc X Nhân CALC  Nhâp - 0,0001 = (kq -1 )  Dự đoan kêt qua chinh xac B = -1 Tinh C  Ghi biêu thưc X  Nhân CALC X 4X  Nhâp - 0,0001 = (kq -15000,25  Dự đoan kêt qua chinh xac B = Tinh D ) x x 4x C lim10( x x) x     Ghi biêu thưc 10( X X) Nhân CALC Nhâp - 0,0001 = (kq 69,699) Dự đoan kêt qua chinh xac C = 70 Tinh E  Ghi biêu thưc (X 1)2 X  Nhân CALC  Nhâp - 0,0001 = (kq 99999800 )  Dự đoan kêt qua chinh xac E = 2.8 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Đề tài áp dụng dạy cho học sinh lớp 11C7 lớp có đa số học sinh có học lựự̣c trung bình - Đánh giá kết : Để thấy hiệu sáng kiến, tiến hành cho học sinh làm kiểm tra, với hai đối tượng học sinh : học sinh lớp 11 C6 không áp dụng đề tài, học sinh lớp 11C7 áp dụng đề tài ĐỀ KIỂM TRA TN1.1 lim 3n 4 n n A Thời gian : 30 phúÁ́t có giá trị B C D 16 lim n TN1.2 n n 3n có giá trị B A n2 lim n2 C D C D C D có giá trị TN1.3 A B n2 lim 2n 2n n có giá trị TN1.4 A B 2n2 lim n 3n n có giá trị TN1.5 A TN1.6 lim B 1 n1 n n n A A TN1.8 8n lim A C D B C D 1 B C D C D B lim n D 2n n2 có giá trị A TN1.7 C có giá trị có giá trị B 2 3n ( 1) n cos 3n lim TN1.9 n có giá trị 17 A lim B n B 5.2 n n1 D C D có giá trị B 5n 2n1 lim A có giá trị A TN1.11 C n TN1.10 C D lim x 2x TN1.12 x x3 3x có giá trị 21 21 A 16 TN1.13 B 20 lim 2x x x C D có giá trị A lim TN1.14 x B x x1 D có giá trị B lim x2 x x2x A C A TN1.15 có giá trị B lim x TN1.16 x x có giá trị C C D D 18 A B C D C D C D lim x TN1.17 x 1 x có giá trị A xlim B x x TN1.18 có giá trị A TN1.19 x lim x x x có giá trị bao nhiêu? A lim TN1.20 B x 5 B ; ; C ; D x x2 4x A có giá trị B C D ĐÁÁ́P ÁÁ́N 1B 2A 3C 4D 5C 6C 7B 8D 9A 10B 11C 12A 13A 14D 15A 16D 17B 18C 19B 20C 1 – 8-10 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC Lớp 11 C6 (không áp dụng đề tài) : sĩ số lớp 42 SLHS 6 6 Điểm 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 2,0 7.5 19 Lớp 11 C7 (có đầầ̀u vào tương đương 11 C6 áp dụng đề tài giảng dạy Sĩ số lớp 11C7 : 39 SLHS 0 1 2 Điểm 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 2,0 10 – 8-10 7.5 SO SÁÁ́NH KẾT QUẢ CỦỦ̉A HAI LỚÁ́P 2– 3,5 – 5,0 – 6,5 – 3,5 11C6 11C7 8,0 trở lên 5,0 6,5 8,0 26,2% 38,1% 26,2% 7,1% 2,4% 2,6% 15,4% 18% 38,5% 25,6% Qua bảng so sánh kết hai lớp, ta thấy rõ ràng kết lớp 11 C7 cao hẳẳ̉n so với lớp 11C6, đặc biệt mức điểm khá, giỏi Điều cho thấy SKKN phát huy tốt hiệu dạy học, nâng cao chất lượng, khích lệ động viên học sinh vươn lên đặc biệt tạo sựự̣ tựự̣ tin cho đối tượng học sinh trung bình, yếu 2.9 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi triển khai đề tài áp dụng vào thựự̣c tiễn, kết thu tích cựự̣c - Học sinh hiểu chất vấn đề - Học sinh thích giải tốn (đặc biệt học sinh trung bình lâu sợ giải tốn khó, phức tạp) - Học sinh giải số dạng tốn với tốc độ nhanh trước nhiều lầầ̀n - Bản thân cải thiện chất lượng học sinh trựự̣c tiếp giảng dạy 20 - Giúắ́p đồng nghiệp, nhà trường nâng cao chất lượng dạy học, giáo dục toàn diện III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua q trình áp dụng SKKN vào giảng dạy, kết luận rằng, SKKN mang lại kết đạng khích lệ, cho thấy kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Nhiều học sinh lớp không áp dụng SKKN học xong chương giới hạn vẫẫ̃n không hiểu tính giới hạn đơn giản Nhưng áp dụng đề tài em tính nhiều giới hạn phức tạp mà trước có học sinh giỏi giải Do thời gian chưa nhiều nên đề tài tạm thời dừng lại Đề tài tiếp tục nghiên cứu phát triển để giải toán giới hạn chứa tham số, hàm số liên tục, đạo hàm, 3.2 Kiến nghịự̣ Nhân rộng SKKN có tính thựự̣c tiễn cao áp dụng vào dạy học Các nhà trường cầầ̀n tổ chức cho tổ chuyên môn nghiên cứu SKKN có chất lượng cao, khả thi để khơng ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy học, có khái niệm khó, mới, nặng tư Qua việc thựự̣c đề tài, mong muốn chia sẻ kinh nghiệm với đồng nghiệp để học hỏi thêm nhiều ý tưởng sáng tạo Tôi đề xuất với Sở GD&ĐT lập trang Web sáng kiến kinh nghiệm riêng cho tỉnh để giáo viên giao lưu học hỏi nhiều nhằm hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh Thanh Hóa Cuối có nhiều cố gắắ́ng song khả thời gian hạn chế, khó tránh khỏi thiếu sót đề tài Vì tơi mong nhận ý kiến trao đổi, góp ý để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! 21 Nông Cống, Ngày 10 tháng năm 2019 TÁC GIẢ Hàn Thịự̣ Lê PHỤự̣ LỤự̣C TÀẦ̀I LIỆU THAM KHẢO Chuyên đề giới hạn - Võ Văn Chinh – Internet Phầầ̀n lớn toán tác giả sáng tác CÁÁ́C SÁÁ́NG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃÃ̃ ĐẠự̣T GIẢI STT Tên đề tài Giải Năm học Hội đồng cấp giấy chứng nhận Ứng dụng góc khoảng cách giải tốn hình tọa độ phẳẳ̉ng C 2014 – 2015 Sở GD&ĐT Thanh Hóa 22 MỤự̣C LỤự̣C I MỞ ĐẦẦ̀U 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Kkhái niệm giới hạn theo ngôn ngữ truyền thống 2.3 Nội dung cụ thể 2.4 Khai niêm giới hạn theo ngôn ngư máy tính 2.5 Phương pháp máy tính 2.6 Thựự̣c trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.7 Các ví dụ minh họa 2.8 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.9 Các giải pháp thựự̣c hiện, kiểm tra thựự̣c nghiệm III KẾT LUẬN VÀẦ̀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TRANG 1 1 3 5 8–15 16 17 -19 20 20 23 Tài liệu tham khảo Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải 21 21 24 ... nghiệm : “ Sử dụng máy tính việc tính giới hạn dãy số hàm số? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi viết SKKN với mục đích chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm thân dạy chương giới hạn, giúắ́p học sinh hiểu... luận rằng, SKKN mang lại kết đạng khích lệ, cho thấy kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Nhiều học sinh lớp không áp dụng SKKN học xong chương giới hạn vẫẫ̃n không hiểu tính giới hạn đơn giản... giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Đề tài áp dụng dạy cho học sinh lớp 11C7 lớp có đa số học sinh có học lựự̣c trung bình - Đánh giá kết : Để thấy hiệu sáng kiến, tiến hành cho học sinh làm kiểm