Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình vô tỉ phương pháp nhân liên hợp” Người thực hiện: Mai Thị Thúy Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Nội dung 1/ Mở đầu 1.1/ Lí chọn đề tài Trang 3 1.2/ Mục đích nghiên cứu 1.3/ Đối tượng nghiên cứu 1.4/ Phương pháp nghiên cứu 2/ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1/ Cơ sở lí luận 2.2/ Thực trạng vấn đề 2.3/ Giải pháp sáng kiến kinh nghiệm 2.3.1/ Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm vô tỉ 3 3 4 2.3.2/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm hữu tỉ nghiệm vô tỉ 2.3.3/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm hữu tỉ x=x0 2.3.4/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận hai nghiệm hữu tỉ phân biệt 2.3.5/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nhiệm hữu tỉ kép 12 2.3.6/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận hai nghiệm vô tỉ có x1+x2=S; x1.x2=P P;S hữu tỉ 14 2.4/ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 3/ Kết luận, kiến nghị 17 3.1/ Kết luận 17 3.2/ kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 18 10 1/ MỞ ĐẦU: 1.1/ Lí chọn đề tài: Trong hai năm tham gia giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia, nhận thấy để đạt “ Điểm 9” môn toán vấn đề nan giải em học sinh Cấu trúc đề thi THPT quốc gia (câu 9) nội dung chủ yếu giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình với mức độ tương đối khó, đòi hỏi học sinh có tư cao, có khả phán đoán, suy luận sáng tạo có kĩ tốt giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Trong học môn toán chắn học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay để tính toán , để tìm nghiệm, định hướng giải phương trình vô tỉ nhiều em chưa nắm tác dụng chưa biết cách sử dụng Vì chọn đề tài “ Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình vô tỉ phương pháp nhân liên hợp” Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số kĩ sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình vô tỉ từ tìm nhân tử chung , biểu thức liên hợp phương trình giải phương trình cách nhanh nhất, xác nhất, tránh tình trạng học sinh không giải phương trình giải chưa triệt để thiếu nghiệm thừa nghiệm 1.2/ Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu kĩ chức máy tính cầm tay Phát huy kĩ vận dụng công cụ vào giải toán phù hợp với phát triển khoa học kĩ thuật Tạo định hướng giải phương trình cách dễ không gây áp lực khó với học sinh 1.3/ Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh có lực học từ trung bình môn toán trở lên chương trình THPT áp dụng cho khối lớp 10;11;12 1.4/ Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp nghiên cứu tài liệu liên quan đến máy tính tập phần phương trình vô tỉ 2/ NỘI DUNG: 2.1/ Cơ sở lí luận: Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”giúp học sinh có kiến thức phổ thông đặc biệt môn toán cần thiết đời sống người Môn toán môn khoa học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn học Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững kiến thức cách hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào dạng tập Một công cụ hỗ trợ cho việc giải toán nhanh xác máy tính cầm tay Tôi mạnh dạn áp dụng tài liệu tham khảo gắn vào nội dung phương trình vô tỉ để giảng dạy cho học sinh hiệu cho thấy có học sinh mức trung bình trở lên giải phương trình dạng Ví dụ: Giải phương trình 3x + 10 x + + ( − x ) − x = ( trích đề thi thử chuyên thái nguyên năm 2016) Các hướng suy nghĩ bắt tay giải phương trình - Dùng phương pháp : + Phương pháp biến đổi tương đương ? + Đặt ẩn phụ ? + Phương pháp hàm số ? + Đặt ẩn phụ không hoàn toàn? + Liên hợp ? nghiệm bao nhiêu, nghiệm hữu tỉ hay vô tỉ? - Chỉ có phương pháp cuối em tìm nghiệm số vô tỉ x ≈ −1, cách sử dụng máy tính cầm tay Vậy nhân tử liên hợp bao nhiêu? Xin xem trình bày phần sau 2.2/ Thực trạng vấn đề: Phương trình vô tỉ nội dung khó , kiến thức rộng, phương pháp nhiều đòi hỏi học sinh có khả tư duy, óc phán đoán để định hướng tìm phương pháp giải thích hợp nhiên mức độ học sinh trường THPT không đồng , học sinh giỏi chiếm tỉ lệ ít, Với học sinh mức học trung bình học sinh em thường bỏ qua có giải làm sai thiếu nghiệm , thừa nghiệm Như ví dụ dã cho lớp 11A làm thi thử kết 30/39 học sinh không giải được, 5/39 học sinh giải kết sai, có 4/39 em học giỏi lớp giải làm 2.3/ Giải pháp thực hiện: Qua tìm hiểu , nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy mạnh dạn trình bày số giải pháp 2.3.1/ Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm vô tỉ Ví dụ 1: Phương trình 3x + 10 x + + ( − x ) − x = (1) Bước Bấm máy Màn hình xuất Kết luận 2 viết phương trình x + 10 x + + ( − x ) − x = máy CALC (SHIFT SLOVE) Solve for X 2= x + 10 x + + ( − x ) − x = X=1.2898979 X= -1.289897949 L-R= 49 nghiệm CALC (SHIFT SLOVE) Solve for X -1.289897949 -1= x + 10 x + + ( − x ) − x = X= -1.289897949 L-R= + Tìm nghiệm thuộc khoảng nào? Nghiệm hữu tỉ hay vô tỉ? nghiệm bội hay nghiệm đơn ta dùng lệnh TABLE ( vào MODE 7) Bước Bấm máy TABLE ( MODE 7) = = -1.4= Màn hình xuất F(x)= 3x + 10 x + + ( − x ) − x G(x)= Start Kết luận End? 5 1.4= Step? 1= Xuất bảng Màn hình xuất bảng sau X -1.4 -0.4 0.6 F(X) -1.44 5.7355 14.872 Từ bảng cho ta thấy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1.4; -0.4) Nên phương trình có nghiệm x ≈ -1.289897949 Sau biết nghiệm phương trình x ≈ -1.289897949 ta gán cho biến A Bấm máy CALC (SHIFT SLOVE) Màn hình xuất x + 10 x + + ( − x ) − x = X= -1.289897949 L-R= ALPHA X Shift STO A x→ A -1.289897949 − A2 = − A2 = 0.5797958971 Từ ta nhận thấy − A2 = -2A-2 Vậy nhân tử liên hợp − A2 − ( -2A-2) Cách giải : Điều kiện − ≤ x ≤ ⇔ ( − x )  − x + ( x + 2)  + 5x2 + 8x + =   2  2  Phương trình ⇔ ( − x )  − x + x +  + ( x + ) − − x  =   ⇔ ( )(  − x = −2 x − 2(1)   x + = − x (2) Giải (1) ⇔ − x = x + x + ⇔ ( 5x ) − x2 + 2x + 2 − x + x + − − x2 = + 8x + 2) = Giải (2) ⇔ x + x + 16 = − x ĐK x ≤ −1  −4 − (tm) x = ⇔  −4 + (l ) x =  ĐK x ≥ −4 ( Vô nghiệm) ⇔ x + x + 14 = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = −4 − 2.3.2/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm hữu tỉ nghiệm vô tỉ Ví dụ 2:Giải phương trình x2 + x − = ( x + 1) x2 − x + ( x+2 −2 ) (2) ( Đề thi THPT Quốc gia môn toán năm 2015) + Phân tích: - Bài toán hay, hội tụ nhiều yếu tố - Chỉ có thức không lớn - Chứa phân thức, học sinh vội vàng quy đồng dẫn đến phức tạp Sử dụng chức TABLE máy tính Bước Bấm máy TABLE ( MODE 7) Màn hình xuất = G(x)= = Start x + 2x − − ( x + 1) x2 − x + Điều kiện x ≥ −2 F(x)= Kết luận ( x+2 −2 ) -2= End? 5 5= Step? 0.5= Màn hình xuất bảng sau Xuất bảng 10 11 12 13 14 15 X -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 F(X) -2.727 -1.727 -1.5 -1.671 -2.08 -2.371 -1.964 -0.899 0.34 0.2223 -0.189 -0.792 -1.531 -2.374 + Dựa vào bảng giá trị ta thấy điều sau - phương trình có nghiệm hữu tỉ x=2 - Phương trình có nghiệm nằm khoảng (3;3,5) - Phương trình có hai nghiệm phân biệt Bấm máy Viết phương trình vào máy CALC (SHIFT SLOVE) Màn hình xuất x2 + x − = ( x + 1) x2 − x + x2 + x − = ( x + 1) x2 − x + ( ( x+2 −2 x+2 −2 X= -3.302775638 L-R= Shift STO A ) ) x→ A -3.302775638 A+ = A+ = 2.3.27775638 Từ suy A + ≈ A −1 ⇒ A = + 13 + Định hướng giải:  x + − = Bước : ý với x=2   x + x − = Do ta nhân liên hợp cho nhóm biểu thức ( x + − 2) đồng thời phân tích thành nhân tử cho nhóm biểu thức (x2+2x-8) để tạo nghiệm x=2 Bước 2: Sau có nghiệm x=2 ta có phương trình vô tỉ mà nghiệm x = + 13 , ý tới đánh giá x − = x + từ ta có nhân tử ( x − − x + 2) x2-3x-1 + Cách giải : ( phương pháp nhân liên hợp) Điều kiện x ≥ −2 x + 2x − = ( x + 1) x + − x2 − x + ⇔ x + x − = ( x − x + 3) ( x + 1) x + − Ta có ( ) ( ⇔ ( x − ) ( x + ) = ( x − x + 3) ( x + 1) ( ) x+2 −2 )   ⇒ ( x − ) ( x + ) − ( x − x + 3) ( x + 1) =0 x + + 2  x − = ⇔ ( x + ) x + − x + x + x + = 0(*) (*) ⇔ ( x + ) x + = x3 − x − x −  x ≥ −2 Điều kiện  x − x − x − ≥ (*) ⇔ ( x + ) ( x − 1) − x +  + ( x + 1) ( x − 1) − x +  ( x − 1) + x +  = ⇔ ( x − 1) − x +   x + + ( x + 1) ( x − 1) + ( x + 1) x +  = ⇔ ( x − 1) − x +   x + + ( x + 1) ( x − 1) + ( x + 1) x +  = ⇔ ( x − 1) − x +   x + + x + + x − x + 3 =   ( ) ( ⇔ ( x − 1) − x +  =  x + + x +  ) + x − x + 3 >  ⇔ x −1 = x + x ≥ ⇔  x − 3x − =  + 13 x = ⇔  − 13 (l ) x =   + 13     Vậy tập nghiệm phương trình (2) x= 2; 2.3.3/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm hữu tỉ x=x0 Phân tích phương trình dạng (x-x0)g(x)=0 (g(x) ≠ 0) Ví dụ 3: Giải phương trình (3) x − + x + 3x = x − + Ta dùng lệnh TABLE ( vào MODE 7) x≥ Bước Bấm máy TABLE ( MODE 7) = = Màn hình xuất F(x)= x − + x + 3x − x − − G(x)= Start End? 0= Kết luận 5 9= Step? 1= Xuất bảng Màn hình xuất bảng sau X F(X) ERROR 8.087 20.441 36.931 57.513 82.172 9 10 110.9 143.75 181.36 Dùng máy tính ta nhận nghiệm x=1; kiểm tra máy tính ta thấy x=1 nghiệm phương trình Thay x=1 vào phương trình ta  x − = −2  x − + = ⇔   x − =  x − − = liên hợp cần tìm phương trình ta có 5 x − − + x + 3x − = Lời giải: Điều kiện x ≥ ( 3) ⇔ ( x − + ) − ( )   ⇔ ( x − 1)  − + 2x + ÷= 3 ÷ 5x − +  x − − 23 x −9 +    − + x + ÷= Ta có  ÷ 5x − +  x − − 23 x − +  5  + 2x + +  − ÷> 2 5x −1 +  x − −1 + ( ) Phương trình (3) có nghiệm x=1 Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau 1, 3x − + x + = + 12 − x Phương trình có nghiệm x=3 2, 3x − − x = − x3 Phương trình có nghiệm x=1 3, ( x + 3) x + + ( x + ) x + 11 = x + x + 10 Phương trình có nghiệm x=5 4, 3x + − − x + 3x − 14 x − = Phương trình có nghiệm x=5 2.3.4/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận hai nghiệm hữu tỉ phân biệt x=x1; x=x2 Phân tích phương trình dạng (x-x1)(x-x2)g(x)=0 (g(x) ≠ 0) Ví dụ 4: Giải phương trình 19 x + + x + = x + x + (4) 10 Ta dùng lệnh TABLE ( vào MODE 7) Bước Bấm máy Màn hình xuất Kết luận TABLE ( MODE 7) F(x)= 19 x + + x + − x − x − = G(x)= = Start -1= End? 5 9= Step? 1= Màn hình xuất bảng sau Xuất bảng X F(X) -1 ERROR 0 -5.188 -14.79 -28.63 -46.62 -68.72 -94.89 10 -125.1 11 -159.4 Dùng máy tính ta nhận nghiệm x=0;x=1; kiểm tra máy tính ta thấy x=0;x=1 nghiệm đơn Nhân tử cần tìm x(x-1)  19 x + = cx + d Tìm liên hợp dạng   x + = ax + b a = c = Thay x=0;x=1 vào hệ ta tìm   b = d =  19 x + − ( x + )  liên hợp cần tìm  x + − ( x + 1) −1 Lời giải: Điều kiện x ≥ ta có ( ) ⇔ ( 2( 19 x + − x − 2) ) + ( ) 3x + − x − − x + x =   −2( x + 7) ÷= ⇔ ( x2 − x )  − −  19 x + − 19 x + 8( x + 2) + ( x + 2) ÷ x + + x +   11  Ta có  −2( x + 7) −  − ÷= 3x + + x + ÷   19 x + − ( x + 2) x − + ( x + 2) −2( x + 7) − −20 Nhân tử cần tìm (x-2)2  3 x − = cx + d Tìm liên hợp dạng   x − = ax + b  a = ( x − 3)'  2a + b = Thay x=2 vào hệ ta tìm   '  2c + d = c = ( x − 5) ( x − 1) − 3x −  liên hợp cần tìm  x − − ( x − 1) x=2 = ⇒ b = −1 x=2 = ⇒ d = −1 ta có 2 ( ) ⇔ ( x − ) − ( x − 1) − x −  + ( x − 1) − 3x −  = Lời giải: Điều kiện x ≥   ( x + 1) ÷= ⇔ ( x − 2)  − + − − 2  ÷ 3 x − + x − 3 x + + x + x − + x − 5( x − 1) + ( x − 1)   1 x −1+ 2x − ≥ ⇒ ≤2 x −1+ 2x − Ta có ⇒ − x − + x − > x +1 >0 2 3 x − + x − x − + x − ( ) ( ) Với x ≥ Phương trình (5) có nghiệm x=2 Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau 1, x + − + x − x = x Phương trình có nghiệm kép x=1 2, 2 x − + − x = x − x + Phương trình có nghiệm kép x=2 13 2.3.6/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận hai nghiệm vô tỉ có x1+x2=S; x1.x2=P P;S hữu tỉ Phương trình có hai nghiệm vô tỉ có tổng tích số hữu tỉ x=x1; x=x2 mà s=x1+x2 ; p=x1.x2 x1;x2 nghiệm phương trình X2-sX+p=0 (dựa vào định lí đảo vi ét) Phân tích phương trình dạng (X2-sX+p)g(x)=0 (g(x) ≠ 0) Ví dụ : Giải phương trình x + 10 x + + −12 x3 − x + 12 = x + 3x + (6) Ta dùng lệnh TABLE ( vào MODE 7) Bước Bấm máy TABLE ( MODE 7) Màn hình xuất F(x)= Kết luận x + 10 x + + −12 x − x + 12 − x − x − = = G(x)= Start -9= End? 5 0= Step? 1= Xuất bảng Màn hình xuất bảng sau 10 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 F(X) -191.3 -142.7 -102.1 -68.58 -41.93 -22.07 -8.816 -1.771 0.5132 1.1098 Dùng máy tính nhận hai nghiệm x1 ≈ 0.3660254038 lưu biến B ( Shift sto B) nghiệm x2 ≈ -1.3660254038 lưu vào biến A Ta có x1+x2=-1 x1.x2=-1/2 14 Theo định lí vi ét đảo ta có x1;x2 nghiệm phương trình 2x2+2x-1=0 Vậy nhân tử liên hợp cần tìm ( 2x2+2x-1) Đặt P ( x ) = x + 10 x + Q ( x ) = −12 x3 − x + 12 Tìm biểu thức liên hợp dạng P( x) − (ax + bx + c) Và Q( x ) − (ax + bx + c) (1) (2)  P ( A) = aA + bA + c Thay A; B vào (1) Ta   Q( B ) = aB + bB + c Suy b = P ( A) − P ( B ) − a( A + B) A− B P ( A) − P ( B ) +a A− B Vì A+B=-1 nên b = Vào MODE viết f ( X ) = P ( A) − P ( B ) +X A− B Chọn STAT -4= Chọn END 4= Chọn STEP 1= Ta bảng giá tri mô tả X f(X) -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 1 15 3 4 Chọn x=a=2; b=f(x)=3 c = P( A) − A2 − A Suy c=2 Ta có liên hợp cần tìm x + 10 x + − (2 x + x + 2) Tương tự ta có liên hợp thứ hai −12 x3 − x + 12 − (2 x + 3) Cách giải: Điều kiện −12 x3 − x + 12 ≥ Phương trình ⇔ ( x + 10 x + − (2 x + x + 2) )+( −12 x3 − x + 12 − (2 x + 3) )=0 ⇔ (−4 x − 12 x − 12 x − x + 3)( x + 10 x + + x + x + + −12 x − x + 12 + x + )=0 ⇔ −4 x − 12 x − 12 x − x + = Vì x + 10 x + + x + x + 2 + −12 x − x + 12 + x + 3 >0 ⇔ (2 x + x − 1)(−2 x − x − 3) = ⇔ 2x2 + x −1 = ⇔ x = −1 ± nghiệm ( Vì −2 x − x − < ) Bài tập áp dụng: Giải phương trình 1/ x + x − = ( x + ) x − x + Nhân tử x2-2x-7 16 Phương trình có hai nghiệm x = ± 2 2/ x + + − x = x − Phương trình có hai nghiệm x = 1± Như nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực máy tính cầm tay mà hình thành cách giải ngắn gọn cho nhiều toán phương trình vô tỉ phức tạp Tuy nhiên cách giải chưa hiệu phương trình vô tỉ vô nghiệm có nghiệm phức tạp chứa lên tiếp nhiều thức có nghiệm biểu diễn dạng lượng giác 2.4/ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Nhận thấy kết hợp việc daỵ học môn toán với trợ giúp máy tính cầm tay cách linh hoạt hiệu thu tốt Tôi thực phương pháp với học sinh lớp 11A em học giải phương trình vô tỉ phương pháp nhân liên hợp Tôi thấy em định hướng làm nhanh hơn, sai trình giải bài: Cụ thể Tôi kiểm nghiệm hai lớp 11A (Thực nghiệm) lớp 11B( Đối chứng) có trình độ tương đương Lớp Sĩ số số học sinh làm số học sinh không ghi làm số lượng tỉ lệ % số lượng tỷ lệ % 11B 40 12.5 35 87.5 Đối chứng 11A 40 27 67.5 13 32.5 Thực nghiệm Trong trình giảng dạy toán giáo viên biết tìm sở lí thuyết, đưa phương pháp giải hợp lí, dẫn dắt học sinh vận dụng phương pháp cách linh hoạt, gây hứng thú học tập học sinh kết giảng dạy tốt 3/ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp em học sinh kinh nghiệm cách sử dụng máy tính cầm tay giải toán , biết khai thác mạnh mà máy tính cầm tay mang lại giúp cho học sinh dễ dàng định hướng cách giải , kiểm tra kết quả, rút ngắn thời gian tính toán làm cho công việc học toán bớt nặng nề 17 Những vấn đề trình bày sáng kiến kinh nghiệm gợi ý sử dụng máy tính cầm tay giải toán , mong đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu tìm nhiều thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Sáng kiến kinh hướng dẫn cho học sinh sử dụng từ học lớp 10 đến lớp 12 ( kể ôn thi vào lớp 10) giúp em học toán tốt Trong điều kiện đa số học sinh có máy tính cầm tay nên việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính điều cần thiết giáo viên giúp học sinh tư toán cách nhanh công cụ hỗ trợ đắc lực học tập môn khoa học tự nhiên lí, hóa, sinh 3.2/ Kiến nghị: Mong nhận trao đổi , góp ý kiến chân thành cho nội dung góp phần nâng cao chất lượng nghiên cứu giảng dạy TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ SGK giải tích lớp 11;12 nhà xuất giáo dục năm 2008 2/ Báo toán học tuổi trẻ 3/ Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán- Trần phương XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 14 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết Không copy người khác Người viết Mai Thị Thúy 18 ... tay Phương trình nhận nghiệm vô tỉ 3 3 4 2.3.2/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận nghiệm hữu tỉ nghiệm vô tỉ 2.3.3/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm. .. “ Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình vô tỉ phương pháp nhân liên hợp Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số kĩ sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình vô. .. cầm tay Phương trình nhận nghiệm hữu tỉ x=x0 2.3.4/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính cầm tay Phương trình nhận hai nghiệm hữu tỉ phân biệt 2.3.5/Quy trình tìm nghiệm phương trình máy tính