Thời gian áp dụng sáng kiến: Sáng kiến đã đợc áp dụng này trong giảng dạy học sinh giỏi bộ mônGiải toán nhanh trên máy tính cầm tay từ năm học 1999 -2000 đến nay.. Trong khi đó bài tập t
Trang 13 Thời gian áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến đã đợc áp dụng này trong giảng dạy học sinh giỏi bộ mônGiải toán nhanh trên máy tính cầm tay từ năm học 1999 -2000 đến nay
4 Tác giả:
Họ và tên: Trần Thị Thu HờngNăm sinh: 1978
Nơi thờng trú: Thị Trấn Gôi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định.Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
Chức vụ công tác: giáo viên
Nơi công tác: Trờng THCS Trần Huy Liệu – Vụ Bản
Địa chỉ liên hệ: Trờng THCS Trần Huy Liệu – Vụ Bản
Điện thoại: 0982270578
5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Trờng THCS Trần Huy Liệu
Địa chỉ Thị Trấn Gôi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định
Số điện thoại: 03503820267
Trang 2Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Ngay từ khi cha có toán học, từ thời Nguyên thuỷ loài ngời đã biết sửdụng công cụ thô sơ nh những chiếc lá cây, viên đá, vạch lên nền đất, khắc lênvách để biết số sản phẩm mình làm ra, số con thú mình săn bắn đợc,… Trải qua Trải quatừng thời kỳ phát triển của lịch sử loài ngời, sự phát triển của Toán học luôn gắnliền và không thể thiếu với đời sống hàng ngày
Để nâng cao chất lợng dạy và học, thầy và trò cần phải đổi mới phơngpháp dạy và học theo hớng tích cực, năng động và sử dụng một cách hiệu quảcác thành tựu công nghệ mới Với máy tính điện tử và mạng Internet, toán họcphổ thông có khả năng tiếp cận tốt hơn tới toán học hiện đại Vì vậy, vấn đề là:Làm thế nào để học sinh phổ thông có thể tiếp cận đợc với những thành tựu mới,thậm chí mới nhất, của toán học hiện đại và nh vậy phải chăng sẽ hình thànhmột phong cách học tập mới mang đậm tính chủ động, ham mê khám phá vàsáng tạo? Trong khi đó bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải nhanhcác bài toán sẽ giúp cho các em học sinh thấy hiệu quả hơn trong quá trình họctập, đồng thời nó trang bị cho học sinh một kỹ năng phân tích tìm ra thuật giảicho một công việc Đây là một nội dung rất quan trọng tạo cho các em hứng thú,cơ sở để tiếp cận với nội dung Giải toán nhanh bằng máy tính điện tử khá phổbiến hiện nay trong chơng trình THCS, đồng thời tạo tiền đề cho học sinh khihọc cấp 3 hoặc bậc học cao hơn trong các môn học về cấu trúc dữ liệu, lập trình -thuật giải … Trải qua
Trong những năm gần đây với sự phát triển nhanh chóng của khoahọc kĩ thuật, nhất là các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin Máy tính
điện tử bỏ túi (MTĐTBT) cũng đã đợc sử dụng rộng rãi và là một công cụ hỗ trợhọc tập không thể thiếu với mỗi học sinh đặc biệt là từ cấp học trung học cơ sở,các em phải đối mặt với lợng kiến thức không nhỏ với nhiều bộ môn học và mức
độ khó ngày càng nhiều Vì vậc việc bồi dỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt
động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi nhà trờng Sử dụngMTĐTBT cũng là một học động phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của họcsinh rất hiệu quả Nó có thể hỗ trợ học sinh rất tích cực trong việc giải toán,không chỉ giúp học sinh có đợc các kết quả tính toán nhanh, chính xác, tiết kiệmthời gian làm bài mà quan trọng hơn với những tính năng phong phú nh của cácmáy tính thông dụng hiện nay thì khi sử dụng MTĐTBT hoc sinh còn đợc rènluyện t duy thuật toán – một trong những t duy rất quan trọng cho mỗi học sinh,rất hữu ích cho việc học các môn khoahọc tự nhiên Rộng hơn nữa các em có thể
tự tìm tòi sáng tạo ra một tính chất, hệ quả nào đó hay một qui luật toán học lýthú Điều này sẽ giúp cho các em hứng thú hơn trong học tập, tạo tiền đề chonhững ý tởng tìm kiếm những giải pháp ứng dụng toán học trong cuộc sống saunày
Với t cách là một công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy của giáo viên và việchọc tập của học sinh, MTĐTBT có thể đáp ứng nhu cầu đổi mới phơng pháp dạy
Trang 3học theo hớng hiện đại một cách hiệu quả Hiện nay có nhiều loại máy tính cótính năng mạnh phù hợp với chơng trình học của học sinh phổ thông nh các dòngmáy Casio, Vinacal: Casio Fx – 500MS, Casio Fx- 570MS, Casio Fx-500ES,Casio Fx-570ES, Vinacal-500MS, Vinacal Fx- 570MS,… Trải qua
Là một giáo viên toán đã từng giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi bộmôn Giải toán nhanh trên máy tính cầm tay nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ tácdụng của chiếc MTCT đối với học sinh ở cấp Trung học cơ sở Nó không chỉ đơngiản là giúp học sinh tính toán nhanh với các con số phức tạp hay kiểm tra kếtquả của một bài toán mà còn giúp học sinh tìm ra cách làm của một bài toán hayphát hiện ra qui luật của một dãy số,… Trải qua Cụ thể ở chơng trình Toán 6, với máytính học sinh có thể tìm bội, ớc, bội chung nhỏ nhất, ớc chung lớn nhất, phântích một số ra thừa số nguyên tố ở chơng trình Toán 7, máy tính có thể giúp họcsinh tính giá trị biểu thức, làm bài toán thống kê, mô tả, tính căn bậc hai ở ch-
ơng trình Toán 8 máy tính có thể giúp học sinh làm tốt hơn dạng toán phân tích
đa thức thành nhân tử, giải phơng trình, hệ phơng trình Chơng trình Toán 9 máytính giúp học sinh tính góc, tính tỉ số lợng giác của một góc chính xác mà khôngcần tra bảng, tính căn bậc hai, căn bậc 3,… Trải qua Mặt khác máy tính còn hỗ trợ choviệc học và làm bài cũng nh phát triển năng lực t duy sáng tạo rất tốt cho đối t-ợng học sinh giỏi toán Qua quá trình thực tế giảng dạy và tích lũy kinh nghiệmhơn 10 năm tôi nhận thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh sử dụng MTCT
Trong chơng trình cải cách sách giáo khoa mới lợng bài tập nhiều và có
Trang 4Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
bày trong một tiết dạy nhiều, phần lớn không đợc chứng minh mà công nhận làchủ yếu, các thuật toán để giải một số dạng toán không đợc trình bày đầy đủ;trong sách giáo khoa các nội dung về sử dụng máy tính điện tử bỏ túi thờng chỉ
đợc trình bày ở phần “Bài đọc thêm” Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinhkhai thác đợc hết tính năng của chiếc máy tính bỏ túi trong việc giải các bài toán
đơn giản, các bài toán có thuật toán, các bài toán có qui luật nh dãy số, chuỗi
Đa thức là một mảng kiến thức không nhỏ trong chơng trình đại số ở cấptrung học cơ sở với nhiều dạng toán từ đơn giản đến phức tạp có rải khắp trongchơng trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 Với những bài toán về đa thức có nhiều bài
có những phơng pháp giải không đơn thuần, đòi hỏi tính phức tạp không chỉ vềcon số, vì vậy khi có máy tính hỗ trợ thì việc giải các bài toán đa thức trở nênthuận lợi hơn nhiều Thực tế qua giảng dạy nhiều năm tôi đã thấy rõ tác dụngcủa chiếc máy tính cầm tay với những bài toán về đa thức nếu các em nắm đợcthuật toán và phơng pháp giải nên tôi mạnh dạn đa ra sáng kiến kinh nghiệm
“Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán về đa thức trong chơng trình toán ở trờngTHCS”.
Trang 5iii Các giải pháp
1 Yêu cầu của việc sử dụng máy tính cầm tay khi giải toán
Trớc khi dạy cho học sinh sử dụng máy tính để giải toán giáo viên cần chohọc sinh hiểu đợc:
- Máy tính là một công cụ hỗ trợ cho giải toán chứ không phải dùng máytính để thay thế cho việc làm toán
- Muốn sử dụng máy tính để giải một bài toán trớc hết học sinh phải nắm
đợc phơng pháp giải dạng toán đó, cách làm và các bớc để làm bài toán đó
- Bên cạnh đó học sinh phải nắm chắc cách sử dụng máy tính, các chứcnăng của máy tính: các phím hàm, cách sử dụng phím nhớ, cách gán giá trịcho ô nhớ, cách giải phơng trình, hệ phơng trình, tính giá trị biểu thức, tínhluỹ thừa, tính căn, tính tỉ số lợng giác của góc,… Trải qua và sử dụng các chức năngcủa máy một cách linh hoạt
2 Phân loại các dạng toán về đa thức:
Dạng 1: Tính giá trị của đa thức
Dạng 2: Tìm d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b Dạng 3: Tìm thơng trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) =
Dạng 7: Phân tích đa thức theo bậc của một đa thức bậc một.
Dạng 8: Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dơng của đa thức
Dạng 9: Xác định đa thức theo các điều kiện cho trớc.
3 Các kiến thức cần bổ sung để sử dụng khi làm bài toán về đa thức
Trang 6B¸o c¸o s¸ng kiÕn Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay
1 2
1 2 1 3 1
2 3 2 4 2 1
n C
k n k
4 Híng dÉn sö dông m¸y tÝnh gi¶i c¸c d¹ng to¸n vÒ ®a thøc
4.1 D¹ng 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
VÝ dô 1a:
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x)=5x 5 +3x 3–2x 2 +125 t¹i x = 1,52; 5,236 (Qui tr×nh trªn m¸y Casio FX 500MS)
An tiÕp:5 ALPHA X ^ 5 3 ALPHA X x 3 2 ALPHA X x 2 125
- Víi bµi to¸n trªn ta cã thÓ thùc hiÖn trªn m¸y 570MS hoÆc m¸y tÝnh500ES, 570ES víi chøc n¨ng cña phÝm CALC
Nh vËy chØ cÇn mét lÇn nhËp biÓu thøc nhng cã thÓ tÝnh víi nhiÒu gi¸ trÞkh¸c nhau cña biÕn x, chøc n¨ng nµy cña m¸y tÝnh rÊt thuËn lîi cho nh÷ng d¹ngbµi tÝnh to¸n gi¸ trÞ biÓu thøc t¹i nhiÒu gi¸ trÞ kh¸c nhau cña biÕn cña biÕn VÝ
dô nh:
H·y ®iÒn vµo b¶ng sau:
A(x)
Trang 7- Không chỉ với một biến mà máy tính có thể dùng nhiều biến nhớ khácnhau cùng một lúc để có thể tính giá trị của đa thức với nhiều biến rất thuận lợi
Ví dụ 1b: Tính giá trị của biểu thức
P(x,y) = 8x 5 y 3 z 4 + 3x 3 yz 2 -4xyz 3 tại x = 1,52; y = 3, z = -2,3
(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
Nh vậy để tìm số d khi chia f(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = f(
b
a
), lúc này dạng toán trở thành dạng toán tính giá trị của đa thức
Ví dụ 2a: Tìm d của phép chia đa thức f(x) = x 3 + 4x 2 – 7 cho đa thức g(x) = x – 1
áp dụng định lí Bézout ta có d trong phép chia trên là f(1)
Trang 8Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
4.3 Dạng 3: Tìm thơng trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b
Ví dụ 3a: Tìm thơng trong phép chia hai đa thức sau:
f x x x x x cho đa thức g x ( ) x 3
* Cách làm: Nghiệm của đa thức chia là 3 Ta sử dụng lợc đồ Hoocner để
tìm thơng của phép chia trên nh sau:
1 14 2
1 43 2
1 131 4
3 392 4
(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
- Hệ số bậc cao nhất (bậc 4) của thơng là 2
* Kết luận:
- Ta thấy việc sử dụng máy tính tính theo lợc đồ Hoocner ta tìm đợc đathức thơng và d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất g(x) rất nhanh
và chính xác Nếu không sử dụng cách làm trên học sinh cũng có thể tìm thơng
và d theo cách thông thờng: đặt phép chia hai đa thức đã sắp xếp, khi đó việcthực hiện phép chia sẽ rất phức tạp và mất thời gian hơn vì ta phải tính toán vớicác số lẻ
- Tuy nhiên đa thức chia g(x) ở trên là đa thức dạng x-a có hệ số của x là
1, nếu hệ số của x không là 1 thì việc dùng lợc đồ Hooner cũng cha cho ta thơng
và d cần tìm ngay, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3b: Tìm thơng trong phép chia đa thức
f(x) = 3x 4 + 5x 3 - 4x 2 +2x – 7cho đa thức g(x) = 4x – 5
* Cách làm:
Để tìm thơng của phép chia trên ta sử dụng lợc đồ Hoocner
Ta thấy nghiệm của đa thức chia là 5
4 không phải là số nguyên vì vậy ta
phải làm bài toán qua hai bớc nh trong bảng sau:
Trang 93 5 -4 2 -7
5
35 4
111 16
683 64
87 6 256 3
4
35 16
111 64
683 256
4.4 Dạng 4: Tìm giá trị tham số trong đa thức bị chia để đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x) = ax +b.
Ví dụ 4: Tìm a để: f(x) = x 4 + 7x 3 + 2x 2 + 13x + a
chia hết cho đa thức g(x) = x+6
* Phơng pháp
Đặt f(x)=h(x) + a (với h(x) = x 4 + 7x 3 + 2x 2 + 13x )
Phép chia f(x) cho g(x) là phép chia hết
số d trong phép chia f(x) cho g(x) bằng 0
ấn các phím: ( ) 6 SHIFT STO X
( ) ( ALPHA X ^ 4 7 ALPHA X x3 2 ALPHA X x 2 13 ALPHA X )
Trang 10B¸o c¸o s¸ng kiÕn Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay
NhËp -6
Ẫn tiÕp = m¸y hiÖn - 222
KÕt qu¶ a = 222
4.5 D¹ng 5: T×m hÖ sè cña ®a thøc bËc cao
VÝ dô 5a: T×m hÖ sè cña x 10 trong ®a thøc khai triÓn cña (x+1) 13
1 1 1
Ta khai triÓn tiÕp hai h¹ng tö trªn:
Trang 11nên hệ số của x8 trong khai triển x2 x33 là C32
nên hệ số của x8 trong khai triển x2 x34 là 1
Vậy hệ số của hạng tử x8 trong khai triển và thu gọn của f(x) là:
Với phân tích trên thì chỉ cần xác định đợc ta sẽ phân tích đợc bài toán
Do đó, chỉ cần cài đặt chơng trình để tính trong máy tính ta sẽ giải đợc bàitoán với hệ số tùy ý
Thay giá trị của các hệ số vào chơng trình đã cài đặt rồi so sánh với 0 Tùyvào kết quả so sánh ta phân tích F(x) thành nhân tử theo các trờng hợp ở trên
Ví dụ 6a: Phân tích đa thức A = 6x 2 + 7x + 2 thành nhân tử.
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
Trang 12Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
* Phơng pháp 1: Theo bài toán tổng quát trên
(Màn hình máy tính sẽ hiện biểu thức: B2 – 4AC)
ấn tiếp: 6 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k > 1
Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớ M
- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak
Chú ý: - Phơng pháp dùng sơ đồ Hoocner chỉ áp dụng hiệu quả đối với
máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùngphơng pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS
có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi
đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong Để có thể kiểm tra lại kếtquả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans đểtiện kiểm tra và đổi các giá trị
Ví dụ 6b : Phân tích đa thức f(x) = x 3 - 5x 2 +11 x -10 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phơng trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệmcủa đa thức f(x) ta thấy f(x) có nghiệm x1 = 2
Suy ra đa thức x 3 - 5x 2 +11 x -10 chia hết cho (x-2).
Sử sụng lợc đồ Hoocner để chia x 3 - 5x 2 +11 x -10 cho (x-2) ta có:
Khi đó bài toán trở về tìm thơng của phép chia f(x) cho (x-2)
Trang 13Tam thức bậc hai x 2 - 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân
tử đợc nữa
Vậy x 3 - 5x 2 +11 x -10 = ( x-2)(x 2 - 3x + 5)
Ví dụ 6c: Phân tích đa thức f(x) = x 5 + 5x 4 – 3x 3 – x 2 +58x - 60 thành nhân tử
* Phân tích: Vì hệ số tự do của f(x) là 60 nên nghiệm nguyên của đa thức
đ cho l Ư(60)
Ta có Ư(60) ={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}Lập quy trình trên máy để kiểm tra xem trong các số trên số nào lànghiệm của đa thức f(x)
Gán -1 → X
Nhập vào máy đa thức :X 5 + 5X 4 – 3X 3–X 2 +58X - 60 rồi ấn dấu
Máy báo kq -112
Gán tiếp : -2 → X Máy báo kq -108
Gán tiếp -3 →X Máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đ cho, nn f(x) chia hết cho(x+3) Khi đó bài toán trở về tìm thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x-3)
Trang 14Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Gán tiếp: -5 → X máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hếtcho (x+5) Khi đó bài toán trở về tìm thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x+5)
4.7 Dạng 7: Phân tích đa thức theo bậc của một đa thức bậc một.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức theo bậc của đa thức bậc nhất
Bài toán tổng quát: Cho đa thức bậc n: P(x)
Phân tích đa thức P(x) theo bậc của đa thức (x-c)
Ví dụ 7 Phân tích x 4– 3x 3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
* Cách làm: Vì đa thức trên có bậc là 4, phân tích theo đa thức x-3 có
nghiệm là 3 nên áp dụng lợc đồ Hoocner 3 lần, ta có bảng:
Trang 154.8 Dạng 8: Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dơng của đa thức
-4.9 Dạng 9: Xác định đa thức theo các điều kiện cho trớc.
Ví dụ 9: Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 +bx 2 +cx+d
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3)=9; P(4) = 11;
Xác định đa thức P(x)
* Cách làm
- Xác định đa thức P(x) nghĩa là ta phải tìm các hệ số của P(x)
- Lần lợt thay các giá trị của x bằng 1; 2; 3; 4 vào P(x), với mỗi giá trị ta
đợc một phơng trình bậc nhất 4 ẩn a, b, c, d khi đó ta có hệ 4 phơng trình bậcnhất 4 ẩn
- Biến đổi hệ phơng trình, khử bớt một ẩn của hệ ta đợc hệ 3 phơng trìnhbậc nhất 3 ẩn
- Sử dụng chức năng giải hệ phơng trình của máy tính ta tìm đợc nghiệmcủa hệ (3 hệ số), từ đó suy ra hệ số còn lại của đa thức
Giải