SKKN sử dụng máy tính cầm tay

học sinh còn được rèn luyện lên một mức độ cao hơn đó là rèn tư duy thuật toán - một thao tác tư duy cực kỳ cần thiết cho lập trình viên máy tính PC sau này - thông qua các bài toán về

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi nhà trường Sử dụng máy tính điện tử bỏ túi (MTĐT)

BT để giải toán cũng là một hoạt động phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh rất hiệu quả Xuất phát từ những kỹ năng đơn giản về sử dụng MTĐT BT

để tính toán thông thường như tính giá trị của biểu thức số, tìm nghiệm của phương trình bậc 2 – 3, khai phương, hay tìm tỉ số lượng giác của một góc học sinh còn

được rèn luyện lên một mức độ cao hơn đó là rèn tư duy thuật toán - một thao tác

tư duy cực kỳ cần thiết cho lập trình viên máy tính PC sau này - thông qua các bài

toán về tìm số, bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố, tìm ƯCLN hay bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Hiện nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học - kỹ thuật nhất là các ngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin trong đó MTĐT BT là một thành quả của những tiến bộ đó MTĐT BT đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà trường với tư cách là một công cụ hỗ trợ việc giảng dạy, học tập hay cả việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hiện đại như hiện nay một cách có hiệu quả Đặc biệt, với nhiều tính năng mạnh như của các máy CASIO Fx-500MS, CASIO Fx-570MS trở lên thì học sinh còn được rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật toán một cách hiệu quả

Trong những năm gần đây, các cơ quan quản lý giáo dục cũng như các tổ chức kinh tế tài trợ thiết bị giáo dục (nhất là các công ty cung cấp thiết bị điện tử và máy văn phòng) rất chú trọng việc tổ chức các cuộc thi giải toán trên MTĐT BT

Từ năm 2001, BGD& ĐT bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên MTĐT BT” cho

HS THCS đến cấp khu vực; báo Toán tuổi thơ 2 tổ chức thi giải toán bằng MTĐT

BT qua thư cho HS THCS do tập đoàn CASIO tài trợ, báo Toán học & Tuổi trẻ tổ

chức cuộc thi tương tự cho cả HS THCS và THPT do tập đoàn SHARP tài trợ,

nhằm góp phần phát huy trí lực của học sinh và tận dụng những tính năng ưu việt của MTĐT BT để hỗ trợ học tốt các môn học khác nữa như Lý, Hoá, Sinh, Địa

Thực tế, qua việc phụ trách bồi dưỡng HSG giải toán trên MTĐT của trường cũng như của PGD& ĐT huyện Krông Ana, tôi nhận thấy các em học sinh thực sự say mê tìm tòi, khám phá những công dụng của chiếc MTĐT BT đơn giản nhưng

vô cùng hữu ích này và vận dụng tốt trong quá trình học tập của mình

Từ những lý do trên, tôi mạnh dạn triển khai sáng kiến kinh nghiệm:

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY”

I.2.MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

−Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản nhất của MTĐT BT, biết cách vận dụng vào giải các bài toán tính toán thông thường rồi dần đến các bài toán đòi hỏi tư duy thuật toán cao hơn

−Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống.

−Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau

I.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

Các bài toán thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio

I.4 GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

Giới hạn các bài toán thi HSG giỏi cấp tỉnh và cấp khu vực

I.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

3 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

I.5 ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÍ LUẬN, VỀ MẶT THỰC TIỄN:

và đồng nghiệp trong lĩnh vực ôn luyện giải toán trên máy tính Casio

PHẦN II: NỘI DUNG II.1.CƠ SỞ LÝ LUẬN

Có thể nói rằng các tài liệu ôn luyện MTCT có rất nhiều, có tài liệu sách, có

cả các tài liệu trên mạng Internet, những tài liệu đó đều rất hữu ích và đáng để học

và nghiên cứu Nhưng để tổng hợp lại thành một tài liệu thực sự phù hợp với học sinh của huyện, cần hệ thống lại các bài tập theo trình tự, thì vấn đề mà tôi trình bày vẫn còn là mới ở huyện Krông Ana

Đề tài mà tôi trình bày không phải là một vấn đề mới, nhưng các đồng nghiệp của tôi ở trường cũng chỉ sưu tầm và biên soạn tài liệu MTCT cho riêng bản thân chứ chưa đưa ra thành một đề tài nghiên cứu để nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp khác và để viết thành một cuốn tài liệu hữu ích cho việc ôn luyện học sinh Chính vì vậy nên đề tài mà tôi đưa ra chắc chắn sẽ cần nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp mới có thể hoàn thiện hơn được

II.2.THỰC TRẠNG CỦA VIỆC DẠY VÀ HỌC MÁY TÍNH CẦM TAY Ở TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI VÀ Ở HUYỆN KRÔNG ANA

a Thuận lợi - khó khăn

Qua một thời gian ôn luyện học sinh cho trường THCS Nguyễn Trãi, trường THCS Lương Thế Vinh, trường THCS Buôn Trấp Tôi nhận thấy các em học sinh

có nhận thức rất tốt, có nền tảng kiến thức cơ bản vững vàng Đặc biệt là học sinh trong đội tuyển HSG của huyện, các thầy cô giáo ở trường cũng đã ôn luyện cho

các em được những kiến thức cơ bản về máy tính cầm tay rất vững vàng và có hệ thống Kết quả đạt được của huyện nhà trong các kỳ thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2013 – 2014: 03 giải khuyến khích Quốc gia

b Thành công – hạn chế

Trong những năm học vừa qua dựa vào tài liệu biên soạn để hướng dẫn học sinh thi học sinh giỏi giải Toán bằng máy tính cầm tay đã giúp các em học sinh giỏi đạt học sinh giỏi các cấp ngày càng nhiều hơn, kết quả cao hơn

Đề tài nội dung còn chưa phong phú, còn ít nội dung giúp học sinh đại trà nắm bắt cách sử dụng máy tính cầm tay để giải toán

c Mặt mạnh – mặt yếu

Đề tài là tài liệu giúp các thầy cô giáo tham khảo để hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải Toán

d Các nguyên nhân các yếu tố tác động.

Trong những năm gần đây, các cơ quan quản lý giáo dục cũng như các tổ chức kinh tế tài trợ thiết bị giáo dục (nhất là các công ty cung cấp thiết bị điện tử và máy văn phòng) rất chú trọng việc tổ chức các cuộc thi giải toán trên MTĐT BT

Từ năm 2001, BGD& ĐT bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên MTĐT BT” cho

HS THCS đến cấp khu vực; báo Toán tuổi thơ 2 tổ chức thi giải toán bằng MTĐT

BT qua thư cho HS THCS do tập đoàn CASIO tài trợ, báo Toán học & Tuổi trẻ tổ

chức cuộc thi tương tự cho cả HS THCS và THPT do tập đoàn SHARP tài trợ,

nhằm góp phần phát huy trí lực của học sinh và tận dụng những tính năng ưu việt của MTĐT BT để hỗ trợ học tốt các môn học khác nữa như Lý, Hoá, Sinh, Địa

Thực tế, qua việc phụ trách bồi dưỡng HSG giải toán trên MTĐT của trường cũng như của PGD& ĐT huyện Krông Ana, tôi nhận thấy các em học sinh thực sự say mê tìm tòi, khám phá những công dụng của chiếc MTĐT BT đơn giản nhưng

vô cùng hữu ích này và vận dụng tốt trong quá trình học tập của mình

e Phân tích đánh giá các vấn đề thực trạng mà đề tài đặt ra

* Nguyên nhân dẫn đến thực trạng

Về nguồn học sinh giỏi ở huyện Krông Ana rất dồi dào, mặc dù các thầy cô giáo đã bỏ nhiều công sức ôn luyện, kết quả đạt được các năm qua chưa hề có giải nhất, chỉ có giải nhì và ba Điều đó khẳng định rằng phương pháp ôn luyện học sinh còn có những vấn đề cần khắc phục, một trong những vấn đề đó là biên soạn

ra những cuốn tài liệu ôn thi có hệ thống kiến thức đầy đủ

* Kết luận :

Nếu được ôn luyện bài bản chắc chắn kết quả các năm tiếp theo sẽ còn cao hơn nữa, nếu chúng ta biên soạn được những tài liệu đầy đủ, sát với chương trình thi của các em; và đây cũng là tài liệu để đồng thầy cô tham khảo để hướng dấn các

em học sinh sử dụng MTCT Chính vì lý do đó, tôi quyết định chọn đề tài sáng kiến

kinh nghiệm: “Phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay” Đề tài ngoài việc

chuyên sâu vào các bài toán số học, còn đề cập tới các bài toán đa thức và hình học

và cách sử dụng các chức năng mới của máy tính cầm tay CASIO fx-570VN

PLUS như tìm số dư trong phép chia, phân tích một số ra thừa số nguyên tố, tìm ƯCLN, BCNN

II.3.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

II.3.1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

II.3.1.1 SỐ HỌC

Dạng 1: Cách tính một số phép tính có kết quả bị tràn màn hình

Bài toán 1: Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính

xác kết quả của phép tính sau:

Ngoài cách tính toán kết hợp trên giấy, ta có thể tìm quy luật như sau:

Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ≠ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số

nguyên q và r sao cho:

a = bq + r và 0 ≤ r < |b|

Định lý 1 Giả sử: a chia cho b dư r1, c chia cho b dư r2

1 Nếu r1.r2 < b thì ac chia cho b dư r1.r2

2 Nếu r1.r2 > b thì số dư của phép chia ac cho b là số dư của phép chia r1.r2 cho b

3 Nếu r1 + r2 < b thì a + c chia cho b dư r1 + r2.

4 Nếu r1 + r2 > b thì số dư của phép chia a + c cho b là số dư của phép chia r1 + r2

Bài toán 1: Số bị chia không vượt quá 10 chữ số

Tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975

Giải

Khi sử dụng máy CASIO fx-570VN PLUS ta sử dụng chế độ tìm số dư như sau

18901969 3041975 6, R=650119

Ta có số dư của phép chia là: 650119

Bài toán 2: Số bị chia nhiều 10 chữ số

Tìm số dư của phép chia 123456789101112 cho 9999

Giải

Cách 1: Áp dụng định lý

123456789101112 = 123456789.106 + 101112

123456789 chia cho 9999 dư 9135

106 chia 9999 dư 100

Vì 100.9135 = 913500 > 9999 nên ta tìm số dư 913500 khi chia cho 9999

913500 chia cho 9999 dư 3591

101112 chia cho 9999 dư 1122

Vậy số dư của phép chia đã cho là 3591 + 1122 = 4713

Cách 2: Cắt ra nhóm 10 chữ số đầu tiên, tìm số dư rồi viết số dư đó liên tiếp vào phần còn lại tối đa 10 chữ số rồi tìm số dư Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy.VD: 1234567891 chia cho 9999 dư 1360

136001112 chia cho 9999 dư 4713

Bài toán 3 Tìm số dư của 9876542 :5678

Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide như sau (với hai số nguyên dương a, b):

- Chia a cho b, ta được thương q1 và dư r1: a = bq1 + r1

- Chia b cho r1, ta được thương q2 và dư r2: b = r1q2 + r2

- Chia r1 cho r2, ta được thương q3 và dư r3: r1 = r2q3 + r3

Tiếp tục quá trình trên, ta được một dãy giảm: b, r1, r2, r3 dãy này dần đến 0,

và đó là các số tự nhiên nên ta sẽ thực hiện không quá b phép chia Thuật toán kết thúc sau một số hữu hạn bước và bổ đề trên cho ta:

(a, b) = (b, r1) = rn

Định lí: Nếu x, y là hai số nguyên khác thì BCNN(x,y) = (x x,.y y)

Chứng minh: Do (x,y) là UCLN của x và y nên ( ) ( )x y

y y x

x

,

, , là những số nguyên

= là bội chung của x và y.

Tiếp theo, ta giả sử c là bội chung khác của x và y, suy ra tồn tại số nguyên m sao cho c = m.x và ta có c y nên :

( ) ( ) ( ) ( )x y

c y x

x m y

,

x y x

y

nên ( )x y

y m

với u là số ngyuên nào đó Thay vào đẳng thức c = m.x ta được

( ) ( )x y u

y x y

.

= hay c ;à bội của ( )x y

y x b

Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.

Bổ đề: Mọi hợp số có ước thực sự nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của nó.

Chứng minh

Cho n là hợp số Ta có thể viết n = a.b với 1<a,b<n

Nếu đồng thời a,b < n thì n = n n < a.b = n, mâu thuẫn Vậy có ít nhất một trong hai số a, hoặc b nhỏ hơn hoặc bằng n

Nhận xét: Mỗi hợp số phải có ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của nó

Định lí (Xác định số ước số của một số tự nhiên n):

Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:

Vậy A = 2152 + 3142 có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493.

Bài toán 2: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:

*Cách 1:- Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3

- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố:

Dạng 5: Tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trước:

- Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:

10203 4z với z ∈{0, 1, 2, ,8, 9}

lần lượt thử với z = 0; 1; 2; 3 đến z = 3, ta có:

1020334 ÷ 7 = (145762)Vậy số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1020334, thương là 145762

Bài 2: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:

Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho

393 cũng như 655 đều có số dư là 210

Bài 6: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9

Giải

- Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x,

y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315

Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz

⇒ 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285

- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600

- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915Vậy ta có đáp số sau:

a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1, 2,

ta được n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.

Chứng minh với mọi n ≥ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:

(2n + 7)  (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)]  (n + 1) ⇒ 5  (n + 1) ⇒ n ≤ 5.Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4

a) Tương tự ta có: n = 4 hoặc n = 6

Bài 8: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010≤n≤2010) sao cho a n = 20203 21n + cũng là số

Chứng tỏ (an - 1) hoặc (an + 1) chia hết cho 7 Vậy an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1

* Nếu an = 7k – 1 thi do 204 ≤ n =7k-1≤ 249 => 29,42 ≤ k ≤ 35,7 Do k nguyên nên k ={30;31;32;33;34;35} Vì 2

Dạng 6: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa và số dư của một luỹ thừa khi chia cho một số.

a Lý thuyết

Để tìm số dư của phép chia An cho B ta tìm số R < B sao cho : A R≡ (mod )B

Để tìm 1 chữ số tận cùng của An ta tìm số 0≤x≤9 sao cho An ≡x (mod 10)

Với p là số nguyên tố ta có: ap ≡ a (mod p)

Đặc biệt nếu (a,p) = 1 thì ap-1 ≡1 (mod p)

Bài 2: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2 9 2003

Giải

Ta có 92000 ≡ 001 (mod 1000) => 92003 ≡001.93 (mod 1000) ≡729 (mod 1000)

Do đó 2 9 2003 ≡2729 (mod 1000) ≡2700.229 (mod 1000)≡376.912 (mod 1000) ≡ 912 (mod 1000)

Vậy 3 chữ số cuối cùng của 2 9 2003 là 912

Bài 3: Tìm số dư của phép chia 52008 cho 2003

Dạng 7: Tìm chữ số thứ k (k ∈ N) trong số thập phân vô hạn tuần hoàn

a Lý thuyết

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2

và 5

* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:

Nếu phân số tối giản a

b có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số

dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các

số trong: {1; 2; 3; ;b-1}

Như vậy trong phép chia a cho b, nhiều nhất là sau (b - 1) lần chia có thể gặp các số dư khác nhau, nhưng chắc chắn rằng sau b lần chia thì thế nào ta cũng gặp lại số dư đã gặp trước Do đó, nếu ta cứ tiếp tục chia thì các số dư sẽ lặp lại và

dĩ nhiên các chữ số trong thương cũng lặp lại

Từ đó để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy của số thập phân vô hạn tuần hoàn,

ta chỉ cần xác định được chu kỳ lặp lại của các chữ số trong thương, từ đó dễ dàng suy ra được chữ số cần tìm

A= = tuần hoàn chu kỳ 3 chữ số 027.

Vì 2005 ≡ 1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là: 7

b) Số 1 0,02439 02439(02439)

41

B= = tuần hoàn chu kỳ 5 chữ số 02439

Vì 2005 ≡ 0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là: 9

020 408 163 265 306 122 448 979591836734693877551

Vì 2005 ≡ 31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy là : 7

Dạng 8: Dãy truy hồi Fibonacci

a Lý thuyết

Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng

đẻ được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v… và giả sử tất cả các con thỏ đều sống

Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?

Giải

- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.