SKKN nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi kinh nghiệm phân tích, trình bày bài toán dãy số khi giải toán trên máy tính cầm tay

Tuy nhiên, khi tổ chức kỳ thi cấp huyện thì những học sinh đạt giải cao chủ yếu tập trung ở một số trường như trường THCS Buôn Trấp, THCS Lương Thế Vinh, … Một số trường trong huyện, nhi

I PHẦN MỞ ĐẦU:

I 1 Lý do chọn đề tài:

Việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên toàn thế giới Trong các tài liệu giáo khoa của các nước có nền giáo dục tiên tiến luôn có thêm chuyên mục sử dụng máy tính để giải toán

Ở nước ta, kể từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các kì thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” cho học sinh phổ thông ở các cấp, bậc học Đội tuyển học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” huyện Krông Ana những năm gần đây luôn đạt kết quả cao trong các kỳ thi cấp tỉnh, cấp quốc gia

Tuy nhiên, khi tổ chức kỳ thi cấp huyện thì những học sinh đạt giải cao chủ yếu tập trung ở một số trường như trường THCS Buôn Trấp, THCS Lương Thế Vinh, … Một số trường trong huyện, nhiều năm vẫn chưa có học sinh tham gia hoặc có tham gia nhưng kết quả đạt được chưa cao, nguyên nhân do kiến thức về sử dụng máy tính bỏ túi còn mới mẻ nên bước đầu giáo viên còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu Do đó mà nhiều giáo viên còn ngại khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và chưa thực sự có tính hệ thống

Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích tìm hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên máy tính điện tử Còn về phía giáo viên lại không được đào tạo cơ bản về nội dung này, hầu hết giáo viên tự tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử

Trong các dạng toán về máy tính cầm tay thì dạng toán về dãy số là dạng toán khá phổ biến nhưng nhiều giáo viên và học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải, cách trình bày bài giải Với kinh nghiệm nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” tôi xin mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm

“Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên máy tính cầm tay”.

I 2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

- Nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay với dạng toán dãy số

- Đề ra giải pháp khi làm các bài toán về dãy số, từ phân tích bài toán để tìm lời giải đến cách trình bài bài giải một cách thống nhất và hợp lý nhất

- Đề tài là nguồn tài liệu cho giáo viên và học sinh khi nghiên cứu, giải toán trên máy tính cầm tay Từ đó giúp các giáo viên và học sinh có hứng thú, say mê hơn với dạng toán dãy số

I 3 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh khá, giỏi, học sinh đội tuyển học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” khối 8, 9

I 4 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu:

- Dạng toán dãy số đối với nội dung giải toán trên máy tính cầm tay

- Thời gian nghiên cứu: Các năm học 2013-2014, 2014-2015

I 5 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp thu thập, xử lý thông tin

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp trao đổi

II PHẦN NỘI DUNG:

II 1 Cơ sở lý luận:

Chúng ta đã biết rằng môn học giải toán trên máy tính cầm tay là môn học mới đối với học sinh THCS, vì vậy để học sinh tiếp cận và vận dụng được máy tính

bỏ tay vào giải Toán thì giáo viên không phải cứ hướng dẫn học sinh làm bài tập theo kiểu dạy nhồi nhét, thụ động Dạy như vậy thì học sinh học đâu quên đó, làm

bài tập nào biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều công sức mà không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác

mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có phương pháp làm bài Đặc biệt là đối với dạng toán dãy số, một dạng toán đòi hỏi khả năng tư duy, lập luận cao

Qua một số năm thực hiện hướng dẫn học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi

và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cho bộ môn này, tôi xin đưa ra một số giải pháp của bản thân về việc: Phân tích tìm lời giải và cách trình bày bài toán về dãy số

II 2 Thực trạng:

a Thuận lợi, khó khăn:

* Thuận lợi:

Được sự quan tâm giúp đỡ của Phòng Giáo dục huyện Krông Ana, Ban giám hiệu, tổ chuyên môn trường THCS Dur Kmăn Được sự tư vấn, giúp đỡ của một số giáo viên có nhiều kinh nghiệm dạy bồi dưỡng “Giải toán trên máy tính cầm tay” trong huyện Bản thân cũng là một giáo viên nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh, tham gia chấm bài thi của học sinh nên cũng phát hiện ra những mặt mạnh, mặt yếu, những thiếu sót hay mắc phải của học sinh khi làm dạng toán dãy số

Do nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em học sinh thích tìm hiểu, ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên máy tính điện tử Các em thấy ngay được sự hữu dụng khi vận dụng máy tính vào giải toán nói riêng và các môn học khác nói chung, vì vậy môn học dễ gây hứng thú học tập cho học sinh, kích thích các em tìm tòi và vận dụng máy tính vào giải toán

Trong chương trình dạy học môn Toán cấp THCS, đã có những tiết dạy, luyện tập, bài đọc thêm lồng ghép hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay (máy tính

CASIO) Hằng năm, cũng có nhiều đợt tập huấn các kiến thức giải toán trên máy tính cầm tay cho giáo viên ở các cấp, bậc học

Tài nguyên học tập dễ kiếm tìm từ các nhà sản xuất máy tính đến những tài liệu từ mạng internet

* Khó khăn:

Giá thành của máy tính cầm tay tương đối cao so với những học sinh ở những gia đình có hoàn cảnh khó khăn

Trình độ của học sinh không đồng đều, tính tự giác, khả năng tư duy còn hạn chế, một số học sinh chưa chăm học Môn học này cần sự cần cù, việc tự học là rất quan trọng, song rất ít học sinh có tinh thần tự học, tự tìm hiểu thêm qua mạng

Mặc dù nội dung giải toán trên máy tính cầm tay đã được lồng ghép vào chương trình dạy học bộ môn Toán nhưng nhiều giáo viên vẫn chưa thực sự quan tâm, giảng dạy cho học sinh, từ đó học sinh thiếu những kỹ năng cơ bản, dẫn đến gặp nhiều khó khăn khi làm dạng toán dãy số Một số giáo viên chưa thực sự đam

mê với nội dung giải toán trên máy tính cầm tay

b Thành công, hạn chế:

* Thành công:

Qua một số phương pháp nghiên cứu, kết quả thực nghiệm đem lại từ các đối tượng nghiên cứu, qua trao đổi với một số đồng nghiệp thì đề tài cũng cho thấy được nhiều thành công

Đề tài đã được sự ủng hộ nhiệt tình từ các đồng nghiệp là các giáo viên nhiều năm dạy bồi dưỡng “Giải toán trên máy tính cầm tay” trong huyện, tổ chuyên môn, lãnh đạo nhà trường và học sinh

Khi tiến hành thực nghiệm đề tài này vào thực tế đã nhận được hưởng ứng rất nhiệt tình từ phía học sinh Các em có thể phát huy hết khả năng của mình từ việc phân tích bài toán đến trình bày bài giải Từ đó khiến các em thấy thoải mái,

thích thú, đam mê đối với các dạng toán giải trên máy tính cầm tay nói chung và dạng toán dãy số nói riêng

Kết quả học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” ngày càng được nâng cao theo từng năm, và đặc biệt là các em không còn sợ dạng toán dãy số Nhiều em đã biết liên hệ kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong thực tế

* Hạn chế:

Đối tượng nghiên cứu ít, chỉ áp dụng cho đối tượng là những học sinh khá giỏi, học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay”

Dạng toán dãy số là dạng toán khó, ít gặp trong chương trình toán THCS, ít liên hệ với thực tế

c Mặt mạnh, mặt yếu:

Nội dung đề tài tương đối mới, chưa có một tài liệu chính thức nào nói đến Cách tiếp cận từ dễ đến khó, từ việc phân tích bài toán đến trình bày bài giải Tuy nhiên khi nghiên cứu đề tài, giáo viên và học sinh phải có những hiểu biết cơ bản

về máy tính cầm tay, các thao tác, quy ước cơ bản đã được các nhà sản xuất máy tính cung cấp cùng máy tính trong quyển “Hướng dẫn sử dụng máy tính”

d Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:

Sự phối hợp giữa các giáo viên dạy bộ môn Toán giữa các khối lớp Nếu ngay từ các khối lớp 6, 7, 8, 9 các giáo viên bộ môn Toán đã quan tâm, lồng ghép hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay vào các tiết dạy thì học sinh sẽ nắm được những kỹ năng, thao tác cơ bản Từ đó, việc giải quyết các dạng toán khó như dạng toán dãy số sẽ có nhiều thuận lợi, tiếp thu một cách dễ dàng

Một số giáo viên còn có những suy nghĩ nếu hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay sẽ làm cho các em mất các kỹ năng tính toán Tuy nhiên, theo sự phát triển xu thế của xã hội, việc học phải gắn liền với thực tiễn, việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay là cần thiết Giáo viên phải định hướng cho học sinh khi nào thì được sử dụng máy tính cầm tay, khi nào là không được sử dụng

Việc sử dụng và vận dụng máy tính cầm tay thành thạo sẽ bổ trợ cho học sinh rất nhiều trong việc học tập của các em, phát triển khả năng tư duy, ham mê học hỏi, khám phá cái mới

Sự quan tâm, giúp đỡ của Phòng giáo dục, lãnh đạo, tổ chuyên môn, đối tượng học sinh cũng ảnh hưởng nhiều đến thành công của đề tài

e Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:

Xuất phát từ thực tiễn, học sinh có nhu cầu giải toán trên máy tính và các dạng toán về dãy số thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi thực hành trên máy tính ở các cấp Những năm trước chưa áp dụng đề tài này cho học sinh thì bài làm của các em chất lượng không cao, hiệu quả thấp Đề tài này áp dụng cho các dạng toán về dãy số, nhằm phục vụ cho đối tượng là các em học sinh ham thích học hỏi

về lập trình trên máy tính cầm tay Giải toán bằng máy tính cầm tay (máy tính CASIO) đã có nhiều tác giả viết sách hướng dẫn, nhưng dạng bài tập về dãy số còn tản mạn, hệ thống bài tập chưa đa dạng và các phương pháp giải chưa được liệt kê một cách tường minh

Nhiều giáo viên và học sinh còn có những suy nghĩ chưa đúng về giải toán trên máy tính cầm tay nói chung và giải toán dãy số nói riêng là chỉ bấm máy tính, không đòi hỏi khá năng tư duy, suy luận Nhiều học sinh khi làm bài toán dãy số còn bấm máy trực tiếp để ghi kết quả hoặc bỏ qua Điều này là không đúng mà chúng ta phải viết thuật toán, quy trình bấm phím (lập trình bài giải sau đó thực hiện các thao tác trên máy tính cầm tay)

Một số giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” về dạng toán dãy số còn chưa chú ý đến cách phân tích bài toán, trình bày bài toán mà chỉ dạy các ví dụ cụ thể sau đó đòi hỏi học sinh học thuộc một cách máy móc Dẫn đến khi gặp các bài toán tương tự, học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn

Vì lẽ đó, tôi nghiên cứu viết đề tài này nhằm cung cấp các dạng toán cơ bản

về dãy số và nêu ra những cách phân tích bài toán, trình bày bài giải, giúp học sinh

bổ sung kiến thức giải toán, nâng cao kỹ năng thực hành

II 3 Giải pháp, biện pháp:

a Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:

Đối với dạng toán dãy số thì có nhiều cách giải, quy trình bấm phím khác nhau (lập trình trên máy tính) Trong đề tài này sẽ hướng đến phân tích bài toán dãy

số theo các dạng cơ bản, tìm ra lời giải bài toán tối ưu, dễ thực hiện nhất sao cho khi gặp các bài toán dãy số tương tự thì học sinh cũng có thể thực hiện được

Quy trình bấm phím trong đề tài này tôi thực hiện trên máy tính CASIO fx 570VN PLUS (hoặc CASIO fx 570ES PLUS)

Ngoài các phím cơ bản trên máy tính, có một số quy ước khi lập trình trên máy tính như sau:

 bấm phím SHIFT RCL (chức năng gán biến)

Ví dụ: 1A bấm phím: 1 SHIFT RCL ALPHA (-)

= bấm phím ALPHA CALC

Ví dụ: A = B bấm phím ALPHA (-) ALPHA CALC ALPHA 0’’’

b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

PHẦN 1: Các bài toán cơ bản của dạng toán dãy số (dãy truy hồi):

* Dạng 1: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n  2 a, b là hai số tùy ý nào đó)

Phân tích bài toán:

= B+A

U 4 =U 3 +U 2

= C+B Gán cho A

A=a

Gán cho B B=b

Gán cho C + Để sử dụng B+A thì

phải có A=B và B=C

Quy trình bấm:

A=a B=b C=B+A:A=B:B=C

Sau đó nhấn phím CALC = = … =

Chú ý:

- Có thể cho biến đếm vào thuật toán để không cần phải chú ý lên màn hình

hoặc đếm số dấu “=” Cụ thể:

a A

bB

2D

D=D+1:C=B+A:A=B:B=C

Sau đó nhấn phím CALC = = …=

- Những ví dụ sau, để học sinh chỉ chú ý đến cách phân tích bài toán, thuật toán nên tôi không cho biến đếm vào quy trình bấm phím

Ví dụ: Cho dãy số: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1(với n  2) Lập quy trình bấm phím liên tục tính un

Phân tích bài toán:

= B+A

U 4 =U 3 +U 2

= C+B Gán cho A

A=1

Gán cho B B=1

Gán cho C + Để sử dụng B+ A thì

phải có A=B và B=C

Quy trình bấm:

1 A

1B

C=B+A : A=B:B=C

* Dạng 2: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = mun + kun-1 (với n  2 a, b là hai số tùy ý nào đó)

Phân tích bài toán:

= mB+kA

U 4 =mU 3 +kU 2

=mC+kB

Gán cho A

A=a

Gán cho B B=b

và B=C

Quy trình bấm:

a A

bB

C=mB+kA:A=B:B=C

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

Phân tích bài toán:

= 3B+2A

U 4 =3U 3 +2U 2

=3C+2B

A= 8 B=13 và B=C

Quy trình bấm:

8 A

13B

C=3B+2A:A=B:B=C

* Dạng 3: Cho Cho u1 = a, u2 = b, u n 1  u2n  u2n 1 (với n  2)

Phân tích bài toán:

2 +U 2 1

= B 2 +A 2 U 4 = U 2

3 +U 2 2

= C 2 +B 2

Gán cho A

A= a

Gán cho B B=b

B=C

Quy trình bấm:

a A

bB

C= B 2 +A 2 : A=B:B=C

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 2

u   u  u  (n  2)

a) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

b) Tính u7?

Phân tích bài toán:

2 +U 2 1

= B 2 +A 2

U 4 = U 2

3 +U 2 2

= C 2 +B 2

Gán cho A

A= 1

Gán cho B B=2

và B=C

Quy trình bấm:

1 A

2B

C= B 2 +A 2 : A=B:B=C

Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ trong khi tính Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563

696 135209

* Dạng 4 (Dãy phi tuyến dạng): Cho u1 = a, u2 = b, u n 1  A u2n  B u2n 1 (với n

 2)

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 2

u   3u  2u  (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

Phân tích bài toán:

2 +2U 2

1

= 3B 2 +2A 2

U 4 = 3U 2

3 +2U 2

2

= 3C 2 +2B 2

Gán cho A

A= 1

Gán cho B B=2

A=B và B=C

Quy trình bấm:

1 A

2B

C= 3B 2 +2A 2 : A=B:B=C

Dạng 5 (Dãy Fibonacci suy rộng dạng): Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un +

un-1 + un-2 (với n  3)

Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?

Phân tích bài toán:

U 1 =

1

U 2 =

1

U 3 = 2

U 4 =U 3 +U 2 +U 1

= C+B+A

U 5 =U 4 +U 3 +

U 2

=D+C+B

U 6 =U 5 +U 4 + U 3

= E+D+C

A=

1

D=C+B+A

Gán cho E E=D+C+B

Phải có:

A=C:B=D:C=

E

Quy trình bấm:

1 A

1B

2D

D=C+B+A:E=D+C+B:A=C:B=D:C=E

Dạng 6 (Dãy truy hồi dạng tổng quát): Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = mun + ku

n-1+ f(n) (với n  2)

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + 1n(n  2)

a) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

b) Tính u7?

Phân tích bài toán:

U3=3U2+2U1+1

2

C

U4=3U3+2U2+1

3

1

C

Gán cho A

A= 8

Gán cho B B=13

Gán cho C

C=2

C thì

phải có A=B, B=D và C=C+1

Quy trình bấm:

8 A

13B

2C

D=3B+2A+ 1

PHẦN 2: Trình bày bài toán dãy số khi giải toán trên máy tính cầm tay :

Trong các thang điểm chấm bài thi giải toán trên máy tính cầm tay thường chỉ yêu cầu học sinh lập quy trình bấm phím (lập trình trên máy tính) và ghi ra kết quả Trong đó quy trình bấm phím là quan trọng nhất và chiếm số điểm nhiều hơn

Do đó khi dạy học sinh, giáo viên nên hướng dẫn, phân tích bài toán để hướng cho học sinh lập trình trên máy tính

Không nên yêu cầu học sinh trình bày bài giải bằng cách ghi tên từng phím

có trên máy tính cầm tay vì sẽ mất nhiều thời gian và dễ bị nhầm lẫn Nếu học sinh lập được quy trình bấm phím (lập trình trên máy tính) thì chắc chắn sẽ biết bấm những phím tương ứng để thể hiện quy trình đó

Ví dụ: (Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)

Cho dãy số (un) xác định bởi công thức: u0 = 2, u1 = 3 và un+1 = 3un – 2un-1 với

mọi số tự nhiên n, n  1

a) Tìm u5, u15, u25

b) Tính tổng S = u1 + u2 + u3 +… + u20

Với đề bài trên ta có thể trình bày bài giải như sau:

Giải:

Quy trình phím:

a) 2A

3B

1D (D là biến đếm để dễ xác định được u5, u15, u25, bắt đầu tính từ

u2)

D=D+1:C=3B-2A:A=B:B=C Sau đó bấm phím CALC = = …=

Khi nào đến D = 5, nhấn tiếp = ghi ra kết quả u5 = 33

Tương tự, u15 = 32769, u25 = 33554433

Bằng cách phân tích tương tự ta có thể tính S 20 như sau:

b) Vì S = u1 + u2 + u3 +… + u20 nên ta tính u1 = 3, u2 = 5 và un+1 = 3un – 2un-1

Quy trình phím:

3A

5B

0D (D là biến đếm, tính từ S1)

0E (E là tổng, bắt đầu tính từ S1) D=D+1:E=E+A:C=3B-2A:A=B:B=C Sau đó bấm phím CALC = = … = Khi nào đến D = 20, nhấn tiếp = ghi ra kết quả S20 =2097170