skkn nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi kinh nghiệm phân tích, trình bày bài toán dãy số khi giải toán trên máy tính cầm tay

Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Mục Tên đề mục Lý chọn đề tài Trang 2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Mục Tên đề mục Cơ sở lí luận để thực đề tài Trang Thực trạng 3 Giải pháp, biện pháp Kết 24 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Mục Tên đề mục Kết luận Trang 24 Kiến nghị 24 PHẦN I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Trong trường THCS, mơn tốn mơn học cung cấp tri thức kĩ toán học, phương pháp, phương thức tư hoạt động cần thiết để học tập mơn học khác Vì việc học tập mơn tốn quan trọng, học phải liên tục khơng ngừng Học sinh ln giữ vai trị trung tâm, chủ động hoạt động học tập Để giúp em học tốt mơn tốn, người giáo viên việc giúp em nắm kiến thức bản, phải bồi dưỡng cho em mặt phương pháp giải dạng toán quan trọng Do vậy, giáo viên cần phải tìm tịi, sáng tạo tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Trong chương trình Tốn học trường trung học sở phần lớn hệ thống câu hỏi tập biên soạn phù hợp với trình độ kiến thức lực học sinh Tuy nhiên có dạng tốn mà sách giáo khoa đưa vài toán dạng (*), chưa có phương pháp giải cụ thể, địi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức học để tư cách giải Dạng tốn “tính tổng dãy số viết theo quy luật” dạng toán tương đối khó học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, toán phổ biến đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi toán qua mạng internet Qua nhiều năm thực tế giảng dạy khối 6, tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng đứng trước dạng toán này, học sinh chưa tìm quy luật dãy số, khơng nhận dạng toán chưa định phương pháp giải Chính vậy, từ lớp giáo viên cần trang bị cho em học sinh dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật cách giải cho dạng để em có kĩ tính tốn tư sáng tạo giải toán dạng Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật từ đến nâng cao, đồng thời mong muốn chia sẻ vài kinh nghiệm giảng dạy để đồng nghiệp tham khảo, mong đóng góp chân thành để đề tài phát huy hiệu Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Mục tiêu: Thực đề tài nhằm mục đích: - Góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải các dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật từ đến nâng cao -Rèn cho học sinh kĩ giải toán, khả dự đoán, tư sáng tạo, tính tự giác tích cực - Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật - Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Nhiệm vụ: Những nhiệm vụ cụ thể đề tài là: - Liệt kê số dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật phương pháp giải cho dạng, đề xuất tốn tổng qt thơng qua ví dụ cụ thể đồng thời rèn cho học sinh tìm tịi lời giải, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ lựa chọn phương pháp giải hợp lý Đối tượng nghiên cứu: Phụ đạo nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp giải số dạng tập tính tổng dãy số viết theo quy luật - Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lí thuyết - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh - Đưa tập thể tổ chuyên môn thảo luận Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật - Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana - Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lí luận để thực đề tài: Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học sách giáo khoa, không làm tập thầy, cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật dạng tốn quan trọng chương trình tốn làm sở để học sinh làm tốt tốn có liên quan chương trình tốn trung học sở sau Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt Thực trạng: a Thuận lợi, khó khăn: Thuận lợi: - Xã Quảng Điền xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu người Quảng nam kinh tế từ năm 1977, nhân dân có truyền thống hiếu học Đặc biệt có quan tâm Đảng uỷ, UBND xã, quan tâm tổ chức, đoàn thể xã Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật công tác giáo dục, đảm bảo sở vật chất tối thiểu cho dạy học hai ca Xã Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện phấn đấu xây dựng xã nông thôn mới vào năm 2015 - Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường hoạt động, trì tương đối hiệu việc học tập em cộng đồng địa phương - Hội khuyến học nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng - Phịng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất hoạt động chuyên môn trường - Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường cịn có đội ngũ thầy trẻ, khoẻ, nhiệt tình hăng say cơng việc - Đa số học sinh giỏi ham thích học mơn tốn Khó khăn: - Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu nghề nông đời sống kinh tế cịn nhiều khó khăn, tỉ lệ hộ nghèo cịn cao, trình độ dân trí khơng đồng đều, thuộc lưu vực sông KrôngAna nên năm xã Quảng Điền chịu ảnh hưởng lũ lụt Do số phận dân cư, hồn cảnh gia đình cịn khó khăn, chưa thực quan tâm đến việc học em dẫn đến ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho em học tập, nên ảnh hưởng phần đến kết học tập rèn luyện số học sinh kết phấn đấu nhà trường - Cơ sở vật chất chưa đảm bảo tốt cho việc dạy học, nguồn đầu tư địa phương cho giáo dục hàng năm thấp b Thành công, hạn chế: Thành công: Với nội dung đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật” sau đưa tập thể tổ chuyên môn thảo luận áp dụng vào Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật thực tiễn nhận thấy rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn có khoa học, lập luận logic chặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động học tập Hạn chế: Để đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình mơn tốn khơng có thời lượng dành riêng cho vấn đề Hơn nữa, sách giáo khoa chưa đề cập cách giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Với lý đề tài khó áp dụng đem lại hiệu mong muốn c Mặt mạnh, mặt yếu: Mặt mạnh: Khi vận dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy phần lớn học sinh khơng cịn lúng gặp dạng toán này, đa số em nhận dạng tập biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí trình bày lời giải tương đối chặt chẽ Mặt yếu: Dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật dạng toán tương đối trừu tượng học sinh lớp Khi gặp dạng tốn này, khơng học sinh lúng túng khơng biết xử lý Điều dễ hiểu học phần lý thuyết song số tập để củng cố để khắc sâu, để bao qt hết dạng lại khơng nhiều, khơng có sức thuyết phục để lơi kéo hăng say học tập học sinh Mức độ kiến thức của dạng toán tương đối trừu tượng và phức tạp d Nguyên nhân: Thực tế học sinh trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu cịn chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập hạn chế Các em nhầm lẫn chưa thành thạo việc giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn là: - Mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng làm số học sinh hạn chế - Học sinh không nhận quy luật dãy số Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật - Học sinh chưa phân loại được các dạng tập chưa xác định phương pháp giải cho dạng - Do thời lượng luyện tập khóa cịn ít, học sinh chưa có thời gian để ơn tập, làm tập, giải tập nhiều - Học sinh chưa thật u thích khơng hứng thú việc học mơn Tốn nên cịn lười học nhà, lớp không ý nghe thầy cô giảng e Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt ra: Đề tài : “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy - Để giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật đòi hỏi em phải tìm quy luật dãy số, nhận những dạng tâp bản thường gặp phương pháp giải cụ thể cho từng dạng Các tập đưa đề tài theo mức độ từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tịi sáng tạo học sinh - Như nói trên, phân phối chương trình mơn tốn khơng có thời lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu Do để thực đề tài này, giáo viên cần phải lồng ghép vào tiết luyện tập, tiết ôn tập chương, tiết ơn tập học kì 2, tiết phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi - Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, vai trị người thầy việc tạo hứng thú cho học sính đặc biệt quan trọng, giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào tình có vấn đề em tư duy, tự tìm tịi kiến thức qua dạng toán Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương cố gắng em, trân trọng thành đạt em dù nhỏ - Ngày nay, phương pháp dạy học bậc THCS nói chung có nhiều biến đổi tích cực, điều kiện vật chất ngày nâng lên rõ rệt Nhưng để đạt kết tốt Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật u cầu giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn đặc biệt phải tận tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan cho học sinh tìm hiểu mức độ sơ sài, thiên cung cấp lời giải Sự đầu tư thoả đáng giáo viên đền bù khả giải tập chắn, linh hoạt cuả học sinh Giải pháp, biện pháp: a Mục tiêu giải pháp, biện pháp: Những giải pháp, biện pháp nêu đề tài nhằm mục đích trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp giải dạng tập tính tổng dãy số viết theo quy luật từ đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán này, định hướng thao tác: quan sát, nhận dạng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho dạng b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp: Việc tính tổng biểu thức thơng thường (hữu hạn số hạng) ta áp dụng thứ tự quy tắc phép tốn giải toán Vấn đề đặt cách khai thác để giải tốn tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+ +an (n=1,2,3…) phải làm ? Sau số dạng phương pháp khai thác để giải dạng toán Dạng 1: Tính tổng số tự nhiên cách Phương pháp giải: Muốn tính tổng số tự nhiên cách đều, ta làm sau: - Tính số số hạng tổng theo cơng thức: (Số lớn – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + - Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) Số số hạng : Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính tổng A = + + + + 100 Giải: Nguyễn Vaên Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Tổng A có: 100 − + = 100 (số hạng) A= ( + 100 ) 100 = 101.100 = 5050 2 Bài toán tổng quát: Tính tổng + + + + n (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 1, ta có: + + + + n = n ( n + 1) Ta có cơng thức tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n (Với n ∈ N* ) sau: n ( n + 1) Ví dụ 2: Tính tổng B = + + + + 100 + + + + n = (Với n ∈ N* ) Giải: Tổng B có: ( 100 − ) : + = 50 (số hạng) B= ( + 100 ) 50 = 102.25 = 2550 Bài tốn tổng qt: Tính tổng + + + +2n (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 2, ta có: + + + + 2n = ( + 2n ) n = n ( n + 1) Ta có cơng thức tính tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp từ đến 2n (Với n ∈ N* ) sau: + + + + 2n = n ( n + 1) (Với n ∈ N* ) Ví dụ 3: Tính tổng C = + + + + 49 Giải: Tổng C có: ( 49 − 1) : + = 25 (số hạng) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luaät C= ( + 49 ) 25 = 50.25 = 252 = 625 2 Bài toán tổng quát: Tính tổng + + + +(2n – 1) (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 3, ta có: + + + + ( 2n − 1) = ( + 2n − 1) n = n.n = n 2 Ta có cơng thức tính tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 2n - (Với n ∈ N* ) sau: + + + + ( 2n − 1) = n (Với n ∈ N* ) Ví dụ 4: Tính tổng D = + + 10 + 13 + + 301 Giải: Tổng D có: ( 301 − ) : + = 100 (số hạng) D= ( + 301) 100 = 305.50 = 15250 Ví dụ 5: Tính tổng E = 98 + 93 + 88 + 83 + … + 13 + +3 Giải: Tổng E có: ( 98 – ) : + = 95 : + 1= 19 +1 = 20 (số hạng) E = ( 98 + ) 20 : = 101 20 : = 010 Dạng 2: Tính tổng tích số tự nhiên viết theo quy luật Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng: k( k+1) = k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1) − (Với 3 k ∈ N* ) Từ tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Giải: Với k ∈ N* , ta có k(k+1)(k+2) – k(k+1) (k-1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 10 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 1 n + + + + = (Với n ∈ N* ) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + Ví dụ 2: Tính tổng 5 5 5 5 + + + + + + + 12 20 30 42 56 72 90 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp huyện Krông Ana năm học 2011 2012) Nhận xét: Tổng tổng phân số có tử 5, mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Do đó, ta đặt làm thừa số chung biểu thức ngoặc có dạng ví dụ Giải: 5 5 5 5 1 1  1 1 + + + + + + + = 5 + + + + + + + ÷ 12 20 30 42 56 72 90  12 20 30 42 56 72 90  1 1 1   = 5 + + + + + + + ÷  2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10  1 1 1 1 1 1 1 1  1   1 =  − + − + − + − + − + − + − + − ÷ =  − ÷ =  − ÷ = = 10  3 4 5 6 7 8 9 10   10   10 10  Ví dụ 3: Tính tổng 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 2013.2015 Giải: Với k ∈ N* , ta có: ( k + a) − k = k + a − k = − a = k(k + a) k(k + a) k(k + a) k(k + a) k k + a Thay k 1; 2; 3; …; 2003 a = ta có: = 1− 1.3 1 = − 3.5 ………… 1 = − 2013.2015 2013 2015 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: Nguyễn Vaên Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 21 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luaät 2 2 1 1 1 1 2014 + + + + − = =1 − + − + − + + = 1− 1.3 3.5 5.7 2013.2015 3 5 2013 2015 2015 2015 2 2 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ) Giải: 2 2 1 1 1 1 n +1 + + + + − + − + − + + − 1− = = = 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2) 3 5 n n+2 n+2 n+2 Ta có cơng thức : 2 2 n +1 + + + + = 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2) n + Ví dụ 4: Tính tổng (Với n ∈ N,n leû ) 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp huyện Krông Ana năm học 2010 - 2011) Giải: 1 1 1 2 2  + + + + =  + + + + ÷ 1.3 3.5 5.7 2009.2011  1.3 3.5 5.7 2009.2011  1 1 1 1  1  2010 1005 = 1 − + − + − + + − = ÷ = 1 − ÷= 2 3 5 2009 2011   2011  2011 2011 Thơng qua ví dụ cần phải khắc phục cho học sinh sai lầm thường gặp: 1 = − 3.5 sai Cách khác: S= 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 2S = 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 1 1 1 2S = − + − + − + + − 3 5 2009 2011 2S = − 2S = 2011 2010 2011 Nguyễn Vaên Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 22 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luaät S= 1005 2011 1 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ) Giải: 1 1 1 1 1 1  1  n +1 + + + + − + − + − + + − 1− = =  ÷  ÷= 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2)  3 5 n n +   n +  2n + Ta có cơng thức : 1 1 n +1 + + + + = 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2) n + Ví dụ 5: Tính tổng (Với n ∈ N,n leû ) 5 5 + + + + 11.16 16.21 21.26 61.66 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp huyện Krông Ana năm học 2012 - 2013) Giải: 5 5 1 1 1 1 1 −1 + + + + = − + − + − + + − = − = = 11.16 16.21 21.26 61.66 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 66 Ví dụ 6: Tính tổng 1 1 + + + + + 66 176 336 248496 Giải: 1 1 1 1 + + + + + = + + + + 66 176 336 248496 1.6 6.11 11.16 496.501 1 5 5 1   1 1 1 + + + + −  ÷ = 1 − + − + − + + ÷  1.6 6.11 11.16 496.501   6 11 11 16 496 501  1  500 100 = 1 − = ÷=  501  501 501 1 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.6 + 6.11 + 11.16 + + (5n − 4)(5n + 1) (Với n ∈ N* ) Giải: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 23 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 1 1 1 1  + + + + − + − + + − =  ÷ 1.6 6.11 11.16 (5n − 4)(5n + 1)  6 11 5n − 5n +  1  5n n = 1 − = ÷=  5n +  5n + 5n + Ta có cơng thức : 1 1 n + + + + = (Với n ∈ N* ) 1.6 6.11 11.16 (5n − 4)(5n + 1) 5n + Ví dụ 7: Tính tổng 5 5 + + + + 1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013 Giải: 5 5 + + + + 1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013  3 3  = × + + + + ÷  1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013   1 1 1 1  = × − + − + − + + − ÷  1002 1005 1005 1008 1008 1011 2010 2013   1  1011 1685 = ì = ữ= 1002 2013  1002.2013 32017026 Dạng 5: Tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên liên tiếp Phương pháp giải: Muốn tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên liên tiếp, ta tiến hành sau: - Tách phân số thành hiệu hai phân số theo công thức tổng quát sau đây: 1 * = − n ( n + 1) ( n + ) n ( n + 1) ( n + 1) ( n + ) (Với n ∈ N ) 1 * = − n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) (Với n ∈ N ) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 24 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 * = − n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + ) n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + ) (Với n ∈ N ) ……………………………………………………………………………… k 1 = − n, k ∈ N* ) n(n + 1)(n + 2) (n + k) n(n + a) ( n + k − 1) (n + 1)(n + 2) (n + k − 1)(n + k) (Với - Tiến hành rút gọn cặp số hạng đối kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối tính kết Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính tổng Phương pháp tách: 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 1  = =  − ÷ 1.2.3 1.2.3  1.2 2.3  1 1 1  = =  − ÷ 2.3.4 2.3.4  2.3 3.4  1 1 1  = =  − ÷ 3.4.5 3.4.5  3.4 4.5  ……………………… 1 1 1  = =  − ÷ 37.38.39 37.38.39  37.38 38.39  Giải: 1 1  1 1  1 1  1 1 − + + + +  =  −  +  −  +…+   1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 = 1 1 1 1  1 1  11  − + − + + − −  =  =  −   1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39   1.2 38.39   38.39  741 − 1 740 370 185 = = = 38.39 38.39 741 741 = 1 1 Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* ) Giải: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 25 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật  1 1 1 + + + + =  − 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2)  (n + 1)(n + 2)  n ( n + 3)  (n + 1)(n + 2) −  (n + 1)(n + 2) − n + 2n + n + − =  = = =  2(n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Ta có cơng thức : n ( n + 3) 1 1 + + + + = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Ví dụ 2: Tính tổng Phương pháp tách: (Với n ∈ N* ) 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 1 1 1  = =  − ÷ 1.2.3.4 1.2.3.4  1.2.3 2.3.4  1 1 1  = =  − ÷ 2.3.4.5 2.3.4.5  2.3.4 3.4.5  1 1 1  = =  − ÷ 3.4.5.6 3.4.5.6  3.4.5 4.5.6  ……………………… 1 1 1  = =  − ÷ 27.28.29.30 27.28.29.30  27.28.29 28.29.30  Giải: 1 1 1 1 1 1  + + + + =  − + − + + − ÷ 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 27.28.29 28.29.30  1 1 1353 451  4059 =  − = = ÷=  1.2.3 28.29.30  24360 24360 8120 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) (Với n ∈ N* ) Giải: 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) 1 1 1 1 =  − + − + + −  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ( n + ) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh  ÷ ÷=  1 1 −   1.2.3 ( n + 1) ( n + ) ( n + )  ÷ ÷  Trang 26 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Ta có công thức :  1 1 1 + + + =  − ÷÷ (Với n ∈ N* ) 1.2.3.4 2.3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) ( n + )  1.2.3 ( n + 1) ( n + ) ( n + )  Ví dụ 3: Tính tổng 18 18 18 18 + + + + 10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99 Phương pháp tách: 18 1   = =  − ÷ 10.11.12.13 10.11.12.13  10.11.12 11.12.13  18 1   = =  − ÷ 11.12.13.14 11.12.13.14  11.12.13 12.13.14  18 1   = =  − ÷ 12.13.14.15 12.13.14.15  12.13.14 13.14.15  ……………………… 18 1   = =  − ÷ 96.97.98.99 96.97.98.99  96.97.98 97.98.99  Giải: 18 18 18 18 + + + + 10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99 3 3   =  + + + + ÷ 96.97.98.99   10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 1 1 1 1   =  − + − + − + + − ÷ 96.97.98 97.98.99   10.11.12 11.12.13 11.12.13 12.13.14 12.13.14 13.14.15 1 97.49.3 − 20 14239 = = ữ= ì 97.98.99.20 3136980  10.11.12 97.98.99  Ví dụ 4: Tính tổng 5 5 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99 Giải:  3 3 5 5  + + + + + + + + = ì ữ  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99 1 1 1   − + − + − + + − ÷ 96.97.98 97.98.99   1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 = × Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 27 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 97.49.33 − 78424 392120  = ì = ữ= ì 1.2.3 97.98.99  97.98.99 470547 1411641  = × Dạng 6: Tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách hai thừa số lớn Muốn tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách hai thừa số lớn 1, ta tiến hành sau: - Tách phân số thành hiệu hai phân số theo công thức tổng quát sau đây: k 1 = − (Với n, k ∈ N* ) n(n + k) n n + k 2k 1 = − n(n + k)(n + 2k) n(n + k) (n + k)(n + 2k) (Với n, k ∈ N* ) 3k 1 = − (Với n, k ∈ N* ) n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) n(n + k)(n + 2k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k) 4k 1 = − n, k ∈ N* ) (Với n(n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k) n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k) ……………………………………………………………… ak 1 = − n(n + k)(n + 2k) (n + ak) n(n + k)(n + 2k) (n + 2k − k) (n + k)(n + 2k) (n + 2k − k)(n + ak) (Với n, k, a ∈ N* ) - Tiến hành rút gọn cặp số hạng đối kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối tính kết Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính tổng 4 4 + + + 3.5.7 5.7.9 7.9.11 23.25.27 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 28 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luaät 1 = − 3.5.7 3.5 5.7 Phương pháp tách: 1 = − 5.7.9 5.7 7.9 1 = − 7.9.11 7.9 9.11 ………………… 1 = − 23.25.27 23.25 25.27 Giải: 4 4 + + + 3.5.7 5.7.9 7.9.11 21.23.25 = 1 1 1 1 − + − + − + + − 3.5 5.7 5.7 7.9 7.9 9.11 23.25 25.27 = 1 45 − 44 − = = 3.5 25.27 675 675 Ví dụ 2: Tính tổng Phương pháp tách: 36 36 36 36 + + + + 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 36   = =  − ÷ 1.3.5 1.3.5  1.3 3.5  36   = =  − ÷ 3.5.7 3.5.7  3.5 5.7  36   = =  − ÷ 5.7.9 5.7.9  5.7 7.9  ………………… 36   = =  − ÷ 25.27.29 25.27.29  25.27 27.29  Giải: 36 36 36 36 + + + + 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 4   =  + + + + ÷ 25.27.29   1.3.5 3.5.7 5.7.9 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 29 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật   260 260   =  − − = ÷ =  ÷ = 783 87  1.3 27.29   1.3 27.29  Ví dụ 3: Tính tổng Phương pháp tách: 6 6 + + + 4.7.10 7.10.13 10.13.16 25.28.31 1 = − 4.7.10 4.7 7.10 1 = − 7.10.13 7.10 10.13 1 = − 10.13.16 10.13 13.16 ………………… 1 = − 25.28.31 25.28 28.31 Giải: 6 6 + + + 4.7.10 7.10.13 10.13.16 25.28.31 = 1 1 1 1 − + − + − + + − 4.7 7.10 7.10 10.13 10.13 13.16 25.28 28.31 = 1 31 − 30 15 − = = = 4.7 28.31 868 868 434 c Điều kiện để thực giải pháp, biện pháp: Để thực giải pháp, biện pháp nêu phải đảm bảo điều kiện sau: - Yêu cầu học sinh phải nắm thật kiến thức có liên quan đến tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Ghi nhớ dạng toán phương pháp giải cho dạng - Học sinh biết nhận dạng toán cụ thể, từ lựa chọn phương pháp giải hợp lí - Học sinh biết cách biến đổi từ toán chưa biết cách giải toán quen thuộc biết cách giải - Học sinh biết trình bày giải cách đầy đủ, xác khoa học Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 30 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật - Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp tập yêu cầu phù hợp - Thường xuyên kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi học sinh để có hướng điều chỉnh d Mối quan hệ giải pháp, biện pháp: Dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật dạng tốn khơng thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học sở Các dạng toán đưa đề tài có mối liên quan mật thiết với nhau, đề tài không áp dụng cho học sinh khối lớp mà làm sở để giải toán liên quan lớp Trong trình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, vai trò giáo viên việc tạo hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt quan trọng Vì giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào tình có vấn đề em tư duy, tự tìm tịi kiến thức qua dạng tốn Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương cố gắng em, trân trọng thành đạt em dù nhỏ e Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: -Kết khảo nghiệm: Đề tài thực lớp 6A3 lớp 6A4 năm học 2013 - 2014 Mặc dù hai lớp có nhiều học sinh yếu sau áp dụng đề tài, em có hứng thú học tập tiếp thu tốt Những em học sinh trung bình yếu tiến rõ rệt, em học sinh giỏi ngày linh hoạt tốn mức độ khó có tính trừu tượng cao Bảng thống kê: * Chất lượng học sinh chưa áp dụng đề tài: GIỎI LỚP 6A3 KHÁ SĨ SỐ 36 SL % 11,1 SL % 19,4 TRUNG BÌNH SL % 15 41.7 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh YẾU SL % 22,2 KÉM SL % 5,6 Trang 31 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 6A4 34 8,8 23,5 12 35,3 20,6 11,8 * Chất lượng học sinh áp dụng đề tài: GIỎI LỚP KHÁ SĨ SỐ 6A3 36 SL 6A4 34 TRUNG % 19,4 SL 12 % 33,3 BÌNH SL % 12 33,3 17,6 11 32,4 10 29,4 YẾU KÉM SL % 13,9 SL % 14,7 5,9 -Giá trị khoa học: Bằng chút kinh nghiệm thân thực tiễn giảng dạy, mạnh dạn đưa đề tài “Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật” đưa vào áp dụng Với kết đạt thống kê chưa cao phần góp phần khơi dậy niềm say mê học tập em học sinh Tôi hy vọng đề tài góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao được chất lượng đại trà dạy học bộ môn toán ngành giáo dục nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng KẾT QUẢ - Trong trình giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy việc hướng dẫn phương pháp giải toán theo dạng giúp cho học sinh hình thành kỹ tự giải tốn tốt hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức cách có hệ thống hình thành khả tư logic, nâng cao lực tự học cho thân Cụ thể, dạy học tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật, hướng dẫn cho học sinh cách tìm quy luật dãy số, nhận dạng tập, tìm phương pháp giải ghi nhớ công thức tổng quát cho dạng Kết cho thấy học sinh tiếp thu tốt tự làm tập tương tự số tập địi hỏi tư sáng tạo Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 32 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luaät PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận: Khi nghiên cứu đề tài: “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh dễ hiểu hứng thú trình tiếp thu kiến thức, em biết khai thác sâu toán, biết tự đặt toán mới, tránh sai lầm mà hay mắc phải Trên kinh nghiệm nhỏ giảng dạy mơn tốn, bước đầu chưa đem lại kết mĩ mãn mong đợi tơi nhận thấy tính ham học lịng say mê học toán em nâng cao rõ rệt Mặc dù cố gắng chắn chưa thể đưa vấn đề cách trọn vẹn được, mong đồng chí đồng nghiệp góp ý chân tình để đề tài hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Kiến nghị: * Đối với giáo viên: Tận tâm với nghề dạy học, tìm tịi phương pháp để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu hơn, thường xuyên quan tâm đến chất lượng học tập học sinh, trân trọng thành đạt học sinh dù nhỏ * Đối với nhà trường: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để giáo viên áp dụng đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy * Đối với phòng giáo dục: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh để giáo viên nghiên cứu trao đổi học hỏi đồng nghiệp, tìm biện pháp hay Quảng Điền, tháng năm 2015 Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 33 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Nguyễn Văn Dũng NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 34 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 35 ... tài nghiên cứu: ? ?Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy... Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luaät Mục tiêu: Thực đề tài nhằm mục đích: - Góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải các dạng tốn tính. .. : ? ?Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng