Giáo án: một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Giáo án: một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

NGUY N T T THU M CL C M C L C L IM I S ð U D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S DÃY S D NG CĨ CƠNG TH C TRUY H I ð C BI T II S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S 24 III NG D NG BÀI TỐN TÌM CTTQ C A DÃY S TOÁN V DÃY S -T VÀO GI I M T S BÀI H P 30 BÀI T P ÁP D NG 41 L IM ð U Trong chương trình tốn h c THPT tốn liên quan ñ n dãy s m t ph n quan tr ng c a ñ i s gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn gi i tốn liên qua đ n dãy s đ c bi t tốn xác đ nh cơng th c s h ng t ng quát c a dãy s Hơn n a m t s l p tốn xác đ nh đư c công th c t ng quát c a dãy s n i dung c a tốn g n đư c gi i quy t Do xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t ñ nh toán dãy s Chuyên ñ “M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ” nh m chia s v i b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i tốn xác đ nh CTTQ c a dãy s mà b n thân ñúc rút ñư c trình h c t p gi ng d y N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c : I: S d ng CSC – CSN đ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s có d ng cơng th c truy h i đ c bi t II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s III: ng d ng c a toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s toán v dãy s - t h p M t s k t qu chun đ có m t s sách tham kh o v dãy s , nhiên chun đ k t qu đư c xây d ng m t cách t nhiên ñư c s p x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp em h c sinh n m b t ki n th c d dàng phát tri n tư cho em h c sinh Trong trình vi t chuyên ñ , nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ nhi t thành c a BGH q th y t Tốn Trư ng THPT BC Lê H ng Phong Chúng tơi xin đư c bày t lịng bi t ơn sâu s c Vì l c th i gian có nhi u h n ch nên chun đ s có nh ng thi u sót R t mong quý Th y – Cơ b n đ ng nghi p thơng c m góp ý đ chun đ đư c t t M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S I S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CĨ CƠNG TH C TRUY H I ð C BI T Trong m c chúng tơi xây d ng phương pháp xác đ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s có cơng th c truy h i d ng đ c bi t Phương pháp ñư c xây d ng d a k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p Trư c h t nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC S h ng t ng quát c a c p s c ng c p s nhân 1.1: S h ng t ng quát c a c p s c ng ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un = un −1 + d ∀n ≥ , d s th c khơng đ i g i c p s c ng d : g i công sai c a CSC; u1 : g i s h ng ñ u, un g i s h ng t ng quát c a c p s ð nh lí 1: Cho CSC (un ) Ta có : un = u1 + (n − 1)d (1) ð nh lí 2: G i Sn t ng n s h ng đ u c a CSC (un ) có cơng sai d Ta có: n [2u + (n − 1)d ] (2) 1 2: S h ng t ng quát c a c p s nhân ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * g i c p s nhân công b i q Sn = n −1 ð nh lí 3: Cho CSN (un ) có cơng b i q Ta có: un = u1q (3) ð nh lí 4: G i Sn t ng n s h ng ñ u c a CSN (un ) có cơng b i q Ta có: - qn Sn = u1 -q (4) -4- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s đ c bi t Ví d 1.1: Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = 1, un = un −1 − ∀n ≥ Gi i: Ta th y dãy (un ) m t CSC có cơng sai d = −2 Áp d ng k t qu (1) ta có: un = − 2(n − 1) = −2n + Ví d 1.2: Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = 3, un = 2un −1 ∀n ≥ Gi i: Ta th y dãy (un ) m t CSN có cơng b i q = Ta có: un = 3.2n −1 Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = −2, un = 3un −1 − ∀n ≥ Gi i: Trong toán g p khó khăn dãy (un ) khơng ph i CSC hay CSN! Ta th y dãy (un ) khơng ph i CSN xu t hi n h ng s −1 VT Ta tìm cách làm m t −1 ñi chuy n dãy s v CSN Ta có: −1 = − + nên ta vi t công th c truy h i c a dãy sau: 2 un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1) 2 ð t = un − ⇒ v1 = − = 3vn −1 ∀n ≥ Dãy (vn ) CSN công b i q = 2 5 ⇒ = v1.q n −1 = − 3n −1 V y un = + = − 3n + ∀n = 1,2, , 2 2 Nh n xét: M u ch t cách làm ta phân tích −1 = − + đ chuy n cơng th c 2 truy h i c a dãy v (1), t ñó ta ñ t dãy ph ñ chuy n v dãy (vn ) m t CSN Tuy nhiên vi c làm có v khơng t nhiên l m! Làm th ta bi t phân tích −1 = − + ? Ta có th làm sau: 2 -5- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = u = x  V i cách làm ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) :  un = aun −1 + b ∀n ≥   Th t v y: * N u a = dãy (un ) CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b ab b Khi cơng th c truy h i c a dãy ñư c vi t − a −1 a −1 b b b b = a(un −1 + ) , t ñây ta có đư c: un + = (u1 + )a n −1 sau: un + a −1 a −1 a −1 a −1 a n −1 − Hay un = u1a n −1 + b a −1 V y ta có k t qu sau: * N u a ≠ , ta vi t b = D ng 1: Dãy s (un ) : u1 = x , un = aun −1 + b ∀n ≥ (a,b ≠ h ng s ) có CTTQ là: u1 + (n − 1)b a =  un =  a n −1 − n −1 +b a ≠ u1.a  a −1 Ví d 1.4: Xác đ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − Gi i: ð tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t 3n − ñ chuy n v dãy s m t CSN Mu n làm v y ta vi t : 3n − = −3n − + 3(n − 1) + 5 (2)   Khi cơng th c truy h i c a dãy ñư c vi t sau: un + 3n + = un + 3(n − 1) +    ð t = un + 3n + , ta có: v1 = 10 = 2vn −1 ∀n ≥ ⇒ = v1.2n −1 = 10.2n −1 V y CTTQ c a dãy (un ) : un = − 3n − = 5.2n − 3n − ∀n = 1,2, 3, Chú ý : 1) ð phân tích đư c ñ ng th c (2), ta làm sau: -6- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s a − b = a = −3   3n − = an + b − a(n − 1) + b  Cho n = 1; n = ta có:  ⇔   −b = b = −5     u  , f (n ) 2) Trong trư ng h p t ng quát dãy un :  un = aun −1 + f (n ) ∀n ≥   m t ña th c b c k theo n , ta xác ñ nh CTTQ sau: Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) v i g(n ) m t ña th c theo n Khi ñó ta ( ) có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = = a n −1 u1 − g(1)     n −1 V y ta có: un = u1 − g (1) a + g (n )   V n đ cịn l i ta xác đ nh g(n ) th ? Ta th y : *N u a = g(n ) − ag(n − 1) m t đa th c có b c nh b c c a g(n ) m t b c không ph thu c vào h s t c a g(n ) , mà f (n ) ña th c b c k nên đ có (3) ta ch n g(n ) ña th c b c k + , có h s t b ng khơng ñ xác ñ nh g(n ) ñ ng th c (3) ta cho k + giá tr c a n b t kì ta đư c h k + phương trình, gi i h ta tìm đư c h s c a g(n ) * N u a ≠ g(n ) − ag(n − 1) m t ña th c b c v i g(n ) nên ta ch n g(n ) ña th c b c k ñ ng th c (3) ta cho k + giá tr c a n ta s xác ñ nh ñư c g(n ) V y ta có k t qu sau: u = x  D ng 2: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:  , un = a.un −1 + f (n )  f (n ) m t ña th c b c k theo n ; a h ng s Ta làm sau: Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) v i g(n ) m t ña th c theo n Khi ñó, ta ñ t = un − g(n ) ta có đư c: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n )   Lưu ý n u a = , ta ch n g(n ) ña th c b c k + có h s t b ng khơng, cịn n u a ≠ ta ch n g(n ) ña th c b c k u =  Tìm CTTQ c a dãy (un ) Ví d 1.5: Cho dãy s (un ) :  un = un −1 + 2n +   Gi i: Ta phân tích 2n + = g(n ) − g(n − 1) = a n − (n − 1)2  + b n − (n − 1)     -7- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ( g(n ) = an + bn )  −a + b =  Cho n = 0, n = ta có h :  ⇔ a +b =   a =  ⇒ g(n ) = n + 2n  b =2   ⇒ un = n + 2n − u1 =  Ví d 1.6: Cho dãy s (un ) :  Tìm CTTQ c a dãy (un ) un = 3un −1 + 2n ; n = 2, 3,   Gi i: Ta v n b t chư c cách làm ví d trên, ta phân tích: 2n = a.2n − 3a.2n −1 Cho n = , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1 Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = = 3n −1(u1 + 4) V y un = 5.3n −1 − 2n +1 Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích ( α n = k α n − ak α n −1 v i (a ≠ α ) ) ( Khi đó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = = a n −1 u1 − bk ) Suy un = a n −1(u1 − bk ) + bk α n Trư ng h p α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1 ( ) ⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = = α n −1(u1 − bα ) ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 V y ta có k t qu sau u1  D ng 3: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm un = a.un −1 + b.α n ∀n ≥   sau: • N u a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 • N u a ≠ α , ta phân tích α n = k α n − ak α n −1 Khi đó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk α n Ta tìm đư c: k = α α −a -8- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s u1 = −2  Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  un = 5un −1 + 2.3n − 6.7n + 12 ; n = 2, 3,    3n = k 3n − 5k 3n −1 k = −   Gi i: Ta có:  n cho n = , ta ñư c:  n n −1 l = 7 = l − 5l    Hơn n a 12 = −3 + 5.3 nên cơng th c truy h i c a dãy đư c vi t l i sau: ( ) un + 3.3n + 21.7n + = un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + = = 5n −1 (u1 + + 147 + 3) V y un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − u1 =  Ví d 1.8: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  un = 2un −1 + 3n − n; ∀n ≥   3n = 3.3n − 2.3.3n −1  Gi i: Ta phân tích:  nên ta vi t công th c truy h i c a dãy n = −n − + (n − 1) +      sau: un − 3.3n − n − = un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = = 2n −1(u1 − 12)   V y un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + u1 = p  D ng 4: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , un = a.un −1 + b.α n + f (n ); ∀n ≥   ñó f (n ) ña th c theo n b c k , ta phân tích α n f (n ) cách phân tích d ng d ng Ví d 1.9: Xác đ nh CTTQ c a dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − ∀n ≥ Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy (un ) b ng m t dãy s khác m t CSN Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy sau: -9- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s x + x =  un − x1.un −1 = x (un −1 − x1un − ) , ta ph i ch n x1, x :  hay x1, x x1x =   nghi m phương trình : x − 5x + = ⇔ x = 2; x = Ta ch n x1 = 2; x = Khi đó: un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − ) = = 3n −1(u1 − 2u ) = 5.3n −1 ⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 S d ng k t qu d ng 3, ta tìm đư c: un = 5.3n − 6.2n Chú ý : Tương t v i cách làm ta xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: u ; u1  , a,b s th c cho trư c a − 4b ≥  un − a.un −1 + b.un − =0 ∀n ≥  sau: G i x1, x hai nghi m c a phương trình : x − ax + b = (4) ( phương trình đư c g i phương trình đ c trưng c a dãy) n Khi đó: un − x1.un −1 = x (un −1 − x1.un − ) = = x −1(u1 − x1.u0 ) S d ng k t qu c a d ng 3, ta có trư ng h p sau: x u − u1 n u1 − x u0 n n n x1 + x Hay un = k x1 + l x , • N u x1 ≠ x un = x − x1 y −x k + l = u0  k, l nghi m c a h :  x1.k + x l = u1   u a  au • N u x1 = x = α un = α n −1  + (u1 − )n  , hay un = (kn + l )α n −1 ,     l = α u0  k, l nghi m c a h :  k + l = u1   V y ta có k t qu sau: u ; u  , D ng 5: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  un − a.un −1 + b.un − = ∀n ≥   a,b, c s th c khác không; a − 4b ≥ ta làm sau: G i x1, x nghi m c a phương trình đ c trưng: x − ax + b = - 10 - III NG D NG BÀI TỐN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI TOÁN V DÃY S - T H P Trong m c chúng tơi đưa m t s ví d toán v dãy s t h p mà trình gi i tốn v n d ng m t s k t qu Ví d 3.1: Cho dãy s (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an − an −1 + ∀n ≥ Ch ng minh r ng A = 4anan + + s phương Gi i: T cơng th c truy h i c a dãy ta thay n + b i n ta ñư c: an +1 = 2an − an −1 +  ⇒ an + − 3an + 3an −1 − an − =  an = 2an −1 − an − +   Xét phương trình đ c trưng λ − 3λ + 3λ − = ⇔ λ = ⇒ an = (α + β n + γ n ) , a = 0, a1 = 1, a2 = ⇒ α = 0, β = γ = (n + n ) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 3n + 1)2 ⇒ đpcm Ví d 3.2: Cho dãy s (xn ) : x1 = 7, x = 50; x n +1 = 4x n + 5xn −1 − 1975 ∀n ≥ ⇒ an = Ch ng minh r ng x1996 ⋮1997 (HSG Qu c Gia – 1997 ) Gi i: Vì −1975 = 22(mod1997) ta ch c n ch ng minh dãy x n +1 = 4x n + 5x n −1 + 22 ⋮1997 ð t yn +1 = ax n +1 + b = a(4x n + 5x n −1 + 22) + b = 4(axn + b) + 5(ax n −1 + b) + 22a − 8b = 4yn + 5yn −1 + 22a − 8b Ta ch n a, b cho: 22a − 8b = , ta ch n a = ⇒ b = 11 ⇒ yn +1 = 4x n +1 + 11 ⇒ y1 = 39, y2 = 211; yn +1 = 4yn + 5yn −1 8(−1)n + 25.5n + 25.51996 ⇒ y1996 = 3 ≡ −1 + = 0(mod 3) ⇒ y1996 ∈ ℤ T ta có đư c: yn = Vì + 25.51996 Theo đ nh lí Fecma 51996 ≡ 1(mod1997) ⇒ y1996 ≡ 11(mod1997) ⇒ 4x1996 + 11 ≡ 11(mod1997) ⇒ x1996 ≡ 0(mod1997) - 30 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s Nh n xét: T tốn ta có k t qu t ng quát là: x p −1 ⋮ p v i p s nguyên t l u = 20; u1 = 100  Ví d 3.3: Cho dãy s (un ) :  Tìm s nguyên dương un + = 4un + 5un −1 + 20 ∀n ≥  h bé nh t cho: un + h − un ⋮1998 ∀n ∈ ℕ * (HSG Qu c Gia B ng A – 1998 ) Gi i: a = 45; a1 = 205  ð t an = 2un + , ta có dãy (an ) :  an +1 = 4an + 5an −1 ∀n ≥  10 125 n 125 n 5 ⇒ an = (−1)n + ⇒ un = + (−1)n − 3 Vì an + h − an = 2(un + h − un ) ⇒ un + h − un ⋮1998 ⇔ an + h − an ⋮ 2.1998 = 22.33.37 Mà an + h n (−1)n 10  h  + 125.5 (5h − 1) − an = (−1) −   3 • N u h ch n ⇒ an + h 5h − 1⋮  125.5  h − an = (5 − 1)⋮ 4.27.37 ⇔ 5h − 1⋮ 81 (17)  h 5 − 1⋮ 37  n G i k s nguyên dương nh nh t th a mãn 5k − 1⋮ 37 Vì 536 − 1⋮ 37 ⇒ 36 ⋮ k ⇒ k ∈ 1,2, 3, 4,12,18, 36 th tr c ti p ta th y ch có k = 36 th a mãn { } ⇒ 5h − 1⋮ 37 ⇒ h ⋮ 36 (18) Ch ng minh tương t , ta có: 5h − 1⋮ 81 ⇒ h ⋮ϕ(81) = 54 (19) T (18) (19) ta suy (17) ⇔ h ⋮ 36, 54  = 108 ⇒ h ≥ 108   • N u h l : Vì un + h ≡ un (mod 1998) u ≡ u ≡ 20(mod1998)  Nên ta có:  h ⇒ 5uh −1 ≡ uh +1 − 4uh − 20 ≡ 0(mod1998) uh +1 ≡ u1 ≡ 100(mod1998)   ⇒ uh −1 ⋮ 0(mod1998) 125 h 25 125 h −1 uh −1 = − − 6 6 ≡ 0(mod1998) mâu thu n v i uh ≡ 20(mod1998) Vì h l ⇒ h − ch n ⇒ uh = ⇒ uh ≡ 5uh −1 - 31 - M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s V i h = 108 ta d dàng ch ng minh ñư c un + h ≡ un (mod1998) ∀n ≥ V y h = 108 giá tr c n tìm Ví d 3.4: Cho dãy (xn ) : x = 2; x n +1 = 2xn + xn + 1) Tính x 2000 ? 2) Tìm ph n nguyên c a A = 2000 ∑ xi (Olympic 30 – – 2000 kh i 11 ) i =1 Gi i: Ta có: x n +1 − = xn − xn + ⇒ xn +1 − =1+ ð t an = ⇒ a = xn − xn − 3n +1 − ⇒ xn = + an + = 3an + ⇒ an = 3n + − 32001 + a) Ta có: x 2000 = 32001 − 2000 2000 ⇒ 2000 < A < 2000 + ∑ < 2001 b) Ta có: A = 2000 + ∑ i +1 i =1 3i −1 i =1 V y [A] = 2000 Ví d 3.5: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = (2 + cos 2α )xn + cos2 α (2 − cos 2α )x n + − cos 2α n ∀n ≥ Tìm α ñ dãy s (yn ) có gi i h n h u h n tìm gi i +1 i =1 i h n ( HSG Qu c Gia B ng A – 2004 ) Gi i: ð t yn = Ta có ∑ 2x 2x n + + ⇒ yn = Vì lim n = sin2 α 1 1 + ⇒ = + (1 − )sin2 α n n −1 3(2x n + 1) 2x n + 3 ∑ 2x + = i =1 i 3n n ∑ i i =1 n i =1 3i −1 + sin2 α ∑ (1 − )= 1 (1 − ) + [n − (1 − )]sin2 α 2 3n 3n = nên dãy (yn ) có gi i h n h u h n ⇔ sin α = ⇔ α = kπ - 32 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s Khi lim yn = 2 x  n +1 = −3x n − 2xn yn + 8yn ∀n ≥  2 yn +1 = 2x n + 3x n yn − 2yn  Tìm t t c s nguyên t p cho x p + y p không chia h t cho p (TH&TT – 327 )  x = −1 Ví d 3.6: Cho hai dãy (xn ),(yn ) :  y1 =  Gi i: n −1 Ta có: x n + 2yn = (xn −1 + 2yn −1 )2 = = (x1 + 2y1 )2 = (20) Gi s có m t s t nhiên k đ yk = 2xk ⇒ yk +1 = Khi đó, ta có: x  k + = −3x k +1 vơ lí V y yn +1 = (2x n − yn )(x n + 2yn ) ≠ ∀n  xk +2 =   x (3x n − 4yn )(x n + 2yn ) −3x n + 4yn = Suy : n +1 = − yn + (2x n − yn )(x n + 2yn ) 2x n − yn ð t an +1 = xn +1 yn + ⇒ an + + = ⇒ an = ⇒ a1 = −1;an + = an + 2an − 1 − 4.(−5)n −1 n −1 + 2.(−5) ⇒ = an + xn yn −3an + 2an − 1 + 2(−5)n −1 =2− ⇒ = +2 an + an + (21) − 4.(−5)n −1 + 2.(−5)n −1 − 2(−5)n −1 T (20) (21) ⇒ xn = ⇒ x n + yn = ; yn = 3 * N u p = ⇒ x + y2 = ⋮ ⇒ p = không th a yêu c u toán * N u p = ⇒ x + y = −16 không chia h t cho ⇒ p = th a yêu c u toán * N u p = ta th y th a yêu c u toán * N u p > ⇒ (−5)p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ x p + y p ≡ 0(mod p) V y p = 3, p = hai giá tr c n tìm - 33 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s  u1 =  Ví d 3.7: Cho dãy (un ) :  Tính t ng c a 2001 s un −1 un = ∀n ≥ 2(2n − 1)un −1 +   h ng ñ u tiên c a dãy (un ) (HSG Qu c Gia – 2001 ) Gi i: Ta có: 1 = + 4n − (22) un un −1 Ta phân tích 4n − = k n − (n − 1)2  + l n − (n − 1) Cho n = 0; n = , ta có h      −k + l = −2  ⇔ k = 2; l =  k + l =  1 1 Suy (22) ⇔ − 2n = − 2(n − 1)2 = = −2 = − un un −1 u1 4n − (2n − 1)(2n + 1) ⇒ = = 2 un ⇒ un = ⇒ 2001 ∑ i =1 1 = − (2n − 1)(2n + 1) 2n − 2n + ui = 2001  1  ∑  2i − − 2i +  = − 4003 i =1   = 4002 4003 x = x + + x n −1 x = n −1  n   Ví d 3.8: Cho hai dãy s (xn ); (yn ) xác ñ nh :   yn −1 y1 = yn =  + + yn −1   ∀n ≥ Ch ng minh r ng < xn yn < ∀n ≥ (Belarus 1999) Gi i: Ta có: x1 = = cot π ⇒ x = cot π + + cot π = cos π sin +1 π = cot π 2.6 - 34 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot Theo k t qu c a ví d 2.8, ta có: yn = tan ð t αn = π 2n π n −1 π 2n −1.3 ⇒ x n = cot αn ; yn = tan 2αn ⇒ xn yn = tan 2αn cot αn = t 1−t 1−t π π Vì n ≥ ⇒ < αn < ⇒ < t < tan = ⇒ ≤ − t2 < 6 3 ð t t = tan αn ⇒ tan 2αn cot αn = ⇒2< 1−t 2t < ⇒ < x n yn ≤ ∀n ≥ ⇒ ñpcm | x1 |<  Ví d 3.9: Cho dãy s (xn ) :  −x n + − 3x n x n +1 = ∀n ≥  1) C n có thêm u ki n đ i v i x1 đ dãy g m tồn s dương ? 2) Dãy s có tu n hồn khơng ? T i ? (HSG Qu c Gia 1990) Gi i:  π π Vì | x1 |< nên t n t i α ∈  − ;  : sin α = x1 Khi đó:  2 π x = − sin α + cos α = sin( − α ) 2 π π x = − sin( − α ) + | cos( − α ) | 3 • N u− • N u− π π ≤α < π 0 < α < π   1) Dãy g m toàn s dương ⇔   π ⇔ ⇔ 0 − π ≤ α < π      ñi u ki n c n ph i tìm 2) D a vào k t qu ta có: V y < x1 < π  π • N u sin α = sin  − α  ⇔ α = ⇔ x1 = Khi t (1) ta có đư c 3  x1 = x = = xn = ⇒ (x n ) dãy tu n hoàn  − ≤ x1 <  dãy s có d ng x1, x , x1, x , • N u x ≠   • N u −1 < x1 < − dãy s có d ng x1, x , x , x , x Ví d 3.10: Tính t ng Sn = + + + + 2n − , v i n s t nhiên n ≥ Gi i: Ta có: S1 = Sn = Sn −1 + 2n − Mà: 2n − = n − (n − 1)2 ⇒ Sn − n = Sn −1 − (n − 1)2 = = S1 − = V y Sn = n Ví d 3.11: Tính t ng Sn = 12 + 22 + 32 + + n v i n s t nhiên n ≥ Gi i: Ta có S1 = Sn = Sn −1 + n (23) Ta phân tích: n = k n − (n − 1)3  + l n − (n − 1)2  + t n − (n − 1)       - 36 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s k − l + t =  Cho n = 0; n = 1; n = , ta có h : k + l + t = ⇔ k = 7k + 3l + t =  1 1 1  ⇒ (23) ⇔ Sn −  n + n + n  = Sn −1 −  (n − 1)3  3 3 1 ;l = ;t =  1 + (n − 1)2 + (n − 1)  1  2n + 3n + n n(n + 1)(2n + 1) ⇒ S n −  n + n + n  = S1 − = ⇒ S n = =  6 3 Ví d 3.12: Tính t ng Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ Gi i: Ta có: S1 = Sn − Sn −1 = n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 1 (n + 1)4 − n  + (n + 1)3 − n  −  2  4 1 − (n + 1)2 − n  − (n + 1) − n    2 4 1 1 ð t f (n ) = (n + 1)4 + (n + 1)3 − (n + 1)2 − (n + 1) 4 ⇒ Sn − f (n ) = Sn −1 − f (n − 1) = = S1 − f (1) = Do n(n + 1)(n + 2) = ⇒ Sn = f (n ) = n(n + 1)(n + 1)(n + 3) Ví d 3.13: Trong mp cho n đư ng th ng, khơng có ba ñư ng ñ ng quy ñôi m t khơng c t H i n đư ng th ng chia m t ph ng thành mi n ? Gi i: G i an s mi n n ñư ng th ng t o thành Ta có: a1 = Ta xét ñư ng th ng th n + (ta g i d ), d c t n ñư ng th ng ñã cho t i n ñi m b n ñư ng th ng chia thành n + ph n, ñ ng th i m i ph n thu c m t mi n c a an M t khác v i m i ño n n m mi n c a an s chia mi n thành mi n, nên s mi n có thêm n + Do v y, ta có:an + = an + n + T ta có: an = + n(n + 1) - 37 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s Chú ý : V i gi thi t ví d n u thay yêu c u tính s miên b ng tính s đa giác t o (n − 2)(n − 1) thành ta tìm đư c: an = Ví d 3.14: Trong khơng gian cho n m t ph ng, ba m t ph ng c t khơng có b n m t ph ng ñi qua qua m t ñi m H i n m t ph ng chia không gian thành mi n ? Gi i: G i bn s mi n n m t ph ng t o thành Xét m t ph ng th n + (ta g i (P ) ) Khi (P ) chia n m t ph ng ban ñ u theo n n(n + 1) mi n, m i mi n n m n2 + n + m t mi n c a bn chia mi n làm hai ph n.V y bn +1 = bn + (n + 1)(n − n + 6) T đó, ta có: bn = giao n n giao n s chia (P ) thành + Ví d 3.15: Trong m t cu c thi đ u th thao có m huy chương, ñư c phát n ngày thi ñ u Ngày th nh t, ngư i ta ph t m t huy chương s huy chương l i Ngày th hai, ngư i ta phát hai huy chương s huy chương l i Nh ng ngày cịn l i đư c ti p t c tương t v y Ngày sau cịn l i n huy chương đ phát H i có t t c huy chương ñã phát ngày? (IMO 1967) Gi i: G i ak s huy chương l i trư c ngày th k ⇒ a1 = m , ta có: k −1 ak +1 6 6k = ak − ⇒ ak =   7 7 n −1 6 ⇒ an = n =   7 ( ) (m − 36) − 6k + 42 n −1 7 (m − 36) − 6n + 42 ⇒ m − 36 = 7(n − 6)   6 Vì 6, = 6n −1 > n − nên ta có n − = ⇔ n = ⇒ m = 36 V y có 36 huy chương ñư c phát phát ngày - 38 - M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Ví d 3.16: Có xâu nh phân đ dài n khơng có hai bit đ ng c nh nhau? Gi i: G i cn s xâu nh phân ñ dài n th a mãn ñi u ki n ñ u Ta có c1 = ; c2 = Xét xâu nh phân ñ dài n th a mãn ñi u ki n đ u có d ng anan −1an − a2a1 Có hai trư ng h p • an = Khi an −1 = an − a2a1 có th ch n m t xâu b t kỳ ñ dài n − th a u ki n Có cn − xâu v y, suy trư ng h p có cn − xâu • an = Khi an −1 a2a1 có th ch n m t xâu b t kỳ ñ dài n − th a u ki n Có cn −1 xâu v y, suy trư ng h p có cn −1 xâu V y t ng c ng xây d ng ñư c cn −1 + cn − xâu, hay cn = cn −1 + cn − n −1 n −1 − 1 −  − 1 +  ⇒ cn = +             Ví d 3.17: Cho s nguyên dương n Tìm t t c t p A c a t p X = 1,2, 3, ,2n cho không t n t i hai ph n t x , y ∈ A th a mãn: x + y = 2n + { } (Th y S 2006) Gi i: ð gi i toán ta s ñi ñ m s t p A c a X th a mãn tôn t i hai ph n t x , y ∈ A cho x + y = 2n + (ta g i t p A có tính ch t T ) { } G i an s t p A c a t p 1,2, ,2n có tính ch t T { } Khi t p A ⊂ 1,2, ,2n,2n + 1,2n + x y hai trư ng h p TH1: Trong t p A ch a hai ph n t 2n + , trư ng h p s t p A có tính ch t T chình b ng s t p c a t p g m 2n ph n t 2, 3, 4, ,2n,2n + s t p { } c a t p b ng 22n TH2: Trong t p A khơng ch a đ y đ hai ph n t 2n + Khi ñó A ph i ch a m t t p A ' t p c a t p 2, 3, 4, ,2n,2n + cho có hai ph n t x ', y ' ∈ A ' : { } x ' + y ' = 2n + Ta th y s t p A ' b ng s t p c a t p { } {1,2, ,2n } có tính ch t T (Vì ta tr ph n t c a 2, 3, 4, ,2n,2n + ñi m t ñơn v ta ñư c t p {1,2, ,2n} x ', y ' ∈ A ' : x ' + y ' = 2n + ) - 39 - M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Hơn n a v i m i t p A ' ta có đư c ba t p A (b ng cách ta ch n A A ' ho c {1} ∪ A ' ho c {2n + 2} ∪ A ' ) Do v y: an +1 = 3an + 22n ⇒ an = 4n − 3n V y s t p th a mãn yêu c u toán là: 4n − an = 3n - 40 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s Bài t p áp d ng Bài 1: Tìm CTTQ c a dãy s sau 1) u1 = 1; u2 = 0, un + − 2un + un −1 = n + 1, n ≥ 2) u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + un −1 = 3.2n , n ≥ 3) u1 = 0; u2 = 0, un + − 2un − 3un −1 = n + 2n , n ≥ 4) u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un −1 − 11.un − + 5.un − , n ≥  u1 =  5)  un −1 + − u = ∀n ≥  n − ( − 2)u n −1  Bài 2: Cho dãy s {b } n b = 2.b + bn −  n −1 xác ñ nh b i :  n b1 = 1, b2 =  n ∈N (n ≥ ) n 5 Ch ng minh r ng bn ≤   , ∀n ∈ N 2 Bài 3: Cho dãy s {u } n u ∈ Z + , ∀ ∈ N  n tho mãn sau : u = 1, u1 = u = 10.u − un − ∀n ∈ N , n ≥ n −1  n Ch ng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 2 1) uk + uk −1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 ⋮ 3.uk − 1⋮ x = 1; x1 =  Bài 4: Cho dãy s x n xác ñ nh sau:  x n − 2x n −1 + x n − = ∀n ≥   Xác ñ nh s t nhiên n cho : x n + + x n = 22685 - 41 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s x = 1; x1 =  Bài 5: Cho dãy (xn ) ñư c xác ñ nh b i  x n + = 6xn − x n −1 ∀n ≥   Tìm lim x n { 2x } n (TH&TT T7/253)  2  − (1 − a ) n   an + =   ∀n ≥ 2       Ch ng minh r ng: a1 + a2 + + a2005 < 1, 03 (TH&TT T10/335) Bài 6: Xét dãy (an ) : a1 = Bài 7: Cho dãy (an ) : a = 2;an +1 = 4an + 15an − 60 ∀n ≥ Hãy xác ñ nh CTTQ (a + 8) có th bi u di n thành t ng bình phương c a 2n ba s nguyên liên ti p v i ∀n ≥ (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy s p(n ) ñư c xác ñ nh sau: p(1) = 1; c a an ch ng minh r ng s { } p(n ) = p(1) + 2p(2) + + (n − 1)p(n − 1) ∀n ≥ Xác ñ nh p(n ) (TH&TT T7/244) u1 =  Bài 9: Xét dãy (un ) :  Ch ng minh r ng un = 3un −1 + 2n − 9n + 9n − ∀n ≥   p −1 v i m i s nguyên t p 2000 ∑ ui chia h t cho p (TH&TT T6/286) i =1 x = a  Bài 10: Dãy s th c (xn ) :  x n +1 = 2xn − ∀n ≥   Tìm t t c giá tr c a a ñ x n < ∀n ≥ (TH&TT T10/313) Bài 11: Dãy s (xn ) : x = 1, x1 = x n +1.xn x n + = 2002x n + + 2001x n + 2000x n + 1xn ∀n ≥ Hãy tìm CTTQ c a x n (TH&TT T8/298)  a1 =  Bài 12: Cho dãy s (an ) ñư c xác ñ nh sau: (an ) :  an −1 an = ∀n ≥ 2nan −1 +   Tính t ng a1 + a2 + + a1998 - 42 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s Bài 13: Cho dãy s (an ) ñư c xác ñ nh b i : a1 = 1.2.3, a2 = 2.3.4, , an = n(n + 1)(n + 2) ð t Sn = a1 + a2 + + an Ch ng minh r ng 4Sn + s phương (HSG Qu c Gia – 1991 B ng B ) Bài 14: Cho hai dãy s (an ),(bn ) ñư c xác ñ nh sau: a = 2;b0 = an + = 2anbn an + bn , bn + = an + 1bn ∀n ≥ Ch ng minh r ng dãy (an ) (bn ) có m t gi i h n chung n → +∞ Tìm gi i h n chung ( HSG Qu c Gia – 1993 B ng A ngày th 2) Bai 15: Cho s nguyên a, b Xét dãy s nguyên (an ) ñư c xác ñ nh sau a = a; a1 = b; a2 = 2b − a + 2; an + = 3an + − 3an +1 + an ∀n ≥ a ) Tìm CTTQ c a dãy (an ) b) Tìm s ngun a, b đ an s phương v i ∀n ≥ 1998 (HSG Qu c Gia – 1998 B ng B) n a =  Bài 16: Cho dãy s (an ) :  Tính ∑ i =1 (3 − an )(6 + an −1 ) = 18 ∀n ≥  (Trung Qu c – 2004 ) a =  Bài 17: Cho dãy s (an ) :  Ch ng minh 7an −1 + 45an −1 − 36 an = ∀n ≥  1) an s nguyên dương v i ∀n ≥ 2) an +1an − s phương ∀n ≥ ( Trung Qu c – 2005 ) u1 = 1; u2 = un −  Bài 18: Cho dãy s (un ) :  Ch ng minh r ng s un = 4un −1 − un − ∀n ≥ 3   phương ( Ch n ñ i n Ngh an – 2007 )  2007 b0 = 12;b1 = Bài 19: Cho dãy s (bn ) :  Tính ∑ bi ( Moldova 2007) i =0 b + b = bn − ∀n ≥ n −1 n - 43 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s Bài 20: Có n t m th ñư c ñánh s t ñ n n Có cách ch n m t s th (ít nh t t m) cho t t c s vi t t m th ñ u l n ho c b ng s t m th ñư c ch n u1 = 1; un > ∀n ≥   Ch ng minh Bài 21: Cho dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:  + un −1 − ∀n ≥ un = un −1    π r ng u1 + u2 + + un ≥ + 1 − ( )n −1  (HSG Qu ng Bình 2008 – 2009 ) 4  Bài 22: Cho dãy ña th c : P (x ) = x − 6x + Pn (x ) = P (P ( (P (x )))) n l n Tìm s nghi m c a P (x ) Pn (x ) ? (D n Olympic) Bài 23: Xác ñ nh h s x khai tri n quy c ña th c Qk (x ) = ( (((x − 2)2 − 2)2 − 2)2 − )2 − 2)2 (có k d u ngo c) Bài 24: Cho dãy x n : x = 1, x1 = 1, x n + = 4x n − x n −1 ∀n ≥ dãy s (yn ) : y0 = 1, y1 = 2, yn +1 = 4yn − yn −1 ∀n ≥ Ch ng minh r ng: 2 yn = 3xn + ∀n ≥ (Canada – 1998 ) Bài 25: Có tam giác có đ dài c nh s t nhiên không vư t 2n (Macedonian – 1997 ) Bài 26: Cho dãy s (un ) ñư c xác ñ nh sau: u0 = u1 = un +1 = 14un − un −1 v i ∀n ≥ Ch ng minh r ng v i ∀n ≥ 2an − m t s phương (Ch n đ i n Romania 2002) - 44 - ... Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy (un ) b ng m t dãy s khác m t CSN Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy sau: -9- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s x... M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S I S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T Trong m c xây d ng phương pháp xác ñ nh... -4- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s đ c bi t Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b