Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== ĐẶNG THỊ HUỆ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ TÌM NĂNG LƢỢNG VÀ HÀM SĨNG TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ khoa học chun ngành Vật lí lí thuyết Vật lí tốn với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm lƣợng hàm sóng số toán học lƣợng tử” kết trình cố gắng khơng ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp người thân Vì qua trang viết em xin gửi gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ em thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua Em xin tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc T.S Trần Thái Hoa trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức suốt thời gian em học tập trường Em xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà nội đặc biệt thầy trưởng khoa Vật lí T.S Nguyễn Văn Thụ tạo điều kiện thuận lợi tối đa cho em hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu khoa học Cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, cảm ơn lãnh đạo đồng nghiệp trường THPT Triệu Thái, bạn học viên lớp cao học K19 Vật lí lí thuyết Vật lí tốn ln động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho em trình học tập thực Luận văn Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017 TÁC GIẢ Đặng Thị Huệ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm lƣợng hàm sóng số tốn học lƣợng tử” cơng trình cá nhân tôi, không chép Mọi giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn có nguồn gốc rõ ràng Tơi xin chịu trách nhiệm nghiên cứu ! Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017 Ngƣời cam đoan Đặng Thị Huệ MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn PHẦN II NỘI DUNG CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN 1.1 Phương pháp biến phân toán với biên gắn chặt 1.1.1 Mở đầu 1.1.2 Các tính chất biến phân 1.1.3 Phương trình Euler x1 1.1.4 Những phiếm hàm dạng  F ( x, y , y , , y , y ' , y ' , , y ' )dx 11 n n x0 1.1.5 Những phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao 13 1.1.6 Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến độc lập 15 1.2 Các toán biến phân với biên động 18 1.2.1 Bài toán đơn giản với biên động 18 1.2.2 Bài toán với biên động phiếm hàm dạng 21 1.3 Các điều kiện đủ cực trị 25 1.3.1 Trường đường cong cực trị 25 1.3.2 Hàm E (x, y, p, y’) 26 1.3.3 Biến đổi phương trình Euler dạng tắc 29 1.4 Các toán biến phân cực trị vướng 31 1.4.1 Ràng buộc dạng  ( x, y1, y2 , , yn )  31 1.4.2 Ràng buộc dạng  ( x, y1, , yn , y '1, , y 'n )  35 CHƢƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG 39 2.1 Lý thuyết nhiễu loạn 39 2.1.1 Nhiễu loạn dừng khơng có suy biến 39 2.1.2 Nhiễu loạn có suy biến 43 2.2 Phương pháp phép biến đổi tắc 45 2.3 Phương pháp Ritz 49 CHƢƠNG 3: SỬ DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƢỢNG TỬ 53 Bài 53 Bài 55 Bài 59 PHẦN III KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 PHẦN I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý đã, ngày phát triển để trở thành môn khoa học quan trọng giới đại Để nghiên cứu, khảo sát q trình vật lý, xử lý tốn vật lý đòi hỏi phải tính tốn phép tốn phức tạp, tốn nhiều thời gian công sức Trong học lượng tử việc giải phương trình Schodinger để tìm lượng hàm sóng ngun tắc ta hồn tồn tìm Tuy nhiên, thực tế với nhiều trường hợp việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn giải phức tạp Ta biết trạng thái hệ lượng tử mơ tả nghiệm phương trình H  E (1.1) Ở đây, H tốn tử Hamilton (khơng phụ thuộc thời gian) E lượng hệ Nghiệm xác phương trình tìm số tương đối nhỏ trường hợp đơn giản (trường Coulomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều… ) tương ứng với hệ lí tưởng hóa phương trình (1.1) cho Sự phức tạp việc giải phương trình phụ thuộc vào dạng số chiều khơng gian tốn cần giải Phần lớn toán học lượng tử dẫn tới phương trình phức tạp dạng tốn học khơng thể giải nghiệm xác Do đó, nghiên cứu hệ thực, nói chung phương trình (1.1) khơng cho nghiệm xác Bởi phải ứng dụng phương pháp gần để giải toán Do đó, người ta tìm nghiệm phương trình Schrodinger phương pháp gần đúng, hàm riêng trị riêng, lí thuyết nhiễu loạn… Trong việc sử dụng phương pháp biến phân giúp ích nhiều việc giải số toán học lượng tử Phép tính biến phân bắt đầu phát triển từ năm 1696 trở thành ngành toán học độc lập, có phương pháp nghiên cứu riêng, sau đời tác phẩm nghiên cứu Euler Đã có nhiều cơng trình, đề tài khoa học nghiên cứu vấn đề thu kết tốt Trong luận văn này, tơi nghiên cứu ứng dụng phép tính biến phân vào việc tìm lượng hàm sóng số tốn lượng tử Và lí tơi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm lượng hàm sóng số toán học lượng tử” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khai thác sử dụng phép tính biến phân vào việc tìm lượng hàm sóng số toán lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số sở lý thuyết phép tính biến phân Nghiên cứu ứng dụng phép tính biến phân Vật lý học lượng tử Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Môn học lượng tử ứng dụng phép tính biến phân việc giải số toán lượng tử Phạm vi nghiên cứu: Một số toán học lượng tử việc tìm lượng hàm sóng hạt Phƣơng pháp nghiên cứu Vật lý lý thuyết Vật lý toán Các ứng dụng toán để giải toán học lượng tử Cấu trúc luận văn Đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm lượng hàm sóng số tốn học lượng tử” có kết cấu gồm phần: phần thứ phần mở đầu, phần thứ hai phần nội dung phần thứ ba phần kết luận Trong phần nội dung chia làm chương, nội dung chương sau: Chương Giới thiệu tổng quan phép tính biến phân Chương Giới thiệu phương pháp gần Chương Sử dụng phương pháp gần để giải số toán lượng tử PHẦN II NỘI DUNG Chƣơng Giới thiệu tổng quan phép tính biến phân 1.1 Phương pháp biến phân toán với biên gắn chặt 1.2 Các toán biến phân với biên động vài toán khác 1.3 Các điều kiện đủ cực trị 1.4 Các toán biến phân cực trị vướng Chƣơng Giới thiệu phƣơng pháp gần 2.1 Lý thuyết nhiễu loạn 2.2 Phương pháp phép biến đổi tắc 2.3 Phương pháp Ritz Chƣơng Sử dụng phƣơng pháp gần để giải số toán lƣợng tử CHƢƠNG GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN 1.1 Phƣơng pháp biến phân toán với biên gắn chặt 1.1.1 Mở đầu Bên cạnh toán cần thiết phải xác định cực trị, cực đại cực tiểu hàm số z = f(x) đó, nhiều tốn vật lý thường phải tìm giá trị cực đại cực tiểu loại đại lượng đặc biệt gọi phiếm hàm Người ta gọi phiếm hàm đại lượng biến thiên mà giá trị xác định phụ thuộc vào hay vài hàm số Chẳng hạn, độ dài l cung đường cong nối hai điểm cho trước, diện tích S mặt phiếm hàm Momen quán tính, momen tĩnh học, tọa độ trọng tâm mặt hay đường cong phiếm hàm Trong tất ví dụ trên, thấy đặc trưng phiếm hàm quan hệ tương ứng hàm số với số, hàm số z = f(x) cho quan hệ tương ứng số với số Phép tính biến phân nghiên cứu phương pháp tìm giá trị cực đại cực tiểu phiếm hàm Những tốn đòi hỏi nghiên cứu phiếm hàm mặt cực đại hay cực tiểu gọi toán biến phân Nhiều quy luật học Vật lý học dẫn tới điều khẳng định là: Một phiếm hàm q trình khảo sát cần phải đạt cực đại hay cực tiểu Những quy luật thường gọi nguyên lý biến phân học hay vật lý học Nguyên lý tác dụng tối thiểu, định luật bảo toàn lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn khối lượng, nguyên lý Fecma quang học… nguyên lý biến phân hệ đơn giản chúng Ảnh hưởng lớn đến phát triển phép tính biến phân tốn sau đây: Bài toán đường đoản thời, toán đường trắc địa, toán chu vi 1.1.2 Các tính chất biến phân a, Ta có định nghĩa phiếm hàm phụ thuộc vào nhiều hàm số phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến độc lập Ta gọi số gia hay biến phân  y đối thức y(x) phiếm hàm v[ y ( x)] hiệu hai hàm:  y = y (x) – y1 (x) Trong giả thiết hàm y(x) thay đổi tùy ý lớp hàm b, Phiếm hàm v[ y ( x)] liên tục y = y0 (x) theo nghĩa lân cận cấp k với số dương  ln tìm số   cho: v[ y( x)]  v[ y0 ( x)   Khi: y ( x)  y0 ( x)   , y , ( x)  y0, ( x)   , y ( k ) ( x)  y0( k ) ( x)   Ở ta hiểu ngầm hàm y(x) lấy lớp hàm mà phiếm hàm v[ y ( x)] xác định c, Phiếm hàm L [y(x)] gọi phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn điều kiện: L c y  x   c L  y  x  (c số tùy ý) điều kiện: L  y1  x   y2  x   L  y1  x   L  y2  x  d, Nếu số gia phiếm hàm: v  v[y( x)   y]  v[y( x)] , biểu diễn dạng v  L[y( x), y]   ( y( x), y) max  y 56  m x H   , 2m x 2 m khối lượng hạt,  tần số góc dao động Để chọn hàm thử, ý lúc x   hàm sóng phải khơng Hơn nữa, hàm sóng trạng thái phải khơng có nút Do tìm      ( x, )  A exp    x  Chuẩn hóa hàm thử   * ( x, ) ( x, )dx     A2  exp   x dx   Sử dụng tích phân Poisson  I 2n  x n  x e  dx  (2n  1)!!  ; n  0,1,2, 2n  n1   4 Ta tính A      Tính tích phân: J ( )   * H dx  A 2  m x     2 exp   x      2m x2   exp    x  dx  2    2           exp    x    exp    x  dx          2m x    57  m x  exp   x dx         2     2   2       exp    x    exp    x    x exp    x   dx     2m             m   x exp   x dx      2      2 2         exp   x    x exp   x  dx     2m       m   x exp   x dx      1 2       2    2  2      exp   x dx        x exp   x dx     2m       2m       m   x exp   x dx      Sử dụng tích phân Poisson I2n , ta tính được:  2 m  J ( )    , 4 m   Cực tiểu J ( ) tương ứng với giá trị   m trạng thái E0  J ( )  Còn hàm sóng tương ứng có dạng  , lượng 58  m x   m   ( x)   exp        Để tính lượng hàm sóng trạng thái kích thích thứ nhất, cần phải lấy hàm thử  trực giao với  Hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện      ( x,  )  Bx exp    x  Chuẩn hóa hàm thử:   * ( x,  ) ( x,  )dx    B x exp    x dx   3 Sử dụng tích phân Poisson I2n , ta tính được: B   Ta tính tích phân J (  )   * H dx  B 2  m x     2 x exp   x    x exp    x  dx        2m x     m  (tương tự J ( ) )    4 m   Cực tiểu J (  ) tương ứng với giá trị   m trạng thái kích thích thứ E1  J1 ( 0 )  Còn hàm sóng trạng thái  Do lượng 59  m x     m   ( x)   x exp             Bài Tính lượng hàm sóng trạng thái trạng thái kích thích thứ ngun tử Hiđrơ Lời giải Tốn tử Hamilton ngun tử Hiđrơ có dạng e2 H    2m r Trong trường đối xứng xun tâm, moment xung lượng có gía trị xác định Trong trạng thái bản, moment xung lượng không Do đó, hàm sóng phụ thuộc vào r không phụ thuộc vào xung lượng Khi r   hàm phải tiến đến khơng, viết hàm thử dạng  (r )  A exp( r ) Chuẩn hóa hàm thử   dV  *  A2  exp(2 r )dV    2 0  A  r exp(2 r )dr  sin  d  d  2   4 A  r exp(2 r )dr  Sử dụng tích phân Poisson  Jn  n  r  r e dr  ta tính n!  n1 , 60  r exp(2 r )dr  4 Do  A2 1 3 Suy ra: A2  3  Tính tích phân: J ( )   * H d V  e2   A  exp(  r )      exp(  r )dV r   2m  r r  3e2 2  r  e  (e )dV  e dV 2 m   r 3  3e  I1  I 2 m  Tính tích phân thứ I1   e  r  (e  r )dV   e  r  (e  r )dV   e  r (  2e  r )dV    e2  r dV   e  2 0 r dr  sin  d  d 2  r 61  4  e 2  r r dr Sử dụng tích phân Poisson J n , ta tính được: I1    Tính tích phân thứ hai I   e2  r dV r   e 2  r  2 0 rdr  sin  d  d   4  e2  r rdr Sử dụng tích phân Poisson J n , ta tính được: I  4 4   2 Thay giá trị vào biểu thức J (  ) ta 2 3  3e2  J ( )   I1  I2   e2  2 m  2m Từ điều kiện cực tiểu J (  ) ta xác định thông số biến phân   a  Thay giá trị  vào biểu thức J ( ) a me R(r ) ta tìm lượng hàm sóng trạng thái nguyên tử e2 me4  r exp    E1s  J ( 0 )     ;  1s (r )  2a  a  a3 62 Chúng ta tính lượng trạng thái kích thích thứ 2s Hàm thử chọn dạng hàm phụ thuộc vào hai thông số:   r  ar   s (r )  B 1    e a  Chuẩn hóa hàm sóng   s dV  * 2s  r   r    2a r  B  1  2     e dV   a  a    2  r   r    2a r  B  1  2     e dV   a  a    2 2 r   2 r  r  2a r r   a a  B   e dV   2 e dV     e dV   a  a     2   2    2 r 2  2 r  B   e a r dr  sin  d  d   e a r  sin  d  d a 0 0 0        e a 0 2 r a  sin  d  d  0 0     r 2  a3 2 6a  24a5   4 B    1 5 (2  ) a (2  ) a (2  )     3    a B   3         B2  2    3  3  a   5    Từ điều kiện trực giao  2*s 1s d  , 63 r  r  ar  a   B 1    e e dV  a   a3   1  r a  r    B     a  e  a3  dV    1    a1 r   r     a  B e dV  re dV  0   a  a   2    a1 r     B r e dr sin  d  d   0 0   a3   B    a a 3 re   1   r  a   2 0 dr  sin  d  d  4  2a3  6a  B  0  4  a3  (  1) a (  1)      (1   ) Thay giá trị vào biểu thức B2 ta B2  1     (1   )  (1  2   )    a3        3 B   a (1     ) Bây tính tích phân J ( )   2*s H s d r  ar  e2   r  ar   B  1    e      1    e dV a r  a   2m 64    r  ar  r  ar   B    1    e  1    e dV a a  2m      e2   r   2a r  B    1    e dV a  r  2    r  ar  r  ar   B2     e        e dV m a a          2   2   2 r B e       r  e a dV  r a  a   2   2  B   I3  B e I  2m  Tính r  ar  r  ar   I   1    e  1    e dV , a a    Đặt r  r  ar r ar  a U (r )  1    e  e   e  f (r )  g (r ) a a  Ta chứng minh 2U (r )  2  f (r )  g (r )  f "(r )  2 f '(r )  g "(r )  g '(r ) r r mà f '(r )   g '(r )   e a  r a   a re   r a a e  r a f "(r )  2 a e  r a   2   ar  g "(r )     r  e , a   a  65  U (r )  2 e a2  r a  ar  2   ar   ar  ar   e     r e   e  re  r a a  r a a  a     4 2(   )   ar  U (r )     r e a a   Khi r     4 2(   )    2a r  I   1       r e dV a  a2 a      4 2(   )    2a r     r e dV a a      4 2 2 (   )  2 2   2a r   r  r e dV a3 a2 a       4  r e a2   a3 r e  2 r a  2 r a  2  2 2 r  2(   ) dr  sin  d  d  re a dr  sin  d  d  a 0 0  2 0 dr  sin  d  d      4 2  2 a3 r e  2 r a  2 0 dr  sin  d  d  2 2 (   )  2a r  2  2a r  0 r e dr 0 sin d 0 d  a4 0 r e dr 0 sin d 0 d a2    2 r     4   2a r 2(   )    2a r  a  4  r e dr  re dr   r e dr    a a a 0       4 2   2a r 2 (   )  2a r  2   2a r  4  r e dr  r e dr   r e dr    a a a 0   Sử dụng tích phân Poisson J n ta tính    4 2a3 2(   ) a  6a  I  4    8 a 4 a 16   a    4 2 6a 2 (   ) 2a3  2 24a5  4    4 a 16  a  a 32   66 1       a  a    Tính  2   2   2 r I4        r  e a dV  r a  a    2a r 2  2a r   2a r   e dV  e dV   re dV r a  a    re  2 r a  2  a2 2  2 2  2a r dr  sin  d  d  r e dr  sin  d  d a 0 0 0 r e   2 r a   2 0 dr  sin  d  d     2a r 2  2a r    2a r   4   re dr  r e dr   r e dr   a a 0 0  Sử dụng tích phân Poisson J n ta tính 2   2   I4      a  ,       Vì   2 J ( )  B    I3  B e I  2m  1 2               a  a   B 2e2   2   a 2  B2       3     2m           67 1            ae   3 a  a        a (1     )         2   3 2   2  e    a   a (1     )        3e2      2 3e2       2   2  2  a(1     ) a(1     )   3e2    (2   )  (4   )  3 2    2a(1     )  3e2         (1   )     2a(1     )     3e2  4 1 2 2   (1   )  (1   )   (1   )    2a(1     )    3e2 7  10  7  3  2a(1     ) e2  7  10  7  3   6a(1     ) Suy e2 (28  30  14  3)(1     ) J '( )  6a (1     )2 e2 (2  1)(7  10  7  3 )  6a (1     )2 e2   42  85  96  60  20  3 6a 68 e2  (  )  42  64  64  28   6a J '( )       Cực tiểu J ( ) ứng với giá trị   , đồng thời 1    (1   )   Thay giá trị vào biểu thức  2s J ( ) ta  r   e2 me4 2 E2 s  J ( )     ;  s  (8 a )    e a 8a  2a  r 69 PHẦN III KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu đề tài, luận văn hoàn thành nhiệm vụ đề ra: Luận văn giới thiệu nét phép tính biến phân Luận văn đưa phương pháp gần sử dụng giải số toán lượng tử Thơng qua lí thuyết, luận văn khảo sát giải chi tiết toán: hạt chuyển động hố thế, dao động tử điều hòa chiều, nguyên tử Hiđrô Qua thời gian thực đề tài nghiêm túc khẩn trương, em bước đầu tìm hiểu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học Mặc dù cố gắng, đề tài em không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong thầy giáo bạn đọc đóng góp ý kiến để đề tài em hoàn thiện Luận văn đề cập đến phương pháp sử dụng phương pháp biến phân để giải tốn tìm mức lượng trạng thái lượng thấp Phương pháp hữu ích việc nghiên cứu giải tốn lượng tử thực, có ý nghĩa khoa học cao Luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học học môn học lượng tử 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Lương Dun Bình, 2007 Vật Lí Đại Cương, Tập Nhà xuất giáo dục [2] Cấu Tạo Nguyên Tử Liên Kết Hóa Học, 2006 Tập + Nhà xuất giáo dục [3] Hoàng Dũng, 2002 Bài tập Cơ Học Lượng Tử Nhà xuất Đại học Quốc gia [4] Trần Thái Hoa, 2005 Cơ học lượng tử Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Vũ Văn Hùng, 2006 Giáo trình Cơ Học Lượng Tử Nhà xuất Đại học Sư phạm [6] Đặng Quang Khang, 1996 Cơ Học Lượng Tử Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [7] Ngô Quốc Khánh, 2002 Lý Thuyết Hệ Nhiều Hạt Nhà xuất Đại học Quốc gia TIẾNG ANH [8] A.N Matvêev, 1980 Cơ Học Lượng Tử Cấu Trúc Nguyên Tử (Phan Như Ngọc dịch) Nhà xuất giáo dục [9] D Orir, Vật Lý Đại Chúng, 1978 Tập (Đoàn Nhượng dịch) Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [10] Ronald Gautreau - William Savin, 1983 Vật Lý Hiện Đại (Ngô Phú An Lê Băng Sương dịch) Nhà xuất MC Graw Hill, Newyork [11] Đavưdov, 1971 Cơ lượng tử (Đặng Quang Khanh dịch) Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [12] L E Engơn, 1974 Phép tính biến phân (Hoàng Tấn Hưng dịch) Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội ... phương pháp biến phân để tìm lượng hàm sóng số toán học lượng tử làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khai thác sử dụng phép tính biến phân vào việc tìm lượng hàm sóng số toán. .. Môn học lượng tử ứng dụng phép tính biến phân việc giải số toán lượng tử Phạm vi nghiên cứu: Một số toán học lượng tử việc tìm lượng hàm sóng hạt Phƣơng pháp nghiên cứu Vật lý lý thuyết Vật lý toán. .. lý thuyết Vật lý toán Các ứng dụng toán để giải toán học lượng tử 3 Cấu trúc luận văn Đề tài Sử dụng phương pháp biến phân để tìm lượng hàm sóng số tốn học lượng tử có kết cấu gồm phần: phần