Sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn

Trong luận văn này tác giả sẽ trình bày chi tiết cách biến đổi để sáng tạo và giải một hệ phương trình với từng loại phương pháp giải.. Nội dung chương này gồm hai phần là sáng tác và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – năm 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số :60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - năm 201

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 5

i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I 5

i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II 5

i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát 5

1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT 6

1.3 GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 7

i.1 Giải phương trình trùng phương ax4bx2 c 0 7

i.2 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d       ex2 7

i.3 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d       m 7

i.4 Giải phương trình dạng   4 4 x a  x b c 7

1.4 CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP 8

1.5 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 8

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10

2 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC 10

Bài tập tự luyện 18

2 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ 19

Bài tập tự luyện 30

2 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ DENTA LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC 30

Bài tập tự luyện 40

2 4 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬ CHUNG 40

Bài tập tự luyện 52

2.5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP 53

Bài tập tự luyện 63

CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 65 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

3

LỜI NÓI ĐẦU

Hệ phương trình là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của hệ phương trình đã có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Ngày nay, hệ phương trình vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện dày đặc trong các kì thi quốc gia, quốc tế Giải quyết hệ phương trình hầu hết các học sinh thường chỉ biết sử dụng kinh nghiệm giả toán nhờ vào việc đã gặp hướng giải quyết trước đó mà quên mất rằng mọi thứ đều có nguyên do của nó Chúng ta có thể bắt gặp rất nhiều tài liệu nói

về phương pháp giải hệ phương trình nhưng có rất ít tài liệu chỉ ra nguồn gốc vào bài

hệ phương trình đó ? Ai là người nghĩ ra và nghĩ như thế nào để có một bài giải hệ

phương trình Chính vì lí do đó tác giả đã lựa chọn đề tài“Sử dụng phương pháp biến

đổi để giải hệ phương trình hai ẩn” Trong luận văn này tác giả sẽ trình bày chi tiết

cách biến đổi để sáng tạo và giải một hệ phương trình với từng loại phương pháp giải

Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều các bài toán giải hệ phương trình với các mục đích khác nhau

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả sẽ nhắc lại cách giải một

số hệ phương trình cơ bản như hệ phương trình đối xứng loại I loại II, và cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn mà người đọc cần nắm vững

Chương 2 Một số phương pháp biến đổi để sáng tác và giải hệ phương trình Nội

dung chương này gồm hai phần là sáng tác và giải hệ phương trình bằng cách biến đổi Với mỗi phần tác giả đều lấy các bài toán minh họa phương pháp sau đó ta sẽ vận dụng để sáng tác các bài toán theo mong muốn Sau khi hiểu ý tưởng sáng tác các bài toán ta sẽ đứng trên góc nhìn của một người đã từng ra đề để dự đoán ý tưởng ra đề của tác tác giả khác để có lời giải các bài toán một cách tự nhiên nhất

Chương 3 Một số bài toán trong các đề thi học sinh giỏi Trong chương này tác giả sẽ

4

hệ thống lại một số bài toán xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh và đề thi học sinh giỏi quốc gia Cuối chương còn có một số bài tập để bạn đọc tự luyện

Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu

sắc tới T.S Phạm Văn Quốc , thầy đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo, tận tình giúp

đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu

Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện và phong phú hơn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, năm 2016

Nguyễn Thị Hường

5

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I

Hệ phương trình đối xứng hai ẩn loại I là hệ phương trình chứa hai ẩn x y, mà khi ta thay đổi vai trò x y, cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi

Khi đó , ta đưa hệ phương trình về hệ mới chứa S P,

Bước 3 : Giải hệmới tìm S P, Chọn S P, thỏa mãn điều kiện S2 4P

Bước 4 : Với S P, tìm được thì x y, là nghiệm của phương trình X2 SX P 0

i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x y, mà khi đổi vị trí của x y,chonhau thì phương trình này trở thành phương trình kia Tức là hệ có dạng

i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát

Xét hệ phương trình đối xứng bậc hai dạng

6

hai biến và thế vào phương trình còn lại Thế nhưng nếu cả hai phương trình đều cho denta không chính phương ta cần phải sử dụng tới phương pháp tìm hệ số bất định – UCT Ta sẽ lựa chọn hằng số thích hợp nhân vào một phương trình rồi cộng đại số với phương trình còn lại thì sẽ ép được cho biệt thức denta chính phương Tức là tìm một

số k sao cho PT 1 k PT.  2 

Ta sẽ làm theo các bước sau

Đặt a a 1 ka2;b b kb 1 2;c c 1 kc2;d d 1 kd2;e e 1 ke2; f  f1 kf2

Khi đó k là nghiệm của phương trình sau cde 4abf ae  2bd2 fc2 với a 0 

1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT

Xét phương trình bậc ba có dạng tổng quát x3ax2bx c 0 1 Tác giả xin trình bày vắn tắt cách tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp Cardano

 Thay

3

p v u

 vào

phương trình thứ nhất trong  3 ta có 3 3

3 27

p

u

  Phương trình này tương đương

với phương trình bậc hai với u3 Khi đó ta 3 2 3

i.1 Giải phương trình trùng phương ax4bx2 c 0

Giải Đặt t x t 2, 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với at2  bt c 0 Đây là một phương trình bậc hai với biến t, ta dễ dàng tìm ra t và suy ra được x

i.2 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d       ex2có ad bc m 

Giải Trường hợp 1 x 0 có phải là nghiệm không ?

Đây là một phương trình bậc hai với biến u, ta dễ dàng tìm ra u và suy ra x

i.3 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d       m có a b c d    p

Giải Phương trình đã cho tương đương với x2px ab x  2 px cd m

4

p

t x px t Phương trình trở thành t ab t cd   m

Đây là một phương trình bậc hai với biến t, ta dễ dàng tìm ra t và suy ra x

i.4 Giải phương trình dạng   4 4

Giải phương trình trùng phương này ta sẽ tìm được biến y và suy ra biến x

i.5 Giải phương trình x4 ax2bx c

Giải Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng A2 B2 để giải

Phương trình đã cho tương đương với phương trình  2 2   2 2

n

a a

Định lí 3.Nếu hàm số f x  xác định trên một tập Kvà hàm số f x  luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) Khi đó với mọi a b, thuộc tập Kthỏa mãn f a  f b khi và chỉ khi a b

10

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Biến đổi phương trình là một phương pháp rất quan trọng trong các phương pháp giải

hệ phương trình Ta có thể sử dụng biến đổi này giúp ta đơn giản các hệ phương trình phức tạp qua đó lời giải bài toán trở nên dễ dàng hơn Trong các cách biến đổi đó, tác giả sẽ trình bày về phép biến đổi tạo thành hằng đẳng thức Qua đó ta dễ dàng sử dụng được tính chất các hằng đẳng thức để tháo nút thắt của các bài toán

2 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH

HẰNG ĐẲNG THỨC

Trong phần này tác giả sẽ trình bày cách sử dụng một số tính chất của các hằng đẳng thức, từ đó ta sẽ sáng tác và giải các hệ phương trình, tìm ra mối liên hệ của các nghiệm để giải hệ

ta đi sáng tác phương trình thứ hai, giả sử chọn nghiệm trước của hệ phương trình là 2

x  , ta có thể lấy phương trình chứa căn như sau x2 3x 9 x 1 0 Vì khi giải được phương trình thứ nhất ta sẽ thế y x 1nên thay ngược lại ta có phương trình

2 3 9 2 3

x  x  y x  Vậy ta có bài toán sau

Bài toán 1 Giải hệ phương trình

11

Giải Điều kiện: 2y x  3 0

Phương trình thứ hai của hệ tương đương   3 3

x  y   y x Thay y x 1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

Với x  2 y 3 Đối chiếu lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y ; 2;3

Nhận xét: Thực sự bài toán này không khó, nhưng đây chính là ý tưởng tự nhiên của

các tác giả sáng tác cho các bài dạng này, nếu muốn bài toán khó hơn ta chỉ việc đi chọn mối liên hệ của biến phức tạp rồi sau đó biến đổi tương đương các phương trình chứa hằng đẳng thức này là xong Ta sẽ thử đi làm một bài toán khác khi đã biết được

ý tưởng sáng tác của bài dạng này như nào

Bài toán 2 Giải hệ phương trình    2 2   2 2

Phân tích: Với hệ này ta thấy phương trình thứ hai có vế trái là căn thức, vế phải là đa

thức bậc hai nếu muốn bỏ căn thì phải bình phương hai vế sẽ rất phức tạp Xét phương trình thứ nhất là một phương trình đa thức bậc ba với cả hai biến hơn nữa khi cô lập hai biến lại có khả năng xuất hiện hằng đẳng thức là rất cao với bộ số tỉ lệ 1: 3: 3 nên

ta sẽ dồn suy nghĩ vào giải phương trình thứ nhất của hệ Ta có lời giải cho bài toán trên như sau

Giải Điều kiện 2; 16

3

x  y Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với   3 3

x  y   y x Thế y x 2vào phương trình thứ hai ta được

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y ;      2;0 , 1; 3    

Tính chất 2.Nếu ta có A2   0 A 0

Với ý tưởng này ta sẽ đi xây dựng một hệ gồm hai phương trình trong đó phương trình đầu sẽ mang mối liên hệ giữa các biến và phương trình thứ hai sẽ cho nghiệm chính xác Giả sử ta chọn hai nghiệm trước là x 1 và y 1 khi đó giá trị biểu thức

Bài toán 3 Giải hệ phương trình

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y ; 1;1

Nhận xét : Muốn nâng dần độ khó của bài toán dạng này, ta sẽ đi chọn một biểu thức

sao cho mối liên hệ giữa các biến phức tạp sau đó rồi biến đổi tương đương để làm loạn lên là được

Ví dụ ta thử sáng tác khó hơn như sau, trước tiên chọn nghiệm của hệ là x 1 và

Bài toán 4 Giải hệ phương trình

Giải Điều kiện x0;y3;x y

Bình phương hai vế phương trình thứ hai ta được

 

x y   x y xy x y  x y  3 2 x y   3 1 0

Với x  1 y 4 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trinh có nghiệm    x y ; 1;4

Trên đây là cách tự nhiên mà chúng ta đã cùng nhau sáng tác một bài toán giải hệ phương trình, với ý tưởng mà đã sử dụng ở trên ta sẽ đi dự đoán ý tưởng của tác giả để

đi tìm lời giải trong bài toán sau

Bài toán 5 Giải hệ phương trình

Phân tích : Xét trong hai phương trình thì phương trình thứ hai khá phức tạp và cồng

kềnh, phương trình thứ nhất lại có xuất hiện các bộ số tỉ lệ và mang dáng dấp của một hằng đẳng thức bậc hai khi khai triển vế phải Sau khi thấy được mối quan hệ giữa hai biến thì công việc còn lại chỉ là thế vào phương trình thứ hai và tìm ra nghiệm của bài toán là xong

Giải

Điều kiện x 0

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

x t

x   y Thử lại thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm   ; 1; 5 , 1; 8

Nhận xét : Một bài toán dạng này muốn tăng dần độ khó ta sẽ cho mối liên hệ của bài

toán trong một biểu thức phức tạp hoặc sau khi tìm được mối liên hệ đó yêu cầu người

x   y x  x y   Biến đổi tương đương ta sẽ có phương trình thứ nhất của hệ là

6x x  1 4xy  1 2 x 1 x  y y 1

Lưu ý trong quá trình chọn biều thức cần phải tìm điều kiện của các biến nếu có, đặc biệt trong trường hợp ta chọn biểu thức có chứa căn thức Giờ ta sẽ đi sáng tác phương trình thứ hai của hệ, ta cũng muốn xuất hiện một biểu thức liên hệ giữa hai biến nữa ví

dụ như 3x y 1 Do đó ta cần ép để xuất hiện phương trình  2

3x y1 0 Biến đổi tương đương phương trình này ta được 9x2y26xy2y6x 1 0

Vậy ta có bài toán sau

Giải Điều kiện x2  y 0

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhấtta được

ta chọn có phức tạp hay không Thêm một điểm đặc biệt là khi ta chọn một biểu thức

là căn thức thì biểu thức đó luôn không âm, nếu ta giới hạn ẩn để chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc luôn dương thì ta chỉ cần xét một trường hợp chứ không phải là hai trường hợp như lí thuyết bên trên

Thí dụ ta chọn A y  2 x 2 và B 4x 1 khi ta giải ra thì ta sẽ có hai trường hợp

là y 2 5x1 và y   2 3x 3 Giờ ta cho thêm điều kiện của x chẳng hạn như

x   y Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 2; 1

2 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ

Khi nghe tới tên phương pháp này chắc chúng ta đã hiểu ý tưởng của phương pháp này là sẽ kết hợp hai phương trình lại chứ không phải là đi giải riêng lẻ từng phương trình một Nhưng khi nào thì chúng ta áp dụng phương pháp này để giải bài toán ? Ở phần này tác giả không nhắc tới những bài giải hệ phương trình đối xứng loại hai vì ta

dễ dàng nhận ra được là phải trừ vế với vế của hai phương trình cho nhau , nên ta sẽ

bỏ qua dạng đối xứng này và xét những bài toán dạng khác Trước tiên để hiểu về cách sử dụng phương pháp này như thế nào ta sẽ thử đi giải một số bài toán để phát hiện ra điều này Trước tiên là một bài toán được trích ra từ đề tuyển sinh của trường

Phân tích : Khi nhìn cấu trúc của hệ này ta có một số nhận xét sau

Đầu tiên ta thấy là hệ mà đều có chứa hai đại lượng chứa căn thức khá phức tạp là

20

Vậy nếu ta cộng và trừ hai vế của hai phương trình thì sẽ có một hệ đơn giản hơn rất nhiều Với ý tưởng này ta có lời giải cho bài toán trên như sau

Giải Điều kiện x2   x y 1 0,y2   x y 1 0

Cộng và trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta được một hệ phương trình

Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm  4;4

Nhận xét Đây là bài toán tuy không khó nhưng nó đã khơi gợi sự ra đời của rất nhiều

bài toán giải bằng cách cộng trừ hai phương trình để tạo thành một hệ đơn giản hơn Mục đích của dạng này là làm biến mất đi các biểu thức phức tạp hoặc không cùng dạng với nhau, đó có thể là cùng mất đi căn thức, mất đi một biểu thức cùng xuất hiện trong hệ hoặc đơn giản là mất đi các số hạng tự do (thường xuất hiện trong giải hệ phương trình đối xứng loại hai) Khi biết được bản chất của việc cộng đại số ta sẽ đi sáng tác một bài toán thử xem sao

Giờ ta muốn loại bỏ một biểu thức cồng kềnh xuất hiện trong hệ là 4x4bằng cách cộng hai vế, khi đó dấu của biểu thức này trong hai phương trình phải trái dấu Tiếp theo, muốn biểu thức có dạng một phương trình bậc ba với biến là xy, ta sẽ làm xuất hiện các biểu thức x y3 3, x y2 2, xy Để cân bằng các đại lượng này ta chọn nghiệm trước, ví dụ như xy 1 Khi đã chọn được nghiệm rồi, ta cân bằng giá trị các đại lượng

Bài toán 2 Giải hệ phương trình

 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm     x y ; 1;1 ; 1; 1   

Phân tích : Bài toán trên là một bài toán rất cơ bản, hướng giải quyết bài toán xuất

phát từ việc muốn triệt tiêu đại lượng x4 lạc lõng Nếu dạng của hệ phương trình này giữ nguyên và thay đổi toàn bộ hệ số thì việc giải bài toán cũng không khó khăn, vì lúc đó ta chỉ cần triệt tiêu đại lượng lạc lõng đó và đưa về phương trình bậc ba với biến xy Với phương trình này ta hoàn toàn giải quyết được

a b

 Đối với hệ đẳng cấp bậc hai này ta đã có cách giải

Với một chút may mắn, bài toán đã được giải quyết hoàn toàn Tuy nhiên đôi khi ta không may mắn được như vậy, giờ tác giả sẽ trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ số bất định mà phương pháp đã được đưa ra ở chương 1 Giờ đứng dưới góc nhìn của một người giải bài toán, ta sẽ suy nghĩ như nào để có lời giải Trước tiên ta thấy cả hai phương trình của hệ này đều là phương trình bậc hai đối với biến, ta suy nghĩ ngay tới việc phân tích nhân tử ở mỗi phương trình Nhưng điều này không thực hiện được vì denta của các phương trình đối với ẩnxhay y không phải là số chính phương Tới đây

ta sẽ nghĩ ra các khử các đại lượng bình phương nhằm mục đích thế ẩn vào phương trình còn lại

Trong bài này ta có thể đặt ẩn phụ nhằm đưa phương trình này về một hệ phương trình đẳng cấp, nhưng để tổng quát hóa bài này ta bằng phương pháp hệ số bất định để ghép hai phương trình tạo thành một phương trình bậc hai có đenta chính phương.Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với k rồi cộng vế với vế phương trình thứ nhất ta được

k k k

Giải Lấy phương trình thứ hai nhân với  1 và cộng với phương trình thứ hai ta đượcxy3x y 28y17 0 2

3

8 17

3

24

dụng phương pháp này để giải quyết hoàn toàn bài toán Tới đây lại nảy sinh vấn đề nếu có được hệ dạng này ta sẽgiải ra được, vậy nếu muốn có hệ này tác giả sẽ phải xây dựng từ đâu Tới đây tác giả sẽ trình bày một cách để tạo ra hệ kiểu này Ở đây tác giả

sử dụng ý tưởng xuất phát từ tính chất A3 B3  A B Muốn có biểu thức liên hệ giữa các biến là y2x3 hay 2x  1 y 2 bằng cách ép xuất hiện phương trình cuối

Suy ra nếu tìm được cặp  x y; thỏa mãn phương trình 8x3y363 0 thì  x y; cũng

là nghiệm của phương trình 2x2y2 2y x  9 0 Từ đó ta có hệ phương trình sau

Bài toán 4 Giải hệ phương trình

Phân tích : Trong khi lập phương trình ta đã biết phải nhân cả hai vế của phương trình

thứ hai với 6 nhưng dưới góc nhìn của một người phải giải bài toán thì làm thế nào ?

Ta có những phân tích trước bài toán như sau, đây là một hệ ngắn gọn nhưng qua cấu trúc này thì không thể sử dụng được phép thế và phương trình thứ hai của hệ không phải là một phương trình có đenta chính phương Do đó ta phải đi tới ý tưởng kết hợp

cả hai phương trình lại để nhóm được nhân tử Tức là ta sẽ nhân một phương trình với một số k và cộng đại số với phương trình còn lại

Vì phương trình thứ nhất có bậc cao hơn nên ta ưu tiên giữ phương trình này lại và nhân k vào phương trình thứ hai Ta có 8x3 y3  63 k2x2 y2  2y x  9 0 Vì các biến phân li với nhau nên ta có thể hi vọng biến đổi về phương trình có tính đối xứng có dạng   3 3

2x a  y b Khi đó ta chọn k a b, , sao cho

Vậy hệ phương trình có nghiệm    ; 2;1 ; 1; 4

để sáng tác một bài toán với dạng này Ta đi giải bài toán sau

Bài toán 5 Giải hệ phương trình

Phân tích Nhìn hệ này có vẻ rất đơn giản, phương trình thứ nhất của hệ đã cô lập hai

biến về hai vế, phương trình thứ hai là một phương trình bậc hai đối với cả hai biến nhưng thực sự đây là một bài hệ phương trình rất hay Với suy nghĩ ban đầu là sử dụng hàm số đặc trưng để giải phương trình thứ nhất của hệ rồi thế vào phương trình thứ hai hoặc là phân tích phương trình thứ hai thành nhân tử, nhưng tất cả đều đổ vỡ Thứ nhất, không đưa phương trình thứ nhất về giải theo cách dùng hàm số đặc trưng

vì không tìm ra được cách đặt, thứ hai là phương trình thứ hai không có đenta chính phương với cả hai biến Giờ ý tưởng đã đi vào bế tắc Nhưng vì đối với phương trình đối xứng có chứa căn này chính là khử căn, vậy sao ta không thử mối liên hệ của hai căn x 2 và 2y 1 xem sao Nếu x 2 2y  1 x 2y1

Khi đó đặt f x ; y  2x2  x x  2 2y2  y 2y 1

Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    ; 1;1 ; 1; 2

Nhận xét : Nếu ta muốn ép xuất hiện mối liên hệ giữa các biến thì cách sử dụng ý

tưởng này để sáng tác các bài toán theo lớp thực sự rất hay và độc đáo Giờ ta thử sáng tác một bài tập theo hướng này nhé

Trước tiên ta xác định mối liên hệ của hai biến là 2x3y0 Trước tiên ta sẽ cho một phương trình 8x330y32xy4y2 4 0 Với ràng buộc 3

Vậy ta có bài toán sau

Bài toán 6 Giải hệ phương trình

Trước tiên cấu trúc hệ này không dễ để xác định là ta sẽ phải đi giải phương trình nào Trước tiên ta hãy biến đổi để hệ dễ nhìn hơn bằng cách phá tung ngoặc, chuyển vế với phương trình thứ nhất và trục căn thức ở phương trình thứ hai Bây giờ trong hệ của ta chỉ còn xuất hiện một căn thức 2x3y4 ở phương trình thứ hai, còn lại là các biểu thức đa thức mà vế phải của phương trình là một số nguyên, nên ta dự đoán nếu mà

2x3y là các số vô tỉ thì 2x3y4là các số vô tỉ thì khả năng xảy ra dấu bằng của phương trình thứ hai là rất thấp Chính vì thế ra dự đoán căn thức 2x3y4 là một

số chính phương suy ra 2x3y phải là các số đẹp Trước tiên ta thử với

Thật may mắn đây chính là điều chúng ta cần tìm Vậy ta có lời giải sau

Giải Điều kiện y0;2x3y 4 0

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

  Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 3;1

2

 

Nhận xét : Đây là một bài toán rất khó muốn giải được bài toán trên phải kết hợp

nhiều kĩ năng, với những bài toán có căn thức này thường các tác giả sẽ phải có các biểu thức đánh giá thuận lợi và thêm một điều mà tác giả muốn gửi tới là trong khi giải đôi khi cần có một chút may mắn để giải bài toán Thêm một điều nữa, với những bài toán mang tính sáng tạo này cũng không nên làm quá khó vì như thế lời giải mang tính ép buộc, không tự nhiên và tính cá nhân của người ra đề

29

Để kết thúc phần trình bày trong phần này tác giả sẽ gửi đến người đọc một bài tập khác cũng phải kết hợp hai phương trình trong hệ để giải, nhưng theo một cách khác

là nhân hai vế của phương trình lại với nhau Ta đi tìm hiểu bài toán sau

Bài toán 7 Giải hệ phương trình

Đây là một hệ có hai phương trình là các đa thức bậc ba và dễ dàng tìm được mối liên

hệ giữa hai biến nhưng không thể thế vào được vì khi đó biểu thức sẽ rất lớn.Một hướng ý tưởng khác là trừ hai vế để tìm được nhân tử chung, nhưng cách này cũng khó vì hệ số tự do không triệt tiêu được với nhau Tới đây ta sẽ cố tách vế phải của hai phương trình nhờ nghiệm của phương trình bậc ba, nhưng cũng không cho được nghiệm nguyên, ta làm theo mẹo sau, nếu chuyển các số hạng tự do sang vế phải của phương trình thì phương trình thứ nhất ta có nghiệm xấp xỉ là 2,87; 1,14; 2,72  ,còn phương trình thứ hai ta sẽ dược nghiệm xấp xỉ là 3,14 Ta sẽ lấy số tự nhiên ở giữa hai

số 2,87 và 3,14 là 3 Tới đây ta thử lại có

Chính vì thế ta có lời giải cho bài toán trên như sau

Giải Biến đổi tương đương hai phương trình của hệ ta được

Thử lại chỉ thấy cặp    x y ; 3;3 thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y ; 3;3

30

Nhận xét : Giải hệ phương trình bằng cách cộng đại số thực chất mang bàn chất của

phương pháp biến đổi để giải phương trình Với hệ ban đầu khi may mắn ta có thể trực tiếp biến đổi để phân tích thành hệ đơn giản hơn, còn với phương pháp cộng đại

số này thì ta chưa sử dụng phép biến đổi trực tiếp được mà phải thông qua việc cộng đại số hai phương trình thì mới giải quyết được

Bài tập tự luyện

Giải các hệ phương trình sau

Bài tập 1

2 2

Trong phần này tác giả sẽ trình bày cách sáng tác các bài tập đưa về phương trình bậc hai có đen ta là số chính phương, lưu ý không nhất thiết là phương trình đó phải có bậc hai mới sử dụng được Bản chất cơ bản của việc giải bằng cách sử dụng biệt thức đenta cũng chính là việc xác định nhân tử chung nếu có Trong trường hợp biệt thức đenta không phải là số chính phương thì ta có cố gắng mấy thì cũng không thể phân tích được nhân tử Chính vì thế đây chính là phép thử rất tốt giúp ta dự đoán được nhân tử chung ( nếu có) Giờ chúng ta hãy thử đi xét hai bài tập này trước để hiểu sơ

   Suy ra phương trình có nghiệm là y x 1

Thay y x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Với x   0 y 1 Thử lại thấy thỏa mãn

Với x    1 y 2 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm  x y ;  0; 1 , 1; 2     

Bài toán 2 Giải hệ phương trình

Nghiệm này trùng với nghiệm trên

Vậy hệ phương trình có nghiệm là    x y ; 3;5

Nhận xét : Qua hai bài toán trên cho thấy rằng không phải lúc nào bài toán đưa về

phương trình bậc hai phải là một phương trình có bậc bằng hai, mà phương trình đó chỉ cần có bậc hai với biến mà ta lựa chọn Ý tưởng sáng tác bài toán dạng như này

33

không khó, ta sẽ thử đi sáng tác một bài dạng này

Trước tiên phương trình cần lập là một phương trình bậc hai đối với biến y, tiếp theo

ta cần chọn một biểu thức denta chính phương trước Giả sử ta chọn biệt thức

để sáng tác phương trình thứ hai, khi đó ta phải chấp nhận mối liên hệ y 1 x2 sẽ cho nghiệm (nếu có) không được đẹp như ý muốn được

Phương trình thứ hai tác giả muốn lấy ý tưởng cách giải dựa trên tính chất hàm số đặc trưng, ở đây tác giả chọn hàm đồng biến là f t t t2 3 2 và cho xuất hiện phương trình có dạng f 2x 1 f 3x

Biến đổi tương đương phương trình này ta đc phương trình thứ hai của hệ là

 2     2 

3 2y  9x  3 4y2 1 x x  1 0

Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 3 Giải hệ phương trình

3 1x 2 9x  3 4x 6 1 x x  1 0 Phương trình này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  1; 1

5 5

x y    

 

Nhận xét : Việc chọn biến có phức tạp hay không để sáng tác phương trình là yếu tố

then chốt quyết định xem bài toán có phức tạp hay không, nếu muốn bài toán nâng cao

độ khó ta chỉ cần xét với những biến phức tạp là được Bên cạnh đó việc lựa chọn biệt thức đenta cũng góp phần không nhỏ nâng cao độ khó bài toán, với những trường hợp

mà biến số không thuận lợi với biệt thức denta trong việc rút thế tìm mối quan hệ với biến sẽ là một bài toán không hề đơn giản Chính vì vậy khi sáng tác thì ta cần phải tránh trường hợp này để làm cho bài toán không phải là bài đánh đố người giải Sau đây tác giả sẽ sáng tác một bài toán liên quan đến việc chọn biến là căn thức Ta chọn biến trong bài toán này là x 2 1 và biệt thức  2

4y 3

   Khi đó ta biến đổi được thành  2  

x x y y  Vậy ta có bài toán sau

Bài toán 4 Giải hệ phương trình   2 2

Với y  1 x 0 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y ; 0;1

Để nâng dần bài khó lên nữa, ta sẽ làm theo hai bước : một là, lựa chọn một biến không đơn giản như x y, , f x , do người giải sẽ dễ nhận biết được biến ; hai là chọn một biệt thức đenta cồng kềnh hơn Ví dụ như ta chọn biến của phương trình bậc hai ở đây là y 1 và biệt thức  4 2

' 2x 1

   Với cách chọn biến y 1 thực sự sẽ làm bài toán khó lên rất nhiều do khi phân tích người đọc sẽ ít để ý tới thêm hằng số vào biến.Giờ ta có thể phân tích biệt thức  4  2 4 2 2 6 2

36

 

2

2 3

Chọn x   2 y 13.Khi đó cặp  x y ; 2; 13  là nghiệm của phương trình

2

2 x 1 3x   4 y x y72

Từ đó ta có bài toán sau

2 3

Giải Điều kiện x1;y 4

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

x y x



   Vì x   1 y 2

Mà theo điều kiện ta có y  4.Suy ra không tồn tại giá trị thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm   x y ; 2; 13 

Nhận xét : Qua những bài sáng tác ở trên, tác giả hi vọng người đọc đã nắm được

phương pháp sáng tác một bài tập dạng như này, do việc chọn biến và biệt thức đenta nên ta hoàn toàn sáng tác được các lớp bài toán với độ khó tăng dần tùy để thỏa ý tác giả Giờ ta sẽ mang những ý tưởng bên trên để tìm ý tưởng của tác giả của các bài toán sau

Bài toán 6 Giải hệ phương trình

Phân tích : Trong hai phương trình của hệ ta thấy phương trình thứ hai có thể thế biến

dễ dàng là y4x2 5x 3x nhưng khi thế vào phương trình đầu của hệ thì lại quá 1phức tạp nên ta không thể giải theo cách này được Để ý kĩ thấy đây là một phương trình đa thức bậc ba với biến y và bậc hai với x Vì lợi thế bậc nhỏ hơn nên việc phân tích theo biến x gần như sẽ đơn giản hơn Chính vì thế ta sẽ biến đổi tương đương để đưa về thành phương trình bậc hai đối với biến x

Ta có lời giải cho bài toán như sau

Giải Điều kiện 1

4x  3x  1 13x   5 0 2x 3   3x   1 x 4

Thử lại nghiệm thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 11 73;6 73 , 15 97;10 97

Nhận xét : Nhờ việc đã dự đoán được ý tưởng của tác giả bài toán từ trước nên việc

giải bài toán trên đã làm bài toán dễ dàng đi rất nhiều Còn việc giải phương trình khi thế mối quan hệ của hai biến vào là đòi hỏi phải có sự tinh tế trong quan sát và nắm được một số phương pháp cơ bản trong việc đặt ẩn phụ trong giải phương trình Ta sẽ

đi xét tiếp một bài toán nữa để kết thúc phần giải hệ phương trình bằng cách đưa về phương trình bậc hai tại đây

Bài toán 7 Giải hệ phương trình

2 2

Phân tích : Với cấu trúc trong bài toán này ta sẽ phải đi giải phương trình thứ nhất của

hệ, vì phương trình thứ hai có bậc của các biểu thức quá lộn xộn, không có điểm chung Xét phương trình đầu tiên của hệ, ta thấy biểu thức trong căn có đại lượng