Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 59 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
59
Dung lượng
309,08 KB
Nội dung
Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận "Ứng dụng của cơ sở Gr¨obner để giải hệ
phương trình đa thức", ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận được
sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học tự
nhiên, Trường Đại học Quảng Bình trong suốt thời gian thực hiện khóa
luận này. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
- Th.S Trần Mạnh Hùng, giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, Trường
Đại học Quảng Bình. Thầy đã giành nhiều thời gian quý báu tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo,
cô giáo trong Khoa Khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè đã luôn sát
cánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá
trình học tập cũng như trong khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận
này.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện
cả về nội dung lẫn hình thức nhưng vẫn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Nên tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Trần Thị Viễn
1
Mục lục
Lời cảm ơn
1
MỤC LỤC
2
MỞ ĐẦU
4
1 Kiến thức cơ sở
8
1.1
Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4
Cơ sở Gr¨obner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1
Thứ tự từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2
Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . 22
1.4.3
Thuật toán chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4
Tiêu chuẩn Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.5
Thuật toán Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
2 Ứng dụng của cơ sở Gr¨
obner để giải hệ phương trình đa
thức
32
2.1
Đa thức bất khả quy và phân tích duy nhất . . . . . . . 32
2.2
Căn của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3
Căn của iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4
Căn của ideal chiều 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5
Định lí Hilbert về không điểm . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6
Nghiệm của hệ phương trình đa thức . . . . . . . . . . . 45
2.7
Cách giải hệ phương trình đa thức
. . . . . . . . . . . . 48
KẾT LUẬN
58
TÀI LIỆU THAM KHẢO
59
3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tính toán hình thức (symbolic computation), hay còn gọi là Đại số
máy tính (Computer Algebra), xuất hiện khoảng ba chục năm nay và
gần đây trở thành một chuyên ngành độc lập. Nhờ sự ra đời của Đại số
máy tính người ta có thể giải phương trình với hệ số bằng chữ, tính tích
phân bất định,... điều mà trước đó máy tính chỉ thực hiện được với hệ
số hằng số, tính tích phân xác định. Đây là một chuyên ngành kết hợp
chặt chẽ toán học với khoa học máy tính. Sự phát triển này đòi hỏi phải
xây dựng các lí thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuật toán
và các phần mềm toán học. Khi khả năng tính toán mỗi ngày một tăng
của máy tính sẽ giúp triển khai tính toán thực sự nhiều thuật toán. Sự
phát triển của Đại số máy tính có tác dụng tích cực trong nghiên cứu
toán học lí thuyết.
Lý thuyết cơ cở Gr¨obner được nghiên cứu lần đầu tiên vào khoảng
thập niên 60 của thế kỉ XX, nó nhanh chóng trở thành hạt nhân của
ngành hạt nhân của ngành Đại số máy tính và là một công cụ hữu hiệu
trong rất nhiều bài toán cơ bản của Đại số giao hoán và Hình học đại số.
Dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Wolfgang Gr¨obner, năm 1965, Bruno
Buchberger đã đưa ra thuật toán Buchberger trong luận án tiến sĩ của
mình. Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết Buchberger
chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường
hợp các đa thức nhiều biến. Cơ sở Gr¨obner về phương diện lý thuyết
còn được khẳng định bằng việc cung cấp chứng minh cho ba định lý
4
về Hilbert: Định lý Hilbert về cơ sở, định lý Hilbert về xoắn, định lý
Hilbert về không điểm.
Trong các ứng dụng gần gũi nhất của lý thuyết cơ sở Gr¨obner tôi
quan tâm tới việc giải hệ phương trình đa thức. Thực chất việc tìm cơ
sở Gr¨obner của một hệ phương trình đa thức là đưa hệ phương trình
ban đầu về hệ phương trình mới có dạng tam giác. Từ đó ta tìm được
nghiệm của hệ.
Với mong muốn giúp những người yêu toán tìm được nhiều hơn các
công cụ toán học hiện đại, một công cụ giải hệ phương trình đa thức,
góp phần soi sáng nội dung liên quan trong chương trình toán học phổ
thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic các kiến thức
về vành, iđêan, trường, vành đa thức, iđêan đơn thức; quan hệ thứ tự,
thứ tự từ, khái niệm cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức nhiều biến,
tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Gr¨obner.
Cung cấp cho giáo viên phổ thông, các em học sinh và những người
yêu toán một hướng tiếp cận mới, một công cụ giải hệ phương trình đa
thức, một phương pháp chung cho hầu hết các bài toán này.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là ứng dụng của cơ sở
Gr¨obner trong hệ phương trình đa thức. Bên cạnh đó còn nghiên cứu
về vành, iđêan, trường, vành đa thức, cơ sở Gr¨obner, các kiến thức này
xem như là sự chuẩn bị cho các kiến thức chính của khóa luận.
5
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu,
giáo trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: vành, iđêan, vành đa thức,
iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ, khái niệm cơ sở Gr¨obner,
thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm cơ
sở Gr¨obner, một số thuật toán ứng dụng của cơ sở Gr¨obner trong hệ
phương trình đa thức.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viên
hướng dẫn khoa học và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, Khoa
Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên
ngành Toán của Trường Đại học Quảng Bình có mong muốn tiếp tục
tìm hiểu về Đại số máy tính. Với bản thân, nghiên cứu về lí thuyết cơ
sở Gr¨obner giúp tôi hiểu rõ hơn về lí thuyết này và nắm được ứng dụng
của nó trong hệ phương trình đa thức. Qua đó tôi cũng thấy được sự
phát triển của khoa học máy tính ngày nay có tác dụng tích cực trong
nghiên cứu toán học lí thuyết.
6. Bố cục khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về vành, iđêan, vành
đa thức, đặc biệt các kiến thức về cơ sở Gr¨obner. Trình bày những khái
6
niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Gr¨obner: Khái niệm thứ tự từ, đơn thức
đầu, từ khởi đầu, iđêan khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơ
bản của cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức, tiêu chuẩn Buchberger,
thuật toán Buchberger.
Chương 2: Ứng dụng của cơ sở Gr¨
obner để giải hệ phương
trình đa thức
Chương này trình bày một cách hệ thống về điều kiện có nghiệm,
số nghiệm của hệ phương trình đa thức và cách giải tổng quát của hệ
phương trình đa thức.
7
Chương 1
Kiến thức cơ sở
Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong Đại số giao hoán
và trình bày những khái niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Gr¨obner: Khái
niệm Iđêan, thứ tự từ, từ khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơ
bản của cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức, tiêu chuẩn Buchberger,
thuật toán Buchberger.
1.1
Vành
Định nghĩa 1.1.1. Vành là một tập hợp R = ∅ được trang bị phép
toán cộng "+":(a, b) → a + b và phép toán nhân "." : (a, b) → a.b
thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán.
(ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức là với mọi a, b, c ∈ R :
a.(b.c) = (a.b).c.
(iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi
a, b, c ∈ R : a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = b.a + c.a.
8
Nhận xét. Phần tử không của vành được kí hiệu là 0. Vành có một
phần tử 0 kí hiệu là 0. Vành R được gọi là vành có đơn vị nếu nó chứa
phần tử 1 thỏa mãn a1 = 1a = a với mọi a ∈ R. Vành R được gọi là
vành giao hoán nếu với mọi a, b ∈ R, ab = ba.
Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét đến vành giao hoán, có đơn
vị.
Ví dụ.
1. Tập các số nguyên Z, số thực R, số phức C cùng với các phép cộng
và phép nhân thông thường lập thành một vành. Tập N không phải
là vành.
2. Cho R = 0 là một vành (giao hoán, có đơn vị) và n ≥ 2 là một số
tự nhiên. Tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc R
với phép cộng và phép nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị
nhưng không giao hoán.
Định nghĩa 1.1.2. Cho R là một vành và a ∈ R. Phần tử a được gọi
là
(i) ước của không nếu a = 0 và tồn tại 0 = b ∈ R sao cho ab = 0,
(ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại c ∈ R sao cho ac = 1.
Vành R không chứa ước của 0 được gọi là miền nguyên.
Ví dụ. Vành Z là miền nguyên với hai phần tử đơn vị là 1 và −1.
Vành Z×Z không phải là miền nguyên vì chẳng hạn ta có: (a, 0).(0, b) =
(0, 0) với (a, b ∈ Z).
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử R là một vành, A là một bộ phận ổn định
9
của R đối với hai phép toán trong R, có nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A,
với mọi x, y ∈ A. A là một vành con của R nếu A cùng với hai phép
toán cảm sinh trên A là một vành.
Định lí 1.1.4. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R. Các
điều kiện sau là tương đương:
(i) A là vành con của R.
(ii)Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A.
(iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A.
Định nghĩa 1.1.5. Trường là một vành mà mọi phần tử khác 0 đều
khả nghịch.
Bổ đề 1.1.6. Cho R là một vành và a, b ∈ R. Khi đó
(i) a.0 = 0. Nói riêng 0 không khả nghịch.
(ii) Nếu ab = 0 thì ab là ước của không khi và chỉ khi a hoặc b là ước
của không.
(iii) ab là phần tử đơn vị khi và chỉ khi a và b là phần tử đơn vị.
(iv) Ước của không không bao giờ là đơn vị.
(v) Tập tất cả các đơn vị của vành lập thành một nhóm giao hoán đối
với phép nhân.
Bổ đề 1.1.7. (i) Nếu R là miền nguyên thì R có luật giản ước với phép
nhân, tức là ac = bc và c = 0 kéo theo a = b.
(ii) Mọi trường là miền nguyên.
(iii) Mọi miền nguyên hữu hạn là trường.
Định nghĩa 1.1.8. Một tập con S ⊆ R đóng đối với phép cộng và
phép nhân của R được gọi là vành con nếu nó chứa phần tử 1 của R và
10
bản thân nó cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một vành.
Ví dụ.
1. Một vành bao giờ cũng có ít nhất hai vành con là vành con tầm
thường 0 và chính nó. Vành Z chỉ có hai vành con đó.
2. Z cũng là vành con thực sự không tầm thường của Q.
3. Tập các đa thức một biến và tập các hàm hằng số là những vành
con thực sự không tầm thường của vành C[a, b].
Bổ đề 1.1.9. Cho R là vành và S ⊆ R. Khi đó S là vành con nếu và
chỉ nếu có các điều kiện sau:
(i) 1 ∈ S.
(ii) Nếu a, b ∈ S thì a − b ∈ S.
(iii) Nếu a, b ∈ S thì ab ∈ S.
1.2
Iđêan
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành. Tập con I = ∅ của R được gọi
là iđêan nếu thỏa mãn hai điều kiện:
(i) Với mọi a, b ∈ I, a + b ∈ I.
(ii) Với mọi a ∈ I và r ∈ R, ra ∈ I.
Nhận xét.
• Iđêan của R mà khác R được gọi là iđêan thực sự của R. Một iđêan
của R là iđêan thực sự khi và chỉ khi nó không chứa bất kỳ phần
tử khả nghịch nào của R.
11
• Iđêan của R chỉ có một phần tử được gọi là iđêan không và ký hiệu
là 0.
• Iđêan nhỏ nhất của một vành R còn chứa tập con T của R được
gọi là iđêan sinh bởi tập con T, ký hiệu T .
Ví dụ.
1. Mọi vành R đều chứa iđêan tầm thường I = 0 và I = R.
2. Tập nZ là các iđêan trong vành Z.
Định lí 1.2.2. Giao của một họ bất kì những iđêan của một vành R
là một iđêan của R.
Định nghĩa 1.2.3. Cho I là iđêan của vành R. Nếu A là tập hợp sao
cho I = (A) thì A được gọi là tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của I và ta
nói I là iđêan sinh bởi A.
A được gọi là tập sinh tối tiểu (hay là hệ sinh tối tiểu, cơ sở tối tiểu)
của I nếu A là tập sinh của I và không chứa tập sinh khác của I.
Ta nói iđêan là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
Định lí 1.2.4. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và a1 , a2 , ..., an ∈
R. Bộ phận A của R gồm các phần tử có dạng x1 a1 +x2 a2 +...+xn an ∈ R
là iđêan của R sinh ra bởi a1 , a2 , ..., an .
Định nghĩa 1.2.5. Cho I là iđêan của vành R. Vành R/I được gọi là
vành thương của vành R theo iđêan I.
Bổ đề 1.2.6. Cho R là một vành và ∅ = A ⊆ R . Khi đó tập hợp
12
(A) = {r1 a1 + ... + rn an |n ∈ N; r1 , ..., rn ∈ R; a1 , ...an ∈ A}
là iđêan bé nhất chứa A.
1.3
Vành đa thức
Đơn thức
Cho R là một vành và x1 , ..., xn (n ≥ 1) là các biến.
Một biểu thức có dạng: xa11 ...xann gọi là đơn thức, trong đó (a1 , ..., an ) ∈
Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức.
Khi a1 = ... = an = 0 thì đơn thức được kí hiệu là 1.
Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa:
(xa11 ...xann )(xb11 ...xbnn ) = xa11 +b1 ...xann +bn .
Tức là phép nhân đơn thức ứng với phép cộng bộ số mũ trong nửa
nhóm cộng Nn .
Từ
Từ là biểu thức có dạng : αxa11 ...xann .
Trong đó α ∈ R được gọi là hệ số của từ.
Hai từ khác không αxa11 ...xann và βxa11 ...xann được gọi là đồng dạng với
nhau.
Đa thức
Ta kí hiệu: x = (x1 , ..., xn ), a = (a1 , ..., an ) ∈ Nn và xa = xa11 ...xann .
αa xa
Khi đó: Tổng hình thức của các từ f (x) =
a∈Nn
được gọi là đa thức n biến x1 , ..., xn trên vành R trong đó chỉ có một số
13
hữu hạn hệ số αa = 0.
Từ αa xa (αa = 0) được gọi là từ của đa thức f (x), xa là đơn thức
của f (x).
αa xa và g(x) =
Hai đa thức : f (x) =
βa xa được xem là bằng
a∈Nn
a∈Nn
n
nhau nếu αa = βb với mọi a ∈ N .
Phép cộng đa thức được định nghĩa:
αa x a +
(
a∈Nn
βa xa ) =
a∈Nn
(αa + βa )xa .
a∈Nn
Vì αa + βa = 0 nếu một trong hai hệ số αa hoặc βa bằng 0, nên trong
biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và nó đúng là
một đa thức.
Ta sẽ đồng nhất đa thức αxa với đa thức
βb xb ,
b∈Nn
trong đó βa = α và βb = 0 với mọi b = a.
Nếu α1 xa1 , ..., αp xap là tất cả các từ của f (x) thì có thể xem f (x) là
tổng đa thức của các từ này qua phép đồng nhất vừa nêu:
f (x) = α1 xa1 + ... + αp xap , (∗)
trong đó a1 , ..., ap ∈ Nn là bộ số mũ khác nhau. Biểu diễn này là duy
nhất và gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f (x).
Phép nhân đa thức được định nghĩa: (
a∈Nn
với γa =
αa xa )(
a∈Nn
βa xa ) =
γa xa
a∈Nn
αb βc .
b,c∈Nn ,b+c=a
Nhận xét rằng γa = 0 chỉ khi tồn tại b và c với αb = 0 và βc = 0 để
a = b + c. Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ số γa = 0 và phép nhân đa
14
thức trên hoàn toàn xác định.
Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức có thể kiểm tra tập
tất cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn
thức 1. Tập này được kí hiệu là R[x1 , ..., xn ] hay R[x].
Định nghĩa 1.3.1. Vành R[x1 , ..., xn ] xây dựng như trên được gọi là
vành đa thức n biến trên vành R.
Chú ý.
• Khi n = 1 ta có vành đa thức một biến thông thường. Tuy nhiên
đa thức một biến x thường được viết dưới dạng f (x) = an xn + ... +
a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , ..., an ∈ R).
• Cho 0 ≤ m ≤ n. Bằng cách xem mỗi từ αxa11 ...xann trên R như là từ
a
m+1
(αxa11 ...xamm )xm+1
...xann trên vành R[x1 , ..., xm ], có thể xem R[x1 , ..., xn ]
như vành đa thức n − m biến xm+1 , ..., xn trên vành R[x1 , ..., xm ],
tức là
R[x1 , ..., xn ] = R[x1 , ..., xm ][xm+1 , ..., xn ].
• Khi tập các biến đã được xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơn giản
là f, g, ... thay cho f (x), g(x), ....
αa xa là số
Định nghĩa 1.3.2. Bậc tổng thể của đa thức f (x) =
a∈Nn
degf (x) =max{a1 + ... + an | αa = 0}.
Chú ý.
• Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0, bậc tổng thể của đa thức 0
được quy ước là một số tùy ý.
15
• Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với một tập con các
biến, chẳng hạn {x1 , ..., xk }, được định nghĩa như sau:
degx1 ,...,xk f (x) = max{a1 + ... + ak } | αa = 0},
trong đó k < n cố định. Nói cách khác, đó là bậc tổng thể của f (x)
xét như đa thức của vành K[xk+1 , ..., xn ][x1 , ..., xk ]
Mệnh đề 1.3.3. Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x), g(x) ∈
R[x] đều có
deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x)
và
deg(f (x) + g(x)) ≤ max{degf (x), degg(x)}.
Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi
degf (x) = degg(x) và fdegf (x) = −gdegg(x) .
Định lí 1.3.4. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị là 1. Các điều kiện
sau là tương đương:
(i) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với
quan hệ bao hàm).
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R
I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ...,
là dừng, tức là tồn tại k để Ik = Ik+1 = ...
(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh; tức là với mọi iđêan I ⊆ R tồn
tại f1 , f2 , ..., fs ∈ I sao cho I = (f1 , f2 , ..., fs ).
Một vành thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là vành
Noether.
16
Một trong những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất về vành đa thức
nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trường là hữu hạn sinh. Đó
là nội dung định lí nổi tiếng của Hilbert về cơ sở. Dưới đây là một dạng
tổng quát của nó.
Định lí 1.3.5. (Định lí Hilbert về cơ sở). Cho R là vành Noether và x
là tập n biến. Khi đó vành R[x] là vành Noether.
Hệ quả 1.3.6. Mọi iđêan của vành đa thức K[x] trên trường K là hữu
hạn sinh.
Định lí 1.3.7. (Định lí chia đa thức một biến). Cho K là một trường
và g(x) là đa thức khác 0 của K[x]. Khi đó mọi đa thức f ∈ K[x] có
thể viết dưới dạng f (x) = q(x)g(x) + r(x), trong đó q(x), r(x) ∈ K[x]
và hoặc r(x) = 0 hoặc degr(x) y là thứ tự ngược của thứ tự đó.
Khi trên tập X có một quan hệ thứ tự bộ phận ≤, ta nói tập X là
tập được sắp (bộ phận). Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y hoặc y ≤ x thì ta nói
x, y so sánh được với nhau (trong trường hợp ngược lại thì x, y không
so sánh được với nhau).
19
Quan hệ thứ tự ≤ ở trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần
(hoặc thứ tự tuyến tính) nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh được
với nhau. Khi đó ta nói tập X là tập được sắp hoàn toàn.
Quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩa
trên được gọi là quan hệ giả thứ tự (bộ phận, toàn phần).
Ví dụ.
• Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R là một thứ tự
toàn phần nhưng là quan hệ thứ tự bộ phận trên C.
• Kí hiệu M là tập tất cả các đơn thức trong vành K[x]. Quan hệ
theo bậc tổng thể là một thứ tự bộ phận trên M (tức là m1 ≤ m2
nếu m1 = m2 hoặc deg(m1 ) < deg(m2 )). Nó là thứ tự toàn phần
nếu và chỉ nếu số biến là 1.
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là một tập được sắp bởi thứ tự ≤ và A ⊆ X.
Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) nếu với
mọi b ∈ A mà b ≤ a (t.ư a ≤ b) thì a = b, tức là không có phần tử nhỏ
hơn (t.ư lớn hơn) a ở trong A.
Phần tử a ∈ A là phần tử nhỏ nhất (t.ư lớn nhất) nếu với mọi b ∈ A
ta có a ≤ b (t.ư b ≤ a).
Phần tử b ∈ X là chặn trên (t.ư chặn dưới) của A nếu với mọi a ∈ A
ta có a ≤ b (t.ư b ≤ a).
Tập X được gọi là tập được sắp tốt nếu nó được sắp hoàn toàn và
mọi tập con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất. Khi đó ta nói quan
hệ thứ tự tương ứng là quan hệ thứ tự tốt.
20
Ví dụ.
• Xét R với mối quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường và S =
[0, 1]. Khi đó 0 và 1 tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của
A.
Tập A = (0, 1) không có phần tử tối tiểu và cũng không có phần
tử tối đại nhưng bị chặn trên và chặn dưới trong R.
• Nếu X là một tập được sắp hoàn toàn thì mọi tập con hữu hạn của
nó đều có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
Định nghĩa 1.4.3. Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M
tất cả các đơn thức của K[x] thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Với mọi m ∈ M, 1 ≤ m.
(ii) Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 .
Định nghĩa 1.4.4. Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau:
xα1 1 ...xαnn ≤lex xβ1 1 ...xβnn nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên
trái của véctơ (α1 − β1 , ..., αn − βn ) là một số âm. Hay, nếu tồn tại
0 ≤ i < n sao cho α1 = β1 , ..., αi = βi , nhưng αi+1 < βi+1 .
Định nghĩa 1.4.5. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định
như sau:
xα1 1 ...xαnn ≤glex xβ1 1 ...xβnn nếu deg(xα1 1 ...xαnn ) < deg(xβ1 1 ...xβnn ) hoặc
deg (xα1 1 ...xαnn ) = deg (xβ1 1 ...xβnn ) và thành phần đầu tiên khác không
kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , ..., αn − βn ) là một số âm. Hay
xα1 1 ...xαnn ≤glex xβ1 1 ...xβnn nếu α1 +...+αn < β1 +...+βn hoặc α1 +...+αn =
β1 + ... + βn và xα1 1 ...xαnn ≤lex xβ1 1 ...xβnn .
21
Định nghĩa 1.4.6. Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như
sau:
xα1 1 ...xαnn lex x22 >lex x10
3 nhưng x1 lex x2 nhưng x2 z.
f = −5x4 + 5x3 y 2 z 2 + xyz − 2y 6 z + 7yz 3 + z 4 và in≤lex (f ) = −5x4 .
• Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z.
f = 5x3 y 2 z 2 − 2y 6 z − 5x4 + 7yz 3 + z 4 + xyz và in≤glex (f ) = 5x3 y 2 z 2 .
• Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z.
f = −2y 6 z + 5x3 y 2 z 2 − 5x4 + 7yz 3 + z 4 + xyz và in≤rlex (f ) = −2y 6 z.
Bổ đề 1.4.8. Cho f, g ∈ R và m ∈ M . Khi đó:
(i) in(f g) = in(f )in(g).
(ii) in(mf )= m in(f ).
(iii) lm(f + g) ≤ max{lm(f ), lm(g)}. Dấu < xảy ra khi và chỉ khi
in(f ) = −in(g).
Chú ý. Bất đẳng thức ở khẳng định (iii) ở trên cũng thường được viết
dưới dạng:
in(f + g) ≤ max{in(f ), in(g)},
23
trong đó khi lm(f ) = lm(g) thì max{in(f ), in(g) } được biểu diễn như
α lm(f ) với 0 = α ∈ K nào đó.
Định nghĩa 1.4.9. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ. Iđêan
khởi đầu của I, kí hiệu là in≤ (I), là iđêan của R sinh bởi các từ đầu
của các phần tử của I, nghĩa là in≤ (I) = (in≤ (f ) | f ∈ I).
Ta có thể thay in(I) thay cho in≤ (f ) nếu ≤ đã rõ.
Ta cũng có in(I) =(lm(f ) | f ∈ I), nên in(I) là một iđêan đơn thức.
Bổ đề 1.4.10. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi
đó:
(i) Tập tất cả các đơn thức trong in(I) là tập {lm(f ) | f ∈ I}.
(ii) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I.
(iii) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa nếu I ⊆ J và in(I) =in(J)
thì I = J.
(iv) in(I)in(J)⊆ in(IJ).
(v) in(I) + in (J)⊆ in(I + J).
Định nghĩa 1.4.11. Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của I.
Tập hữu hạn các đa thức khác không g1 , ..., gs ∈ I được gọi là một cơ sở
Gr¨
obner của I đối với thứ tự từ ≤, nếu in≤ (I) = (in≤ (g1 ), ...,in≤ (gs )).
Tập g1 , ..., gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨obner, nếu nó là cơ sở Gr¨obner
của iđêan sinh bởi chính các phần tử này.
Bổ đề 1.4.12. Cho G là một cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với một
thứ thự từ nào đó. Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g ∈ G
sao cho in(g )|in(g), thì G\{g} cũng là một cơ sở Gr¨obner của I.
24
Bổ đề 1.4.13. Cho I là một iđêan tùy ý của R. Nếu g1 , ..., gn là cơ sở
Gr¨obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1 , ..., gn là cơ sở của
I.
Nhận xét. Việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm một
cơ sở Gr¨obner của I (đối với một thứ tự nào đó).
Với một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ
này nhưng không phải cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ khác.
Ví dụ.
• Cho I là iđêan của vành K[x]. Ta biết rằng trên vành này chỉ có
một thứ tự từ (theo bậc), theo Hệ quả 1.3.8 ta có I = (f ), với
f ∈ K[x]. Từ Bổ đề 1.4.8 (i), suy ra in(I) =(in(f )).
• Cho I = (xy 3 , y 5 ) ⊆ K[x, y] và f1 = xy 3 , f2 = xy 3 − y 5 . Cho x > y.
Khi đó in≤lex (f1 ) = in≤lex (f2 ) = xy 3 , nên {f1 , f2 } không là cơ sở
Gr¨obner của I đối với ≤lex , vì in≤lex (I) = I.
Ta thấy in≤glex (f1 ) = in≤rlex (f1 ) = xy 3 , in≤glex (f2 ) =in≤rlex (f2 ) =
y5
và in≤glex (I) = in≤rlex (I) = I nên f1 , f2 là cơ sở Gr¨obner của I đối
với thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngược.
• Cho I = (f1 , f2 ) ⊆ K[x, y], trong đó f1 = x4 − 2x2 y và f2 =
x3 y − 2y 2 x + x2 .
Xét theo thứ tự từ điển phân bậc hoặc từ điển ngược.
Khi đó in(f1 ) = x4 , in(f2 ) = x3 y. Tuy nhiên x3 = xf2 − yf1 ∈ I và
in(x3 ) = x3 ∈
/ (x4 , x3 y) nên (f1 , f2 ) không là cơ sở Gr¨obner của I
25
đối với các thứ tự này.
• Cho I = (x + y, y + z) ⊆ K[x, y, z] và xét thứ tự điển với x > y > z.
Ta sẽ chứng tỏ x + y, y + z là cơ sở Gr¨obner của I.
Thực vậy, mọi phần tử 0 = f ∈ I có dạng f = g.(x + y) + h.(y + z).
Nếu in(f ) không chứa x và y chỉ chứa biến z, tức là f = f (z). Thay
x = z và y = −z vào biểu diễn vừa nêu của f , ta có f = f (z) =
g(z, −z, z).0 + h(z, −z, z).0 = 0 (vô lí).
Vậy in(f ) ∈ (x, y) = (in(x + y),in(y + z)) hay x + y, y + z là cơ sở
Gr¨obner của I đối với thứ tự từ điển.
Định nghĩa 1.4.14. Cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với một thứ tự
từ đã cho là một cơ sở Gr¨obner G ⊂ I thỏa mãn các tính chất sau:
(i) lc(g) = 1 với mọi g ⊂ G.
(ii) Với mọi g ∈ G không tồn tại g ∈ G để in(g ) |in(g).
Hệ quả 1.4.15. Cho ≤ là một thứ tự từ. Khi đó mọi iđêan đều có cơ
sở Gr¨obner tối tiểu và mọi cơ sở Gr¨obner tối tiểu của cùng một iđêan
đều có chung số lượng phần tử và chung tập từ khởi đầu.
Ví dụ.
Ta xét vành K[x] với thứ tự từ điển phân bậc và iđêan I = (x3 −
2xy, x2 − 2y 2 + z), có một cơ sở Gr¨obner gồm các đa thức f1 = x3 −
2xy, f2 = x2 y − 2y 2 + z, f3 = −x2 , f4 = −2xy, f5 = −2y 2 + x. Đầu
tiên ta nhân các phần tử sinh với các hằng số thích hợp để được hệ số
đầu bằng 1. Thấy rằng in(f1 ) = x3 = −xin(f3 ). Theo bổ đề 1.4.12, ta
có thể loại f1 trong cơ sở Gr¨obner tối tiểu. Tương tự, in(f2 ) = x2 y =
−( 21 )xin(f4 ), nên ta cũng loại f2 . Khi không còn trường hợp mà từ khởi
26
đầu của một phần tử sinh chia hết từ khởi đầu của phần tử sinh khác.
Do vậy g1 = x2 , g2 = xy, g3 = y 2 − ( 12 )x, là một cơ sở Gr¨obner tối tiểu
của I đối với thứ tự từ điển phân bậc.
Định nghĩa 1.4.16. Cơ sở Gr¨obner rút gọn của iđêan I đối với một
thứ tự từ đã cho là một cơ sở Gr¨obner G của I thỏa mãn các tính chất:
(i) lc(g) = 1 với mọi g ∈ G.
(ii) Với mọi g ∈ G và mọi từ m của g không tồn tại g ∈ G \ {g} để
in(g ) | m.
Nhận xét. Mọi cơ sở Gr¨obner rút gọn là cơ sở Gr¨obner tối tiểu.
Mệnh đề 1.4.17. Cho I = 0. Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duy
nhất một cơ sở Gr¨obner rút gọn.
1.4.3
Thuật toán chia
Định lí 1.4.18. (Định lí chia đa thức) Cố định một thứ tự từ ≤ trên
M và cho
F = {f1 , ..., fs } ⊂ R = K[x1 , ..., xn ]. Khi đó mọi đa thức f ∈ R có thể
được viết dưới dạng f = q1 f1 + ... + qs fs + r,
trong đó qi , r ∈ R thỏa các điều kiện sau đây:
(i) Hoặc r = 0 hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các
từ khởi đầu inf1 , ...,infs . Hơn nữa in r ≤in f .
(ii) Nếu qi = 0 thì in(qi fi ) ≤in(f ), i = 1, ..., s
Định nghĩa 1.4.19. Đa thức r ở trên được gọi là đa thức dư hoặc phần
dư của f khi chia cho F và được kí hiệu là r =RemF (f ). Bản thân biểu
diễn trên của f được gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1 , ..., fs .
27
Ví dụ.
x3 + x = x.(x2 + 1) + 0.x2 + 0 = 0.(x2 + 1) + x.x2 + x, tức là x3 + x cho
x2 và x2 + 1 có thể cho đa thức dư là x hoặc 0.
Chú ý. Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức phụ thuộc vào
việc sắp xếp thứ tự các phần tử của tập F = {f1 , ..., fs }. Đa thức
PHANDU(f ; F ) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF (f ).
Nói chung RemF (f ) = PHANDU(f ; F ).
Thuật toán chia đa thức chỉ cho một cách xây dựng đa thức dư, chứ
không khẳng định đó là tất cả đa thức dư có thể có nêu trong định lí
chia đa thức.
Mệnh đề 1.4.20. Giả sử F = {f1 , ..., fs } là một cơ sở Gr¨obner đối với
một thứ tự từ cho trước. Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r
của phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) được xác định
duy nhất.
Hệ quả 1.4.21. Giả sử F = {f1 , ..., fs } là một cơ sở Gr¨obner của iđêan
I đối với một thứ tự từ cho trước và đa thức f ∈ R. Khi đó f ∈ I khi
và chỉ khi đa thức dư r của phép chia f cho hệ F bằng 0.
1.4.4
Tiêu chuẩn Buchberger
Định nghĩa 1.4.22. Cho f, g ∈ K[x] là hai đa thức khác 0.
Kí hiệu: mf g =
và mgf =
in(f )
U CLN (lm(f ),lm(g))
in(g)
U CLN (lm(f ),lm(g)) .
28
S- đa thức của f và g là đa thức
S(f, g) = mgf .f − mf g .g
Bổ đề 1.4.23. (i)S(f, g) = −S(g, f ).
(ii) in S(f, g) < BNNN(in(f ), in(g)).
Định lí 1.4.24. (Tiêu chuẩn Buchberger). Cho G = {g1 , ..., gs } là
hệ sinh của iđêan I. G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi
cặp 1 ≤ i = j ≤ s một (hoặc mọi) đa thức dư của S- đa thức S(gi , gj )
trong phép chia cho G bằng 0.
Định nghĩa 1.4.25. Cố định một thứ tự từ và cho G = {g1 , ..., gs } ⊂
K[x]. Ta nói đa thức f dẫn về đa thức g modulo G và kí hiệu là f
G /
g,
hoặc đơn giản là f → g khi đã rõ G, nếu f có thể viết dưới dạng
f = q1 g1 + ... + qs gs + g,
sao cho nếu qi gi = 0 thì
in(qi gi ) ≤ in(f ).
Như vậy f → 0 khi và chỉ khi có một giá trị của RemG (f ) bằng 0.
Do đó tiêu chuẩn Buchberger có thể phát biểu như sau:
Định lí 1.4.26. Cho G = {g1 , ..., gs } là hệ sinh của iđêan I. G là cơ
sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i = j ≤ s ta có
S(gi , gj ) G
/0
.
Chú ý.
• Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1 , ..., gs } có phải là cơ
sở Gr¨obner hay không, chỉ cần thử cho các cặp (gi , gj ) với i < j.
29
• Nếu f, g là hai từ thì S(f, g) = 0. Do đó không cần thử Tiêu chuẩn
Buchberger cho các cặp từ.
• Nếu in(f ) và in(g) nguyên tố cùng nhau thì
S(f, g) =in(g)f −in(f )g = −(g−in(g))f + (f −in(f )g).
Đặt smg =lm(g−in(g)) và smf =lm(f −in(f )).
Nếu smg lm(f ) = smf lm(g) thì do tính nguyên tố cùng nhau sẽ suy
ra smg chia hết cho lm(g). Điều này vô lí, vì smg z > x ta
có in(y − x2 ) = y và in(z − x3 ) = z nguyên tố cùng nhau. Theo chú ý
trên, tập {y − x2 , z − x3 } đã là cơ sở Gr¨obner của I.
Tuy nhiên, đối với thứ tự từ điển x > y > z ta có in(x2 − y) = x2 và
in(−x3 + z) = −x3 .
và S(x2 − y, −x3 + z) = (−x)(x2 − y) − (−1)(−x3 + z) = −xy + z
không thể chia hết cho G = (−x2 + y, −x3 + z) được, tức là có đa thức
dư khác 0. Vậy G không phải là cơ sở Gr¨obner của I.
30
1.4.5
Thuật toán Buchberger
Dựa vào khái niệm S - đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, có thể xây
dựng cơ sở Gr¨obner của một iđêan xuất phát từ một hệ sinh tùy ý của
nó. Cho f ∈ K[x] và F = {f1 , ..., ft } ⊆ K[x] là một tập được sắp. Theo
thuật toán chia đa thức, PHANDU(f, g) là đa thức dư của f trong phép
chia cho F được xác định duy nhất.
Thuật toán Buchberger
Tìm cơ sở Gr¨obner CSGR(f1 , ..., ft ) := {g1 , ..., gs } từ (f1 , ..., ft )
Input: F = {f1 , ..., ft }
Output: cơ sở Gr¨obner G = {g1 , ..., gs } và F ⊆ G.
G := F
REPEAT
G := G
FOR mỗi cặp {p, q} ⊆ G , p = q DO
S := P HAN DU (S(p, q); G )IF S = 0T HEN G := G ∪ {S}
UNTIL G = G
Định lí 1.4.27. Thuật toán dừng sau một số hữu hạn bước và G là cơ
sở Gr¨obner chứa {f1 , ..., ft } của I = (f1 , ..., ft ).
31
Chương 2
Ứng dụng của cơ sở Gr¨
obner để
giải hệ phương trình đa thức
Chương này trình bày một cách hệ thống về điều kiện có nghiệm, số
nghiệm của phương trình đa thức và cách giải tổng quát của hệ phương
trình đa thức.
2.1
Đa thức bất khả quy và phân tích duy nhất
Định nghĩa 2.1.1. Đa thức f của K[x] được gọi là bất khả qui trên
trường K nếu nó không phải là đa thức hằng và không phải là tích của
hai đa thức khác đa thức hằng trong K[x].
Chú ý. Khái niệm này phụ thuộc vào trường K.
Ví dụ. Đa thức x2 − 2 bất khả qui trên Q nhưng không bất khả qui
trên R.
Mệnh đề 2.1.2. Mọi đa thức khác đa thức hằng của K[x] đều viết
thành tích của các đa thức bất khả qui.
32
Chứng minh. Giả sử f là đa thức khác đa thức hằng. Nếu f bất khả
qui thì không có gì để chứng minh. Ngược lại, f = gh, trong đó g, h
không phải là đa thức hằng. Theo mệnh đề 1.3.3, degg < degf và degh
< degf . Nếu g, h không phải là đa thức bất khả qui, thì ta tiếp tục
phân tích g, h như f. Bằng cách quy nạp trên bậc của đa thức ta có
điều phải chứng minh.
Định lí 2.1.3. Cho f ∈ K[x] là đa thức bất khả qui trên K. Giả sử f
chia hết gh. Khi đó hoặc f chia hết g hoặc f chia hết h.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp trên n số các biến.
Trường hợp n = 1. Cho gh = Cf. Đặt p = U CLN (f, g). Nếu p khác
hằng số, thì f = αp, với α ∈ K nào đó(vì f bất khả qui). Khi đó f
chia hết g. Bây giờ cho p là đa thức hằng. Ta có thể giả thiết p = 1.
Theo mệnh đề 1.3.11 (ii), có thể tìm được hai đa thức A, B sao cho
Af + Bg = 1. Nhân hai vế với h ta được
h = Ahf + Bhg = Ahf + BCf = (Ah + BC)f.
Như vậy h chia hết cho f. Trường hợp n = 1 được chứng minh.
Giả sử định lí được chứng minh cho n−1. Trước hết ta xét các trường
hợp sau:
Trường hợp 1: f ∈ K[x2 , ..., xn ], tức là f không chứa biến x1 .
r
Giả sử gh = Df. Viết g =
Ai xi1
1=0
s
và h =
j=1
Bj xj1 , trong đó Ai , Bj ∈
K[x2 , ..., xn ]. Nếu f chia hết tất cả các đa thức Ai thì f chia hết cho g.
Do vậy chỉ cần xét trường hợp tồn tại i sao cho f không chia hết Ai ,
nhưng chia hết A0 , ..., Ai−1 (bằng cách lấy i bé nhất). Tương tự, có thể
33
giả thiết tồn tại j để f không chia hết Bj , nhưng chia hết B0 , ..., Bj−1 .
Ta thấy rằng hệ số của x1i+j là
Ci+j = (A0 Bi+j + ... + Ai−1 Bj+1 ) + Ai Bj + (Ai+1 Bj−1 + ... + Ai+j B0 ).
Vì f, Ai , Bj ∈ K[x2 , ..., xn ] nên theo giả thiết qui nạp, suy ra f không
chia hết Ai Bj . Vì f chia hết các số hạng còn lại của Ci+j nên f không
chia hết Ci+j . Thế nhưng
t
gh = Df = (
Dk xk1 )f
k=0
t
=
(Dk f )xk1
k=0
là biểu diễn của gh thành đa thức của x1 trên vành K[x2 , ..., xn ]. Do đó
Ci+j = Di+j f chia hết cho f. Vô lí. Vậy f phải chia hết g hoặc h.
Trường hợp 2 :f ∈ K[x1 , ..., xn ] thực sự chứa biến x1 , tức là degx1 (f ) >
0. Ta xem f như là đa thức của vành K(x2 , ..., xn )[x1 ] trong đó K(x1 , ..., xn )
là trường thương của vành K[x1 , ..., xn ]. Ta chỉ ra rằng trong f vẫn còn
bất khả qui trên K(x1 , ..., xn ). Thật vậy, giả sử f = AB, trong đó
A, B ∈ K(x1 , ..., xn )[x1 ].
Lấy D ∈ K[x1 , ..., xn ] là tích các mẫu số ở tất cả các phân thức là
hệ số của A và B. Khi đó, A = DA, B = DB ∈ K[x], và D2 f = AB.
Như vậy D2 chia hết AB. Vì D2 không chứa biến x1 , nên mỗi nhân tử
bất khả qui của nó cũng không chứa biến x1 . Giả sử D2 = d1 .d2 ...dt
với di là các đa thức bất khả qui ∀i = 1, ..., t. Khi đó, di chia hết AA
với ∀i = 1, ..., t, ở đây ta đã quay lại trường hợp 1 cho các di . Vậy AB
chia hết các di với ∀i = 1, ..., t. Hay tồn tại các đa thức A∗ , B ∗ , d∗1 , d∗2 ∈
K[x2 , ..., xn ] sao cho A∗ B ∗ = AB/D2 = AB/d1 .d2 ...dt = A/d∗1 .B/d∗2
với A∗ = A/d∗1 , B ∗ = B/d∗2 . Vậy f = A∗ .B ∗ . Theo giả thiết f bất khả
qui trên K nên phải có A∗ hoặc B ∗ là đa thức hằng. Tương ứng ta có
34
A = A∗ d∗1 /D ∈ K(x2 , ..., xn ) hoặc B = B ∗ d∗2 /D ∈ K(x2 , ..., xn ). Điều
đó có nghĩa là f bất khả qui trên K(x2 , ..., xn ).
Bây giờ trên vành K(x2 , ..., xn )[x1 ] vẫn có f = gh. Theo trường hợp
n = 1, giả sử g = Cf, trong đó C ∈ K(x2 , ..., xn )[x1 ]. Lấy q là tích các
mẫu số của các phân thức trong C. Nhân hai vế của đẳng thức g = Cf
với q ta được qg = qCf = Cf với C ∈ K[x]. Gọi qi là một nhân tử bất
khả qui của q. Do f bất khả qui và thực sự chứa biến x1 , trong khi qi
không chứa biến x1 nên f không chia hết qi . Mặt khác qi chia hết Cf.
Theo trường hợp 1, qi phải chia hết C. Giản ước các nhân tử qi , và tiếp
tục như vậy đối với các nhân tử bất khả qui khác xuất hiện trong phân
tích của c, cuối cùng ta được g = C ∗ f, tức là g chia hết cho f.
Từ mệnh đề 2.1.2 và định lí 2.1.3 ta có thể suy ra ngay K[x] là miền
phân tích duy nhất:
Định lí 2.1.4. Mỗi đa thức khác hằng f ∈ K[x] có thể phân tích thành
tích của các đa thức bất khả qui trên K. Hơn nữa, nếu f = f1 ...fr =
g1 ...gs là hai phân tích như thế thì r = s và có thể đánh số lại sao cho
gi = αi fi , αi ∈ K, với mọi i ≤ r.
2.2
Căn của iđêan
Định nghĩa 2.2.1. Cho K là một trường, f1 , ..., fs ∈ K[x1 , ..., xn ]. Thì
tập V (f1 , ..., fs ) = {(a1 , .., an ) ∈ K n | fi (a1 , .., an ) = 0 với mọi 1 ≤ i ≤
s.} Chúng ta gọi V (f1 , ..., fs ) là đa tạp định nghĩa bởi f1 , ..., fs .
Định nghĩa 2.2.2. Cho I là một iđêan của vành đa thức K[x1 , ..., xn ].
35
Chúng ta định nghĩa tập V (I) = {(a1 , ..., an ) ∈ K n | f (a1 , ..., an ) =
0, ∀f ∈ I} là đa tạp định nghĩa bởi f1 , ..., fs là đa tạp affin định nghĩa
bởi các đa thức trong I.
Định nghĩa 2.2.3. Cho V là một đa tạp. Chúng ta định nghĩa tập
I(V ) = {f ∈ K[x1 , ..., xn ] | f (a1 , ..., an ) = 0, ∀(a1 , ..., an ) ∈ V }
Có thể dễ dàng chứng minh I(V ) là iđêan của V.
Bổ đề 2.2.4. Cho V là một đa tạp affin. Nếu f m ∈ I(V ) thì f ∈ I(V ).
Chứng minh. Cho x ∈ V. Nếu f m ∈ I(V ) thì f m (x) ∈ I(V ), điều này
xảy ra khi f(x) = 0. Vậy f ∈ I(V ). Bổ đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.2.5. Một iđêan là một iđêan căn nếu với tồn tại số
nguyên m ≥ 1 mà f m ∈ I thì ta có ngay f ∈ I.
Hệ quả 2.2.6. I(V ) là một iđêan căn.
Chứng minh. Dễ thấy hê quả được suy ra từ định nghĩa và bổ đề 2.2.4.
Định nghĩa 2.2.7. Cho I K[x1 , ..., xn ] là một iđêan. Thì căn của
√
iđêan I kí hiệu là I là tập {f | f m ∈ I với số nguyên m ≥ 1}.
2.3
Căn của iđêan chính
Mệnh đề 2.3.1. Cho f ∈ K[x1 , ..., xn ] và I = (f ). Giả sử f = f1a1 ...frar
là phân tích của f thành tích các lũy thừa của các đa thức bất khả quy
sao cho fi /fj không là hằng số với mọi i = j. Khi đó
√
I=
(f ) = f1 ...fr .
36
Chứng minh. Chọn a ≥ max{a1 , ..., ar }. Khi đó: (f1 ...fr )a = (f1a−a1 ...fra−a1 ) ∈
√
I. Suy ra f1 ...fr ∈ I.
Ngược lại, cho g m chia hết cho f = f1a1 ...frar . Viết g = g1b1 ...gsbs , trong
đó g1 , ..., gs là bất khả qui và gk /gl khác hằng với mọi k = l. Khi đó fi
chia hết cho g1mb1 ...gsmbs . Từ định lý 2.1.3 và tính bất khả qui của fi , gi
suy ra mỗi fi trùng với ai gki nào đó, trong đó αi ∈ K ∗ . Vì fi /fj và gk /gl
không là hằng số với mọi i = j, k = l nên ki = kj .
√
Do đó g chia hết cho f1 ...fr . Vậy I = (f ) = f1 ...fr .
Định nghĩa 2.3.2. Cho f ∈ [x1 , ..., xn ]. Giả sử f = f1a1 ...frar là phân
tích thành của f thành tích các lũy thừa như ở mệnh đề trên. Khi đó
ta gọi fred = f1 ...fr là phần phi bình phương của f và kí hiệu là fred
Định nghĩa 2.3.3. Cho f ∈ [x1 , ..., xn ] và i ≤ n. Viết f dưới dạng
r
gk xki ,
f=
k=0
trong đó gk ∈ K[x1 , ..., xˆ1 , ..., xn ] (xˆ1 nghĩa là bỏ đi biến xi ). Khi đó đạo
hàm riêng của biến xi là các đa thức :
r
k.gk xk−1
.
i
f xi =
k=1
Định nghĩa 2.3.4. Ước chung lớn nhất của đa thức f1 , ..., fn ∈ K[x]
là đa thức h sao cho
(i) h chia hết f1 , ..., fn , nghĩa là f1 = q1 h, ..., fn = qn h; q1 , ..., qn ∈ K[x].
(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1 , ..., fn thì p chia hết h.
Ước chung lớn nhất kí hiệu là h = U CLN (f1 , ..., fn )
Bội chung nhỏ nhất của đa thức f1 , ..., fn ∈ K[x] là đa thức q sao cho
(i) q chia hết cho f1 , ..., fn , nghĩa là q = q1 , ..., q = qn fn ; q1 , ..., qn ∈ K[x].
37
(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết cho f1 , ..., fn thì p chia hết q.
Bội chung nhỏ nhất kí hiệu là q = BCN N (f1 , ..., fn )
Định lí 2.3.5. Cho f1 , ..., fn ∈ K[x] và charK = 0. Khi đó phần phi
bình phương của f được tính bởi công thức
fred =
Hơn nữa
f
U CLN (f, fx1 , ..., fxn )
(f ) = fred
Chứng minh. Giả sử f = f1a1 ...frar là phân tích lũy thừa của các đa thức
bất khả quy mà fi /fj khác hằng với mọi i = j. Ta cần chứng minh
U CLN (f1 , fx1 , ..., fxn ) = f1a1 −1 ...frar −1 .
Trước hết ta nhận xét fxi = f1a1 −1 ...frar −1 (a1 (f1 )xi f2 ...fr +...+ar (fr )xi f1 ...fr−1 .
Điều đó chứng tỏ rằng f1a1 −1 ...frar −1 chia hết U CLN (f1 , fx1 , ..., fxn ).
Bây giờ chỉ ra rằng với mỗi i tồn tại j để fxj không chia hết cho fiai .
Viết f = fiai h, trong đó h không chia hết cho fi . Vì fi không là đa thức
hằng nên nó phải chứa biến xj nào đó.Khi đó
fxj = ai fiai −1 (fi )xj h + fiai −1 hxj .
Nếu biểu thức này chia hết fiai , thì (fi )xj h phải chia hết cho fi . Vì h
không chia hết cho fi và fi bất khả qui, theo định lý 2.1.3 (fi )xj chia
hết cho fi . Điều này phi lý vì (fi )xj = 0 và deg xj ((fi )xj ) < deg xj fi . Định
lý được chứng minh.
38
2.4
Căn của ideal chiều 0
Định nghĩa 2.4.1. Một iđêan đơn thức I ⊂ K[x1 , ..., xn ] khác không
được gọi là một iđêan chiều 0 nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, iđêan I chứa đa
thức một biến f (xi ) ∈ K[xi ] khác đa thức không.
Hệ quả 2.4.2. I là iđêan chiều 0 nếu và chỉ nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, I
chứa đa thức một biến xi khác đa thức hằng. Trong trường hợp này đa
thức chứa biến xi và có bậc nhỏ nhất thuộc I là phần tử của tập hợp
G
K[xi ], trong đó G là cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I với thứ tự từ mà
xi là phần tử cuối.
Chứng minh. Khẳng định đầu được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Do
I là iđêan chiều 0 nên Ixi là khác không. Vậy đa thức chỉ chứa biến xi
có bậc nhỏ nhất thuộc I, chính là phần tử sinh của I. Do thứ tự từ ở
đây là thứ tự mà xi là phần tử cuối, vậy đa thức chỉ chứa biến xi có
bậc nhỏ nhất phải thuộc G vì mọi đa thức khác của I không thể chia
hết đa thức này, trong đó G là cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I với thứ tự
từ mà xi là phần tử cuối.
Định nghĩa 2.4.3. Cho I là iđêan thực sự của vành K[x] = K[x1 , ..., xn ]
và {y1 , ..., yr } ⊂ {x1 , ..., xn }. Tập {y1 , ..., yr } được gọi là tập độc lập
modulo I nếu Iy = 0. {y1 , ..., yr } được gọi là tập độc lập cực đại modulo
I nếu nó là độc lập modulo I và không thực sự chứa trong một tập
khác độc lập moduloI. Chiều của K[x]/I là số
dimK[x]/I = max{ y | y ⊆ {x1 , ..., xn } độc lập modulo I}
Bổ đề 2.4.4. [2] Cho I là iđêan thực sự của vành K[x]. Khi đó:
39
(i) I là iđêan chiều 0 nếu và chỉ nếu với mọi i ≤ n, chứa đa thức một
biến xi khác đa thức hằng. Trong trường hợp này đơn thức của biến xi
và có bậc nhỏ nhất thuộc I là phần tử của tập hợp G
K[xi ], trong
đó G là một cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với thứ tự từ thỏa mãn
xi
{x1 , ..., xˆ1 , ..., xn }.
(ii) Nếu I ⊆ J ⊂ K[x] thì dimJ ≤ dimI. Nói riêng, nếu dimI = 0 thì
dimJ = 0.
(iii) Nếu dimI = 0, thì với mọi y ⊆ {x1 , ..., xn }, Iy là iđêan chiều 0 trong
K[y].
Định nghĩa 2.4.5. Trường K là trường hoàn hảo nếu mọi đa thức bất
khả qui f ∈ K[x] là tách được.
Nhắc lại rằng một đa thức f ∈ K[x] là tách được nếu nó không có
¯ của K. Dễ dàng kiểm
nghiệm bội trong trong trường bao đóng đại số K
tra f là tách được khi và chỉ khi U CLN (f, f ) = 1. Từ đó suy ra K là
hoàn hảo nếu và chỉ nếu mọi đa thức không chứa bình phương là tách
được, hay tương đương U CLN (f, f ) = 1.
Định lí 2.4.6. Nếu K là trường hoàn hảo, thì iđêan chiều 0 là iđêan
căn khi và chỉ khi với mọi i ≤ n nó chứa một đa thức biến xi không
chứa bình phương.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan căn . Vì I là iđêan chiều 0 nên theo bổ
đề 2.3.4 (i) với mỗi i ≤ n nó chứa đa thức một biến. Gọi gi là phần phi
√
bình phương của nó. Theo mệnh đề 2.3.1, ta có gi = I = I (vì I là
iđêan căn).
40
Ngược lại, giả sử với mỗi i ≤ n, I chứa một đa thức một biến fi không
chứa bình phương vì K là trường hoàn hảo nên U CLN (fi , fi ) = 1. Do
đó theo I là giao của một số hữu hạn iđêan. Nói riêng I là I là iđêan
căn.
2.5
Định lí Hilbert về không điểm
Không gian afin n chiều trên trường K là tập hợp AnK gồm các điểm
(a1 , ..., an ) ∈ K n . Khi K đã rõ, ta chỉ kí hiệu đơn giản An . Mỗi đa thức
f ∈ K[x] xác định một hàm từ An vào K biến mỗi điểm (a1 , ..., an )
thành f (a1 , ..., an ). Thông thường khi xét không gian afin n chiều ta
hay xét cùng vành đa thức n biến K[x].
Định nghĩa 2.5.1. Với mỗi tập A ⊆ K[x], kí hiệu Z(A) là tập nghiệm
chung của các đa thức f ∈ A trong không gian An :
Z(A) = {(a1 , ..., an ) ∈ An | f (a1 , ..., an ) = 0, ∀f ∈ A}.
Mỗi phần tử của tập này còn gọi là không điểm của tập đa thức A.
Định nghĩa 2.5.2. Với mỗi tập con W ⊂ An kí hiệu I(W ) là tập các
đa thức của K[x] triệt tiêu các điểm tại của W :
I(W ) = {f ∈ K[x] | f (a) = 0, ∀f ∈ W }.
Dễ dàng kiểm tra tập này lập thành iđêan căn.
Định lí 2.5.3. (Định lí Hilbert về không điểm) Cho K là trường,
¯ là bao đóng đại số của K và f, f1 , ..., fm ∈ K[x]. Các khẳng định sau
K
tương đương
41
(i) Với mọi a ∈ AnK¯ , f1 (a) = ... = fm (a) = 0 suy ra f (a) = 0.
(ii) Tồn tại 0 < s ∈ N sao cho f s = (f1 , ..., fm ).
√
Hệ quả 2.5.4. Nếu I là một iđêan trong vành K[x1 , ..., xn ] thì I là
√
một iđêan trong vành K[x1 , ..., xn ] chứa I. Hơn nữa I là một iđêan
căn.
√
√
Chứng minh. Từ định nghĩa của I, ta có ngay I ⊂ I. Bây giờ ta sẽ
√
chứng minh I là một iđêan.
√
Giả sử f, g ∈ I khi đó tồn tại các số nguyên m và l sao cho f m , g l ∈
I. Khai triển lũy thừa (f + g)m+l−1 thì mọi số hạng đều có nhân tử f i g i
với i + j = m + l − 1. Từ i ≥ m hoặc j ≥ l cho ta f i ∈ I hoặc g i ∈ I,
khi đó ta luôn có f i g i ∈ I. Vậy mọi số hạng của khai triển (f + g)m+l−1
đều thuộc I do đó (f + g)m+l−1 ∈ I. Hay f + g ∈ I. (1)
√
Nếu f ∈ I và h ∈ K[x1 , ..., xn ] thì f m ∈ I, cho một số nguyên
√
m ≥ 1. Vì I là iđêan nên (hf )m = hm f m ∈ I. Vậy hf ∈ I. (2)
√
Từ (1) và (2) ta suy ra I là một iđêan.
√
√
Nếu f m ∈ I khi đó f (x1 , ..., xn ) = 0 với mọi (x1 , ..., xn ) ∈ V ( I) =
V (I). Vậy theo định lí Hilbert về không điểm thì tồn tại 0 < k ∈ N sao
√
√
cho f k ∈ I. Vậy f ∈ I. Hay I là một iđêan căn.
Định lí 2.5.5. (Định lí Nullstellnsatz) Cho K là một trường đóng
đại số, nếu I là một iđêan trong K[x1 , ..., xn ] thì
√
I(V (I)) = I.
Chứng minh. Ta có
√
I ⊂ I(V (I)). Thật vậy, với mọi f ∈
√
I thì tồn
tại số nguyên dương m ≥ 1 để f m ∈ I. Vậy f m triệt tiêu trên V (I) do
42
đó theo bổ đề 2.2.4 f cũng triệt tiêu trên V (I). Hay f ∈ I(V (I)).
Ngược lại, giả sử f ∈ I(V (I)). Theo định nghĩa ta có f triệt tiêu
trên V (I). Khi đó theo định lí Hilbert về không điểm thì tồn tại só
√
nguyên dương m sao cho f m ∈ I. Vậy f ∈ I. Do f lấy bất kì vậy ta
√
có I(V (I)) ⊂ I. Định lí được chứng minh.
¯ khi
Hệ quả 2.5.6. Hai hệ phương trình đa thức tương đương trên K
và chỉ khi hai iđêan sinh bởi các đa thức trong từng hệ có cùng căn.
Chứng minh. Gọi I, J lần lượt là các iđêan sinh bởi các đa thức trong
√
√
từng hệ. Khi đó, nếu V (I) = V (J) ⇒ I = I(V (I)) = I(V (J)) = J.
√
√
√
√
Nếu I = J thì V (I) = V ( I) = V ( J) = V (J). Vậy ta có điều
cần chứng minh.
Định lí 2.5.7. (Định lí Hilbert yếu về không điểm) Cho K là
¯ là bao đóng đại số của K và f1 , ..., fm ∈ K[x]. Hệ phương
trường, K
trình f1 (x) = ... = fm (x) = 0 vô nghiệm trong AnK¯ khi và chỉ khi iđêan
(f1 , ..., fm trùng với K[x].
Mệnh đề 2.5.8. [2]Cho I là iđêan nguyên tố của K[x] và có chiều 0.
Cho G là cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với thứ tự từ điển sao cho
xn > ... > x2 > x1 . Khi đó
(i) I là iđêan cực đại.
(ii) G có đúng n phần tử g1 , ..., gn sao cho in(gi ) = xai i , ai > 0, với moi
i ≤ n. Nói riêng gi ∈ K[x1 , ..., xn ].
Bổ đề 2.5.9. [2] Cho I là iđêan nguyên tố chiều 0 của vành K[x1 , ..., xn ].
Khi đó
43
(i) Nếu G = g1 , ..., gn là cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I như trong mệnh
¯ i là nghiệm chung của g1 , ..., gi , 1 ≤ i < n thì
đề trên, và (z1 , ..., zi ) ∈ K
¯ sao cho (z1 , ..., zn ) là ngiệm chung của I.
tồn tại (zi+1 , ..., zn ) ∈ K
(ii) I có nghiệm trong AnK¯
Bổ đề 2.5.10. [2] Cho I là iđêan nguyên tố của K[x1 , ..., xn ]. Giả sử
{x1 , ..., xd } là tập độc lập cực đại modulo I. Khi đó tồn tại đa thức
¯ i mà
p ∈ K[x1 , ..., xd ] khác không sao cho mọi phần tử (z1 , ..., zd ) ∈ K
p(z1 , ..., zd ) = 0 đều có thể mở rộng thành nghiệm (z1 , ..., zn ) ∈ AnK¯ của
I.
Chứng minh Định lí Hilbert yếu về không điểm
Giả sử I = f1 = ... = fm là iđêan thực sự của K[x]. Ta chỉ cần tìm ra
một không điểm của I trong AnK¯ . Đặt d = dimI.
Trường hợp d = 0. Chọn J là iđêan cực đại chứa I. Khi đó J là iđêan
nguyên tố và có chiều 0 ( theo bổ đề 2.4.4). Theo bổ đề 2.5.9, J không
có điểm chung. Đó cũng là không điểm của I.
Trường hợp d > 0. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết x1 , ..., xd
là tập độc lập cực đại modulo I. Chọn J là iđêan nguyên tố chứa I sao
cho J
K[x1 , ..., xd ] 0 = ∅. Khi đó dimJ = d và x1 , ..., xd là tập độc
lập cực đại modulo J. Lấy đa thức p(z1 , ..., zd ) = 0 đều có thể mở rộng
thành nghiệm (z1 , ..., zn ) ∈ AnK¯ của J. Vì trường đại số là vô hạn nên
¯ d không là nghiệm của p. Theo bổ đề 2.5.10, từ
tồn tại (z1 , ..., zd ) ∈ K
(z1 , ..., zd ) có thể xây dựng được không điểm của J, và do đó của I.
Định lý được chứng minh.
Chứng minh Định lí Hilbert về không điểm Rõ ràng (ii) ⇒ (i) là hiển
44
nhiên.
Ta chứng minh (i) ⇒ (ii). Cho f ∈ K[x] mà f (z1 , ..., zn ) = 0 với
mọi (z1 , ..., zn ) thỏa mãn f1 (z1 , ..., zn ) = ...fm (z1 , ..., zn ) = 0. Xét iđêan
I = f1 , ..., fm ⊆ K[x], và J = (I, 1 − yf ) ⊆ K[x, y], trong đó y là
một biến mới. Từ điều kiện của f suy ra I không có không điểm trong
¯ n+1 . Thật vậy, nếu (a1 , ..., an ) không là không điểm chung của f1 , ..., fm
K
thì (a1 , ..., an , an+1 ) ∈
/ V (J). Nếu (a1 , ..., an ) là không điểm chung của
f1 , ..., fm thì theo (i) ta có f (a1 , ..., an ) = 0 do đó 1 − an+1 f (a1 , ..., an ) =
0. Vậy (a1 , ..., an , an+1 ) ∈
/ V (J). Theo định lí Hilbert yếu về không điểm
√
phải có J = K[x, y]. Vì vậy, f ∈ I. Định lý được chứng minh hoàn
toàn.
2.6
Nghiệm của hệ phương trình đa thức
Xét hệ S
P1 (x1 , ..., xn ) = 0
P2 (x1 , ..., xn ) = 0
........................
Gọi I là iđêan sinh bởi các đa thức
I = (P1 (x1 , ..., xn ), P2 (x1 , ..., xn ), ..)
Bổ đề 2.6.1. F ∈ I(S) thì F (x01 , ..., x0n ) = 0 với mọi (x01 , ..., x0n ) là
nghiệm của hệ S.
Chứng minh.
F ∈ I(S) ⇔ F = r1 P1 + r2 P2 + ... + rm Pm .
45
Từ đó suy ra
F (x01 , ..., x0n ) = r1 (x01 , ..., x0n )P1 (x01 , ..., x0n ) + r2 (x01 , ..., x0n )P2 (x01 , ..., x0n ) +
... + rm (x01 , ..., x0n )Pm (x01 , ..., x0n ) = r1 (x01 , ..., x0n ).0 + r2 (x01 , ..., x0n ).0 + ... +
rm (x01 , ..., x0n ).0 = 0.
Hệ quả 2.6.2. Cho K là một trường đóng đại số và (f1 , ..., fm ) ∈ K[x].
Các điều kiện sau tương đương:
(i) Hệ phương trình f1 (x) = ... = fm (x) = 0 vô nghiệm.
(ii) Tồn tại cơ sở Gr¨obner của I = (f1 , ..., fm ) (đối với một thứ tự nào
đó) chứa đa thức hằng.
(iii) Mọi cơ sở Gr¨obner của I = (f1 , ..., fm ) chứa một đa thức hằng.
Chứng minh. Từ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) là hiển nhiên. Khi đó theo định
lý Hilbert yếu về không điểm, thì hệ phương trình f1 (x1 , ..., xn ) =
...fm (x1 , ..., xn ) = 0 vô nghiệm, suy ra I = (f1 , ..., fm ) = K[x1 , ..., xn ].
Vậy mọi cơ sở Gr¨obner của I = (f1 , ..., fm ) chứa một đa thức hằng. Vì
I chứa đa thức hằng do đó mọi cơ sở Gr¨obner của I phải có đa thức có
đơn thức dẫn đầu chia hết đa thức hằng này, vậy đó chỉ có thể là đa
thức hằng. Hay ta có, (i) ⇒ (iii). Hệ quả được chứng minh.
Đối với hệ thuần nhất, ta có
Hệ quả 2.6.3. Cho (f1 , ..., fm ) ∈ K[x] là các đa thức thuần nhất khác
hằng, trong đó K là trường đóng đại số. Các điều kiện sau tương đương:
(i) Hệ phương trình f1 (x) = ... = fm (x) = 0 chỉ có nghiệm tầm thường
(0, ..., 0).
(ii) Tồn tại một cơ sở Gr¨obner G của I = (f1 , ..., fm ) sao cho với mỗi
0 ≤ i ≤ n, tồn tại g ∈ G để lm(g) = xai i , ai > 0.
46
(iii) Mọi cơ sở Gr¨obner của I = (f1 , ..., fm ) có tính chất: với mỗi 0 ≤
i ≤ n, tồn tại g ∈ G để lm(g) = xai i , ai > 0.
Mệnh đề 2.6.4. Cho I là iđêan thực sự của vành K[x]. Các điều kiện
sau tương đương:
(i) dimI = 0
(ii) Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, I có một đa thức khác 0 chỉ chứa biến xi .
(iii) Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, I có một đa thức khác 0 mà từ khởi đầu của
nó chỉ chứa biến xi .
(iii)’ Mọi cơ sở Gr¨obner G của I có tính chất với mỗi 1 ≤ i ≤ n, I có
một đa thức mà từ khởi đầu của nó chỉ chứa biến xi .
(iv) I chỉ có hữu hạn không điểm trong AnK¯ .
Chứng minh. Sự tương đương của hai khẳng định đầu đã được nêu
trong bổ đề 2.4.4(i). Vì ước của xai i là một lũy thừa của xi nên ta có
(ii) ⇒ (iii) ⇒ (iii). (iii) ⇒ (ii) hiển nhiên.
(ii) ⇒ (iv) Cho fi là một đa thức khác 0 của tập hợp I
K[xi ]. Khi
đó với mọi không điểm (a1 , ..., an ) ∈ AnK¯ . của I, ai phải là nghiệm của
fi . Từ định lí cơ bản của Đại số suy ra số không điểm của I hữu hạn.
(iv) ⇒ (i) Giả sử dimI = d > 0. Không mất tính tổng quát, có thể giả
thiết x1 , ..., xd là tập độc lập cực đại modulo I. Chọn J là một nguyên
tố chứa I sao cho J
K[x1 , ..., xd ] 0 = ∅. Khi đó theo bổ đề 2.5.10, tồn
tại đa thức p(z1 , ..., zd ) = 0 đều có thể mở rộng thành không điểm của
J. Vì tập (z1 , ..., zd ) như vậy là vô hạn, và mọi không điểm của J là
không điểm của I. Điều này mâu thuẫn với giả thiết I chỉ có hữu hạn
không điểm. Vậy I là iđêan chiều 0.
47
2.7
Cách giải hệ phương trình đa thức
Mệnh đề 2.7.1. Cho I là iđêan chiều 0 của vành R. Cho G là một cơ
sở Gr¨obner của I theo thứ tự từ điển với xn > ... > x1 . Khi đó với mọi
i ≤ n, G có phần tử gi ∈ K[x1 , ..., xn ].
Chứng minh. Cố định mỗi chỉ số i. Theo mệnh đề 2.6.4, G có phần tử
gi mà đơn thức dẫn đầu của nó chỉ chứa biến xi . Do G là cơ sở Gr¨obner
với thứ tự từ điển mà xn > ... > x1 . Vậy gi ∈ K[x1 , ..., xn ].
Phương pháp giải hệ phương trình
f1 = 0
f2 = 0
..........
fn = 0
(I)
1. Gọi I là iđêan sinh bởi các đa thức f1 , f2 , ..., fn . Ta tính được các cơ
sở Gr¨obner của iđêan I theo một thứ tự từ nào đó (ở đây ta thường
xét thứ tự từ điển), ta được cơ sở Gr¨obner G = {g1 , g2 , ..., gk }.
2. Giải hệ
g1 = 0
g2 = 0
..........
gk = 0
(II)
Khi đó nghiệm của hệ (II) là nghiệm của hệ (I) (theo bổ đề 2.6.1)
48
Ví dụ.
x2 − yz
y 2 − xz
z 2 − xy
= 3,
= 4,
(I )
= 5.
Xét iđêan I = (f1 , f2 , f3 ) với f1 = x2 − yz − 3, f2 = y 2 − xz − 4 ,
f3 = z 2 − xy − 5.
Theo thứ tự từ điển với x > y > z ta tìm được cơ sơ Gr¨obner như sau:
g1 = 13x + 11z,
g2 = 13y − z,
g3 = 36z 2 − 169.
Xét hệ
g1 = 13x + 11z = 0,
g2 = 13y − z
= 0,
g3 = 36z 2 − 169 = 0.
(II )
Ta có:
1
11
1
3
x2 − yz − 3 = ( 13
x − 169
z)(13x + 11z) − 13
z(13y − z) + 169
(36z 2 − 169)
1
1
1
4
−xz + y 2 − 4 = − 13
z(13x + 11z) + ( 13
y − 169
z)(13y − z) + 169
(36z 2 − 169)
1
−xy + z 2 − 5 = − 13
y(13x + 11z) +
11
169 z(13y
Khi đó:
1
f1 = ( 13
x−
11
169 z).g1
−
1
13 z.g2
+
1
1
f2 = − 13
z.g1 + ( 13
y−
1
169 z).g2
1
f3 = − 13
y.g1 +
+
11
169 z.g2
3
169 .g3
+
4
169 .g3
5
169 .g3 .
49
− z) +
5
2
169 (36z
− 169).
Vậy hệ (I’) tương đương với hệ (II’).
Ví dụ. Giải hệ phương trình
x2 − yz
y 2 − xz
z 2 − xy
= 3,
= 4,
= 5.
Giải. Đặt f1 = x2 − yz − 3, f2 = y 2 − xz − 4 , f3 = z 2 − xy − 5.
Ta tính cơ sơ Gr¨obner của iđêan sinh bởi f1 , f2 , f3 với quan hệ thứ
thự đơn thức x > y > z.
Sử dụng thuật toán Buchberger, ta nhận được:
S(f1 , f2 ) = −z(x2 − yz − 3) − x(−xz + y 2 − 4)
= −xy 2 + 4x + yz 2 + 3z = y.f3 → 4x + 3y + 5z = f4 .
S(f1 , f3 ) = −y(x2 − yz − 3) − x(−xy + z 2 − 5)
= −xz 2 + 5x + y 2 z + 3y = z.f2 + 54 .f4 → 13y − z = f5 .
S(f2 , f3 ) = −y(−xz + y 2 − 4) + z(−xy + z 2 − 5) = −y 3 + 4y + z 3 − 5z
1 2
= (− 13
y −
1
169 yz
−
1
2
2197 z
+
4
13 )f5
+ 36z 3 − 169 → 36z 3 − 169 = f6 .
S(f1 , f4 ) = 4(x2 − yz − 3) − x(4x + 3y + 5z) = −5xy − 3xz − 4yz − 12
3
= 5.f3 + (− 13
y−
55
169 z).f5
+ 36z 2 − 169 → 36z 2 − 169 = f7 .
S(f2 , f4 ) = 4(−xz + y 2 − 4) + z(4x + 3y + 5z) = 4y 2 + 5yz + 3z 2 − 16
4
y+
= ( 13
69
169 ).f5
+
16
169 .f7
→ 0.
S(f3 , f4 ) = 4(−xy + z 2 − 5) + y(4x + 3y + 5z) = 5y 2 + 3yz + 4z 2 − 20
5
= ( 13
y+
44
169 z)f5
+
20
169 .f7
→ 0.
S(f1 , f5 ), S(f2 , f5 ), S(f4 , f5 ) không cần xét.
S(f3 , f5 ) = 13(−xy + z 2 − 5) + x(13y − z) = −xz + 13z 2 − 65
1
=f2 + (− 13
y−
1
169 z).f5
+
1099
3042 .f7
→ 0.
50
S(f1 , f6 ), S(f2 , f6 ), S(f3 , f6 ), S(f4 , f6 ), S(f5 , f6 ) không cần xét.
S(f1 , f7 ), S(f2 , f7 ), S(f3 , f7 ), S(f4 , f7 ), S(f5 , f7 ) không cần xét.
S(f6 , f7 ) = (36z 3 − 169) − z(36z 2 − 169)
= 0 → 0.
Ta có một cơ sở Gr¨obner bao gồm các đa thức
f1 = x2 − yz − 3, f2 = −xz + y 2 − 4 , f3 = −xy + z 2 − 5, f4 =
4x + 3y + 5z, f5 = 13y − z, f6 = 36z 3 − 169, f7 = 36z 2 − 169.
Tiếp theo, ta nhân các phần tử sinh với hằng số thích hợp để được
hệ số đầu bằng 1. Khi đó, ta thấy:
inf1 = x2 = x.inf4 , in f2 = xz = z.inf4 , inf3 = xy = y.inf4 ,
inf6 = z 3 = z. inf7 . Nên ta có thể loại f1 , f2 , f3 , f6 trong cơ sơ Gr¨obner
1
tối tiểu. Do vậy h1 = x + 54 y + 43 z, h2 = y − 13
z, h3 = z 2 − 169
36 là một cơ
sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với thứ tự từ điển. Từ cơ sơ Gr¨obner tối
tiểu, ta thấy h1 = 54 .h2 + 13x + 11z. Từ đó ta tìm được cơ sơ Gr¨obner
rút gọn g1 =
1
13 x
+ 11z, g2 = y −
1
13 z, g3
= z2 −
169
36 .
Vậy theo thứ tự từ điển với x > y > z ta tìm được một cơ sơ Gr¨obner
như sau:
g1 = 13x + 11z,
g2 = 13y − z,
g3 = 36z 2 − 169.
51
Giải hệ phương trình:
g1 = 13x + 11z = 0,
g2 = 13y − z
= 0,
g3 = 36z 2 − 169 = 0.
Xét g3 = 0, ta được z =
Với z =
13
6,
13
6
hoặc z = − 13
6.
thay vào g2 = 0 và g1 = 0 ta được y = 16 ; x = − 11
6.
1
Với z = − 13
6 , thay vào g2 = 0 và g1 = 0 ta được y = − 6 ; x =
11
6.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1 13
11
1
13
(x, y, z) = {(− 11
6 , 6 , 6 ), ( 6 , − 6 , − 6 )}.
Đây cũng chính là nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
xy + x − 3y − 4 = 0,
yz + z − 5y − 9
= 0,
xz − 5x − 3z + 6 = 0.
Giải. Xét iđêan I = (xy + x − 3y − 4, yz + z − 5y − 9, xz − 5x − 3z + 6).
Đặt f1 = xy + x − 3y − 4, f2 = yz + z − 5y − 9 , f3 = xz − 5x − 3z + 6.
Ta tính cơ sơ Gr¨obner của iđêan sinh bởi f1 , f2 , f3 với quan hệ thứ
thự đơn thức x > y > z.
Sử dụng thuật toán Buchberger, ta nhận được:
S(f1 , f2 ) = z(xy + x − 3y − 4) − x(yz − 5y + z − 9)
= 5xy + 9x − 3yz − 4z = 5.f1 − 3.f2 + 4x − z − 7 → 4x − z − 7 = f4 .
S(f1 , f3 ) = z(xy + x − 3y − 4) − y(xz − 5x − 3z + 6)
52
= 5xy + xz − 6y − 4z = 5.f1 + f2 + 9y − z + 14 → 9y − z + 14 = f5 .
S(f2 , f3 ) = x(yz + z − 5y − 9) − y(xz − 5x − 3z + 6) = xz − 9x + 3yz − 6y
= f3 − f4 + 3f2 + 9y − z + 14 → 9y − z + 14 = f5 .
S(f1 , f4 ) = 4(xy + x − 3y − 4) − y(4x − z − 7) = 4x + yz − 19y − 16
= f4 + f2 → 0.
S(f2 , f4 ) không cần xét.
S(f3 , f4 ) = 4(xz − 5x − 3z + 6) − z(4x − z − 7) = −20x + z 2 − 5z + 24
= −5.f4 + z 2 − 10z − 11 → z 2 − 10z − 11 = f6 .
S(f1 , f5 ) = 9(xy + x − 3y − 4) − x(9y − z + 14) = xz − 5x − 27y − 36
= f3 − 3.f5 → 0.
S(f2 , f5 ) = 9(yz + z − 5y − 9) − z(9y − z + 14) = −45y + z 2 − 5z − 81
= −5.f5 + f6 → 0.
S(f3 , f5 ), S(f4 , f5 ), S(f1 , f6 ) không cần xét.
S(f2 , f6 ) = z(yz + z − 5y − 9) − y(z 2 − 10z − 11)
= 5yz + 11y + z 2 − 9z=5.f2 + 4.f5 → 0.
S(f3 , f6 ) = z(xz − 5x − 3z + 6) − x(z 2 − 10z − 11)
= 5xz + 11x − 3z 2 + 6z = 5.f3 + 9.f4 − 3.f6 → 0.
S(f4 , f6 ), S(f5 , f6 ) không cần xét.
Ta có một cơ sở Gr¨obner bao gồm các đa thức
f1 = xy + x − 3y − 4, f2 = yz − 5y + z − 9 , f3 = xz − 5x − 3z + 6, f4 =
4x − z − 7, f5 = 9y − z + 14, f6 = z 2 − 10z − 11.
Tiếp theo, ta nhân các phần tử sinh với hằng số thích hợp để được hệ
số đầu bằng 1. Khi đó, ta thấy: inf1 = xy = y.inf4 , in f2 = yz = z.inf5 ,
inf3 = xz = z.inf4 . Nên ta có thể loại f1 , f2 , f3 trong cơ sơ Gr¨obner tối
tiểu. Do vậy g1 = z 2 − 10z − 11, g2 = y − 91 z +
53
14
9 , g3
= x − 41 z − 74 , là
một cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với thứ tự từ điển và cũng chính
là cơ sơ Gr¨obner rút gọn của I đối với thứ tự từ điển.
Vậy theo thứ tự từ điển với x > y > z ta tìm được cơ sơ Gr¨obner
như sau:
g1 = z 2 − 10z − 11,
g2 = 9y − z + 14,
g3 = 4x − z − 7.
Giải hệ
g1 = z 2 − 10z − 11 = 0,
g2 = 9y − z + 14
= 0,
g3 = 4x − z − 7
= 0.
Xét g1 = 0 , ta tìm được các nghiệm z = −1; hoặc z = 11.
Với z = −1, thay vào g2 = 0 ta được y = − 35 và g3 = 0 ta tìm được
x = 23 .
Với z = 11, thay vào g2 = 0 ta được y = − 31 và g3 = 0 ta tìm được
x = 29 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x, y, z) = {( 32 , − 35 , −1), ( 92 , − 13 , 11)}.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
x3 − 2xy + y 3
x5 − 2x2 y 2 + y 5
= 0,
= 0.
Giải. Xét iđêan I = (x3 − 2xy + y 3 , x5 − 2x2 y 2 + y 5 ).
54
Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gr¨obner như sau:
g1 = y 10 − y 8 − 2y 7 + 2y 6 ,
g2 = 200xy 2 + 193y 9 + 158y 8 − 45y 7 − 456y 6 + 50y 5 − 100y 4 ,
g3 = x3 − 2xy + y 3 .
Giải trong trường hợp K = R.
Giải hệ
g1 = y 10 − y 8 − 2y 7 + 2y 6
g2 = 200xy 2 + 193y 9 + 158y 8 − 45y 7 − 456y 6 + 50y 5 − 100y 4
g3 = x3 − 2xy + y 3
= 0,
= 0,
= 0.
Xét g1 = 0 suy ra (y − 1)2 (y 2 + 2y + 2)y 6 = 0, ta tìm được hai nghiệm
y = 1 và y = 0.
Với y = 1, thay vào g2 = 0 và g3 = 0 ta đều tìm được x = 1.
Với y = 0, thay vào g2 = 0 và g3 = 0 ta được x = 0.
Vậy khi K = R hệ phương trình có nghiệm (x, y) = {(0, 0), (1, 1)}.
Giải trong trường hợp K = C.
Giải hệ
g1 = y 10 − y 8 − 2y 7 + 2y 6
g2 = 200xy 2 + 193y 9 + 158y 8 − 45y 7 − 456y 6 + 50y 5 − 100y 4
g3 = x3 − 2xy + y 3
= 0,
= 0,
= 0.
Xét g1 = 0 suy ra (y − 1)2 (y 2 + 2y + 2)y 6 = 0, ta tìm được các nghiệm
y = 1; y = 0 và y = −1 ± i.
Với y = 1, thay vào g2 = 0 và g3 = 0 ta đều tìm được x = 1.
55
Với y = 0, thay vào g2 = 0 và g3 = 0 ta được x = 0.
Với y = −1 ± i, thay vào g2 = 0 và g3 = 0 ta được x = −1 ∓ i.
Vậy K = C hệ phương trình có nghiệm
(x, y) = {(0, 0), (1, 1)(−1 − i, −1 + i), (−1 + i, −1 − i)}.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
x3 − 8x − y 3 − 2y
x2 − 3y 2 − 6
= 0,
= 0.
Giải. Xét iđêan I = (x3 − 8x − y 3 − 2y, x2 − 3y 2 − 6).
Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gr¨obner như sau:
g1 = 12y 6 + 7y 4 − 32y 2 + 12,
g2 = 8x − 39y 5 − 47y 3 + 62y.
Giải hệ
g1 = 12y 6 + 7y 4 − 32y 2 + 12,
g = 8x − 39y 5 − 47y 3 + 62y
2
= 0.
Giải trong trường hợp K = R.
Xét g1 = 0 suy ra
(y 2 − 1)(13y 2 − 6)(y 2 + 2) = 0,
ta tìm được nghiệm y = ±1 hoặc y = ±
6
13 .
Với y = 1, thay vào g2 = 0 ta tìm được x = 3.
Với y = −1, thay vào g2 = 0 ta được x = −3.
Với y =
Với y = −
6
13 ,
thay vào g2 = 0 ta tìm được x = −4.
6
13 ,
thay vào g2 = 0 ta tìm được x = 4.
56
6
13 .
6
13 .
Vậy khi K = R hệ phương trình có nghiệm
(x, y) = {(3, 1), (−3, −1), (−4.
6
13 ,
6
13 ), (4.
6
13 , −
6
13 )}.
Giải trong trường hợp K = C.
Xét g1 = 0 suy ra
(y 2 − 1)(13y 2 − 6)(y 2 + 2) = 0,
ta tìm được nghiệm y = ±1, y = ±
6
13 ,
√
y = ± i 2.
Với y = 1, thay vào g2 = 0 ta tìm được x = 3.
Với y = −1, thay vào g2 = 0 ta được x = −3.
thay vào g2 = 0 ta tìm được x = −4.
6
13 .
6
Với y = − 13
, thay vào g2 = 0 ta tìm được x = 4.
√
Với y = i 2, thay vào g2 = 0 ta tìm được x = 0.
√
Với y = −i 2, thay vào g2 = 0 ta tìm được x = 0.
6
13 .
Với y =
6
13 ,
Vậy khi K = C hệ phương trình có nghiệm
(x, y) = {(3, 1), (−3, −1), (−4.
6
13 ,
57
6
13 ), (4.
6
13 , −
√
6
13 )}(0, i
√
2), (0, −i 2).
KẾT LUẬN
Với các nội dung nghiên cứu đã trình bày, khóa luận "Ứng dụng của
cơ sở Gr¨obner để giải hệ phương trình đa thức" đã giải quyết những
vấn đề đặt ra. Nội dung cơ bản nhất của lí thuyết cơ sở Gr¨obner cũng
như điều kiện để một hệ phương trình đa thức có nghiệm, vô nghiệm
theo lý thuyết cơ sở Gr¨obner đã được trình bày một cách hệ thống, chặt
chẽ, mặt khác đã đưa ra một cách giải nhất quán, đơn giản cho mọi bài
toán. Trên cơ sở lí thuyết đó, khóa luận đã đem ra các ví dụ mang tính
chất tính toán cụ thể giúp bạn đọc dể hiểu và vận dụng.
Nội dung khóa luận dừng lại ở việc nêu ứng dụng của lý thuyết cơ sở
Gr¨obner vào giải hệ phương trình đa thức nên chưa khai thác triệt để
các ứng dụng của lí thuyết này trong các chuyên ngành khác của toán
học nên hướng phát triển của khóa luận sẽ là nghiên cứu sâu hơn và
toàn diện hơn về ứng dụng của cơ sở Gr¨obner trong tự động hóa chứng
minh định lí hình học, Quy hoạch tuyến tính,...
Hi vọng những kiến thức mà khóa luận đưa ra sẽ là tài liệu tham khảo
cho giáo viên phổ thông, các em học sinh và những người yêu toán một
hướng tiếp cận mới, một công cụ toán học hiện đại để giải hệ phương
trình đa thức.
58
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình Đại số hiện đại, Nxb Đại học
quốc gia Hà Nội.
2. Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính: Cơ sở Gr¨obner, Nxb Đại học
quốc gia Hà Nội.
3. Hoàng Xuân Sính (1997), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Việt Nam.
4. Jean - Marie Monier (1996), Giáo trình Toán - Tập 5, Đại số 1, Nxb
Giáo dục Việt Nam.
5. Thomas Becker and Volker Weispfenning (1993), Gr¨obner Bases - A
Computation Approach to Communative Algebra, Springer Verlag.
6. W. Gr¨obner (1970), Algebraische Geometrie, Vol. II, Bibliographisches Institut.
7. S.Lang (1971), Algebra, Addison - Wesley, Reading, MA.
8. Brendan Hassett (2007), Introduction to Algebraic Geometry, Cambridge, University.
9. Adams, W.W. and Loustaunau (1994), P. An Introduction to Gr¨obner
Bases, Providence, RI: Amer. Math.Soc.
59
[...]... một số hữu hạn bước và G là cơ sở Gr¨obner chứa {f1 , , ft } của I = (f1 , , ft ) 31 Chương 2 Ứng dụng của cơ sở Gr¨ obner để giải hệ phương trình đa thức Chương này trình bày một cách hệ thống về điều kiện có nghiệm, số nghiệm của phương trình đa thức và cách giải tổng quát của hệ phương trình đa thức 2.1 Đa thức bất khả quy và phân tích duy nhất Định nghĩa 2.1.1 Đa thức f của K[x] được gọi là bất khả... phải là đa thức hằng và không phải là tích của hai đa thức khác đa thức hằng trong K[x] Chú ý Khái niệm này phụ thuộc vào trường K Ví dụ Đa thức x2 − 2 bất khả qui trên Q nhưng không bất khả qui trên R Mệnh đề 2.1.2 Mọi đa thức khác đa thức hằng của K[x] đều viết thành tích của các đa thức bất khả qui 32 Chứng minh Giả sử f là đa thức khác đa thức hằng Nếu f bất khả qui thì không có gì để chứng minh... sử F = {f1 , , fs } là một cơ sở Gr¨obner đối với một thứ tự từ cho trước Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r của phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) được xác định duy nhất Hệ quả 1.4.21 Giả sử F = {f1 , , fs } là một cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với một thứ tự từ cho trước và đa thức f ∈ R Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi đa thức dư r của phép chia f cho hệ F bằng 0 1.4.4 Tiêu chuẩn... một iđêan tùy ý của R Nếu g1 , , gn là cơ sở Gr¨obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1 , , gn là cơ sở của I Nhận xét Việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm một cơ sở Gr¨obner của I (đối với một thứ tự nào đó) Với một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ này nhưng không phải cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ khác Ví dụ • Cho I là iđêan của vành K[x] Ta... là một cơ sở Gr¨ obner của I đối với thứ tự từ ≤, nếu in≤ (I) = (in≤ (g1 ), ,in≤ (gs )) Tập g1 , , gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨obner, nếu nó là cơ sở Gr¨obner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này Bổ đề 1.4.12 Cho G là một cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với một thứ thự từ nào đó Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g ∈ G sao cho in(g )|in(g), thì G\{g} cũng là một cơ sở Gr¨obner của I... về vành đa thức nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trường là hữu hạn sinh Đó là nội dung định lí nổi tiếng của Hilbert về cơ sở Dưới đây là một dạng tổng quát của nó Định lí 1.3.5 (Định lí Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là tập n biến Khi đó vành R[x] là vành Noether Hệ quả 1.3.6 Mọi iđêan của vành đa thức K[x] trên trường K là hữu hạn sinh Định lí 1.3.7 (Định lí chia đa thức một... cho đa thức dư là x hoặc 0 Chú ý Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức phụ thuộc vào việc sắp xếp thứ tự các phần tử của tập F = {f1 , , fs } Đa thức PHANDU(f ; F ) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF (f ) Nói chung RemF (f ) = PHANDU(f ; F ) Thuật toán chia đa thức chỉ cho một cách xây dựng đa thức dư, chứ không khẳng định đó là tất cả đa thức dư có thể có nêu trong định lí chia đa thức. .. của đa thức f (x), xa là đơn thức của f (x) αa xa và g(x) = Hai đa thức : f (x) = βa xa được xem là bằng a∈Nn a∈Nn n nhau nếu αa = βb với mọi a ∈ N Phép cộng đa thức được định nghĩa: αa x a + ( a∈Nn βa xa ) = a∈Nn (αa + βa )xa a∈Nn Vì αa + βa = 0 nếu một trong hai hệ số αa hoặc βa bằng 0, nên trong biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và nó đúng là một đa thức Ta sẽ đồng nhất đa thức. .. Z Định lí 1.2.2 Giao của một họ bất kì những iđêan của một vành R là một iđêan của R Định nghĩa 1.2.3 Cho I là iđêan của vành R Nếu A là tập hợp sao cho I = (A) thì A được gọi là tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của I và ta nói I là iđêan sinh bởi A A được gọi là tập sinh tối tiểu (hay là hệ sinh tối tiểu, cơ sở tối tiểu) của I nếu A là tập sinh của I và không chứa tập sinh khác của I Ta nói iđêan là... hai đa thức khác 0 Kí hiệu: mf g = và mgf = in(f ) U CLN (lm(f ),lm(g)) in(g) U CLN (lm(f ),lm(g)) 28 S- đa thức của f và g là đa thức S(f, g) = mgf f − mf g g Bổ đề 1.4.23 (i)S(f, g) = −S(g, f ) (ii) in S(f, g) < BNNN(in(f ), in(g)) Định lí 1.4.24 (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho G = {g1 , , gs } là hệ sinh của iđêan I G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i = j ≤ s một (hoặc mọi) đa thức ... Trong ứng dụng gần gũi lý thuyết sở Gr¨obner quan tâm tới việc giải hệ phương trình đa thức Thực chất việc tìm sở Gr¨obner hệ phương trình đa thức đưa hệ phương trình ban đầu hệ phương trình. .. G sở Gr¨obner chứa {f1 , , ft } I = (f1 , , ft ) 31 Chương Ứng dụng sở Gr¨ obner để giải hệ phương trình đa thức Chương trình bày cách hệ thống điều kiện có nghiệm, số nghiệm phương trình đa thức. .. nghiệm, số nghiệm hệ phương trình đa thức cách giải tổng quát hệ phương trình đa thức Chương Kiến thức sở Chương nhắc lại số khái niệm Đại số giao hoán trình bày khái niệm sở lí thuyết sở Gr¨obner: