Mệnh đề 2.3.1. Cho f ∈ K[x1, ..., xn]và I = (f). Giả sử f = f1a1...frar là phân tích của f thành tích các lũy thừa của các đa thức bất khả quy sao cho fi/fj không là hằng số với mọi i 6= j. Khi đó
√
Chứng minh.Chọna ≥ max{a1, ..., ar}. Khi đó:(f1...fr)a = (fa−a1
1 ...fa−a1
r ) ∈
I. Suy ra f1...fr ∈ √I.
Ngược lại, cho gm chia hết cho f = f1a1...frar. Viết g = gb1
1 ...gbs
s , trong đó g1, ..., gs là bất khả qui và gk/gl khác hằng với mọi k 6= l. Khi đó fi
chia hết cho gmb1
1 ...gmbs
s . Từ định lý 2.1.3 và tính bất khả qui của fi, gi suy ra mỗi fi trùng với aigki nào đó, trong đó αi ∈ K∗. Vì fi/fj và gk/gl không là hằng số với mọi i 6= j, k 6= l nên ki 6= kj.
Do đó g chia hết cho f1...fr. Vậy √
I = p(f) = f1...fr.
Định nghĩa 2.3.2. Cho f ∈ [x1, ..., xn]. Giả sử f = fa1
1 ...far
r là phân tích thành của f thành tích các lũy thừa như ở mệnh đề trên. Khi đó ta gọi fred = f1...fr là phần phi bình phương của f và kí hiệu là fred
Định nghĩa 2.3.3. Cho f ∈ [x1, ..., xn] và i ≤ n. Viết f dưới dạng f =
r
X
k=0
gkxki,
trong đó gk ∈ K[x1, ...,xˆ1, ..., xn] (xˆ1 nghĩa là bỏ đi biến xi). Khi đó đạo hàm riêng của biến xi là các đa thức :
fx0i =
r
X
k=1
k.gkxk−i 1.
Định nghĩa 2.3.4. Ước chung lớn nhất của đa thức f1, ..., fn ∈ K[x] là đa thức h sao cho
(i) h chia hết f1, ..., fn, nghĩa là f1 = q1h, ..., fn = qnh;q1, ..., qn ∈ K[x]. (ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, ..., fn thì p chia hết h.
Ước chung lớn nhất kí hiệu là h = U CLN(f1, ..., fn)
Bội chung nhỏ nhất của đa thức f1, ..., fn ∈ K[x] là đa thức q sao cho (i) q chia hết chof1, ..., fn, nghĩa là q = q1, ..., q = qnfn;q1, ..., qn ∈ K[x].
(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết cho f1, ..., fn thì p chia hết q. Bội chung nhỏ nhất kí hiệu là q = BCN N(f1, ..., fn)
Định lí 2.3.5. Cho f1, ..., fn ∈ K[x] và charK = 0. Khi đó phần phi bình phương của f được tính bởi công thức
fred = f
U CLN(f, fx01, ..., fx0n) Hơn nữa p(f) = fred
Chứng minh. Giả sử f = fa1
1 ...far
r là phân tích lũy thừa của các đa thức bất khả quy mà fi/fj khác hằng với mọi i 6= j. Ta cần chứng minh
U CLN(f1, fx01, ..., fx0n) = fa1−1 1 ...far−1 r . Trước hết ta nhận xétfx0i = fa1−1 1 ...far−1 r (a1(f10)xif2...fr+...+ar(fr0)xif1...fr−1. Điều đó chứng tỏ rằng fa1−1 1 ...far−1 r chia hết U CLN(f1, fx0 1, ..., fx0 n). Bây giờ chỉ ra rằng với mỗi i tồn tại j để fx0j không chia hết cho fai
i . Viết f = fai
i h, trong đó h không chia hết cho fi. Vì fi không là đa thức hằng nên nó phải chứa biến xj nào đó.Khi đó
fx0j = aifai−1
i (fi0)xjh+fai−1
i h0xj.
Nếu biểu thức này chia hết fai
i , thì (fi0)xjh phải chia hết cho fi. Vì h không chia hết cho fi và fi bất khả qui, theo định lý 2.1.3 (fi0)xj chia hết cho fi. Điều này phi lý vì (fi0)xj 6= 0 và degxj((fi0)xj) < degxjfi.Định lý được chứng minh.