Định nghĩa 2.4.1. Một iđêan đơn thức I ⊂ K[x1, ..., xn] khác không được gọi là một iđêan chiều 0 nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, iđêan I chứa đa thức một biến f(xi) ∈ K[xi] khác đa thức không.
Hệ quả 2.4.2. I là iđêan chiều 0 nếu và chỉ nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, I chứa đa thức một biến xi khác đa thức hằng. Trong trường hợp này đa thức chứa biến xi và có bậc nhỏ nhất thuộc I là phần tử của tập hợp GT
K[xi], trong đó G là cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I với thứ tự từ mà xi là phần tử cuối.
Chứng minh. Khẳng định đầu được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Do I là iđêan chiều 0 nên Ixi là khác không. Vậy đa thức chỉ chứa biến xi có bậc nhỏ nhất thuộc I, chính là phần tử sinh của I. Do thứ tự từ ở đây là thứ tự mà xi là phần tử cuối, vậy đa thức chỉ chứa biến xi có bậc nhỏ nhất phải thuộc G vì mọi đa thức khác của I không thể chia hết đa thức này, trong đó G là cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I với thứ tự từ mà xi là phần tử cuối.
Định nghĩa 2.4.3. ChoI là iđêan thực sự của vànhK[x] = K[x1, ..., xn] và {y1, ..., yr} ⊂ {x1, ..., xn}. Tập {y1, ..., yr} được gọi là tập độc lập modulo I nếu Iy = 0. {y1, ..., yr} được gọi là tập độc lập cực đại modulo I nếu nó là độc lập modulo I và không thực sự chứa trong một tập khác độc lập moduloI. Chiều của K[x]/I là số
dimK[x]/I = max{]y | y ⊆ {x1, ..., xn} độc lập modulo I}
(i) I là iđêan chiều 0 nếu và chỉ nếu với mọi i ≤ n, chứa đa thức một biến xi khác đa thức hằng. Trong trường hợp này đơn thức của biến xi và có bậc nhỏ nhất thuộc I là phần tử của tập hợp GT
K[xi], trong đó G là một cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với thứ tự từ thỏa mãn xi {x1, ...,xˆ1, ..., xn}.
(ii) Nếu I ⊆ J ⊂ K[x] thì dimJ ≤ dimI. Nói riêng, nếu dimI = 0 thì dimJ = 0.
(iii) Nếu dimI = 0, thì với mọi y ⊆ {x1, ..., xn}, Iy là iđêan chiều0trong K[y].
Định nghĩa 2.4.5. Trường K là trường hoàn hảo nếu mọi đa thức bất khả qui f ∈ K[x] là tách được.
Nhắc lại rằng một đa thức f ∈ K[x] là tách được nếu nó không có nghiệm bội trong trong trường bao đóng đại số K¯ của K. Dễ dàng kiểm tra f là tách được khi và chỉ khi U CLN(f, f0) = 1. Từ đó suy ra K là hoàn hảo nếu và chỉ nếu mọi đa thức không chứa bình phương là tách được, hay tương đương U CLN(f, f0) = 1.
Định lí 2.4.6. Nếu K là trường hoàn hảo, thì iđêan chiều 0 là iđêan căn khi và chỉ khi với mọi i ≤ n nó chứa một đa thức biến xi không chứa bình phương.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan căn . Vì I là iđêan chiều 0 nên theo bổ đề 2.3.4 (i) với mỗi i ≤n nó chứa đa thức một biến. Gọi gi là phần phi bình phương của nó. Theo mệnh đề 2.3.1, ta có gi = √
I = I (vì I là iđêan căn).
Ngược lại, giả sử với mỗi i ≤ n, I chứa một đa thức một biếnfi không chứa bình phương vì K là trường hoàn hảo nên U CLN(fi, fi0) = 1. Do đó theo I là giao của một số hữu hạn iđêan. Nói riêng I là I là iđêan căn.