Định lí 1.4.18. (Định lí chia đa thức) Cố định một thứ tự từ ≤ trên M và cho
F = {f1, ..., fs} ⊂ R = K[x1, ..., xn]. Khi đó mọi đa thức f ∈ R có thể được viết dưới dạng f = q1f1 +...+qsfs+ r,
trong đó qi, r ∈ R thỏa các điều kiện sau đây:
(i) Hoặc r = 0 hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi đầu inf1, ...,infs. Hơn nữa in r ≤in f.
(ii) Nếu qi 6= 0 thì in(qifi) ≤in(f), i= 1, ..., s
Định nghĩa 1.4.19. Đa thứcr ở trên được gọi làđa thức dư hoặc phần dư của f khi chia cho F và được kí hiệu là r =RemF(f). Bản thân biểu diễn trên của f được gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, ..., fs.
Ví dụ.
x3+x = x.(x2+ 1) + 0.x2+ 0 = 0.(x2+ 1) +x.x2 +x, tức là x3 +x cho x2 và x2 + 1 có thể cho đa thức dư là x hoặc 0.
Chú ý. Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức phụ thuộc vào việc sắp xếp thứ tự các phần tử của tập F = {f1, ..., fs}. Đa thức PHANDU(f;F) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF(f).
Nói chung RemF(f) 6= PHANDU(f;F).
Thuật toán chia đa thức chỉ cho một cách xây dựng đa thức dư, chứ không khẳng định đó là tất cả đa thức dư có thể có nêu trong định lí chia đa thức.
Mệnh đề 1.4.20. Giả sử F = {f1, ..., fs} là một cơ sở Gr¨obner đối với một thứ tự từ cho trước. Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r của phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) được xác định duy nhất.
Hệ quả 1.4.21. Giả sử F = {f1, ..., fs}là một cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với một thứ tự từ cho trước và đa thức f ∈ R. Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi đa thức dư r của phép chia f cho hệ F bằng 0.