Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

0 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: “ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC” Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực hiện: Ngành: Lớp: Khóa: ThS Nguyễn Thị Hà Phương Võ Nguyễn Đình Khoa Cử nhân tốn ứng dụng 11CTUD1 2011 – 2015 Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Lời cảm ơn ! Trong chng trỡnh toỏn học phổ thơng, số phức có nhiều ứng dụng giải tích, đại số, lượng giác, đại số tổ hợp hình học Tuy nhiên, số phức đưa vào với nội dung giới thiệu chương trình giải tích 12 phần nhỏ Vì vậy, để mở rộng hướng giải quyết, khai thác ứng dụng nhiều số phức, chọn đề tài “Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức” Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo Nguyễn Thị Hà Phương hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo khoa Tốn, thầy cô giáo trường Đại học sư phạm – Đại Học Đà Nẵng dạy dỗ tơi hồn thành năm học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô phản biện, thầy hội đồng chấm khóa luận dành thời gian đọc cho nhận xét PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Trong cấu trúc đề thi Đại học – Cao Đẳng kỳ thi học sinh giỏi thường có phần giải hệ phương trình, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên việc giải tập phần thường khó khơng có phương pháp chung cho Đôi công cụ học sinh biết không đủ để giải tập này, để sử dụng công cụ học người học phải vượt qua bước biến đổi phức tạp giải tốn Một ứng dụng số phức dùng để giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức Mặc dù số phức đưa vào chương trình phổ thơng song nội dung cịn đơn giản, tài liệu phần ứng dụng số phức cho học sinh phổ thơng cịn chưa nhiều Nên việc nghiên cứu thêm điều lý thú số phức học sinh phổ thông thực cần thiết Vì lý trên, tơi đưa đề tài: “Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức” Cấu trúc khóa luận gồm có phần chính: o Phần mở đầu: o Phần nội dung: gồm có chương sau: Chương I: Các kiến thức sở số phức Chương II: Nghiên cứu ứng dụng số phức vào giải hệ phương trình Chương III: Nghiên cứu ứng dụng số phức vào giải toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ biểu thức o Phần kết luận: II Mục đích nghiên cứu: - Hệ thống hóa chi tiết vấn đề lý thuyết số phức - Xây dựng hệ thống tốn, tập vận dụng để thấy tính thiết thực số phức việc giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ biểu thức III Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết số phức ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: Một số tốn giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giá trị nhỏ biểu thức IV Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tốn giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ biểu thức có liên quan đến số phức V Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng tốn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy kinh nghiệm có thân, thầy cơ, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ - Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn kiến thức có liên quan đến đề tài PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC Lịch sử số phức kỉ XVI Nhà toán học Itlia R.Bombelli (1526 – 1573) đưa định nghĩa số phức, lúc gọi “số ảo” cơng trình Đại số (Bologne, 1573) cơng bố lâu trước ông Ông đưa định nghĩa số phức nghiên cứu phương trình bậc ba đưa bậc hai -1 Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 xác định dạng tổng quát " a  bi" chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn n nghiệm phương trình bậc n Nhà tốn học Thụy Sĩ L.Euler (1706 – 1783) đưa kí hiệu “ i ” để bậc hai -1, năm 1801 Gauss dùng lại kí hiệu Nhà tốn học Gauss (1777 – 1855) đưa chứng minh đầy đủ định lí đại số vào năm 1799: “Mọi phương trình bậc n (với n nguyên dương) ln có n nghiệm phức” 1.1 Dạng đại số số phức: 1.1.1 Định nghĩa số phức: - Số phức (dạng đại số) có dạng z  a  bi với a;b    a gọi phần thực số phức z , kí hiệu Re(z)  b gọi phần ảo số phức z , kí hiệu Im(z)  i đơn vị ảo số phức z , với i2 = –1 - Tập hợp số phức kí hiệu  , có nghĩa là:     a  bi / a,b  , i  1 - Mọi số thực a xem số phức a  0.i , tức    a  a ' - Hai số phức a  bi  a ' b ' i   b  b '  (a,b, a ',b '  ) 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức: Mỗi số phức z  a  bi xác định điểm M(a; b) hay xác định  véc tơ u  (a; b) mặt phẳng (Oxy) Ta có quan hệ tương ứng 1–1 tập số phức với tập hợp điểm mặt phẳng (Oxy) hay tập không gian véc tơ hai chiều Do mặt phẳng (Oxy) gọi mặt phẳng phức y M(a; b) b O M(a; b) a x 1.2 Các phép toán số phức: Cho hai số phức z  a1  b1i z  a2  b2i , a1;b1;a2 ;b2    1.2.1 Phép cộng hai số phức: z  z  a1  a2   b1  b2  i Tính chất phép cộng: (1) Giao hoán: z  z  z  z 1; z 1; z   (2) Kết hợp: z  z   z  z  z  z  ; z 1; z ; z   (3) Tồn phần tử không:   0i  ,z    z  z, z   (4) Mọi số phức z  a  bi tồn số đối z  a  bi   z  z   z   z  1.2.2 Phép nhân hai số phức: z 1.z  a1a2  b1b2   a1b2  a2b1  i  Tính chất phép nhân: (1) Giao hốn: z 1.z  z 2.z1; z 1; z   (2) Kết hợp: z 1z  z  z z 2z  ; z 1; z ; z   (3) Tồn phần tử đơn vị: 1   0i  ,z.1  1.z  z, z   (4) Mọi số phức z  a  bi  tồn số phức nghịch đảo, kí hiệu là: z 1  z a b    i 2 z a  b a  b z 1.2.3 Phép chia hai số phức: z1 a a  b1b2 a1b2  a2b1  z1  22  i z2 z2 a2  b22 a2  b22 1.2.4 Căn bậc hai số phức: Số phức w  x  yi bậc hai số phức z  a  bi x  y  a w  z    2xy  b  1.2.5 Số phức liên hợp: a) Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi với a,b   Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp z b) Định lý: (1) z   : z  z (2) z  z  z   (3) z 1; z   : z  z  z  z ; z 1.z  z 1.z  (4) z 1  z 1 , z   \ 0 z  z (5)    , z  ; z   \ 0  z  z (6) z   : z  z  Re z  ; z  z  2i Im z  1.3 Dạng lượng giác số phức 1.3.1 Dạng lượng giác: Với số phức z  a  bi với a,b   luôn biểu diễn dạng: z  r cos   i sin   Với r  a  b gọi mơđun số phức z , kí hiệu z   góc xác định a  r cos ;b  r sin  Khi  gọi argument số phức z , kí hiệu Argz Các argument số phức z  xác định sai khác bội nguyên 2 Khi z  r cos   i sin  gọi dạng lượng giác số phức z 1.3.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho hai số phức z  r1 cos 1  i sin 1  ,z  r2 cos 2  i sin 2  Khi đó: z 1.z  r1.r2 cos(1  2 )  i sin(1  2 ) z1 r  cos(1  2 )  i sin(1  2 ) z2 r2 Đặc biệt:   cos   i sin  ; z    z 1.3.3 Công thức Moivre: r cos   i sin   r n cos n  i sin n , n  N *    n n cos   i sin  Đặc biệt:  cos n  i sin n 1.4 Dạng mũ số phức: Cho số phức z  r cos   i sin  (1) Sử dụng cơng thức Euler ta có: e i  cos   i sin  Khi (1) trở thành: z  re i gọi dạng mũ số phức z 1.5 Phép khai số phức: 1.5.1 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Số phức z  r (cos   i sin ) , (r > 0) có hai bậc hai là:       k 2   k 2  , k  0,1  r cos  i sin   r cos  i sin  2  2   1.5.2 Căn bậc n số phức: Số phức z  r (cos   i sin ) (r > 0) có n bậc n là: n    k 2   k 2  , k  0,1, , n  r cos  i sin   n n Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Sử dụng bậc n số phức để giải hệ phương trình Cho số phức z  r  cos   i sin   ; r   Khi bậc n số phức z là:    2k    2k   z k  n r  cos  i sin  , k  0;1;2; ; n   n n   Các bậc hai số phức z  r  cos   i sin   ; r   là:    z  r  cos  i sin   2    z   r  cos  i sin   2  Các bậc ba số phức z  r  cos   i sin   ; r   là:    z  r  cos  i sin   3    2   2  z  r  cos  i sin   3     4   4  z  r  cos  i sin   3  Một phương trình nghiệm phức f (z )  với z  x  yi  x ; y    ta biến đổi dạng: g(x ; y )  g(x ; y )  ih(x ; y )    h ( x ; y )   2.2 Sử dụng đẳng thức số phức để giải hệ phương trình: Đặt z  x  yi x ; y    sử dụng đẳng thức sau: 32  2a  = b  (b  3)  (b  a )  b   + (a  2)2  a  3 2 Đặt z  b  (b  3)i;  2a  z  (b  a )  b   i;  3   z   a  3    Suy ra: z  b  (b  3)2 ;  2a  z  (b  a )  b   ;  3 z3  (a  2)2  a  a   a  z  z  z    3    3 i     2  13a 13   a   a       225 z  z  z    3    3 =        13  13 Áp dụng bất đẳng thức: | z |  | z |  | z |  | z  z  z | ta có:  2a  | z1 |  | z2 |  | z | b2  (b  3)2  (b  a)2  b    (a  2)2  a    13a 13  225 15 13     z1  z2  z3       13  13 13 Đẳng thức xảy khi a  18 b  13 Bài toán 23: Cho số thực dương x , y, z thoả mãn x  y  z  Chứng minh rằng: Lời giải: x2  1 2  y   z   82 x2 y2 z2 33 1 Xét số phức z  x  i, z  y  i, z  z  i x y z Khi : z  x  ; x2 z2  y  ; y2 z3  z  z2  1 1 z  z  z  (x  y  z )      i  x y z  ta có: Áp dụng bất đẳng thức | z |  | z |  | z |  | z  z  z | cho ba số phức z 1, z 2, z ta có:  1 1 1 x   y   z   (x  y  z )2       x y z  x y z Mặt khác: 2 1 1 1 1 (x y z)      81(x y z)2     80(x y z)2 x y z  x y z  Dễ thấy rằng: 2  1 1  1 1 81(x  y  z )2       81(x  y  z )2      x y z   x y z   1 1  1 1  81(x  y  z )       18(x  y  z )     x y z   x y z  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x , y, z ta có:  1 1 (x  y  z )     3 xyz 3  93   x y z  xyz Do đó:  1 1  1 1 81(x  y  z )       18(x  y  z )     18.9  x y z   x y z  Từ điều ta có: 34  1 1 (x  y  z )2       18.9  80.1  82  x y z  Vậy: x2  1 2  y   z   82 x2 y2 z2 Dấu “=” xảy x  y  z  Nhận xét Mấu chốt tốn đưa nhận xét:  1 1 1 x   y2   z   (x  y  z )2      x y z  x y z Nhờ phép đặt số phức: 1 z  x  i, z  y  i, z  z  i , x y z ta đưa nhận xét Bài tốn 24: Cho x ; y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  (x  1)2  y  (x  1)2  y  y  Lời giải: Cách 1: Lời giải thường gặp: Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau: a  b  c  d  (a  c)2  (b  d )2 (1) Thật vậy,    (1)  a  b c  d  ac  bd  (luôn theo bất đẳng thức Bunhiacopxki) Đẳng thức xảy khi ad  bc  Áp dụng (1) ta có: (x  1)2  y  (x  1)2  y  (1  x )2  y  (x  1)2  y 35  (1  x  x  1)2  (y  y )2   4y   y Đẳng thức xảy khi  x  x   x  Từ đó, ta có A   y  y  Xét hàm số f (y )   y  y   Nếu y  f (y )   y   y ta có: f '(y )  2y 1y 1  2y   y 1y , f '(y )   y  Lập bảng biến thiên hàm số f (y ) (;2) ta thấy:   f (y )  f        Nếu y  f (y )   y   22   Như trường hợp ta ln có A   , x , y      Vậy A đạt giá trị nhỏ  x ; y   0;   Cách 2: Lời giải có sử dụng số phức Ta có: (x  1)2  y  (x  1)2  y  (1  x )2  y  (x  1)2  y Chọn z  (1  x )  yi; z  (x  1)  yi Suy z  (1  x )2  y ; z  (1  x )2  y Áp dụng bất đẳng thức | z |  | z || z  z | ta có: (x  1)2  y  (x  1)2  y   y , từ suy ra: A   y2  y  36 Xét hàm số f (y )   y  y   Nếu y  f (y )   y   y ta có: f '(y )  2y  y2 1  2y   y  y2 , f '(y )   y  Lập bảng biến thiên hàm số f (y ) (;2) ta thấy:   f (y )  f        Nếu y  f (y )   y   22   Như trường hợp ta ln có A   , x , y      Vậy A đạt giá trị nhỏ  x ; y   0;   Nhận xét: Với lời giải thường gặp, ta phải sử dụng thêm bất đẳng thức phụ a  b  c  d  (a  c)2  (b  d )2 để chứng minh Vấn đề quan trọng toán đưa kiến thức số phức để làm xuất A   y  y  , ngắn gọn đơn giản nhiều so với cách làm Bài toán 25: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  3y  y  3x x , y số dương thay đổi thoả mãn Lời giải: Ta có:  1    x y  x y x y Suy ra: x  y  2; x  y2  1   x y 37 Xét số phức z  x  3y 2i, z  y  3x 2i Áp dụng bất đẳng thức | z |  | z |  | z  z | ta có: P  | z1 |  | z |  (x  y )2  3(x  y )2  Vậy Min P = đạt x  y  z  Bài toán 26: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log22 x   log22 y   log22 z  x , y, z số dương thoả mãn xyz  Lời giải: Đặt z  log2 x  i ; z  log2 y  i ; z  log2 z  2i Khi áp dụng bất đẳng thức | z1 |  | z2 |  | z3 |  | z1 z2 z3 | ta có: P  z1  z  z  z  z  z  (log2 x  log2 y  log2 z )2  42  (log2 xyz )2  16   16  Như giá trị nhỏ P khi: log2 z  x  y  8; z  2 log2 x  log2 y  Bài tốn 27: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  2x   x  2x  Ta có P  (x  1)2   (x  1)2  đó: Đặt z  (x  1)  i; z  (1  x )  i P  z1  z2  (x 1)2 1  (1 x)2 1  | z1  z2 |  2.i  2 Như giá trị nhỏ P 2 khi x  38 Bài toán 28: Cho cặp số x ; y  thỏa mãn 3x  4y  26 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  4x  2y   x  y  20x  10y  125 Lời giải: Ta có P  (x  2)2  (y  1)2  (x  10)2  (y  5)2 Đặt z  (x  2)  (y  1)i; z  (10  x )  (5  y )i Khi z  (x  2)2  (y  1)2 ; z  (x  10)2  (y  5)2 Áp dụng bất đẳng thức: | z |  | z |  | z  z | ta được: P | z |  | z |   6i  64  36  10 ; Đẳng thức xảy khi x  2 5  y   y  110  x   3x  4y  10 3x  4y  26 Từ (1) (3) ta có hệ  3x  4y  10   (3) x    y   Vậy giá trị nhỏ P 10 x ; y   6;2 Bài toán 29: Cho cặp số x ; y  thỏa mãn điều kiện: x  y  14x  10y  58  (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  16x  12y  100  x  y  4x  20y  104 Lời giải: Ta có P  (x  8)2  (y  6)2  (x  2)2  (y  10)2 (2) Đặt z  (8  x )  (y  6)i; z  (x  2)  (10  y )i Khi z  (x  8)2  (y  6)2 ; z  (x  2)2  (y  10)2 39 Áp dụng bất đẳng thức z  z  z  z Như từ (2) ta có P  z + z  10  4i  29 Do giá trị nhỏ P 29 Đẳng thức xảy khi: 8  x  10  y   x  2 y  6  2x  5y  46 (3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình:  x  217  415 x  y  14x  10y  58    29    2x  5y  46    180  415  y  29  2 40 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài toán 30:Cho số thực dương a,b, c thoả mãn a  b  c  abc Chứng minh rằng: 1 1     2 a2 b2 c2 Bài toán 31: Cho số thực dương a,b, c thoả mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a 2b  3c  b 2c  3a  c 2a  3b  Bài toán 32: Cho số thực a,b Chứng minh rằng: a  4a   10b  18b   10b  2ab  a  29 Bài tốn 33: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  4a  3a   4a  3a  Bài toán 34: Cho số thực x , y, z Chứng minh rằng: 10x2 24x 16  13y2 18xy 10x2  13y2 6yz z2  z2 12z 40 6 Bài toán 35: Cho số thực dương a,b, c Chứng minh rằng: x  2y y  2z z  2x    z x y 41 PHẦN KẾT LUẬN Đề tài “ Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ biểu thức” thực mục đích đề Cụ thể thực vấn đề sau: Củng cố hệ thống lại số kiến thức số phức Tìm hiểu mối liên hệ số phức hệ phương trình, áp dụng số phức vào giải số dạng tốn hệ phương trình Tìm hiểu mối liên hệ số phức bất đẳng thức, áp dụng số phức vào chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức Đề tài phát mạnh số phức việc giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức.So với phương pháp thường gặp phương pháp ứng dụng số phức mà đề tài đưa đạt ưu điểm: - Có định hướng nhận dạng tốn tìm cách giải quy trình giải rõ ràng - Các toán giải cách tự nhiên, phù hợp với tư toán học - Giải lớp tốn rộng hơn, áp dụng cho số lớp toán - Gây hứng thú học tập cho học sinh, học sinh tự tin gặp dạng toán Đề tài đưa lời giải 25 tốn: có 12 tốn hệ phương trình 13 tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 tập đề nghị: có tốn giải hệ phương trình tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức Đề tài sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông, sinh viên, giáo viên,… 42 Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp, hạn chế thời gian nên đề tài đạt mức độ định Hi vọng rằng, nội dung đề tài tiếp tục hoàn thiện mở rộng nhiều 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXBGD, 2000 [2] Đồn Quỳnh, Sách giáo khoa giải tích 12, NXB GD [3] Joseph Bak, Donald Newman, Complex Analysis [4] GS Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức (2 tập), NXB Hà Nội [5] Lê Hồnh Phị, Phân dạng phương pháp giải toán số phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Lê Văn Đoàn, Cẩm nang ôn luyện thi đại học phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, vơ tỉ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo Tốn học, NXBGD,2002 [8] Nguyễn Kim Đính, Hàm phức ứng dụng, NXB Trường ĐH Kĩ thuật TP HCM [9] Nguyễn Thái Hịe, Tìm tịi lời giải tốn, NXBGD, 1990 [10] Nguyễn Phú Khánh, Trọng tâm phương pháp giải toán số phức, NXB Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh [11] Titu Andreescu, Dorinandrica, Complex numbers from A to Z [12] Trương Văn Thương, Hàm số biến số phức, NXBGD, 2006 [13] Tạp chí Tốn học [14] Tài liệu tham khảo mạng: diendantoanhoc.net, hocmai.vn, math.vn,…… [15] Các trang web: o http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/69125 o http://dangthanhnam.com/tong-hop-he-phuong-trinh-giai-bang-cong-cuso-phuc.html o http://123doc.org/document/2451375-ung-dung-ly-thuyet-so-phuc-degiai-he-phuong-trinh.htm 44 o http://www.nguyenngocgiang.net/web/giai-tich/giai-toan-bat-dang-thucbang-phuong-phap-so-phuc.html o http://text.123doc.org/document/1374484-ung-dung-so-phuc-de-chungminh-bat-dang-thuc-va-tim-gia-tri-lon-nhat-nho-nhat-cua-bieu-thuc.htm 45 MỤC LỤC Lêi c¶m ¬n ! PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: II Mục đích nghiên cứu: III Đối tượng phạm vi nghiên cứu: IV Nhiệm vụ nghiên cứu: V Phương pháp nghiên cứu: PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1.Dạng đại số số phức: 1.1.1 Định nghĩa số phức: 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức: 1.2.Các phép toán số phức: 1.2.1 Phép cộng hai số phức: 1.2.2 Phép nhân hai số phức: 1.2.3 Phép chia hai số phức: 1.2.4 Căn bậc hai số phức: 1.2.5 Số phức liên hợp: 1.3.Dạng lượng giác số phức 1.3.1 Dạng lượng giác: 1.3.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác 1.3.3 Công thức Moivre: 1.4.Dạng mũ số phức: 1.5.Phép khai số phức: 1.5.1 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác 1.5.2 Căn bậc n số phức: Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1.Sử dụng bậc n số phức để giải hệ phương trình 2.2 Sử dụng đẳng thức số phức để giải hệ phương trình: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 23 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 25 46 3.1.Phương pháp chung: 25 3.2 Một số toán: 26 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 40 PHẦN KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỤC LỤC 45 ... phức vào chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức Đề tài phát mạnh số phức việc giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ biểu thức. So với phương pháp thường gặp phương. .. cố hệ thống lại số kiến thức số phức Tìm hiểu mối liên hệ số phức hệ phương trình, áp dụng số phức vào giải số dạng tốn hệ phương trình Tìm hiểu mối liên hệ số phức bất đẳng thức, áp dụng số phức. .. kiến thức sở số phức Chương II: Nghiên cứu ứng dụng số phức vào giải hệ phương trình Chương III: Nghiên cứu ứng dụng số phức vào giải toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ biểu thức