skkn dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức véc-tơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. thpt vĩnh lộc

Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức: - Học sinh chưa được trang bị một cá

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Việc giải toán là công việc thường làm đối với các em học sinh Phần nhiều

các em học sinh chỉ tìm ra lời giải của bài toán, rồi sau đó quên ngay, không suy nghĩ thêm về bài toán mình vừa làm, không để lại ấn tượng sâu sắc gì về bài toán

đó Có một số khá đông các em lại không để ý đến bài tập thầy cô ra về nhà Chính

vì vậy mà kiến thức của các em đơn điệu, rời rạc và thậm chí hổng rất nhiều, không

có sự bao quát, thiếu chiều sâu Bài toán chứng minh bất đẳng thức là bài toán khó, nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi Khi gặp bài toán thuộc loại này, học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua bài toán Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức:

- Học sinh chưa được trang bị một cách có hệ thống và bài bản về các phương pháp

cơ bản dùng để chứng minh bất đẳng thức

- Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức chưa phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống

- Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu hiệu của mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức

- Khi dạy học sinh tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, các thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa phát huy được tính tự giác, năng lực sáng tạo của học sinh

Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông trung học chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh,

cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá việc hoạt động học tập của học sinh Một trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phương pháp, các thuật toán

Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh các hoạt động nói trên, đặc biệt là phát triển năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung

để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu

có sẵn

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm

như sau: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng

minh bất đẳng thức.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1 Bất đẳng thức vectơ và các hệ quả của nó

a) Bất đẳng thức vectơ

Với a,br r là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

ar - br £ +ar rb (I.2) a.br r £ a br r (II)

 Dấu “=” trong (I.1) xảy ra khi và chỉ khi a,br r cùng hướng

é =

ê

Û ê

ë

Nếu a (x; y )

b (x';y ')

ìï =

ïïí

ï =

ïïî

r

xy ' x ' y 0

x ' y '

ïï ïï

ïïïî

 Dấu “=” trong (I.2) xảy ra khi và chỉ khi a,br r ngược hướng

é =

ê

Û ê

ë

Nếu a (x; y )

b (x';y ')

ìï =

ïïí

ï =

ïïî

r

xy ' x ' y 0

x ' y '

ïï ïï

ïïïî

 Dấu “=” trong (II) xảy ra khi và chỉ khi a,br r cùng phương

é =

ê

Û ê

ë

Nếu a (x; y )

b (x';y ')

ìï =

ïïí

ï =

ïïî

r

(Ta quy ước rằng trong hai tỉ số trên, nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0 Trong hai

tỉ số đó, chắc chắn có một tỉ số có mẫu khác 0 vì b 0r¹ r)

Chú ý Hai bất đẳng thức (I.1) và (II.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép

như sau

Các bất đẳng thức (I) và (II) được gọi là bất đẳng thức vectơ

b) Hệ quả

1) Với a,br r là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

ar - br £ -ar rb (III.2)

Hai bất đẳng thức (III.1) và (III.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như sau

 Dấu “=” trong (III.1) xảy ra khi và chỉ khi a,br r ngược hướng

 Dấu “=” trong (III.2) xảy ra khi và chỉ khi a,br r cùng hướng

2) Với a, b,cr r r

là ba vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

ar r r+ + £b c ar + br + cr (IV) Dấu “=” trong (IV) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a,b,cr r r cùng hướng

é =

ê

ê

ê

ê

ê

Nếu

a (x; y )

b (x';y ')

b (x'';y '')

ìï =

ïï

ïï =

íï

ïï =

ïïî

r

r

xy '' x'' y 0

ïï ïï

ïïïî 3) Với a ,a , ,a1 2 n

là n vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

aur ur+ + +a aur £ aur + aur + + aur (V) Dấu “=” trong (V) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a ,a , , a1 2 n

đôi một cùng hướng 4) Với a,br r

là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

a br r£ a br r (VI.1); - a br r £ a br r (VI.2);

 Dấu “=” trong (VI.1) xảy ra khi và chỉ khi a,br r cùng hướng

 Dấu “=” trong (VI.2) xảy ra khi và chỉ khi a,br r ngược hướng

Chú ý Việc áp dụng các bất đẳng thức (I.1) hay (III.1) là tương đương nhau Cũng

như vậy, việc áp dụng các bất đẳng thức (I.2) hay (III.2) là tương đương nhau Do

đó trong thực hành, người ta thường sử dụng các bất đẳng thức (I.1) và (I.2)

2 Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức Các bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được phương pháp này, nếu như bản thân các bất đẳng thức đó tiềm ẩn các dữ kiện của hình học giải tích Các dấu hiệu gợi ý người giải toán dùng bất đẳng thức

vectơ:

- Các vế của bất đẳng thức có chứa căn bậc hai hoặc các biểu thức trong căn bậc hai

là tổng của các bình phương Khi đó, việc dùng bất đẳng thức vectơ sẽ giúp ta khử bớt căn hoặc khử bớt ẩn

- Các vế của bất đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ và tích độ dài của hai vectơ đó

Để dùng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức, ta khéo léo chọn tọa độ các vectơ để sau khi sử dụng bất đẳng thức vectơ thì các vế của bất đẳng thức cần chứng minh xuất hiện Cần chú ý đến trường hợp xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức để chọn tọa độ của các vectơ cho phù hợp

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền g iữa lí thuyết với bài tập áp dụng Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức hầu như không có Vì thế các em học sinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán này, dẫn đến việc bỏ qua bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi

Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải của bài toán Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinh nghiệm trong việc áp dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán nói chung và giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng

Khi sử dụng bất đẳng thức vectơ giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau:

- Đứng trước những bất đẳng thức nào có thể lựa chọn sử dụng bất đẳng thức vectơ

để giải và nếu dùng được bất đẳng thức vectơ thì chọn tọa độ của các vectơ như thế nào Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức

- Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúng phương pháp và công cụ để giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh

Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khồng phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn

Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài bài toán chứng minh bất đẳng thức giải được bằng phương pháp bất đẳng thức vectơ nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về bất đảng thức, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn toán phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, vạch ra

sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải toán

Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp 12A3, 12A1 trong hai năm học 2011-1012, 2012-2013 Khi được tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả Bằng cách kiểm tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải toán cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng phương pháp vectơ Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ vận dụng

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với x là số thực bất kì, ta luôn có

Tìm x để dấu “=” xảy ra

Hướng dẫn giải Ta có

x - 4x+ +5 x - 10x+34= (x- 2) + + - +1 ( x 5) +3

Xét hai vectơ

ur= -(x 2; 1); vr= - +( x 5; 3) Khi đó: ur+ =vr (3; 4); ur+ =vr 5

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức (1).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x

- +

Chó ý Ngoµi c¸ch chän hai vect¬ u, vr r

nh trªn, ta cßn cã thÓ chän chóng theo c¸c c¸ch sau

u ( x 2; 1)

v ( x 5; 3)

u v (3; 4)

ü ï

= - - ïïýï

= - + - ïïþ

-r

r

u ( x 2; 1)

v ( x 5; 3)

u v ( 3; 4)

ü ï

= - + ïïýï

-r r

ü ï

= - + - ïïýï

-r r

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với x là số thực bất kì, ta luôn có

x - 2px+2p + x - 2qx+2q ³ (p- q) +( p +q ) (1)

(p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0)

Tìm x để đẳng thức xảy ra

x - 2ax+ +a p + x - 2bx+b +q ³ (a- b) +( p +q ) (2)

(a và b là các hằng số; p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0) Tìm x để đẳng thức xảy ra

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Xét hai vectơ

ur=( x- p; p ); vr= - +( x q; q ) Khi đó: ur+ = - +vr ( p q; p +q )

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức (1).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x

+

b) Ta có

Xét hai vectơ

ur=( x- a; p ); vr= - +( x b; q Khi đó: ur+ = - +vr ( a b; p+q )

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức (2).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x

+

Ví dụ 3 Cho a và b là hai số thỏa mãn a – 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng

a + -b 6a- 10b+34+ a + -b 10a- 14b+74³ 6 (1)

Tìm a và b để đẳng thức xảy ra

Hướng dẫn giải.

Từ điều kiện đã cho rút ra a = 2b – 2, thế vào vế trái của (1), ta có

Xét hai vectơ

21 7

6 12

ü ï

ï

r r

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức (1).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

7 b

ïïî

Nhận xét Bài toán trên có thể phát biểu cách khác như sau:

Cho hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0

Xét điểm M(a; b) thuộc đường thẳng (d) Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB

Ta có thể giải bài toán theo cách khác: Dễ kiểm tra được rằng A và B nằm cùng

phía đối với (d).Từ đó ta có thể dùng phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối

xứng trục) để giải bài toán như sau

- Xác định toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua (d): A’(5; 1)

- Xác định toạ độ điểm M0 là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng A’B:

M0

7

(5; )

2 .

- Với M là điểm bất kì trên (d), ta có

MA + MB = MA’ + MB  M0A’+M0B = A’B = 6

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với M0

Vậy giá trị nhỏ nhất của MA + MB là 6 khi M

7 (5; )

2 .

Ví dụ 4 Chox y z, , là ba số tuỳ ý Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải Ta có

;

x xy y x   y x xz z x   z

             

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ:

ax y b  x z

Khi đó:

.Áp dụng bất đẳng thức u v  u  v, ta được bất đẳng thức phải chứng minh

Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có: 2 2

Hướng dẫn giải Ta có

x   x x     x  x x    

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

ux  v  x  

u  v  x   x x  x  u  v u v 

Áp dụng bất đẳng thức ur - vr £ +ur rv , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. (Chú ý dấu bằng không xảy ra)

Ví dụ 6 Chứng minh rằng với a b c, , là các số thực bất kì ta có

(ac) b  (a c) b 2 a b

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

u ac b v a c b

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.

Ví dụ 7 Cho x y, là các số thực bất kì, chứng minh rằng:

2 2 2 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.

Ví dụ 8 Cho bốn số thực a b c d, , , tuỳ ý Chứng minh rằng:

(ac) (bd)  a b  c d

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

u a b v  c d

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.

Ví dụ 9 Cho bốn số thực a b c d, , , tuỳ ý Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

u b  a v c b d

Áp dụng bất đẳng thức ur+ £vr ur +vr , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.

Ví dụ 10 Chứng minh rằng với mọi giá trị của x và y, ta đều có

4 cos xcos ysin (x y)  4sin xsin ysin (x y)  2 Tìm x và y để đẳng thức xảy ra ?

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức u v  u  v, ta được bất đẳng thức phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi

2

Ví dụ 11 Cho x y, là các số thực thay đổi

b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P

Hướng dẫn giải.

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

u  x y v x y

Ta có: 2 2 2 2 2

Áp dụng bất đẳng thức u vr r+ £ ur + vr , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ,u v  cùng hướng, tức là  x   1 x 1 x 0

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có

3 y 3.1 1. y  3 1 1 y 2 1y (2)

Từ (1) và (2) suy ra P 3  y 2 y 32 (3)

Dấu “=” trong (3) xảy ra khi dấu “=” trong (1) và trong (2) cùng xảy ra, tức là

3 1

3

y y











3

Chú ý Đối với học sinh lớp 12, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của P đơn giản hơn bằng cách sử dụng đạo hàm như sau:

f y  y   y Lập bảng biến thiên ta suy ra ngay 1

3

f y f  

Từ hai trường hợp trên ta có giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 3

 Cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số f y( ), với y   để thu được kết quả như trên

Ví dụ 12 Cho x y z, , là các số thực dương thoả mãn x   y z 1

a) Chứng minh rằng:

2

2 2 2

82

Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

2

Áp dụng bất đẳng thức a b cr r r+ + £ ar + br + cr , ta có bất đẳng thức (1).

Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi

, ,

a b c   cùng hướng, hay:

b) Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

3







  



Từ giả thiết 0x   y z 1 suy ra:

80(x y z) 80 80(x y z) 80 (4)

Dấu “=” trong (4) xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

Từ (1), (3), (4), ta có: P  82

3

x  y z