Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình nghiên cứu hoàn thành đề tài thực tập, cố gắng nỗ lực thân,em nhận giúp đỡ thầy giáo, cô giáo, gia đình bạn bè Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lòng biết ơn chân than tới thầy giáo T.S: Trần Thái Hoa tận tình hướng dẫn, giúp đỡ bảo cho e suốt trình hoàn thành đề tài Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, Trường Đại học SPHN2 tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài Cuối em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ em suốt trình làm đề tài Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học nên nhiều thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2015 Sinh viên thực Phạm Thị Phương Hoa LỜI CAM ĐOAN Đề tài “ Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải toán học lượng tử” hoàn thành với cố gắng nỗ lực thân hướng dẫn tận tình thầy giáo T.S: Trần Thái Hoa Em xin cam đoan kết nghiên cứu thân em, không trùng lặp với kết đề tài khác Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài em có tham khảo số tài liệu tham khảo ghi phần tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2015 Sinh viên thực Phạm Thị Phương Hoa XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN THỰC TẬP MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 NỘI DUNG A: Cơ sở lý thuyết Chương I: Nhiễu loạn dừng suy biến Chương 2: Nhiễu loạn dừng có suy biến .8 Chương III: Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro 14 B Một số tập vận dụng lý thuyết nhiễu loạn: 17 KẾT LUẬN .22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình học tập lĩnh hội kiến thức lý thuyết nói chung lý thuyết vật lý nói riêng việc giải toán giữ vai trò quan trọng Nó giúp củng cố, nắm vững hiểu sâu phần lý thuyết học, trau dồi kỹ thực hành Một học phần chương trình vật lý học bậc Đại học môn học lượng tử, môn hoàn thành vào đầu năm 30 kỷ XX với số lượng tập nhiều đa dạng với phương pháp toán phức tạp để giải chúng Ngiệm xác phương trình Schodinger tìm số toán đơn giản, toán chiều hố thế, dao động tử điều hòa…Nhưng trường hợp lời giải phứ tạp Trong hầu hết toán không tìm nghiệm xác, phải dùng đến phương pháp gần đúng,đưa toán toán đơn giản tìm nghiệm xác Vì vậy, em định chọn đề tài: "Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải toán học lượng tử” Mục đích nghiên cứu Rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo việc nghiên cứu, luyện giải toán học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại giải số toán khó học lượng tử Đối tượng nghiên cứu Các tập học lượng tử Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Vật lý lý thuyết Vậy lý Toán NỘI DUNG A: Cơ sở lý thuyết Trạng thái hệ lượng tử mô tatr nghiệm phương trình: Ĥψ = Eψ (I) Ở đây, Ĥ toán tử Hamition ( không phụ thuộc vào thời gian) E lượng hệ Đối với số trường hợp đơn giản ( trường hợp Coulumb, trường đàn hồi, trường điện từ đều,… ) tương ứng với hệ lý tưởng hóa, phương trình (I) cho nghiệm xác Nhưng nghiên cứu hệ thực phương trình (I) không cho nghiệm xác Bởi để tính phương trình (I) ta cần phải đưa vào phương pháp tính gần hàm riêng trị riêng toán tử Ĥ phương trình (I) Một phương pháp tính gần dựa vào nghiệm xác hệ lý tưởng hóa, hiệu chỉnh nghiệm để nghiệm gần hệ thực, với điều kiện hệ thực coi không khác nhiều so với hệ lý tưởng Phương pháp tính hiệu chỉnh vậy, với điều kiện đặt gọi lý thuyết nhiễu loạn Ta đặt điều kiện hạn chế ban đầu cho toán Với lý thuyết nhiễu loạn cho toán có phổ gián đoạn: Hˆ ψ l = Elψ l (l=1,2,3,…) (II) Giả thiết đưa toán tử Ĥ tách làm hai phần: Hˆ = Hˆ + Vˆ (III) đó, Hˆ toán tử Hamition toán lý tưởng hóa, Vˆ gọi toán tử nhiễu loạn Để biểu thị Vˆ nhỏ, ta đặt : Vˆ = λWˆ (IV) với λ thôg số nhỏ, không thứ nguyên Giả sử biết nghiệm El ϕl ( l =1, 2, 3…) phương trìnhcho hàm riêng trị riêng toán tử Hˆ : Hˆ 0ϕl = El0ϕl ;( ϕl ,ϕl ' ) ( l,l’= 1, 2, 3,…) (V) Với điều kiện hạn chế đó, phương trình (I) qua giải phương trình ( Hˆ + λWˆ )ψ l = Elψ l (VI) để tìm El ψ l Chúng ta giải phương trình (VI) để tìm El ψ l , hiệu chỉnh cho El ϕl với l = 1, 2, 3,… để thu El ψ l gần đó, hiệu chỉnh El ψ l nghiệm gần phương trình (I), (II), hay (VI) Chương I: Nhiễu loạn dừng suy biến 1.1 Khi λ=0, ứng với trường hợp nhiễu loạn ψ l = ∑ clmϕm ≡ ϕ l m Hˆ = Hˆ , Từ từ Wmn cln (m, l= 1, 2, 3,…) ( El − Em )clm = λ ∑ n (1.1) ta suy ra: clm = δ lm = cm(0) El = El0 , (1.2) 1.2 Với λ nhỏ, giá trị El xê dịch khỏi giá trị El clm lệch khỏi giá trị cm(0) = δ lm Ta hi vọng độ lệch nhỏ Muốn ta khai triển clm El (m, l =1, 2, 3,……)theo chuỗi lũy thừa λ: clm = δ lm + λ cm(1) + λ 2cm2 +   El = El0 + λ El(1) + λ El( 2) +  (1.3) Trong giá trị tỉ lệ với λ k hiệu chỉnh bậc k tương ứng clm El Thay (1.3) vào (1.1): ( El0 − Em0 + λ El(1) + λ El(2) + )(δ lm + λ cm(1) + λ 2cm( 2) + ) Wmn (δ ln + λ cn(1) + λ 2cn( 2) ) = λ∑ n (m, l= 1, 2, 3, ) (1.4) Ta đặt điều kiện hạn chế cho toán: Giả sử m= l: El(1) = Wu   E + E c = ∑ nW c    ( 2) l (1) (1) l l Giả sử m ≠ l: (1) ln l (1.5) ( El0 − Em0 )cm(1) = Wml ( E − E )c l m (2) m   + E c = ∑ nW c    (1) (1) l m (1) mn n (1.6) Từ (1.5) ta suy hiệu chỉnh bậc mức lượng El : λ El(1) = λWu = Vu (1.7) Do phép gần cấp 1, lượng hệ biểu diễn: El = El0 + λ El(1) = El0 + Vu (1.8) Từ (1.6) ta suy ra: λ cm(1) = λWml V = ml 0 o El − Em El − Em (1.9) phép gần cấp hàm sóng ψ l = ∑ clmϕm = (cl(0) + λ cl(1) )ϕl + ∑ (cm(0) + λ cm(1) )ϕm m≠l m Vml ϕ m m ≠l E − E m (1) = ϕl + λ cl ϕl + ∑ l (1.10) cl(1) xác định từ điều kiện chuẩn hóa ψ l có xét đến tính trực chuẩn hàm ϕ n bỏ qua đại lượng tỉ lệ với λ 2 (1) (1) (1)* ∫ ψ l dq ≈ + λcl = + λcl + λcl = (1.11) (1) (1) Có thể coi cl thực, cl =0 Thành thử phep gần cấp 1: Vml ϕ m m ≠l E − E m ψ l = ϕl + ∑ l (1.12) (1) Từ (1.5) (1.6) với cl =1, suy lượng phép gần * cấp ( Vln = Vln tính Hermite toán tử Vˆ ) Như lượng phép gần bậc 2 V El = E + Vu + ∑ ln n ≠l E − E l n l (1.13) Thay giá trị ψ (0) vào phương trình: Hˆ = Hˆ + Vˆ Hˆ ψ (0) = Eψ (0) , Chúng ta thu kết quả: aHˆ ψ 1(0) + bHˆ ψ 2(0) = E (aψ 1(0) + bψ 2(0) ) Nhân (2.8) với ψ (0)* aH11 + bH12 = aE , Tương tự với ψ (0)* , lấy tích phân ta được: H11 = ∫V ψ 1(0)* Hˆψ 1(0) dx , H12 = ∫V ψ 1(0)* Hˆ ψ 2(0) dx (2.9) , ta thu được: aH 21 + bH 22 = bE , H 21 = ∫V ψ 2(0)* Hˆψ 1(0) dx , H 22 = ∫V ψ 2(0)* Hˆ ψ 2(0) dx Ta có: (2.8) H mn = ∫V ψ m(0)* Hˆ ψ n(0) dx = En(0)δ mn + Vmn (2.10) (2.11) Hai phương trình (2.8) (2.9) , biến đổi thành: ( H11 − E ) a + H12b =   H 21a + ( H 22 − E )b = (2.12) Để cho hệ phương trình có nghiệm không tầm thường ( a ≠ , b ≠ ), định thức phải không, nghĩa là: E − ( H11 + H 22 ) E + H11 H 22 − H12 H 21 = 2.13) Giải phương trình ta thu nghiêm: 1   E = H + H + ( H − H ) + H 11 22 11 22 12      E =  H + H − ( H − H )2 + H  11 22 11 22 12    * ta luuy ý H12 = H 21 Hˆ toán tử Hermitic Ta xét biểu thức (2.14), hai trường hợp giới hạn +) Nếu H11 − H 22 ? H12 theo (2.11) có nghĩa là: ( E1(0) + V11 ) − ( E2(0) + V22 ) ≈ E1(0) − E2(0) ? V12 10 (2.14) điều kiện (1.14) thỏa mãn lý thuyết nhiễu loạn áp dụng Nếu phép gần ta bỏ qua H12 số hạng số bậc hai (2.14), ta có giá trị gần cấp phép nhiễu loạn thông thường E11 = H11 = E1(0) + V11 , E2 = H 22 = E2(0) + V22 Trong phép gần xác nghĩa là: + ε ≈ + ε , ta thu được: 2 H12  1 E1 =  H11 + H 22 + H11 − H 22 +  ,  H11 − H 22  2 H12 V E1 = H11 + = E1(0) + V11 + (1) 12 (1) H11 − H 22 E1 − E2 (2.15) Tương tự ta có: E2 = E (0) V + V22 − (1) 21 (1) E1 − E2 (2.16) +) Nếu H11 − H 22 = H 12 , trường hợp với độ xác đến số hạng có độ bé cấp E1,2 = H11 + H 22  ( H − H 22 )  ±  H12 + 11  H12   (2.17) Chúng ta nghiên cứu xem hiệu giá trị lượng xác định công thức (2.14) hiệu H11 − H 22 có quan hệ với Muốn ta đăt: H11 = H + γ x , H 22 = H − γ x (2.18) Trong γ hệ số không đổi, x biến độc lập theo H11 − H 22 = 2γ x H11 + H 22 = H Tiến hành phép thay tương ứng (2.14), ta thu kết sau: 11 E = H + γ x2 + H 12    E2 = H − γ x + H12 (2.19) H11 − H 22 = thì: Ta thấy hiệu E1 − E2 = H12 = V12 Bây ta tìm hàm sóng ψ ứng với mức lượng E1 E2 , muốn cần xác định hệ số a b công thức (2.7) a H12 = b E − H11 Từ (2.12) ta có: Thế giá trị E E1 E2 xác định biểu thức (2.14) a  ÷ =  b 1,2 H12   H12    ( H11 − H 22 ) −1 ± +     H11 − H 22    (2.20) số theo thứ tự ứng với dấu + – đứng trước dấu Hệ thức chuẩn hóa cho hàm sóng (2.7) yêu cầu: a + b2 = Khi bất đẳng thức H11 − H 22 ? H12 thì: ψ = ψ 1(0) , ψ = ψ 2(0) nghĩa hàm trùng với hàm ban đầu Ta có công thức :  (0) (0) ψ = (ψ + ψ )  ψ = − (ψ (0) − ψ (0) )  2 Từ ta suy rằng, số giá trị lượng E1 , E2 , …sẽ giá trị gần Do dùng giá trị hàm tương ứng 12 chúng ψ ,ψ ,…làm đại lượng gần cấp không cần tính hàm sóng ψ theo công thức ( 1.10) công thức gần cấp hiệu chỉnh cho lượng phép gần cấp hai theo công thức (1.13) Phương pháp dùng E1 = E2 , nghĩa có mức suy biến bậc hai với hai hàm ψ 11 ψ 12 (0) (0) 13 Chương III: Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro Khi nguyên tử đặt điện trường vạch quang phổ bị tách Hiện tượng Stark phát vào năm 1913 Hiệu ứng Stark giải thích học lượng tử Trong phần ta giới hạn khảo sát hiệu ứng stark bậc nhất, đặc trưng cho nguyên tử đồng dạng hydro Đối với hydro ion tương tự, người ta phân biệt hai trường hợp: hiệu ứng Stark điện trường mạnh hiệu ứng Stark điện trường yếu Khi điện trường yếu ta có hiệu ứng Stark bậc 2, bậc 3, bậc hiệu ứng la chỗ măng lượng nguyên tử thu điện trường phụ thuộc bậc 1, bậc 2,… vào cường độ điện trường r Coi nguyên tử lưỡng cực điện er Giả sử điện trường có cường độ ε hướng dọc trục OZ Trong toán tử Hamition xuất số hạng phụ : rr W = −eε r = −eε z (3.1) pˆ Ze ˆ ˆ ˆ H = H0 + W = − − eε z 2µ r (3.2) Hàm sóng nguyên tử Hydro chưa có nhiễu loạn: ψ nlm (r ,θ ,ϕ ) = Rnl (r ) Pl m (cosθ )eimϕ r 3.3) Mức lượng (n=1) không bị suy biến, có hàm riêng ψ 100 = π a3 e − r a ứng với mức Đối với mức n=2, có suy biến bội Tương ứng với mức có hàm sóng: ϕ1 = ψ 200 = ϕ = ψ 211 = 8π a 8π a e − r 2a − r 2a e 14 (1 − r ) = f (r ) 2a r x + iy sin θ eiϕ = F (r ) a (3.4) ϕ3 = ψ 210 = ϕ = ψ 21−1 = e 2π a πa e − r 2a − r 2a r cosθ = F (r ) z a r x − iy sin θ e − iϕ = F (r ) a (3.6) (3.7) Từ công thức (3.4) đến (3.7) viết hàm sóng cho gọn nhờ mối liên hệ , a bán kinh Bohr Các hàm f(r) F(r) hàm số phụ thuộc vào bàn kính r Lập tổ hợp tuyến tính hàm (3.4)-(3.7) để làm hàm gần cấp không ψ = c1ϕ1 + c2ϕ + c3ϕ3 + c4ϕ Còn hệ số ck (k=1, 2, 3, 4) tìm phương trình: ∑ (H k =1 mk − Eδ mk )ck = (3.8) Và lượng E tìm phương trình bậc 4: det E ( H − EI ) = (3.9) Ở đây: H mk = ∫ψ m* ( Hˆ − eε z )ϕk dV , (ϕ m ,ϕ k ) = δ mk , (m, k= 1, 2, 3, 4) (3.10) Và từ công thức ta có: H mk = Ek0δ mk − eε ∫ψ m* zϕ k dV (3.11) Vậy ta cần tính tich phân: Wmk = −eε ∫ψ m* zϕk dV (3.12) Do biểu diễn (3.4)-(3.7) ϕ k , ta dễ dàng thấy có tích phân sau khác không, hàm dấu tích phân hàm chẵn W13 = W31 = −eε ∫ f (r ) F (r ) z 2dV eε +∞ π 2π − ar r z2 =− ∫ ∫ ∫ e (1 − 2a ) a r sin θ drdθ dϕ 16π a 0 Tích phân: 15 π 2π ∫∫ 0 π 2π z sin θ dθ dϕ = r ∫ ∫ cos θ sin θ dθ dϕ = 0 t= Dựa vào biến số : r , a eε a ∞ − t t W13 = W31 = − e (1 − )t dt = 3eaε ∫ 12 Thì: Nhờ 4π r phương E − E20 0 E − E20 3eaε 3eaε 0 E−E trình (3.9) 0 E − E20 viết cụ thể dạng: = ( E − E20 ) ( E − E20 ) − 9e a 2ε  = Cùng với nghiệm E là: E1 = E20 + 3eaε   E2 = E20 − 3eaε  E3 = E4 = E20  (3.13) Kết là, nhiễu loạn vạch E2 suy biến bội tách làm vạch: E20 , E20 + 3eaε , E20 − 3eaε Sự suy biến giảm xuống Nhiễu loạn khử không hoàn toàn suy biến (do nghiệm bội 2) Khi electron chuyển từ mức mức E1 cho vạch quang phổ 16 B Một số tập vận dụng lý thuyết nhiễu loạn: Bài tập 1: Hạt chuyển động trường xuyên tâm có mức lượng Enl Giả sử đặt từ trường yếu dọc theo trục oz Hãy tìm lượng hàm sóng hạt phép gần bậc (không tính đến spin hạt) Giải: Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamition: ihe ur r Hˆ = Hˆ + A∇ (bỏ qua số hạng tỉ lệ với A ) µ coi số hạng thứ hai toán tử nhiễu loạn Hiệu chỉnh bậc lượng r * i he Enl(1) = ∫ψ nlm A∇ψ nlm dV µ ψ nlm = Rnl (r ) Pl m (cos θ )eimϕ r r r B { 0,0, B} = rot A Với : Vì nên chọn: 1 Ax = − By , Ay = Bx , Az = 2 r r ihB ∂ ihA∇ = − BLz = 2 ∂ϕ Khi Kết Enl(1) = − mheB mheB Enlm = Enl − 2ϕ 2µ Hiệu chỉnh hàm sóng Vmm ' = iheB ∂ m ' heB ψ nlm ψ n 'l ' m 'dV = − δ mm ' = (m≠m’) ∫ 2µ ∂ϕ 2ϕ Do hiệu chỉnh bậc hàm sóng 17 Bài tập2: Tìm hiệu chỉnh cho lượng trạng thái dao động tử điều hòa phi tuyến chiều năng: U ( x) = mω x + α x + β x α β số x độ lệch khỏi vị trí cân Giải: Hiệu chỉnh bậc cho lượng Toán tử Hamition dao động tử điều hòa phi tuyến chiều: Hˆ = Hˆ + Vˆ (x) Trong đó: h2 d Hˆ = − + mω x 2 2m dx toán tử Hamition dao động tử điều hòa tuyến tính Vˆ ( x) = α x + β x coi toán tử nhiễu loạn Trong gần bậc không ta có: Hˆ 0ψ n(0) ( x) = En(0)ψ n(0) : ψ (0) n = An e − ξ2 H n (ξ )ξ = x An = mω h n n! En = hω (n + ) , ( n = 1, 2, … ) Năng lượng dao động tử điều hòa phi tuyến gần bậc lý thuyết nhiễu loạn xét công thức: 18 En = En(0) + En1 Trong : +∞ En1 = Vnn = ∫ ψ n0* ( x)V ( x )ψ n(0) dx −∞ ξ +∞ −  +∞ − ξ  A = α ∫ e H n (ξ )dξ + β ∫ e H n (ξ )ξ H n dξ  −∞  −∞  2 n Ta biết đa thức Hermite H n (ξ ) thỏa mãn phương trình: H n'' − 2ξ H n' + 2nH n = Dạng: H n (ξ ) = (2ξ ) n − n( n − 1) n(n − 1)(n − 2)( n − 3) (2ξ ) n− + (2ξ ) n −4 + 1! 2! Hay: H n (ξ ) = (−1) n e −ξ H (ξ ) = , d n −ξ (e ) ; dξ 2 H1 (ξ ) = 2ξ , H (ξ ) = 4ξ − 2, … Chú ý rằng: dH n (n − 1)(n − 2)   = 2n (2ξ ) n−1 − (2ξ ) +  = H n−1 dξ 1!   d 2Hn dH = 2n n −1 = 2n.2(n − 1) H n− 2 dξ dξ Ta có: 2n.n( n − 1) H n− − 2n.2ξ H n+1 + 2nH n = Hay: ξ H n−1 = (n − 1) H n −2 + H n Thay n → n + n → n + ta được:  ξ H = nH + H n+1 n n −   ξ H = (n + 1) H + H n n+2  n +1 19 Ta thấy: 1 ξ H n = nH n−1 + H n+1 = (n + ) H n −1 + H n + 2 1 = (n + ) H n + n( n − 1) H n− + H n + 2 Thay n = n + k với k = 0, ±1, ±2, ±3, ta có ξ H n+ k = (n + k ) H n+ k −1 + H n+ k +1 dễ dàng thấy rằng: +) ξ H n = ξ (ξ H n ) = nξ H n−1 + ξ H n +1 1 = (n + ) H n + n( n − 1) H n− + H n + 2 1 +) ξ H n = ξ (ξ H n ) = ( n + )ξ H n + n(n − 1)ξ H n− + ξ H n+ 2 3 = n ξ H n−1 + n(n − 1)(n − 2) H n−3 + (n + 1) H n+1 + H n +3 4 3 +) ξ H n = n ξ H n−1 + n(n − 1)(n − 2) H n−3 + (n + 1)ξ H n +1 + ξ H n+3 4 = 1 (2n + 2n + 1) H n + (2n + 3) H n+ + H n+ 4 16 + n(n − 1)(n − 2) H n− + n(n − 1)(2n − 1) H n− 2 Đặt biểu thức ξ H n (ξ ) ξ H n (ξ ) vào tích phân điều kiện trực giao chuẩn hóa hàm sóng: +∞ ∫ψ −∞ (0)* m ( x)ψ dx = Am An (0) m h +∞ −ξ ∫ e H m (ξ ) H n (ξ )dξ = δ mn mω −∞ 20 = 0khim ≠ n  1khim = n Khi ta có : h 52  +∞ −ξ  E = A β( )  ∫ e H n (ξ ) (2n + 2n + 1) H n (ξ )dξ  mω  −∞  (1) n 2 n ξ ξ − − h 23 h +∞ 2 ) (2n + 2n + 1) A e H ( ξ ) A e H n (ξ ) dξ = β( m m n ∫ mω mω −∞ = β( h 23 h +∞ (0) ) (2n + 2n + 1) ψ n (ξ ) dξ ∫ mω mω −∞ h h β( ) (2n + 2n + 1) với n = 0, 1, 2, 3,… mω mω = Như : h En = hω (n + ) + β ( ) (2n + 2n + 1) mω Bài tập 3: Tính lượng hàm sóng trạng thái cuả nguyên tử Hydro Chọn ψ (r ) = Ae − β r hàm thử: Giải Toán tử Hamition nguyên tử Hydro có dạng: h2 e Hˆ = − ∇ − 2m r Trong đó: ∂2 ∂  ∂2 ∂ ∂2  ∇ = 2+ +  + cot θ +  ∂r r ∂r r  ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ  Ta xác định điều kiện chuẩn hóa A hàm sóng: 21 +∞ * 2 −2 β r ∫ψ ( r )ψ ( r ) r dr sin θ dθ dϕ = 4π A ∫ e r dr = +∞ Tích phân phần: ∫e −2 β r +∞ −2 β r +∞ −2 β r r dr = ∫ r d (e ) = 2β ∫0 e rdr −2 β −2 +∞ +∞ −2 β r −2 β r rd ( e ) = e dr = = ∫ ∫ (2β ) (2 β ) (2 β ) 2 β3 4π A ( ) = → A = 2β π Vậy Ta tính I ( β ) : +∞  h2 e  I ( β ) = ∫ ψ (*r ) − ∇ − ψ ( r ) 4π r dr r  2m ψ ( r ) = Ae − β r nên Ta biết : ∂ψ ( r ) ∂ψ ( r ) = =0 ∂θ ∂ϕ h2 β − e2 β I (β ) = 2m ta : Xét điều kiện cực tiểu I ( β ) ta thu : β = β0 = a h2 a = mr Năng lượng hàm sóng (e) trạng thái nguyên tử Hydro là: E0 = I h2 β 02 e2 = − e2 β0 = − ; 2m 2a ψ (r ) = π a3 e −r a KẾT LUẬN Trong trình nghiên cứu tìm hiểu hoàn thành đề tài mình, em thu số kết sau 22 Phân loại giải số dạng tập Cơ học lượng tử khó phương pháp gần đúng, giúp em bạn sinh viên rèn luyện kỹ , kỹ xảo giải toán khó hiểu sâu sắc ý nghĩa vật lý phần lý thuyết trình bày giáo trình Cơ học lượng tử Qua phát huy tính tích cực sinh viên việc tìm tòi, nghiên cứu khoa học Tuy nhiên thời gian hạn hẹp nên số lượng tập đưa chưa nhiều phương pháp giải chưa tối ưu ngắn gọn, nhiều thiếu sót chưa đầy đủ Song đề tài mở hướng phát triển việc nghiên cứu tập Cơ học lượng tử, cách tư nhạy bén không lúng túng gặp toán khó Do kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên trình hoàn thành đề tài không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để em hoàn thành đề tài cách tốt Em xin chân thành cảm ơn! 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thái Hoa Cơ học lượng tử, Nxb ĐHSPHN , 2005 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) Bài tập Vật lý lý thuyết, tập 2, Nxb Giáo dục Hà Nội, 1997 Vũ Văn Hùng Bài tập Cơ học lượng tử, Nxb ĐHSPHN, 2007 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh Cơ học lượng tử NxbGD Hà Nội, 1995 L.Schiff Quantum mechanic, New York, 1958 24 [...]... do nhiễu loạn một vạch E2 suy biến bội 4 đã tách ra làm 3 vạch: E20 , E20 + 3eaε , E20 − 3eaε Sự suy biến đã giảm xuống Nhiễu loạn đã khử không hoàn toàn sự suy biến (do 0 một nghiệm bội 2) Khi các electron chuyển từ các mức này về mức E1 sẽ cho 3 vạch quang phổ 16 B Một số bài tập vận dụng lý thuyết nhiễu loạn: Bài tập 1: 0 Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có các mức năng lượng Enl Giả sử đặt... em và các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng , kỹ xảo giải các bài toán khó và hiểu sâu sắc hơn ý nghĩa vật lý cũng như phần lý thuyết đã trình bày trong giáo trình Cơ học lượng tử Qua đó phát huy tính tích cực của sinh viên trong việc tìm tòi, nghiên cứu khoa học Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp nên số lượng bài tập đưa ra chưa nhiều cũng như phương pháp giải chưa được tối ưu và ngắn gọn, còn nhiều thiếu... thành đề tài một cách tốt nhất Em xin chân thành cảm ơn! 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Trần Thái Hoa Cơ học lượng tử, Nxb ĐHSPHN , 2005 2 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) Bài tập Vật lý lý thuyết, tập 2, Nxb Giáo dục Hà Nội, 1997 3 Vũ Văn Hùng Bài tập Cơ học lượng tử, Nxb ĐHSPHN, 2007 4 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh Cơ học lượng tử NxbGD Hà Nội, 1995 5 L.Schiff Quantum mechanic, New York, 1958 24 ... ra một hướng phát triển mới trong việc nghiên cứu các bài tập trong Cơ học lượng tử, đó là cách tư duy nhạy bén và không còn lúng túng khi gặp các bài toán khó nữa Do kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên trong quá trình hoàn thành đề tài của mình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để em hoàn thành đề tài một cách tốt nhất Em xin chân thành... 2 x 2 2 2m dx 2 là toán tử Hamition của dao động tử điều hòa tuyến tính và Vˆ ( x) = α x 3 + β x 4 coi là toán tử nhiễu loạn Trong gần đúng bậc không ta có: Hˆ 0ψ n(0) ( x) = En(0)ψ n(0) ở đây : ψ (0) n = An e − ξ2 2 H n (ξ )ξ = x và An = 4 mω h 1 2 n n! 1 En = hω (n + ) 2 , ( n = 1, 2, 3 … ) Năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn được xét bằng... = β0 = a h2 trong đó a = 2 mr Năng lượng và hàm sóng của (e) ở trạng thái cơ bản trong nguyên tử Hydro là: E0 = I min h2 β 02 e2 = − e2 β0 = − ; 2m 2a ψ 0 (r ) = 1 π a3 e −r a KẾT LUẬN Trong quá trình nghiên cứu tìm hiểu và hoàn thành đề tài của mình, em đã thu được một số kết quả sau 22 Phân loại và giải được một số dạng bài tập Cơ học lượng tử khó bằng phương pháp gần đúng, giúp em và các bạn sinh... đúng cấp 1 của lý thuyết đã cho những kết quả tốt, ngay cả khi chuỗi phân kỳ Từ (1.14) ta thấy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức l không được suy biến Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái n lượng En0 l có năng thỏa mãn (1.14) suy biến thì tính đúng đắn của (1.12) và (1.13) không bị phá hủy Ngoài ra, các công thức này có thể mở rộng sang cả trường hợp khi một phần các trạng thái... trận ( H mk )của toán tử Ĥ Nghĩa là: H mk = Vmk = ∫ ϕlm* ( Hˆ 0 + Vˆ )ϕlk dq = Emδ mk (2.6) Điều này cho phép chúng ta bỏ đi các số hạng có mẫu số nhỏ trong các phép gần đúng tiếp theo dựa vào các công thức (1.12) và (1.13) 2.3 nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau (0) Từ công thức (1.12) và (1.13) , ta thấy rằng nếu trong số các trị riêng En và Hˆ 0 có hai mức năng lượng gần bằng nhau thì các hiệu chỉnh... thể giải thích bằng cơ học lượng tử Trong phần này ta sẽ giới hạn khảo sát ở hiệu ứng stark bậc nhất, đặc trưng cho nguyên tử đồng dạng hydro Đối với hydro và các ion tương tự, người ta phân biệt hai trường hợp: hiệu ứng Stark trong điện trường mạnh và hiệu ứng Stark trong điện trường yếu Khi điện trường yếu ta có hiệu ứng Stark bậc 2, bậc 3, bậc của hiệu ứng la do ở chỗ măng lượng của nguyên tử thu... bậc 1 của hàm sóng bằng 0 17 Bài tập2: Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều có thế năng: 1 U ( x) = mω 2 x 2 + α x 3 + β x 4 2 trong đó α và β là những hằng số và x là độ lệch khỏi vị trí cân bằng Giải: Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng Toán tử Hamition của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều: Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ (x) Trong đó: h2 d 2 1 Hˆ 0 = ... Trong hầu hết toán không tìm nghiệm xác, phải dùng đến phương pháp gần đúng,đưa toán toán đơn giản tìm nghiệm xác Vì vậy, em định chọn đề tài: "Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải toán học lượng. .. lượng tử Mục đích nghiên cứu Rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo việc nghiên cứu, luyện giải toán học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại giải số toán khó học lượng tử Đối tượng nghiên cứu Các tập học lượng. .. học lượng tử Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Vật lý lý thuyết Vậy lý Toán NỘI DUNG A: Cơ sở lý thuyết Trạng thái hệ lượng tử mô tatr nghiệm phương trình: Ĥψ = Eψ (I) Ở đây, Ĥ toán tử Hamition