Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình học tập trình lĩnh hội phần kiến thức tập nói chung tập Cơ lượng tử nói riêng việc giải tập giữ vai trò quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững hiểu sâu sắc phần lý thuyết học Việc giải toán học lượng tử, quy việc giải phương trình schodinger để tìm lượng hàm sóng Trong điều kiện lý tưởng ta hoàn toàn giải dễ dàng Nhưng thực tế, việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn phức tạp Do vậy, ta phải sử dụng phương pháp gần để phương trình schodinger giải cách dễ dàng xác Với kiến thức học vật lý nói phương pháp dạy học năm học Đại học muốn xây dựng giảng để làm tư liệu hành trang sau trường Do vậy, lựa chọn đề tài: “Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử” làm đề tài khóa luận Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Sử dụng phương pháp gần đúng: Lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân để giải toán học lượng tử Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp gần lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp toán vật lý lý thuyết - Sử dụng phương pháp giải tích toán học SVTH: Lê Văn Thắng -1- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN Cơ sở lý thuyết 1.1 Đặt vấn đề Trong hệ lượng tử trạng thái chúng mô tả nghiệm phương trình schodinger: ˆ     (1.1) ˆ toán tử Hamiltơn  lượng hệ Trong trường Với  hợp đơn giản phương trình (1.1) cho nghiệm xác Đối với hệ phức tạp nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm xác Bởi ta phải sử dụng phương pháp gần để giải phương trình cho hàm ˆ riêng giá trị riêng toán tử  Dựa vào nghiệm xác hệ lý tưởng hóa ta hiệu chỉnh nghiệm để nghiệm gần cho hệ thực Cách hiệu chỉnh thế, điều kiện đặt gọi lý thuyết nhiễu loạn Điều kiện hạn chế toán Đầu tiên xét toán có phổ gián đoạn: ˆ     l l  l  1,2,3  (1.2) ˆ có dạng: Giả sử toán tử  ˆ  ˆ  Vˆ  (1.3) ˆ toán tử Hamiltơn lý tưởng hóa Vˆ toán tử nhiễu loạn Với  Giả sử Vˆ nhỏ, ta đặt Vˆ  Wˆ (1.4) Trong  thông số nhỏ không thứ nguyên SVTH: Lê Văn Thắng -2- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giả sử biết nghiệm El0  l (l  1,2,3 ) phương trình cho ˆ : hàm riêng trị riêng toán tử  Hˆ 0 l  El0 l (l  1,2,3 ) (1.5) Với điều kiện việc giải phương trình (1.1) ta quy việc giải phương trình sau để tìm El  l : ( Hˆ  Wˆ ) l  El l (1.6) Như hiệu chỉnh cho El0  l (l  1,2,3 ) để sau hiệu chỉnh, giá trị hiệu chỉnh nghiệm (1.1) (1.2) hay (1.6) 1.2 Nhiễu loạn không suy biến 1.2.1 Xét trạng thái hệ lí tưởng suy biến, nghĩa với giá trị El0 có hàm riêng  l , mặt khác xét xem mức El0 thay đổi có nhiễu loạn Ta giả sử sau hiệu chỉnh cho El0  l ta lượng hàm sóng thỏa mãn (1.6) Lấy hệ hàm riêng  l  , (l  1,2,3 ) ta khai triển:  l   Cnn (2.1) n Để tìm  l ta khai triển Cn ( n  1, 2,3, ) Thay (2.1) vào (1.6), nhân hai vế với  m* vào vế trái, lấy tích phân biến không gian : ( El  En0 )Cm    CnW mn Với Wmn    m* W n dq (2.2) (2.3) a) Khi   ứng với trường hợp không nhiễu: Hˆ  Hˆ ;  n  l0  l SVTH: Lê Văn Thắng -3- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Từ (2.3) ta có: Trường ĐHSP Hà Nội ( El  Em0 )Cm  ; ( m  1,2,3 ) Nghiệm ( 2.4) là: El  Em0 Cm  Cm0   ml (2.4) (2.5) Nếu m  l  Cm  0; m  l   ml    l  l   Cnn n b) Với   0,  nhỏ, giá trị El dịch khỏi El0 , Cm lệch khỏi giá trị Cm0 Ta hy vọng độ lệch nhỏ Muốn ta khai triển Cm El theo chuỗi lũy thừa  : Cm  Cm0  Cm1   2Cm2  El  El0   El1   El2  (2.6) Thay (2.6) và0 (2.2):  l  0m  1l   2l2   Cm0  Cm2    =  w mn  Cn0  Cn1  Cn2    m = 1, 2, 3,  (2.7) n So sánh hệ số lũy thừa  hai vế (2.7) Trước hết với hệ số  : ( El0  Em0 )Cm  (2.8) Cm0  m  l , Cl0  ( m  l ) Vậy ta có: Cm0   ml Thay Cm0   ml ; Cn0   nl vào (2.7) ta có: ( El0  Em0   El1   El2  )( ml  Cm1  )   Wmn ( nl  Cn1  ) n (m, l  1,2,3, ) Giả sử m  l : (2.9) 1l  Wll l2  1l Cl1  WlnCn1 SVTH: Lê Văn Thắng -4- (2.10) Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Từ (2.10) ta hiệu chỉnh bậc lượng:  El1  Wll  Vll (2.11) Giả sử m  l : ( El0  Em0 )Cm1  Wml ( El0  Em0 )(Cm2  El1Cm1 )  WmnCn1 (2.12) n Trong gần cấp 1, lượng hệ biểu diễn công thức: El  El0   El1  El0  Vll (2.13) Từ (2.12) sử dụng (2.11) ta suy ra: Cm1  Wml l m E E  Vml E  Em0 (2.14) l Trong phép gần cấp hàm sóng:  l   Cm m   Cl0  Cl1 l   (Cm0  Cm1 )m m m l Vml m 0 m  l El  Em  l  Cl1l   (2.15) Trong Cm1 xác định từ điều kiện chuẩn hóa  l xét từ điều kiện (2.6) bỏ qua đại lượng tỉ lệ với  : 2 1   l dq   Cl   Cl  (2.16) → phép gần cấp 1:  l  l   n l Vml E  En0 (2.17) l Từ (2.10) (2.14) với Cl1   lượng phép gần cấp 2: V El  E  Vll   ln n  l El  En l SVTH: Lê Văn Thắng -5- (2.18) Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.2.2 Phương pháp trường hợp chuỗi gần hội tụ Điều kiện cho điều số hạng sau phải nhỏ số hạng trước Như vậy: El0  En0 với n  l Vln (2.19) (2.19) điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn Như vậy, để ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn mức lượng l không suy biến Tuy nhiên, phần trạng thái m  l có lượng 0n thoả mãn (2.19) bị suy biến tính đắn (2.16) không bị phá huỷ Trường hợp phần trạng thái m  l thuộc phổ liên tục công thức áp dụng ta thay tổng tích phân  Vlm  Vvl l    Vll    o  dv  0  0  m l     m l v  l  l Vml V m   vl v dv m l    l   v m  l  l   l Trong  số trạng thái có phổ liên tục tập giá trị đại lượng đủ để xác định trạng thái phổ liên tục suy biến 1.3 Nhiễu loạn có suy biến Giả sử mức El0 suy biến bội s Khi để làm hàm gần cấp không, ta lấy tổ hợp tuyến tính: s  l   aklk (3.1) k 1 Thay (3.1) vào phương trình (1.7) nhân vào hai vế kết nhận với lk (k=1, 2, 3, ) lấy tích phân theo biến không gian, ta hệ phương s trình tuyến tínhthuần :  mk  El mk ak  (3.2) k 1 SVTH: Lê Văn Thắng -6- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Hệ phương trình có nghiệm khác với điều kiện: 11  E1 12 1s  21  22  E2  s  s1  s2  ss  Es 0 (3.3) Khai triển định thức (3.3) ta thu phương trình bậc s giá trị chưa biết El Phương trình gọi phương trình kỷ có s nghiệm Nếu s nghiệm (3.3) khác mức El0 suy biến bội s toán không nhiễu tách làm s mức khác ứng với mức có hàm:  lk   am l m k (3.4) m Trong am xác định từ (3.2) thay lk vào l (k =1, 2, k ,s) Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn Vˆ khử hoàn toàn suy biến Chúng ta trực giao hàm sóng tương ứng với nghiệm bội (3.3) ˆ phương pháp Gram – Smit Ta chéo hoá ma trận (  mk ) toán tử  dựa vào (3.4), nghĩa : ˆ  Vˆ )l dq   mk  Vmk   l* ( m k (3.5) Từ (3.5) cho phép ta bỏ số hạng có mẫu nhỏ phép gần 1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Thông thường nhiễu loạn tác dụng lên hệ lượng tử có đặc tính không ˆ Khi hàm tường minh dừng , nghĩa phụ thuộc thời gian Toán tử w thời gian Wˆ (t ' ) Ta giả thuyết biết hàm sóng trạng thái dừng hệ không nhiễu là: SVTH: Lê Văn Thắng -7- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp 0  n Trường ĐHSP Hà Nội  0  x, t     x  e nt  n Hàm sóng thoả mãn phương trình không nhiễu loạn 0 i  n  x, t   ˆ   0 t n  x, t  (4.1) Xét trường hợp phổ gián đoạn Khi có nhiễu loạn nhỏ miêu tả toán tử Wˆ (t ) tác dụng lên hệ hàm sóng hệ nhiễu loạn thoả mãn phương trình: i  ˆ  Wˆ    t   (4.2) Phân tích nghiệm phương trình (4.2) theo hàm riêng toán không nhiễu loạn   x, t    Ck  t  k 0  x, t  (4.3) Với Ck  t  hàm thời gian Thay (4.3) vào (4.2) ta có:  dCk 0  k0  x, t   ˆ  Wˆ  k 0  x, t  (4.4) i    k  x, t   Ck    Ck  t  dt    Nhân phương trình (4.4) từ bên trái với  m0   x, t  tích phân theo toàn không gian, ý đến (1.1) tính trực giao hàm sóng  k0  x, t  ta có: i dCm  Wnk eiW t Ck dt (4.5) nk phần tử trận ma toán tử nhiễu loạn là: Wmk   m 0  x Wˆ  k 0  x  dx mk   m    k (4.6)  Giả sử t  hệ số trạng thái không nhiễu loạn Khi đó: Ck 0  S kn SVTH: Lê Văn Thắng -8- (4.7) Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bắt đầu từ thời điểm t  hệ chịu tác động nhiễu loạn nhỏ giả sử hàm sóng  n 0 trạng thái ban đầu thay đổi theo thời gian thời điểm t  cá hệ số Cn  t  khai triển dạng chuỗi nhiễu loạn sau: Ck  t   Ck 0  t   Ck1  t   Ck   t   (4.8) Trong đó: Ck 0  t   Ck 0  Snk Thay (4.8) vào (4.5) ta phương trình Ck  t  gần bậc một: i dCm1   w mk eimk t Ck   w mn eimnt dt (4.9) Nghiệm phương trình (4.9) có dạng: i t Ck  t     dt Wmn ei o 1 mn t ' (4.10) Do gần bậc ta có: Cm  t   Skn  i t  Wmn ei t dt   0 mn (4.11) Lưu ý nghiệm dùng Cm1  t  Tương tự, ta tìm số hiệu bậc hai hay bậc cao Chẳng hạn ta dễ tìm Cm  : i t Cm  t      Wmn ei t Ck1 dt   k  2 mk (1.2) Nếu nhiễu loạn đủ nhỏ ta giới hạn số số hạng Thành thử hàm sóng thời điểm t  nguyên tắc tính độ xác mong muốn SVTH: Lê Văn Thắng -9- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.5 Kết luận Ta thấy việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn toán học lượng tử hữu ích Tuy nhiên, toán học lượng tử ta áp dụng lý thuyết nhiễu loạn Điều kiện để áp dụng lý thuyết nhiễu loạn hệ có: ˆ  ˆ  Wˆ  ˆ   E 0 phải giải cách xác, Wˆ Trong phương trình  n n ˆ nhỏ so với toán tử lượng  Sau ta xét số toán học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu loạn Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập Hạt chuyển động trường xuyên tâm có mức lượng Enl0 Giả sử, đặt từ trường yếu dọc theo trục OZ Hãy tìm lượng hàm sóng hạt phép gần bậc ( không tính đến spin hạt ) Giải Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamiltơn có dạng:  ˆ  ˆ  ie    ˆ  Vˆ (bỏ qua số hạng tỉ lệ với 2 )  0  ie  Coi số hạng Vˆ   toán tử nhiễu loạn  Vì từ trường yếu nên Vˆ nhỏ nên ta áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để xác định lượng hàm sóng hạt Ta có gần bậc nhất: + Năng lượng hạt: Enl  Enl0  Enl1 ( Enl0 lượng hạt trường đối xứng cầu) SVTH: Lê Văn Thắng - 10 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Đây phương pháp gần sử dụng để giải toán học lượng tử Cụ thể toán tìm lượng, trạng thái dao động tử điều hòa Sau ta nghiên cứu việc sử dụng phương pháp toán học lượng tử Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp biến phân Trong trường hợp giải gần toán học lượng tử phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi, nghĩa ta toán gần với toán cho, giải cách xác làm gần bậc không người ta sử dụng phương pháp khác phương pháp biến phân Phương pháp biến phân xuất phát từ biểu thức giá trị trung bình lượng: ˆ  dx E   * (1.1) Trong  thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa *   dx  (1.2) ˆ toán tử Hamiltơn toàn phần hệ Phân tích  theo hàm Trong  riêng toán tử Hamiltơn  n     an n0 ; a n n 1 (1.3) n  ˆ  dx   a E E   * n n (1.4) n 0 Gọi E0 lượng trạng thái ta có bất đẳng thức sau:  E  E0  an  E0 (1.5) n0 SVTH: Lê Văn Thắng - 20 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Thành thử việc tính lượng trạng thái hệ lượng tử, ˆ  dx biến phân hàm sóng chuẩn dẫn đến tính cực tiểu tích phân  * ˆ  dx E0   * hóa  Do đó: (1.6) Nếu  * dx  Việc tính toán thực tế lượng trạng thái nhờ biểu thức (1.6) dẫn đến việc chọn “hàm thử” chứa số thông số chưa biết  ,  , sau tính tích phân   x,  , ,  ˆ   x,  , ,  dx * Ta nhận hàm J  , ,  phụ thuộc vào thông số Việc xác định giá trị cần tìm thông số dẫn đến tìm cực tiểu J  , ,  nghĩa dẫn đến việc giải phương trình: J J      Nếu chọn tốt hàm thử, ta có giá trị lượng: E  J  , ,  Gần với giá trị thật  thông số cần dùng tương đối Hàm sóng trạng thái hệ gần trùng với hàm   x,  , ,  Phương pháp tính lượng trạng thái nói gọi phương pháp Ritz hay phương pháp biến thiên trực tiếp Việc chọn hàm thử dựa việc phân tích định tính tính đối xứng toán cảm nhận vật lý Nếu ký hiệu  hàm sóng trạng thái hệ, việc tính lượng trạng thái kích thích thứ E1 dẫn đến giải toán biến phân ˆ  dx E1   1* SVTH: Lê Văn Thắng - 21 - (1.7) Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Với điều kiện phụ:  1* 1dx  1; *   (1.8) dx  Việc tính mức kích thích thứ hai dẫn đến giải toán biến phân: ˆ  dx E2   2* Với điều kiện phụ:  2* dx  1; *   (1.9) dx   2* dx  (1.10) Quá trình tiếp tục với việc tính mức kích thích cao Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập 1: Tính lượng trạng thái dao động tử điều hòa tuyến tính Biết toán tử Hamiltơn có dạng: 2 ˆ   d  m x  2m dx 2 (2.1) Giải Ta chọn hàm thử dạng: 0 x   x      x      x,       x   x     0 x    (2.2) Từ (2.1) (2.2) ta có:  ˆ  dx  J ( )   *  2 m   dx  x 2 dx   m     dx  SVTH: Lê Văn Thắng - 22 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Với   Trường ĐHSP Hà Nội d 2 dx Tích phân mẫu số xuất chuẩn hóa hàm sóng ta dễ dàng tính   dx   ;   x  dx    15    dx ta ý rằng: Để tính   1  x     x,     x    Với    x,      d dx Vậy:    x,       x      x    0 x  Với   x    1 x  Trong lý thuyết hàm biến phức, ta chứng minh:  x     x  Với   x  hàm Đen ta Đirăc Vậy:  Do đó:  2    x,       x   2  dx     x,    x  dx      0,        Cuối cùng: J    2  m 2 2 m 20 Từ điều kiện cực tiểu J   ta tính SVTH: Lê Văn Thắng - 23 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   30    2,34 m m Và lượng trạng thái là: E0  0,548 So với lượng trạng thái tính xác  , ta thấy sai số 10% Vậy dùng giá trị phép gần bậc 2.2 Bài tập Sử dụng phương pháp biến phân.Tính lượng trạng kích thích thứ nguyên tử Hiđrô Giải Toán tử Hamiltơn có dạng: 2 ˆ   2  e  2m r (2.1) Trong trường đối xứng xuyên tâm, mômen xung lượng có giá trị xác định Ở trạng thái mômen xung lượng Do đó, hàm sóng phụ thuộc vào r mà không phụ thuộc vào góc Khi r   hàm phải tiến đến không, hàm thử viết dạng:    exp    r  (2.2) Từ điều kiện chuẩn hóa ta có: 2   dr   A  3 r Sử dụng (2.1) (2.2) ta tìm  2 ˆ  dr   *     e  dr J      * 0  2m r     3   r   r  e  e r dr  4 2e2  e2  r rdr  m 0 SVTH: Lê Văn Thắng - 24 - (2.3) Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tính tích phân thứ ta có:  e  r 1    r dr     e   r  r dr    4  r  0 r e Tính tích phân thứ hai ta có:  e 2  r rdr   2  2 thay giá trị vào (2.3) ta : 2  J     e2  2m (2.4) Từ điều kiện cực tiểu J    ta xác định thông số biến thiên   , a 2 a  đơn vị nguyên tử chiều dài Thay  vào (2.4) me (2.2) ta lượng hàm sóng trạng thái bản: e2 2a  r  1s  exp     a  a3 E1s  J      Ta tính lượng trạng thái kích thích thứ ta chọn hàm thử dạng hàm phụ thuộc vào hai thông số   :  2s   r   B 1    e a  (2.5)  Điều kiện trực giao:  s 1s dr  0 Suy ra:   1    giá trị vào (2.5) từ điều kiện chuẩn hóa ta xác định được: SVTH: Lê Văn Thắng - 25 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội B2  3  a3  a  a    Bây tính tích phân:  e2   2 ˆ J     s   s dr        a         * Từ điều kiện cực tiểu (2.6) J  rút   thay vào (2.5) (2.6) ta tính  được: E2 s   e2 , 8a  s   8 a 2  r   2ra  1   e  2a  2.3.Bài tập ˆ Dùng phương pháp biến phân tìm trị riêng hàm riêng toán tử  cho dao động tử phi điều hoà biết toán tử Hamiltơn có dạng: 2 ˆ    d  Cx  2m dx (3.1) Giải Ta chọn hà thử chuẩn hoá dạng: 1    x2     2 exp     với (3.2)    dx  Ta có lượng trung bình dao động tử phi điều hoà bằng: SVTH: Lê Văn Thắng - 26 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  x2  x2 2  2 d 4 ˆ     dx    e   2m dx  Cx e    1           x     Cx e  x dx  2m    1    dx (3.3) 2 Ta cực tiểu hoá (3.3) theo  Sử dụng công thức:  12    2n  x  x e dx  1.3.5  2n - 1)      n n 1 2  (n  0) 2 ( n  1,2,3, ) Ta tính tích phân (3.3): ˆ  dx           2 2 4    2m   x     Cx e   1   5    2m   x 2e  x2 dx  1   2m dx  3     2x2 x 0e   x2 dx  C   1  xe   x2 dx  1  3  5    3    3  C 2m 2 2m  4 =   22 4m  22 4m    22 2m  3C 4 (3.4) 3C 4 Từ điều kiện cực tiểu hoá lượng trung bình   , rút giá trị  tương ứng  SVTH: Lê Văn Thắng - 27 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  6Cm  Thay giá trị     vào phương trình (3.4) vào (3.2) ta giá    trị lượng hàm sóng trạng thái dao động tử điều hoà:  22 3C    13 0    1,082   C m 4  2m  (3.6)  3C.m 13  12  C m          exp  -  x           (3.7) Năng lượng trạng thái kích thích thứ Gọi  hàm sóng trạng thái kích thích thứ suy hàm  phải trực giao với hàm  Nên ta chọn hàm thử dạng:   Bx.e   x2 (3.8) Điều kiện chuẩn hoá:    dx    B x e  x dx  (3.9)  Sử dụng tích phân possion: 2n - x  x e dx  Ta : B2  2n  1!!    B2   n  22 n1 (3.10)  3 Năng lượng trung bình dao động tử phi điều hoà :   ˆ  1dx      *   2 B xe  SVTH: Lê Văn Thắng  x2 2 x    2d 4   Cx e dx   2 mdx   - 28 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   2  =  B x2    x     Cx  e   x dx   2m      B22  B 22    x2   x2 2   x2 = x e dx  x e dx  B C x    e dx 2m  2m   B22   B22   15  =   B 2C 2m  2m  7   15C =  4m  Từ điều kiện cực tiểu  (3.11) E  ta có :    15C 60Cm 30Cm    3 =0   03    2 4m  2 2 Thay vào (3.11) ta : + Năng lượng trạng thái kích thích thứ : 2 1  30Cm   15Cm 4m 30Cm 43 2 (3.12) + Hàm sóng trạng thái kích thứ : 15Cm x2 Cm   30 2 xe  (3.13)  Phương pháp tính lượng trạng thái hệ lượng tử nói phụ thuộc vào việc chọn hàm thử Ngoài ta tính lượng trạng thái kích thích thứ 1 thứ hai  SVTH: Lê Văn Thắng - 29 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, khóa luận với đề tài “Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử” hoàn thành Với khóa luận thiết kế giảng đó: Lý Thuyết Nhiễu Loạn 1.1 Nhiễu loạn suy biến 1.2 Nhiễu loạn có suy biến 1.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 1.4 Bài tập ứng dụng Phương Pháp Biến Phân 1.1 Lý thuyết phương pháp biến phân 1.2 Bài tập ứng dụng Khoá luận tìm hiểu vấn đề sử dụng phương pháp gần lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân giải toán học lượng tử Với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ta giải xác phương trình Schodinger Tuy nhiên, áp dụng ˆ  ˆ  Wˆ  ˆ   E 0 phải giải cách hệ vật lý có  0 n n n xác Wˆ phải nhỏ so với ˆ Nhưng nhiều trường hợp việc giải toán gần học lượng tử phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi nghĩa không giải cách xác làm gần bậc không Khi phương pháp biến phân lại hiệu giải tốt vấn đề Vì điều kiện khuân khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu ngắn nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện SVTH: Lê Văn Thắng - 30 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo Dục, Hà Nội Đặng Quang Khang(1996), Cơ học lượng tử, NXB khoa học kỹ thuật Nguyễn Xuân Hy (1976), Cơ học lượng tử gì, NXB Giáo Dục Matveev M.A, Cơ học lượng tử cấu trúc nguyên tử, tập1, tập SVTH: Lê Văn Thắng - 31 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Thầy giáo - Th.S Nguyễn Huy Thảo trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình tìm hiểu để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng đề tài không tránh khỏi thiếu sót, em mong giúp đỡ, thầy giáo, cô giáo đóng góp ý kiến bạn sinh viên để khoá luận em hoàn chỉnh Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực Lê Văn Thắng SVTH: Lê Văn Thắng - 32 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh quan tâm thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý hướng dẫn tận tình thầy - Th.S Nguyễn Huy Thảo Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì vậy,Tôi khẳng định kết đề tài:“Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội,tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực hiên Lê văn Thắng SVTH: Lê Văn Thắng - 33 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Chương I:Lý thuyết nhiễu loạn 1.Cơ sở lý thuyết 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Nhiễu loạn suy biến 1.3 Nhiễu loạn có suy biến 1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 1.5 Kết luận 2.Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập 2.2 Bài tập 2.3 Bài tập Chương II:Phương Pháp Biến Phân Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp biến phân Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập 2.2 Bài tập 2.3 Bài tập PHẦN KẾT LUẬN SVTH: Lê Văn Thắng - 34 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý [...]... II PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Đây cũng là một phương pháp gần đúng được sử dụng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử Cụ thể là các bài toán tìm năng lượng, trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa Sau đây ta cùng đi nghiên cứu việc sử dụng phương pháp này trong các bài toán cơ học lượng tử 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp biến phân Trong trường hợp giải gần đúng bài toán cơ học lượng tử bằng phương. .. PHẦN KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, khóa luận với đề tài Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử đã được hoàn thành Với bài khóa luận này tôi đã thiết kế được bài giảng trong đó: 1 Lý Thuyết Nhiễu Loạn 1.1 Nhiễu loạn khi không có suy biến 1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến 1.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 1.4 Bài tập ứng dụng 2 Phương Pháp. .. thuyết phương pháp biến phân 1.2 Bài tập ứng dụng Khoá luận này tôi chỉ tìm hiểu các vấn đề sử dụng phương pháp gần đúng lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân trong giải các bài toán cơ học lượng tử Với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ta có thể giải được chính xác hơn phương trình Schodinger Tuy nhiên, nó chỉ được áp dụng đối với các ˆ  ˆ  Wˆ trong đó  ˆ   E 0 phải được giải một cách hệ... thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý và sự hướng dẫn tận tình của thầy - Th.S Nguyễn Huy Thảo Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này tôi có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Vì vậy,Tôi khẳng định kết quả của đề tài: Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Hà... phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi, nghĩa là ta không có bài toán gần với bài toán đã cho, giải được một cách chính xác làm gần đúng bậc không người ta sử dụng một phương pháp khác là phương pháp biến phân Phương pháp biến phân xuất phát từ biểu thức của giá trị trung bình của năng lượng: ˆ  dx E   * (1.1) Trong đó  là bất kỳ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa *   dx  1 (1.2) ˆ là toán tử Hamiltơn... cùng các bạn sinh viên để bài khóa luận được hoàn thiện hơn SVTH: Lê Văn Thắng - 30 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Hà Nội 2 Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo Dục, Hà Nội 3 Đặng Quang Khang(1996), Cơ học lượng tử, NXB khoa học và kỹ thuật 4 Nguyễn Xuân Hy (1976), Cơ học lượng tử. .. giải một cách hệ vật lý có  0 0 n n n chính xác và Wˆ phải rất nhỏ so với ˆ 0 Nhưng trong nhiều trường hợp việc giải bài toán gần đúng trong cơ học lượng tử bằng phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi nghĩa là không giải được một cách chính xác làm gần đúng bậc không Khi đó phương pháp biến phân lại rất hiệu quả khi giải quyết tốt vấn đề đó Vì điều kiện khuân khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên...  2,34 m m Và năng lượng của trạng thái cơ bản là: E0  0,548 So với năng lượng trạng thái cơ bản tính chính xác là  , ta thấy sai số 2 dưới 10% Vậy có thể dùng giá trị này trong phép gần đúng bậc nhất 2.2 Bài tập 2 Sử dụng phương pháp biến phân.Tính năng lượng và các trạng kích thích thứ nhất của nguyên tử Hiđrô Giải Toán tử Hamiltơn có dạng: 2 2 ˆ   2  e  2m r (2.1) Trong trường đối xứng... ta có giá trị năng lượng: E  J  0 , 0 ,  Gần với giá trị thật  0 ngay cả khi thông số cần dùng tương đối ít Hàm sóng trạng thái cơ bản của hệ sẽ gần trùng với hàm  0  x,  0 , 0 ,  Phương pháp tính năng lượng trạng thái cơ bản nói trên gọi là phương pháp Ritz hay phương pháp biến thiên trực tiếp Việc chọn hàm thử dựa trên việc phân tích định tính về tính đối xứng của bài toán và những cảm... hiệu chỉnh vào năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa (gần đúng cấp hai) là: 3 11    E01  E02  2  12 2 3 4 8 m 2.3 Bài tập 3 Một hạt có khối lượng m chuyển động trong một giếng thế bề rộng a, có thành cao vô hạn Chịu tác động của một nhiễu loạn nhỏ u ( x)  u0 sin 2 x a Xác định hiệu chỉnh về năng lượng của các trạng thái dừng Giải Khi không có nhiễu loạn, phương trình cho ... sử dụng để giải toán học lượng tử Cụ thể toán tìm lượng, trạng thái dao động tử điều hòa Sau ta nghiên cứu việc sử dụng phương pháp toán học lượng tử Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp biến phân Trong. .. hợp giải gần toán học lượng tử phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi, nghĩa ta toán gần với toán cho, giải cách xác làm gần bậc không người ta sử dụng phương pháp khác phương pháp biến phân Phương. .. với mục đích nghiên cứu, khóa luận với đề tài Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử hoàn thành Với khóa luận thiết kế giảng đó: Lý Thuyết Nhiễu Loạn 1.1 Nhiễu loạn