Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình học tập trình lĩnh hội phần kiến thức tập nói chung tập Cơ lượng tử nói riêng việc giải tập giữ vai trò quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững hiểu sâu sắc phần lý thuyết học Việc giải toán học lượng tử, quy việc giải phương trình schodinger để tìm lượng hàm sóng Trong điều kiện lý tưởng ta hồn tồn giải dễ dàng Nhưng thực tế, việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn phức tạp Do vậy, ta phải sử dụng phương pháp gần để phương trình schodinger giải cách dễ dàng xác Với kiến thức học vật lý nói phương pháp dạy học năm học Đại học muốn xây dựng giảng để làm tư liệu hành trang sau trường Do vậy, lựa chọn đề tài: “Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử” làm đề tài khóa luận Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Sử dụng phương pháp gần đúng: Lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân để giải toán học lượng tử Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp gần lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp toán vật lý lý thuyết - Sử dụng phương pháp giải tích tốn học SVTH: Lê Văn Thắng -1- Lớp K32B- Khoa Vật Lý Khoá luận tốt nghiệp SVTH: Lê Văn Thắng Trường ĐHSP Hà Nội -2- Lớp K32B- Khoa Vật Lý PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN Cơ sở lý thuyết 1.1 Đặt vấn đề Trong hệ lượng tử trạng thái chúng mô tả nghiệm phương trình schodinger:  ˆ    (1.1) Với ˆ toán tử Hamiltơn  lượng hệ Trong trường hợp đơn giản phương trình (1.1) cho nghiệm xác Đối với hệ phức tạp nói chung phương trình (1.1) khơng cho nghiệm xác Bởi ta phải sử dụng phương pháp gần để giải phương trình cho hàm riêng giá trị riêng toán tử ˆ Dựa vào nghiệm xác hệ lý tưởng hóa ta hiệu chỉnh nghiệm để nghiệm gần cho hệ thực Cách hiệu chỉnh thế, điều kiện đặt gọi lý thuyết nhiễu loạn Điều kiện hạn chế toán Đầu tiên xét tốn có phổ gián đoạn: ˆ  l  Giả sử toán tử ˆ l  1, 2,3  (1.2) có dạng: ˆ  ˆ  Vˆ Với ˆ0 tốn tử Hamiltơn lý tưởng hóa Vˆ (1.3) toán tử nhiễu loạn Giả sử Vˆ nhỏ, ta đặt Vˆ  Wˆ Trong  thơng số nhỏ khơng thứ ngun (1.4) Giả sử biết nghiệm E  l (l  1, 2,3 ) phương trình cho l hàm riêng trị riêng toán tử ˆ : Hˆ0 l  E l0 (l  1, 2,3 ) l (1.5) Với điều kiện việc giải phương trình (1.1) ta quy việc giải phương trình sau để tìm El  l : (  Wˆ ) Hˆ l  E l l (1.6) Như hiệu chỉnh cho El  l (l  1, 2,3 ) để sau hiệu chỉnh, giá trị hiệu chỉnh nghiệm (1.1) (1.2) hay (1.6) 1.2 Nhiễu loạn không suy biến 1.2.1 Xét trạng thái hệ lí tưởng khơng có suy biến, nghĩa với giá trị El có hàm riêng  l , mặt khác xét xem mức E thay l đổi có nhiễu loạn Ta giả sử sau hiệu chỉnh cho E0  l l ta lượng hàm sóng thỏa mãn (1.6) Lấy hệ hàm riêng  l  , (l  1, 2,3 ) ta khai triển:  l   Cn n (2.1) n Để tìm  l ta khai triển Cn (n  1, 2,3, ) Thay (2.1) vào (1.6), nhân hai vế với   biến không gian : l n * m vào vế trái, lấy tích phân mn n m (E  E )C   W C (2.2) Với Wmn    W dq * m a) Khi   ứng với trường hợp không nhiễu: Hˆ  Hˆ ;  n  l  (2.3) Từ (2.3) ta có:  ; (m  1, 2,3 ) (E  E )C l m Nghiệm ( 2.4) là: E (2.4) m 0  E C  C   l m m (2.5) m ml m  l  Cm  0; m  l   ml  Nếu  l  l  Cnn n b) Với   0,  nhỏ, giá trị El dịch khỏi E0 , C lệch khỏi giá l m trị C Ta hy vọng độ lệch nhỏ Muốn ta khai triển C m m chuỗi lũy thừa  : C  C  C m m l l E theo l m   C  2 m (2.6) E  E   E   E  l l Thay (2.6) và0 (2.2):    0        C  C    l m 2 l l m m =  wmn  Cn0  C1 nC    m = 1, 2, 3,  n n (2.7) So sánh hệ số lũy thừa  hai vế (2.7) Trước hết với hệ số  : 0 (E  E )C  0 m l l C  m  l,C  Vậy ta có: C m  Thay C   l ml m m ;C  n l (m  l) m (2.8) m nl vào (2.7) ta có: l  mn nl n ml (E  E   E   E  )(  C  )   W (  C  ) n (m,l  1, 2,3, ) Giả sử m  l : (2.9)  1l W l ll l   1 C  ln n W (2.10) Từ (2.10) ta hiệu chỉnh bậc lượng:  E l  Wll  Vll (2.11) Giả sử m  l : 0 l m m l m m (E  E )C  W m ml  (E  E )(C  E l C )  n Wmn C (2.12) n Trong gần cấp 1, lượng hệ biểu diễn công thức: (2.13) El  El   El  El  Vll Từ (2.12) sử dụng (2.11) ta suy ra: (2.14) 0 Wml Vml E  E  E0  E0 C m l m l m Trong phép gần cấp hàm sóng:  C   C  C    l  m m l l l m (C  C )  m m m ml    C    l l Vml l 0m ml El  Em (2.15)  Trong C m xác định từ điều kiện chuẩn hóa  l xét từ điều kiện (2.6) bỏ qua đại lượng tỉ lệ với  :  l dq   C (2.16)   C  l → phép gần cấp 1:  l  l   (2.17) Vml 0 nl El  E n Từ (2.10) (2.14) với C l   lượng phép gần cấp 2: EE V l l l l  Vln 0 (2.18) nl El  En   , rút giá trị   6C m        Thay giá trị vào phương trình (3.4) vào (3.2) ta giá trị lượng hàm sóng trạng thái dao động tử điều hoà:  2  3C   2 3   1,082   C 4m 4  2m   (3.6)    6C.m 12   3C.m  2     exp -  2  x      Năng lượng trạng thái kích thích thứ Gọi  thái kích thích thứ suy hàm  (3.7) hàm sóng trạng phải trực giao với hàm  Nên ta chọn hàm thử dạng:   Bx.e (3.8)  x Điều kiện chuẩn hoá:  dx    x 2 Bxe dx  (3.9)  Sử dụng tích phân possion:  Ta : x2ne- xdx   2n  1!!  22n1 2 B 1 1B  3 (3.10)  3 Năng lượng trung bình dao động tử phi điều hoà :   * 2      0 ˆ  dx B x e2     x2   2 d   Cx  e   2mdx   x dx   2 2 2 4 x =  B x   x    Cx e dx     2m    2   2    x 2 =  x x B x e x e x e dx     B dx  B C dx  2m  2m   2 2 2  B   B2C 15  B =  2m   2m  7 2  =  15C 4m 4 (3.11) Từ điều kiện cực tiểu E  ta có :    2  4m 15 =0     C 4 60Cm 2 30C m  3 Thay vào (3.11) ta : + Năng lượng trạng thái kích thích thứ : 23    30Cm  4m 15Cm  43 + Hàm sóng trạng thái kích thứ : Cm (3.12) 30Cm  15Cm x2   30 xe  (3.13) 2 Phương pháp tính lượng trạng thái hệ lượng tử nói phụ thuộc vào việc chọn hàm thử Ngồi ta tính lượng trạng thái kích thích thứ 1 thứ hai  PHẦN KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, khóa luận với đề tài “Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử” hồn thành Với khóa luận tơi thiết kế giảng đó: Lý Thuyết Nhiễu Loạn 1.1 Nhiễu loạn khơng có suy biến 1.2 Nhiễu loạn có suy biến 1.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 1.4 Bài tập ứng dụng Phương Pháp Biến Phân 1.1 Lý thuyết phương pháp biến phân 1.2 Bài tập ứng dụng Khố luận tơi tìm hiểu vấn đề sử dụng phương pháp gần lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân giải toán học lượng tử Với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ta giải xác phương trình Schodinger Tuy nhiên, áp dụng hệ vật lý có ˆ  ˆ  Wˆ xác Wˆ ˆ 0 n  E n0 phải giải cách n phải nhỏ so với ˆ Nhưng nhiều trường hợp việc giải toán gần học lượng tử phương pháp nhiễu loạn không thuận lợi nghĩa không giải cách xác làm gần bậc khơng Khi phương pháp biến phân lại hiệu giải tốt vấn đề Vì điều kiện khuân khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu ngắn nên khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện SVTH: Lê Văn Thắng - 61 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý SVTH: Lê Văn Thắng - 62 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo Dục, Hà Nội Đặng Quang Khang(1996), Cơ học lượng tử, NXB khoa học kỹ thuật Nguyễn Xuân Hy (1976), Cơ học lượng tử gì, NXB Giáo Dục Matveev M.A, Cơ học lượng tử cấu trúc nguyên tử, tập1, tập LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Thầy giáo - Th.S Nguyễn Huy Thảo trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình tìm hiểu để em hồn thành khố luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong giúp đỡ, thầy giáo, cô giáo đóng góp ý kiến bạn sinh viên để khố luận em hồn chỉnh Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực Lê Văn Thắng LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân tơi qua q trình học tập nghiên cứu Bên cạnh tơi quan tâm thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý hướng dẫn tận tình thầy - Th.S Nguyễn Huy Thảo Trong nghiên cứu hoàn thành khố luận tơi có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì vậy,Tơi khẳng định kết đề tài:“Thiết kế giảng sử dụng phương pháp gần để giải tốn học lượng tử” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội,tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực hiên Lê văn Thắng SVTH: Lê Văn Thắng - 33 - Lớp K32B- Khoa Vật Lý SVTH: Lê Văn Thắng Lớp K32B- Khoa Vật Lý MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Chương I:Lý thuyết nhiễu loạn 1.Cơ sở lý thuyết 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Nhiễu loạn suy biến 1.3 Nhiễu loạn có suy biến 1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 1.5 Kết luận 2.Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập 2.2 Bài tập 2.3 Bài tập Chương II:Phương Pháp Biến Phân Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp biến phân Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập 2.2 Bài tập 2.3 Bài tập PHẦN KẾT LUẬN - 34 - ... ˆ  ˆ0  Wˆ Trong phương trình ˆ  E phải giải cách xác, Wˆ n nhỏ so với toán tử lượng ˆ0 Sau ta xét số toán học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu loạn Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập Hạt chuyển... tắc tính độ 1.5 Kết luận Ta thấy việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn toán học lượng tử hữu ích Tuy nhiên, khơng phải tốn học lượng tử ta áp dụng lý thuyết nhiễu loạn Điều kiện để áp dụng lý thuyết... Đối với hệ phức tạp nói chung phương trình (1.1) khơng cho nghiệm xác Bởi ta phải sử dụng phương pháp gần để giải phương trình cho hàm riêng giá trị riêng toán tử ˆ Dựa vào nghiệm xác hệ lý