Sử dụng các phương pháp gần đúng vào giải các bài toán trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC VŨ THỊ HOA SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HOA

SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG VÀO GIẢI

CÁC BÀI TẬP TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn: ThS Phạm Ngọc Thư

Sơn La, năm 2017

LỜI CÁM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Phạm Ngọc Thư, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện làm khóa luận tốt nghiệp

Em cũng xin chân thành cám ơn ý kiến đóng góp và những kinh nghiệm quý giá của các thầy cô trong tổ bộ môn Vật lí, cùng các thầy cô trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp và em không thể quên gửi lời cám ơn đến các thầy cô trong trung tâm Thông Tin - Thư Viện của Trường Đại Học Tây Bắc

Khóa luận tốt nghiệp của em còn rất nhiều thiếu sót về kiến thức và kĩ năng nên em rất mong sự đóng góp nhiệt tình của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn la, ngày tháng năm

Sinh viên làm khóa luận

Vũ Thị Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn khoá luận: 5

2 Mục đích của khóa luận: 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 6

4 Đối tượng nghiên cứu: 6

5 Phạm vi nghiên cứu: 6

6 Phương pháp nghiên cứu: 6

CHƯƠNG I: CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 7

1.1 Lý thuyết nhiễu loạn 7

1.1.1 Lý thuyết nhiễu loạn dừng 7

1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến 7

1.1.1.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến 10

1.1.2 Lý thuyết nhiễu lọan phụ thuộc thời gian 11

1.2 Phương pháp biến phân 14

1.3 Phương pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went – Kramers – Brillouin) 15

CHƯƠNG II:PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 18

2.1 Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến 18

2.1.1 Phương pháp 18

2.1.2 Bài tập minh họa 18

2.1.3 Bài tập áp dụng 22

2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến 25

2.2.1 Phương pháp 25

2.2.2 Bài tập minh họa 26

2.2.3.Bài tập áp dụng 42

2.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 43

2.3.1 Phương pháp 43

2.3.2 Bài tập minh họa 44

2.3.3 Bài tập áp dụng 48

2.4 Phương pháp biến phân 51

2.4.1 Phương pháp 51

2.4.2 Bài tập minh họa 51

2.4.3 Bài tập áp dụng 55

2.5 Phương pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers - Brillouin) 57

2.5.1 Phương pháp 57

2.5.2 Bài tập minh họa 57

2.5.3 Bài tập áp dụng 62

KẾT LUẬN 64

PHỤ LỤC 65

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn khoá luận:

Trong nửa đầu thế kỉ XX, một trong các ngành phát triển và có các thành tựu quan trọng đó là ngành Vật lý bằng việc hình thành những lý thuyết cơ bản của Vật Lý học

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản đó, nó nghiên cứu

về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng - hạt được thể hiện rõ Lưỡng tính sóng hạt được giả định như là một tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được.Cơ học lượng tử được hình thành do các nhà vật lý như: Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, Paul Dirac…và một số người khác tạo nên Và lý

thuyết này vẫn được nghiên cứu cho đến ngày nay

Chúng ta biết, một hệ lượng tử được đặc trưng bởi Hamiltonian Do đó, đòi hỏi phải xác định được hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamiltonian đó Để tìm được trị riêng và hàm riêng của một toán tử một cách chính xác là vô cùng phức tạp Chính vì thế, phương pháp gần đúng được đưa vào sử dụng trong cơ học lượng tử (CHLT) nhằm giải quyết vấn đề trên

Và trong quá trình học tập cũng giúp em nhận ra rằng: Làm bài tập là một việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lý nói chung và trong cơ học lượng tử nói riêng, nó sẽ củng cố lý thuyết đã học và trau dồi kĩ năng thực hành Trong cơ học lượng tử thì có rất nhiều các phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới hạn của chương trình thì ba phương pháp gần đúng được sử dụng phổ biến và áp dụng cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân và phương pháp gần đúng cổ điểnWent - Kramers - Brillouin (WBK) Các phương pháp này trong chương trình học đại học chưa có nhiều tài liệu hướng dẫn một cách cụ thể cách sử dụng chúng như

thế nào để giải các bài tập trong cơ học lượng tử Chính vì vậy, em quyết định chọn nghiên cứu khóa luận: “Sử dụng các phương pháp gần đúng vào giải các bài tập trong cơ học lượng tử”

2.Mục đích của khóa luận:

- Hệ thống lại lý thuyết của ba phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

- Rèn kĩ năng giải, đưa ra các phương pháp giải và hướng dẫn các bước giải cho từng phương pháp

3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

Phân loại và giải các bài toán trong cơ học lượng tử bằng các phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

4.Đối tượng nghiên cứu:

Khóa luận sẽ nghiên cứu ba phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân và phương pháp gần đúng cổ điển WBK Mỗi phương pháp bao gồm một hệ thống lý thuyết

và bài tập được phân loại, sắp xếp theo mức độ và giải một cách chi tiết

5.Phạm vi nghiên cứu:

Chỉ chú trọng nghiên cứu chương “Phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử” nhất là các bài tập của chương này

6.Phương pháp nghiên cứu:

Phân tích lý thuyết của các phương pháp gần đúng(lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân, phương pháp gần đúng cổ điểnWent - Kramers -

Brillouin (WBK) )

CHƯƠNG I: CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1.Lý thuyết nhiễu loạn

1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng

1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến

Giả sử Hamiltonian của một hệ lượng tử được viết dưới dạng:

ˆ

= ˆ0+ ˆ 1Với: ˆ0: Toán tử Hamiltonian khi không nhiễu loạn

ˆ1: Toán tử Hamiltonian khi nhiễu loạn

Vectơ riêng của ˆ0được xác định bằng phương trình Schrodinger:

  0 n

 : Năng lượng của hệ ở trạng thái n (năng lượng mức n) và chưa

có nhiễu loạn

Xét hệ ở trạng thái nhiễu loạn thì phương trình trị riêng của Ĥ có dạng:

(ˆ0+ ˆ1) n =  n n

(1.2)

Tìm: n : Trạng thái của hệ có suy biến n

n: Năng lượng của hệ ở trạng thái n (năng lượng mức n) và có suy

biến

Chọn hệ cơ sở không gian Hilber  n thỏa mãn: n m n,m

n n n

Từ điều kiện λ → 0, dẫn đến C nk0 = 0:

 =   n ˆ1 n . (1.8)

Từ phương trình (1.7), ta chuyển vế và nhân trái hai vế với bra k ta thu được:

1.1.1.2.Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến

Xét toán tử Hamiltonian ˆ0không nhiễu loạn bị suy biến bậc s:

j 1



1.1.2.Lý thuyết nhiễu lọan phụ thuộc thời gian

Hamiltonian phụ thuộc thời gian của hệ có dạng: ˆ  t    ˆ0 ˆ1   t .

(1.16) Trước hết, ta khai triển các vectơ riêng  t của Hamiltonian toàn phần ˆ  t

(1.16) theo trạng thái dừng riêng n của:

i texp

 (1.18) Thay khai triển (1.18) vào phương trình Schrodinger:

- Xét t 0: hệ không nhiễu loạn có vectơ trạng thái i : Cn 0   C n0  ni (1.21)

- Khi t = 0: hệ chịu tác dụng của nhiễu loạn nhỏ ˆ

- Khi t > 0:Cn t  khai triển thành chuỗi nhiễu loạn  0  1  2  

0 t

Nghiệm dùng đƣợc khi C1m t   1và lúc này hệ sẽ nhận tác động từ bên ngoài,

ta nói hệ nhiễu loạn

Theo tiên đề về phép đo của cơ học lƣợng tử, xác suất để phép đo ˆcủa một

hệ ở thời điểm t nhận giá trị mđƣợc xác định bởi: im  Cm t  2

Khi tất cả chuyển sang trạng thái lƣợng tử thì:    

Vì ˆ1 không phụ thuộc thời gian nên:   mi

Khi đó sẽ có hai khả năng xảy ra:

Khi    mi 0      m i : Quá trình chuyển từ trạng thái im thực chất là quá trình phát xạ năng lƣợng bằng 

Khi    mi 0      m i : Quá trình chuyển từ trạng thái im thực chất là quá trình hấp thụ năng lƣợng bằng 

Trên thực tế trong biểu thức (1.23) chỉ có một phân thức hoạt động:

- Quá trình phát xạ năng lƣợng thì phân thức một hoạt động

- Quá trình hấp thụ năng lƣợng thì phân thức hai hoạt động

Xác suất chuyển dời từ trạng thái i về trạng thái m

22

đạt giá trị cực đạt bằng 1 khi   mi  tiến tới 0, tức là

khi     m i Do vậy, xác suất im để hệ lượng tử chuyển từ trạng thái ban đầu i vầ trạng thái m đạt giá trị cực đại khi năng lượng  của bức xạ kích thích hấp thụ hoặc phát xạ bằng hiệu hai mức năng lượng   m i

1.2.Phương pháp biến phân

Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử Ta có thể nói, cực tiểu của năng lượng trung bình lấy ở trạng thái cơ bản nó rất gần với năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ Do vậy, việc tính năng lượng ở trạng thái cơ bản được quy về việc tính cực tiểu của năng lượng trung bình lấy ở trạng thái cơ bản Việc đó sẽ được tiến hành như sau:

Chọn "hàm thử" chứa một số thông số chưa biết nào đó, sao cho hàm thử càng gần với hàm sóng mô tả trạng thái của hệ ở trạng thái cơ bản càng tốt Xác định năng lượng trung bình của hệ lấy tại trạng thái biểu diễn bởi hàm thử

Tìm cực tiểu của năng lượng trung bình lấy tại trạng thái biểu diễn bởi hàm thử, qua đó xác định được các thông số chưa biết và từ đó tính được (một cách gần đúng) năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ

Khai triển véc tơ trạng thái của hệ lượng tử  theo các véc tơ riêng:

n n n

a

n n 2

n n

Chọn  là hàm của các thông số chưa biết  1, 2 :      1, 2 

Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng:

i

ˆ0

lượng này rất gần với năng lượng trạng thái cơ bản của hệ

Như vậy, để tính năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản được quy về việc tính đạo hàm của năng lượng trung bình theo các thông số chưa biết Phương pháp này là phương pháp biến phân

1.3.Phương pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers -

(1.24) Hay   r 2    2r r

1

0

Trong đó  r là xung lượng cổ điển tại r :   r 2m V r 

* Nếu hạt chuyển động trong miền V = const, nghiệm (1.25) là:   r  

đổi Phương pháp WKB sẽ khảo sát tính gần đúng của hệ mà thế không phải là hằng số, hàm sóng của r là thay đổi chậm Nghĩa là V hầu như là hằng số   r

trong miền trải dài khoảng bước sóng Broglie

Bước sóng Broglie của hạt có khối lượng m và năng lượng E chuyển động trong thế V là được cho bởi:   r

 

2 2

Ví dụ: Chúng ta xét trường hợp đơn giản là chuyển động một chiều của một hạt Chúng ta có thể rút gọn phương trình (1.28) và (1.29) về:

CHƯƠNG II:PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ MỘT

SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 2.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến

2.1.1.Phương pháp:

Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến

Bước 1: Xác định năng lượng và tính chất của hàm sóng khi chưa nhiễu loạn

k n k n

ˆˆ

Bước 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian: HH0 H1

Bước 2: Đặt ẩn sao cho việc giải phương trình là đơn giản nhất

2.1.2.Bài tập minh họa

Bài 1: Xét dao động tử điều hòa với HH0 H1; H0  a a ;

1

lượng tử  Hãy tính độ dịch các mức năng lượng chính xác đến bậc hai của 

so với trường hợp Hˆ Hˆ0

Giải:

Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến

Bước 1: Xác định năng lượng và tính chất của hàm sóng khi chưa nhiễu loạn

Khi chưa có năng lượng: H0  a a.

Vectơ riêng của 0được xác định bằng phương trình Schrodinger:

H n  a a n  n n E n0  n

Bước 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian

Phương trình Hamiltonian của dao động tử điều hòa:

Kết luận: Trong cả hai trường hợp là giải bằng lý thuyết nhiễu loạn và giải

chính xác cùng cho ra một kết quả Vậy là, trong dao động tử điều hòa nếu nhiễu loạn là hàm bậc nhất theo tọa độ thì phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho ta kết quả hoàn toàn chính xác khi tính đến bậc 2 của năng lượng

Bài 2: Dao động tử điều hòa một chiều chịu tác dụng của nhiễu loạn  ˆ1 bx( b ) Tính độ dịch năng lượng của trạng thái cơ bản đến bậc thấp nhất khác không

Giải:

Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến

Bước 1: Xác định năng lượng và tính chất của hàm sóng khi chưa nhiễu loạn

Khi chưa nhiễu loa ̣n:  0

Bước 2: Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2 cho năng lượng

Phần bổ chính bậc 1 của NL ở trạng thái cơ bản:   1

1

2

b.2m

Giải chính xác

Bước 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian

Từ toán tử Hamiltonian biến đổi để phương trình không còn phụ thuộc vào x

Hàm Hamiltonian của một dao động tử điều hòa với tọa độ X, xung lƣợng P, tần

số khi đó năng lƣợng gốc dịch một đoạn là

2 2

b2m

2.1.3.Bài tập áp dụng

Bài 3: Xét hạt khối lƣợng m trong hố thế vô hạn một chiều

  x

khi 0 x a khi

0V

  1 0 0

;n0

b So sánh và nhâ ̣n xét kết quả trên với nghiê ̣m chính xác

Cho biết hàm riêng của hàm Hamiltonian H0 p 1m 2x2

0 2

EH

a Hãy giải chính xác để tính năng lượng riêng và vecto trạng thái tương ứng trong biểu diễn đã cho

2

2 2 0

Bài 6: Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a Hãy tính các bổ chính bậc

1, bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn   2

 : Năng lượng ở trạng thái suy biến

Bước 3: Áp dụng phương pháp nhiễu loạn cho trường hợp suy biến và không suy biến (các công thức bổ chính)

  1

k n k n

ˆˆ

Bước 5: Vẽ giản đồ năng lượng ứng với từng trạng thái và kết luận

Chú ý: Có một số bước trong một số bài toán không có như bước 4 của bài 3…

hay có những bài lặp lại nhiều lần 1 bước như bài 2…

2.2.2.Bài tập minh họa

Bài 1: Hạt 2 chiều khối lươ ̣ng m chuyển đô ̣ng trong trường thế

 Hãy tính bổ chính khác không trong gần đúng cấp

thấp thất của lý thuyết nhiễu loa ̣n cho 2 mức năng thấp nhất khi có nhiễu loa ̣n

 

V x, y  xy

Giải:

Bước 1:Xác định năng lượng và hàm sóng của bài toán không nhiễu loạn

* Khi chưa có nhiễu loa ̣n

Phương trình Schrodinger ở tra ̣ng thái dừng:

2 0

Ta nhâ ̣n thấy E12 E21 và    12 21 Trạng thái của ha ̣t suy biến có bâ ̣c 2

Bước 3: Áp dụng phương pháp nhiễu loạn cho trường hợp suy biến và không suy biến (các công thức bổ chính)

* Khi có nhiễu loa ̣n

- Trạng thái cơ bản: Không suy biến  Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn không suy biến

Kết luâ ̣n: Ở trạng thái kích thích thứ nhất mức năng lượng bị tách thành 2

mức, ứng với 2 hàm sóng, tính suy biến bi ̣ khứ hoàn toàn

Bài 2: Xét dao động tử điều hòa hai chiều 2  

Giải:

Bước 1:Xác định năng lượng và hàm sóng của bài toán không nhiễu loạn

Câu a Theo phương trình Schrodinger:

2 2 2

2 2

 

0 02

Bước 3: Áp dụng phương pháp nhiễu loạn cho trường hợp suy biến và không suy biến (các công thức bổ chính)

Câu b Hàm sóng bậc 0 và năng lượng bậc 1 đối vớ i 3 trạng thái:

- Năng lượng ở gần đúng bâ ̣c 1 đối với tra ̣ng thái cơ bản

Bổ chính năng lượng bâ ̣c 1:

 Khi chƣa có nhiễu loa ̣n:

Thay vào hệ phương trình (*), ta được:

1 21

12 2 1

Nhâ ̣n xét: Khi có nhiễu loa ̣n, năng lượng đã bi ̣ tách làm 2 mức, ứng với 2

hàm sóng tính suy biến bị khử hoàn toàn

* Trạng thái kích thích thứ hai:

Hàm sóng suy biến bậc 3 => Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến

 Khi chưa có nhiễu loa ̣n:

  1 1E2

  1 1E