Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Lí do chọn đề tài Trong cơ học lượng tử, việc giải các bài toán đều qui về việc giải phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc trong điều kiện lý tưởng thì ta h

Phần mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong cơ học lượng tử, việc giải các bài toán đều qui về việc giải phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc trong

điều kiện lý tưởng thì ta hoàn toàn có thể giải nó một cách chính xác

Tuy nhiên trong thực tế, việc giải phương trình này gặp nhiều khó khăn

và phức tạp Phần lớn các bài toán không được giải một cách chính xác Do vậy, trong nhiều trường hợp người ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để phương trình Schodinger giải được một cách chính xác hơn Vì vậy, tôi quyết

định chọn đề tài: “ Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử ”

Với đề tài này tôi chỉ tìm hiểu phương pháp gần đúng lí thuyết nhiễu loạn và phương pháp sóng riêng phần - một trường hợp đặc biệt của lí thuyết nhiễu loạn Ngoài, ra tôi còn tìm hiểu thêm về chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp gần đúng: lí thuyết nhiễu loạn và phương pháp sóng riêng phần để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

- Sử dụng hàm Đenta trong việc chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên

tục

3 Đối tượng nghiên cứu

Với phạm vi đề tài này, tôi chỉ nghiên cứu phương pháp gần đúng lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp sóng riêng phần và hàm Đenta trong việc chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp toán trong Vật lý lý thuyết

- Sử dụng phương pháp giải tích toán học



là toán tử Hamintơn và E là năng lượng của hệ Đối với một

số trường hợp đơn giản ( trường Coulomb, trường điện từ đều …) tương ứng với các hệ đã lí tưởng hóa, phương trình (1.1) có thể cho nghiệm chính xác Khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm chính xác Bởi vậy cần phải đưa vào phương pháp gần đúng để giải phương

trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử H

Phương pháp hiệu chỉnh như thế, dưới điều kiện được đặt ra được gọi là

lí thuyết nhiễu loạn

Ta sẽ đặt điều kiện hạn chế cho bài toán Trước hết, ta xét xem các bài toán có phổ gián đoạn:

+V

(1.3)

l l

 

 dq =ll' ( l , l =1,2,3…) ' (1.6) Với các điều kiện hạn chế đó việc giải phương trình (1.1) sẽ qui về việc giải phương trình sau để tìm E và l l:

1.2 Nhiễu loạn khi không có suy biến

1.2.1 Ta xét các trường hợp các trạng thái của hệ lí tưởng không có suy biến, nghĩa là với mỗi giá trị E chỉ có một hàm riêng l0 l, ngoài ra ta xét xem mức E thay đổi như thế nào khi có nhiễu loạn Giả sử sau khi hiệu l0

Như vậy, việc tìm lđưa về việc tìm các cn (n =1,2,3…) tức là các hàm sóng trong E - biểu diễn 0

Thay (2.1) vào (1.7), nhân với *m vào bên trái hai vế, rồi lấy tích phân theo các biến số không gian:

c Ta hy vọng độ lệch này sẽ nhỏ Muốn vậy ta khai triển c và m E l

(m, l =1,2,3…) theo chuỗi lũy thừa của :

Tõ (2.11) ta suy ra:

Vln E l0 E n0 víi bÊt kú n l (2.19) (2.19) chÝnh lµ ®iÒu kiÖn cã thÓ ¸p dông ®­îc lÝ thuyÕt nhiÔu lo¹n Gi¶ thiÕt

“V

” nhá nghÜa lµ (2.19) ®­îc thùc hiÖn

Việc chứng minh cho chuỗi nhiễu loạn hội tụ là rất phức tạp Trong một

số trường hợp, người ta thấy gần đúng cấp 1 của lí thuyết đã cho những kết quả tốt, ngay cả khi chuỗi phân kỳ

Từ (2.19) ta thấy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức

năng lượng E thỏa mãn (2.19) bị suy biến thì tính đúng đắn của (2.16) và n0

(2.18) không bị phá hủy

Ngoài ra, các công thức có thể mở rộng sang cả trường hợp khi một

phần các trạng thái m thuộc về phổ liên tục Trong trường hợp này cần phải l

1.3 Nhiễu loạn khi có suy biến

Giả sử mức E suy biến bội s Khi đó để làm hàm gần đúng cấp không, l0

Thay (3.1) vào phương trình (1.7), nhân vào hai vế kết quả nhận được với

k

l

 (k=1, 2, 3,…s) Sau đó tích phân theo các biến không gian, ta thu được

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

Nếu s nghiệm thực của (3.3) khác nhau thì mức E suy biến bội s của bài toán l0

không nhiễu sẽ tách ra làm s mức khác nhau và ứng với mỗi mức này sẽ có một hàm:

a được xác định từ (3.2) khi thay E vào l k E (k =1,2,3,…s) l

Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn V

khử hoàn toàn suy biến Các hàm sóng tương ứng với các nghiệm bội của (3.3) xác định bởi phương trình một cách không đơn trị Chúng ta có thể trực giao chúng bằng phương pháp Gram- Smit Dựa vào hàm (3.4) trực giao, ta có thể chéo hóa ma trận (H mk) của toán

1.4 Kết luận

Việc sử dụng lí thuyết nhiễu loạn trong các bài toán trong cơ học lượng

tử là rất hữu ích Tuy nhiên không phải hệ vật lý nào cũng có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn

Một hệ vật lý có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là hệ có:

  Vậy năng lượng trong gần đúng bậc nhất là:

nlm nlm0

2.2 Bài tập 2

Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động

tử điều hòa phi tuyến một chiều có thế năng:

coi là toán tử nhiễu loạn

Do số hạng phi điều hòa là rất nhỏ Ta có thể áp dụng lí thuyết nhiễu loạn để tìm các hiệu chỉnh

Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng của dao động tử ở trạng thái cơ bản là:

0

m x

m e

Nếu tính đến hiệu chỉnh bậc 2 cho năng lượng của số hạng nhiễu loạn (x3) sẽ được:

2

* 3 2

( ) ( 1) 2 ( 2)

n n

n n

Hạt có khối lượng ở trong giếng thế vuông góc một chiều bề rộng d có

thành cao vô hạn, chịu một nhiễu loạn nhỏ U x'( ) U0cos2 x

Giải Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của hạt trong giếng thế khi không có nhiễu loạn:

H0 E n0

(1) với:

2 2 2 0

2 0

Nếu tính đến hiệu chỉnh bậc hai của năng lượng:

2

* ' 2

V E

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) cos cos cos cos

*) Trường hợp 1: n 2 n thì 1 nm  và 2 0 nm  khi 2 01

Khi đó:

2 2

2 0

0 2

1 0 0 2 2 2 2

1 3

2 0

(1 3 )2

d n

dx d

2 0

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 0

14

từ đó có thể tìm nghiệm của phương trình Schodinger chính xác hơn

Chương 2: Phương pháp sóng riêng phần

Đây cũng là một phương pháp gần đúng được sử dụng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử cụ thể là các bài toán tán xạ Phương pháp sóng riêng phần là một trường hợp đặc biệt của lí thuyết nhiễu loạn Ta sẽ cùng đi nghiên cứu việc sử dụng phương pháp này trong bài toán cơ học lượng tử

1 Cơ sở lý thuyết

1.1 Phương pháp sóng riêng phần

Phương pháp sóng riêng phần là phương pháp cho phép ta biểu diễn sóng tới dưới dạng chồng chất của các sóng riêng phần mà mỗi sóng đó

thuộc về một giá trị của bình phương momen xung

Chúng ta xét bài toán tán xạ của hạt có khối lượng m1 lên hạt có khối lượng m2 mà thế tương tác V r 

của chúng phụ thuộc vào khoảng cách



 trong trường thế V r 

Điều này có nghĩa là chúng ta đưa bài toán hai vật tương tác với nhau về bài toán tán xạ của một hạt với khối lượng rút gọn m trong trường thế V r 

của một tâm lực bất động và đưa hệ tọa độ về hệ tọa độ gắn với tâm quán tính Một chuyển động như thế bình phương mô men xung phải là tích phân chuyển

động Nói cách khác, các trạng thái tương ứng với các giá trị khác nhau của các bình phương momen xung phải tham gia sự tán xạ độc lập với nhau

Ta chọn hướng của véc tơ ka

trùng với hướng của trục OZ Như vậy bài toán của chúng ta ngoài tính chất đối xứng tâm còn có tính chất đối xứng trục (OZ)

Hàm sóng chính xác khi các hạt tương tác nhau sẽ tìm được bằng cách giải phương trình Schordinger:

tổ hợp tuyến tính của các tích f kl  r P l cos ở đây P lcos là đa thức

Legendre bậc l của cos (chú ý P lcos Y l , ), còn các hàm f kl r

2

02

 và đòi hỏi R  khi kl 0 r  (4) sẽ tương 0

đương với phương trình cho hàm R : kl

Nghiệm của (5) với 2 hằng số tích phân chúng ta sẽ lựa chọn trước sao cho:

Các hệ số A phải được lựa chọn sao cho hàm này có dạng giống (2) l

Để thực hiện điều này chúng ta khai triển sóng phẳng theo các sóng cầu Dạng tiệm cận của sóng này sẽ là:

l l

Công thức này biểu thị biên độ tán xạ qua l (pha l)

Tiết diện hiệu dụng:

2

2 0

Tích phân theo tất cả các góc của tiết diện vi phân    ta thu

được tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần:

2 , '

là tiết diện tán xạ hiệu dụng riêng phần

Giá trị cực đại khả dĩ của tiết diện này là:

2 2

hưởng một lượng bằng

2

:

bằng nửa giá trị cực đại của nó

Như vậy:  có ý nghĩa như là bề rộng của cộng hưởng

*) Phương pháp sóng riêng phần nếu chỉ có một số ít số hạng đầu của chuỗi (14) đóng vai trò chính để chuỗi hội tụ nhanh thì việc áp dụng nó là rất hiệu dụng Thực tế cho thấy:

l k

2 0

' 2

Giải Phương trình hàm bán kính của hạt chậm chuyển động trong hố thế có dạng:

2 2 2

2 2 2

(Vì ka 1nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm đối xứng cầu)

Và R(r) phải tìm thỏa mãn điều kiện:

Tõ ®iÒu kiÖn liªn tôc:

k k

Chương 3: chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục

0

khix x

khix

   

 ( ) 1

Khi đó hàm Đenta sẽ liên hệ chẳng hạn với mật độ  của một nguồn

điểm đặt tại gốc tọa độ bằng hệ thức đơn giản:

c) '(x) ( )x (§¹o hµm cña hµm §enta lµ mét hµm lÎ)

3

1( )

1.2 Chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục

Xét trong không gian F(q) các hàm số liên tục của các biến q Khi mà các hàm ( ) q F q( )thỏa mãn:

( )q dq2   (1) tức là tích phân phân kì

Thì các hàm ( )q của không gian này không được đánh số bằng các số

tự nhiên mà có thể đánh số cho nó bằng chỉ số f :f F q( ), trong đó f trải

từ f đến 0  một cách liên tục Ta gọi các hàm f F q( ) là các hàm ứng với phổ liên tục

Đối với trường hợp phổ liên tục, lúc này tích phân:

 dần tới vô cực, vì hàm ( )q vẫn hữu hạn khi

p

 vÒ hµm  Theo ®iÒu kiÖn chuÈn hãa ta cã:

Theo ®iÒu kiÖn chuÈn hãa, ta cã:

p p x p p y p p z p

p p

A A

Phần kết luận

Qua việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử” cho thấy: việc sử dụng phương pháp gần đúng

là rất hiệu quả và cần thiết đối với việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Với đề tài trên, tôi đã nghiên cứu được các vấn đề sử dụng phương pháp gần đúng lí thuyết nhiễu loạn và một trường hợp đặc biệt của lí thuyết nhiễu loạn phương pháp sóng riêng phần trong giải các bài toán cơ học lượng tử Với phương pháp lí thuyết nhiễu loạn ta có thể giải được chính xác hơn phương trình Schodinger Tuy nhiên, nó chỉ được áp dụng đối với các hệ vật lý

có H H0W

trong đó phương trình H0n E n0n

phải giải được một cách chính xác và W

( toán tử coi là nhiễu loạn) phải rất nhỏ so với toán tử năng lượng H0

Còn với phương pháp sóng riêng phần thì chỉ áp dụng hiệu quả với các hạt tán xạ có năng lượng thấp Ngoài ra tôi còn tìm hiểu thêm về việc chuẩn hóa hàm sóng với phổ liên tục

Vì điều kiện khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu còn ngắn nên không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô cùng các bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn

