Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Khóa luận tốt nghiệp đại học Phần mở đầu Lí chọn đề tài Trong học lượng tử, việc giải toán qui việc giải phương trình Schodinger để tìm lượng hàm sóng nguyên tắc điều kiện lý tưởng ta hoàn toàn giải cách xác Tuy nhiên thực tế, việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn phức tạp Phần lớn toán không giải cách xác Do vậy, nhiều trường hợp người ta phải sử dụng phương pháp gần để phương trình Schodinger giải cách xác Vì vậy, định chọn đề tài: Sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử Với đề tài tìm hiểu phương pháp gần lí thuyết nhiễu loạn phương pháp sóng riêng phần - trường hợp đặc biệt lí thuyết nhiễu loạn Ngoài, tìm hiểu thêm chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Sử dụng phương pháp gần đúng: lí thuyết nhiễu loạn phương pháp sóng riêng phần để giải toán học lượng tử - Sử dụng hàm Đenta việc chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học Đối tượng nghiên cứu Với phạm vi đề tài này, nghiên cứu phương pháp gần lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp sóng riêng phần hàm Đenta việc chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp toán Vật lý lý thuyết - Sử dụng phương pháp giải tích toán học Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học Phần nội dung chương1: lí thuyết nhiễu loạn Cơ sở lí thuyết 1.1 Đặt vấn đề Trạng thái hệ lượng tử mô tả nghiệm phương trình Schodinger: H E (1.1) đây, H toán tử Hamintơn E lượng hệ Đối với số trường hợp đơn giản ( trường Coulomb, trường điện từ ) tương ứng với hệ lí tưởng hóa, phương trình (1.1) cho nghiệm xác Khi nghiên cứu hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm xác Bởi cần phải đưa vào phương pháp gần để giải phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử H (1.1) Một phương pháp gần dựa vào nghiệm xác hệ lý tưởng hóa, hiệu chỉnh nghiệm để nghiệm gần cho hệ thực, số điều kiện mà hệ thực coi không khác với hệ lý tưởng nhiều Phương pháp hiệu chỉnh thế, điều kiện đặt gọi lí thuyết nhiễu loạn Ta đặt điều kiện hạn chế cho toán Trước hết, ta xét xem toán có phổ gián đoạn: H l = E l ( l = 1,2,3) (1.2) Giả sử toán tử H tách làm hai phần : H = H +V (1.3) Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học Trong H toán tử Hamintơn toán lí tưởng hóa số hạng thứ hai gọi toán tử nhiễu loạn Gọi V nhỏ, để biểu diễn ta đặt : V W (1.4) Với thông số nhỏ không thứ nguyên Thêm nữa, giả sử biết nghiệm El0 l (l =1, 2, 3) phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử H : ( l =1, 2, 3) (1.5) H l = El0 l Các l trực chuẩn: * l' l dq = ll ' ( l , l ' =1,2,3) (1.6) Với điều kiện hạn chế việc giải phương trình (1.1) qui việc giải phương trình sau để tìm El l : ( H + W ) l = El l (1.7) Nói cách khác đi, hiệu chỉnh cho El0 l (l =1,2,3) để sau hiệu chỉnh, giá trị hiệu chỉnh El l nghiệm (1.1), (1.2) hay (1.7) 1.2 Nhiễu loạn suy biến 1.2.1 Ta xét trường hợp trạng thái hệ lí tưởng suy biến, nghĩa với giá trị El0 có hàm riêng l , ta xét xem mức El0 thay đổi có nhiễu loạn Giả sử sau hiệu chỉnh cho El0 l ta lượng El hàm sóng l nghiệm (1.7) Lấy hệ hàm riêng l (l =1,2,3) H làm sở khai triển : l = cnn (2.1) n Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học Như vậy, việc tìm l đưa việc tìm cn (n =1,2,3) tức hàm sóng E - biểu diễn Thay (2.1) vào (1.7), nhân với m* vào bên trái hai vế, lấy tích phân theo biến số không gian: ( El Em0 )cm cnWmn (2.2) n đây: Wmn m* W n dq (2.3) phần tử (m, n) ma trận (W) toán tử nhiễu loạn W E0 - biểu diễn a) Khi = 0, tương ứng với trường hợp không nhiễu: H H , n l0 l Từ (2.2) ta có: ( El Em0 )cm (m = 1, 2, 3, ) (2.4) Nghiệm (2.4) là: El En0 cm cm0 ml (2.5) cm cm0 ml suy từ (2.4) hai trường hợp, m l cm , m = l; l l cn n n b)Với nhỏ, giá trị El xê dịch khỏi El0 , cm lệch khỏi giá trị cm0 Ta hy vọng độ lệch nhỏ Muốn ta khai triển cm El (m, l =1,2,3) theo chuỗi lũy thừa : cm cm0 c1m 2cm2 (2.6) El El0 El1 El2 Trong đó, hệ số tỷ lệ với k hiệu chỉnh bậc k tương ứng cm Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học El Thay (2.6) vào (2.2): ( El0 Em0 El1 El2 )(cm0 c1m cm2 ) Wmn (cn0 c1n cn2 ) n (m, l =1, 2, 3,) (2.7) So sánh hệ số lũy thừa hai vế (2.7) Trước hết với hệ số : ( El0 Em0 )cm0 (m = 1, 2, 3,) (2.8) Từ phương trình (2.8) ta suy cm0 ( m n ) cl0 ( m l ) Như cm0 ml Thay cm0 ml , cn0 nl vào (2.7) ta có: ( El0 Em0 El1 El2 )( ml c1m ) Wmn ( nl c1n ) n (m, n =1, 2, 3,) (2.9) Giả sử m l : El1 Wll (2.10) El2 El1cl1 Wln c1n n Từ (2.10) ta suy hiệu chỉnh bậc lượng: El1 Wll Vll (2.11) Giả sử m l : ( El0 Em0 )c1m Wml ( El0 Em0 )(cm2 El1c1m ) Wmn c1n (2.12) n Trong gần cấp 1, lượng hệ biểu diễn công thức: El El0 El1 El0 Vll (2.13) Từ (2.11) ta suy ra: Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học c1m Wml l m E E Vml E Em0 (2.14) l Trong phép gần cấp hàm sóng: l cmm (cl0 cl1 )l (cm0 c1m )m m ml Vml m m l E Em = l cl1l l (2.15) c1m xác định từ điều kiện chuẩn hóa l có xét điều kiện (2.6 ) bỏ qua đại lượng tỷ lệ với : 2 1 l dq cl cl cl (2.16) Có thể coi cl1 thực, cl1 Thành thử phép gần cấp 1: Vml m m l E Em l l (2.17) l Từ (2.10) (2.14) với cl1 , ta suy lượng phép gần cấp 2: V El E Vll ln n l El En Vln* Vln , toán tử V -Her mite l (2.18) 1.2.2 Phương pháp trường hợp chuỗi gần hội tụ Điều kiện cần cho điều số hạng sau phải nhỏ số hạng trước Như vậy: Vln El0 En0 với n l (2.19) (2.19) điều kiện áp dụng lí thuyết nhiễu loạn Giả thiết V nhỏ nghĩa (2.19) thực Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học Việc chứng minh cho chuỗi nhiễu loạn hội tụ phức tạp Trong số trường hợp, người ta thấy gần cấp lí thuyết cho kết tốt, chuỗi phân kỳ Từ (2.19) ta thấy, để ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn mức l không suy biến Tuy nhiên, phần trạng thái m l có lượng En0 thỏa mãn (2.19) bị suy biến tính đắn (2.16) (2.18) không bị phá hủy Ngoài ra, công thức mở rộng sang trường hợp phần trạng thái m l thuộc phổ liên tục Trong trường hợp cần phải thay tổng tích phân: Vml V l d m El E m l E Em l l l l El E Vll m l Vlm El0 Em0 Vl (2.20) El0 E0 d (2.21) Ta qui ước số trạng thái có phổ liên tục tập giá trị đại lượng đủ để xác định trạng thái trạng thái phổ liên tục suy biến 1.3 Nhiễu loạn có suy biến Giả sử mức El0 suy biến bội s Khi để làm hàm gần cấp không, ta lấy tổ hợp tuyến tính: s l akl (3.1) k k Trong lk xác định phương trình: H 0lk El0lk (l = 1, 2, 3,k = 1, 2, 3s) Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học Thay (3.1) vào phương trình (1.7), nhân vào hai vế kết nhận với lk (k=1, 2, 3,s) Sau tích phân theo biến không gian, ta thu hệ phương trình tuyến tính : s (H mk El mk )ak (3.2) k Hệ phương trình có nghiệm khác không với điều kiện định thức lập hệ số ẩn ak không: H11 E1 H 21 H12 H1 s H 22 E2 H s H s1 H s2 (3.3) H ss Es Khai triển định thức (3.3) ta thu phương trình bậc s giá trị chưa biết El Phương trình gọi phương trình kỉ có s nghiệm Nếu s nghiệm thực (3.3) khác mức El0 suy biến bội s toán không nhiễu tách làm s mức khác ứng với mức có hàm: l am l k k (3.4) m m Các hệ số amk xác định từ (3.2) thay Elk vào El (k =1,2,3,s) Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn V khử hoàn toàn suy biến Các hàm sóng tương ứng với nghiệm bội (3.3) xác định phương trình cách không đơn trị Chúng ta trực giao chúng phương pháp GramSmit Dựa vào hàm (3.4) trực giao, ta chéo hóa ma trận ( H mk ) toán tử H Nghĩa là: (3.5) H mk Vmk l*m H V lk dq Điều cho phép bỏ số hạng có mẫu số nhỏ phép gần dựa vào công thức (2.16) (2.18) Vũ Thị Hà K29B - Lý Khóa luận tốt nghiệp đại học 1.4 Kết luận Việc sử dụng lí thuyết nhiễu loạn toán học lượng tử hữu ích Tuy nhiên hệ vật lý áp dụng lý thuyết nhiễu loạn Một hệ vật lý áp dụng lý thuyết nhiễu loạn hệ có: H H0 W Trong phương trình H n En0 n phải giải cách xác W ( toán tử coi nhiễu loạn) phải nhỏ so với toán tử lượng H Sau ta xét số toán học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu loạn: Bài tập vận dụng 2.1 Bài tập Hạt spin nằm trường đối xứng cầu (bài toán không nhiễu ) có mức lượng Enl0 Dùng lí thuyết nhiễu loạn tìm lượng hàm sóng phép gần bậc có từ trường hướng dọc trục oz (từ trường yếu) Giải Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamintơn: ie H H0 V H0 A (bỏ qua số hạng tỷ lệ với A2 ) ie Coi số hạng V A toán tử nhiễu loạn Vì từ trường yếu nên V nhỏ Ta áp dụng lí thuyết nhiễu loạn để xác định lượng hàm sóng hạt Vũ Thị Hà K29B - Lý 10 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ta chọn hướng véc tơ ka trùng với hướng trục OZ Như toán tính chất đối xứng tâm có tính chất đối xứng trục (OZ) Hàm sóng xác hạt tương tác tìm cách giải phương trình Schordinger: L2 r V r E 2 2mr r r 2mr (1) Và khoảng r lớn phải có dạng tiệm cận: e ik a r eikr tx e A r ikz 2mE ka k (2) Ngoài toán có tính chất đối xứng trục Bởi nghiệm (1) không phụ thuộc vào dạng tổng quát viết dạng tổ hợp tuyến tính tích f kl r Pl cos Pl cos đa thức Legendre bậc l cos (chú ý Pl cos Yl , ), hàm f kl r thỏa mãn phương trình: L2 r V r E f kl 2 2mr r r 2mr (3) Với r , bỏ qua vô bé ý V r (các tâm tán xạ tác dụng không gian có kích thước hữu hạn đó) trở thành: f kl 2f kl 2m r rr Nếu đặt f kl Ef kl (4) Rkl đòi hỏi Rkl r (4) tương r đương với phương trình cho hàm Rkl : Rkl'' k Rkl Vũ Thị Hà K29B - Lý (5) 22 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nghiệm (5) với số tích phân lựa chọn trước cho: l Rkl sin kr l k (6) Thành thử nghiệm tiệm cận (3) r là: Rkl l sin kr l kr (7) Phù hợp với điều kiện nêu trên, nghiệm tiệm cận tổng quát phương trình (1) phải có dạng: 2l 1Al Pl cos l l sin kr l kr l l i kr l i kr l 2l Al Pl cos e e 2kr l (8) Các hệ số Al phải lựa chọn cho hàm có dạng giống (2) Để thực điều khai triển sóng phẳng theo sóng cầu Dạng tiệm cận sóng là: l l i i kr i kr e i 2l Pl cos e e kr l ikz l (9) Hiệu eikz tx phải sóng phân kỳ, nghĩa phải loại tất số hạng dạng eikr khỏi hiệu Muốn (8) ta đặt Al i l eil vậy: tx eikz 2l Pl cos l ta đặt: l e 2il (11) hệ số i l eikr 2kr eikr là: r A 2l Pl cos l 2ik l Vũ Thị Hà K29B - Lý 23 (10) (12) Khóa luận tốt nghiệp đại học Công thức biểu thị biên độ tán xạ qua l (pha l ) Tiết diện hiệu dụng: A 2 4k 2l l Pl cos (13) l Tích phân theo tất góc tiết diện vi phân ta thu tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần: T d 2l 2l ' l* l ' Pl cos Pl ' cos d 4k l ,l ' P cos P cos d 2l Vì l Và l' * l ll ' l ' e 2i l e 2i l ' e il e 2il 4sin l Cho nên: T k 2l sin l (14) l Đối với tán xạ ứng với l cho trước, tức ứng với giá trị L2 l l : l k2 2l sin l (15) l tiết diện tán xạ hiệu dụng riêng phần Giá trị cực đại tiết diện là: l max 2l k2 ứng với trường hợp: l (16) Sau ta xét thí dụ tán xạ sử dụng phương pháp sóng riêng phần Vũ Thị Hà K29B - Lý 24 Khóa luận tốt nghiệp đại học 1.2 Tán xạ cộng hưởng Khi hệ phức tạp tương tác với tán xạ, người ta quan sát thấy có tượng làm tiết diện tán xạ tăng lên đáng kể Đó tượng xảy lượng E tán xạ gần với mức lượng hệ phức tạp, thí dụ tương tác neutron với hạt nhân O8 Người ta gọi tượng tán xạ cộng hưởng Đối với sóng riêng phần ứng với giá trị l xác định đó: l (2l 1)sin l k (17) vượt qua giá trị: (2l 1) k2 ( l )max ứng với l (18) Giả sử xảy tán xạ cộng hưởng, tức E gần mức Ta xét biến thiên l theo E phương pháp hình thức sau: Khi l l đạt giá trị cực đại, cot g l Khai triển cot g l thành chuỗi lũy thừa E , có: cot g l ( E ) Vì: sin l cot g l ( E )2 ( )2 Thay (19) vào (17) ta thu được: Vũ Thị Hà K29B - Lý 25 (19) Khóa luận tốt nghiệp đại học l (2l 1) 2 ( ( E ) ( )2 2 ) k2 (20) Công thức (20) gọi công thức Breit-Wigner Đó công thức cho dạng biến đổi tiết diện tán xạ riêng phần gần giá trị cộng hưởng lượng có ý nghĩa sau: lượng E khác giá trị cộng hưởng lượng E : tiết diện riêng phần có giá trị: l (2l 1) 2 (2l 1) ( l )max k2 nửa giá trị cực đại Như vậy: có ý nghĩa bề rộng cộng hưởng *) Phương pháp sóng riêng phần có số số hạng đầu chuỗi (14) đóng vai trò để chuỗi hội tụ nhanh việc áp dụng hiệu dụng Thực tế cho thấy: + vùng lượng nhỏ ( tán xạ hạt chậm ) có số số hạng (14) có đóng góp đáng kể + vùng lượng cao cần xét đến nhiều số hạng chuỗi (14) Do vậy, phương pháp sóng riêng phần áp dụng hiệu hạt tán xạ có lượng thấp Vũ Thị Hà K29B - Lý 26 Khóa luận tốt nghiệp đại học 2.Bài tập vận dụng 1.2 Bài tập Cho biên độ tán xạ riêng phần: ( ) (2l 1) 2il e l (cos ) 2ik a) Chứng tỏ tiết diện tán xạ toàn phần viết: l l l (2l 1)sin l k b) Khi chứng minh ta có định lý quang học sau: l m(0) k2 Giải a) Tiết diện tán xạ toàn phần có dạng: ( )d ( ) d Với: d sin d d Do đó: (2l 1)(e2il 1)l (cos ) d 4k l i (2l 1)(2l ' 1)(e 2il 1)(e l' 1) l (cos )l ' (cos )sin d k l l Từ điều kiện trực giao chuẩn hóa đa thức l (cos ) : (cos ) l l' (cos )sin d l (cos )l ' (cos )sin d = Do vậy: Vũ Thị Hà K29B - Lý 27 ' 2l ll Khóa luận tốt nghiệp đại học (2l 1)4sin l 2 4k l k (2l 1)sin l l Vậy: k (2l 1)sin l l l l b) Khi : cos Ta có: ( ) (2l 1) 2il (e 1)l (1) 2ik Mà: l (1) 1; e 2il cos l i sin l 2i sin l cos l 2sin l Do đó: mà l ( ) 2l 2sin l (i cos l sin l ) 2ik = 2l 2i sin l (cos l i sin l ) 2ik = 2l 2l sin l cos l i sin l k k (2l 1)sin l k Do vậy: l m(0) k2 2.2 Bài tập Sử dụng phương pháp sóng riêng phần tìm tiết diện tán xạ toàn phần hạt chậm hố vuông góc bề rộng a chiều sâu U0 (khi ka ) Vũ Thị Hà K29B - Lý 28 Khóa luận tốt nghiệp đại học Giải Phương trình hàm bán kính hạt chậm chuyển động hố có dạng: f 2f ( ) (U E ) f 2m r rr f 2f 2m ( r rr ) (U E ) f 0khir a (1) f 2f ( ) Ef 0khir a 2m r rr Đặt f(r) = (2) R(r ) ta có: r 2mE '' 2 R ( r ) k R ( r ) 0; k khir a (2) R '' ( r ) k R( r ) 0; k 2m( E U ) khir a 1 (Vì ka (1) (3) 1nên ta quan tâm đến nghiệm đối xứng cầu) Và R(r) phải tìm thỏa mãn điều kiện: R(0) = (*) R( ) = m (số hữu hạn) ( 2* ) Khi r > a R(r) có dạng: ( 3* ) R(r) = sin(kr ) ( 3* ) phải thỏa mãn ( 2* ) ta chọn số A cho ( 3* ) có dạng: R(r) = sin( kr ) Khi r < a R(r) thỏa mãn ( 2* ) có dạng: R = B sin( k1r ) Vũ Thị Hà K29B - Lý 29 Khóa luận tốt nghiệp đại học Từ điều kiện liên tục: R1 (a ) R( a) ' ' R1 (a ) R (a) sin( ka ) B sin(k1a ) Ta có: k cos( ka ) Bk1 cos(k1a) 1 tg ( ka ) tgk1a k k1 tg (ka ) k tgk1a k1 k ka arc tg ( tgk1a ) k1 k arc tg ( tgk1a) ka k1 Với vận tốc nhỏ hạt tán xạ (k ) pha tán xạ S tỷ lệ với k: ka( tgk0 a 1) k0 a với k k = 2mU Tiết diện tán xạ toàn phần hạt chậm ( ka 1; k ): tgk a 4 sin 02 k a ( 1)2 k k k k0 a = a ( tgk0 a 1) k0 a Vũ Thị Hà K29B - Lý 30 Khóa luận tốt nghiệp đại học Chương 3: chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục Cơ sở lý thuyết Đối với toán tử có phổ lượng liên tục hàm sóng tương ứng với chuẩn hóa hàm Đenta 1.1 Hàm Đenta 1.1.1 Định nghĩa Trong Vật lý cổ điển lượng tử đại, ta thường gặp điện tích điểm, lưỡng cựcVì vậy, để giữ nguyên khái niệm mật độ chúng, năm 1926 Đirắc đưa hàm Đenta Hàm Đirắc đưa vào để miêu tả khái niệm Vật lý trừu tượng, ví dụ mật độ vật chất điểm hay mật độ điện tích điểm Các giá trị xác định theo giá trị đối số hàm thông thường mà biểu thức định nghĩa sau: khix khix ( x) b ( x)dx x với a 0b a Hàm ( x x0 ) không tất điểm trừ điểm x x0 tiến đến vô tận cho tích phân hàm theo toàn miền hữu hạn đơn vị ( x x )dx (1) Khi hàm Đenta liên hệ chẳng hạn với mật độ nguồn điểm đặt gốc tọa độ hệ thức đơn giản: Vũ Thị Hà K29B - Lý 31 Khóa luận tốt nghiệp đại học ( x ) e ( x ) Đối với hàm f(x) liên tục miền xét, ta có hệ thức: b a khia x0 b f ( x0 ) f ( x) ( x x0 )dx khix0 a; x0 b Từ định nghĩa ta thấy: đồ thị hàm Đenta không xác định, ta biểu diễn đường cong có chiều cao vô lớn chiều rộng vô hẹp, cho diện tích giới hạn đường cong trục hoành đơn vị 1.1.2 Tính chất Từ định nghĩa ta dễ dàng rút tính chất sau hàm Đenta: a) ( x ) ( x) b) ( x) ( x) (Hàm Đenta hàm chẵn) c) ' ( x) ( x ) (Đạo hàm hàm Đenta hàm lẻ) k ( x x ) s d) ( x) s ' ( xs ) xs nghiệm đơn phương trình ( x) e) ( x) e ikx dk (Khai triển Furie hàm Đenta) Trên đây, ta xét hàm Đenta chiều Hàm Đenta chiều xác định sau: (r ) ( x) ( y ) ( z ) Hàm có tính chất tương tự hàm Đenta chiều mở rộng không gian ba chiều: Vũ Thị Hà K29B - Lý 32 Khóa luận tốt nghiệp đại học f ( r ) ( r )d r f (0) (r ) (2 ) ik r e dk 1.2 Chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục Xét không gian F(q) hàm số liên tục biến q Khi mà hàm (q ) F (q) thỏa mãn: (q) dq (1) tức tích phân phân kì Thì hàm (q) không gian không đánh số số tự nhiên mà đánh số cho số f : f F ( q) , f trải từ f đến cách liên tục Ta gọi hàm f F ( q) hàm ứng với phổ liên tục Đối với trường hợp phổ liên tục, lúc tích phân: * f' (q ) ( q)dq dần tới vô cực, hàm (q) hữu hạn f q nhân f ( q) với số tích phân nói Ta có: khif ' f (q) f (q)dq khif ' f * f' Khi đó, ta phải chuẩn hóa hàm sóng f ( q) sau: * f' (q ) f (q) dq ( f f ' ) Bài tập Chuẩn hóa hàm sóng sau: i p e px x x Vũ Thị Hà K29B - Lý ( px ) 33 Khóa luận tốt nghiệp đại học Giải Do px thực px (; ) nên px tương ứng với toán tử có phổ liên tục Do đó, ta chuẩn hóa px hàm Theo điều kiện chuẩn hóa ta có: * px' p dx ( px px' ) (1) x Với px Ae i px x Do đó: A e i i px' x px x e i A2 e ( px px' ) x dx ( px px' ) dx ( px px' ) i ( p x p x' ) x A e dx ( px px' ) p px' (1) A2 ( x ) ( px px' ) A ( px px' ) ( px px' ) A2 A i px x Vậy px hàm chuẩn hóa e *) Mở rộng cho trường hợp ba chiều: Chuẩn hóa hàm sóng: i pr ( p ; r ) p (r ) Ap e Giải Vì phổ p phổ liên tục, ta chuẩn hóa - hàm Vũ Thị Hà K29B - Lý 34 Khóa luận tốt nghiệp đại học Theo điều kiện chuẩn hóa, ta có: ' * d r ( p p ) p' p Với p Ap e = Ap e i pr i Ap e (2) ( px x p y y p z z ) i i i px x py y pz z e e Do đó: i i i ( p p' ) x ( p y p 'y ) y ( pz p z' ) z x x d r Ap e dx.e dy.e dz p' p Khi đó: i Ap2e ( p x px' ) x i dx Ap2e p p y y ' y i dy Ap2e p p z z ' z dz px px' p y p 'y pz pz' ' px px' p y p y pz pz' A p px px' p y p 'y pz pz' Ap2 px px' p y p 'y pz pz' px px' p y p 'y pz pz' Ap2 Ap Vậy p e i pr hàm chuẩn hóa Như vậy, dựa vào tính chất hàm dựa vào điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ứng với phổ liên tục, ta chuẩn hóa hàm cách đơn giản Vũ Thị Hà K29B - Lý 35 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phần kết luận Qua việc nghiên cứu đề tài Sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử cho thấy: việc sử dụng phương pháp gần hiệu cần thiết việc giải toán học lượng tử Với đề tài trên, nghiên cứu vấn đề sử dụng phương pháp gần lí thuyết nhiễu loạn trường hợp đặc biệt lí thuyết nhiễu loạn phương pháp sóng riêng phần giải toán học lượng tử Với phương pháp lí thuyết nhiễu loạn ta giải xác phương trình Schodinger Tuy nhiên, áp dụng hệ vật lý có H H W phương trình H n En0 n phải giải cách xác W ( toán tử coi nhiễu loạn) phải nhỏ so với toán tử lượng H Còn với phương pháp sóng riêng phần áp dụng hiệu với hạt tán xạ có lượng thấp Ngoài tìm hiểu thêm việc chuẩn hóa hàm sóng với phổ liên tục Vì điều kiện khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu ngắn nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Vũ Thị Hà K29B - Lý 36 [...]... hóa các hàm này một cách đơn giản Vũ Thị Hà K29B - Lý 35 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phần kết luận Qua việc nghiên cứu đề tài Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử cho thấy: việc sử dụng phương pháp gần đúng là rất hiệu quả và cần thiết đối với việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử Với đề tài trên, tôi đã nghiên cứu được các vấn đề sử dụng phương pháp gần đúng. .. nghiệp đại học Chương 2: Phương pháp sóng riêng phần Đây cũng là một phương pháp gần đúng được sử dụng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử cụ thể là các bài toán tán xạ Phương pháp sóng riêng phần là một trường hợp đặc biệt của lí thuyết nhiễu loạn Ta sẽ cùng đi nghiên cứu việc sử dụng phương pháp này trong bài toán cơ học lượng tử 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp sóng riêng phần Phương pháp sóng... loạn phương pháp sóng riêng phần trong giải các bài toán cơ học lượng tử Với phương pháp lí thuyết nhiễu loạn ta có thể giải được chính xác hơn phương trình Schodinger Tuy nhiên, nó chỉ được áp dụng đối với các hệ vật lý có H H 0 W trong đó phương trình H 0 n En0 n phải giải được một cách chính xác và W ( toán tử coi là nhiễu loạn) phải rất nhỏ so với toán tử năng lượng H 0 Còn với phương pháp. .. Khóa luận tốt nghiệp đại học = n U 02 m0 d 2 n 2 1 8 2 2 Năng lượng của hạt trong giếng thế ở trạng thái dừng n tính đến gần đúng bậc hai là ( n 2 ): n 2 2 2 n m0U 02 d 2 En E E 2m0 d 2 n 2 1 8 2 2 0 n 2 n Như vậy, việc sử dụng phương pháp gần đúng sử dụng lí thuyết nhiễu loạn đã giúp ta tìm được các bổ chính của năng lượng và hàm sóng Để từ đó có thể tìm nghiệm của phương trình Schodinger... áp dụng nó là rất hiệu dụng Thực tế cho thấy: + ở vùng năng lượng nhỏ ( tán xạ của các hạt chậm ) chỉ có một số ít các số hạng của (14) có đóng góp đáng kể + ở vùng năng lượng cao cần xét đến nhiều số hạng của chuỗi (14) hơn Do vậy, phương pháp sóng riêng phần áp dụng rất hiệu quả đối với các hạt tán xạ có năng lượng thấp Vũ Thị Hà K29B - Lý 26 Khóa luận tốt nghiệp đại học 2 .Bài tập vận dụng 1.2 Bài. .. phần là phương pháp cho phép ta biểu diễn sóng tới dưới dạng chồng chất của các sóng riêng phần mà mỗi sóng đó thuộc về một giá trị của bình phương momen xung Chúng ta xét bài toán tán xạ của hạt có khối lượng m1 lên hạt có khối lượng m2 mà thế tương tác V r của chúng phụ thuộc vào khoảng cách r r1 r2 Chúng ta đã biết bài toán như vậy có thể rút về bài toán chuyển động của hạt có khối lượng rút... 2 trong đó và là những hằng số Giải Toán tử Hamin tơn của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều: 1 H T U T m 2 x 2 x3 x 4 2 = H 0 x3 x 4 Vũ Thị Hà K29B - Lý 12 Khóa luận tốt nghiệp đại học 1 Trong đó H 0 T m 2 x 2 là toán tử Hamin tơn của dao động tử điều 2 ' hòa tuyến tính và tổng U ( x) x3 x 4 coi là toán tử nhiễu loạn Do số hạng phi điều hòa là rất nhỏ Ta có thể áp dụng. .. luận tốt nghiệp đại học Nên: Enl1 eBm 2 Vậy năng lượng trong gần đúng bậc nhất là: Enl Enl0 Enl1 Enl0 eBm 2 Hiệu chỉnh về hàm sóng: 0 0* 0* ieB , 0 Vmm, nlm V nlm , dV = nlm 2 im nlm, dV = = eBm, 0* 0 nlm nlm , dV 2 eBm, , 0 2 mm (do m m, ) Vậy hàm sóng trong gần đúng bậc nhất: 0 nlm nlm 2.2 Bài tập 2 Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa phi tuyến... đại học Giải Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của hạt trong giếng thế khi không có nhiễu loạn: H 0 En0 (1) với: H 0 T U ( x) Trong đó: 0 0 x a U ( x) x 0; x a Giải phương trình (1) ta thu được hàm riêng và trị riêng của hạt trong giếng thế khi không có nhiễu loạn: 2 n x 0 n 2 2 2 n sin ; En d d 2m0 d 2 Toán tử Hamin tơn khi có nhiễu loạn: 2 x H H 0 U ' ( x) H 0 U 0 cos d Trong. .. cos l i sin l k k 4 (2l 1)sin 2 l 2 k Do vậy: l 4 m(0) k2 2.2 Bài tập 2 Sử dụng phương pháp các sóng riêng phần tìm tiết diện tán xạ toàn phần của các hạt chậm bởi hố thế vuông góc bề rộng a chiều sâu U0 (khi ka 1 ) Vũ Thị Hà K29B - Lý 28 Khóa luận tốt nghiệp đại học Giải Phương trình hàm bán kính của hạt chậm chuyển động trong hố thế có dạng: 2 2 f 2f ( ) (U E ) f 0 2m r 2 rr 2 2 f ... toán học lượng tử cụ thể toán tán xạ Phương pháp sóng riêng phần trường hợp đặc biệt lí thuyết nhiễu loạn Ta nghiên cứu việc sử dụng phương pháp toán học lượng tử Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp. .. hàm cách đơn giản Vũ Thị Hà K29B - Lý 35 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phần kết luận Qua việc nghiên cứu đề tài Sử dụng phương pháp gần để giải toán học lượng tử cho thấy: việc sử dụng phương pháp. .. phương trình H n En0 n phải giải cách xác W ( toán tử coi nhiễu loạn) phải nhỏ so với toán tử lượng H Sau ta xét số toán học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu loạn: Bài tập vận dụng 2.1 Bài