Một vài kinh nghiệm sử dụng phương pháp diện tích để giải các bài toán hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA *Font Times New Roman, cỡ 16, đậm, CapsLock;** Font Times New Roman, cỡ 15,CapsLock SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Font Times Ne

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

(*Font Times New Roman, cỡ 16, đậm, CapsLock;** Font Times New Roman, cỡ

15,CapsLock)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

MỘT VÀI KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Người thực hiện : Nguyễn Thị Quế Chức vụ : Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác : Trường THCS Quảng Hưng SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

B.NỘI DUNG 2

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 2

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI 2

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

Phần I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

Phần II PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH 6

Phần III: BÀI TẬP ÁP DỤNG 15

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : 16

1.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16

2.Bài học kinh nghiệm 16

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18

I Kết luận 18

II Kiến nghị: 18

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta đã biết, cùng với sự phát triển tư duy của con người, toánhọc ra đời Toán học là môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho sự ra đờicủa các môn khoa học khác Toán học đã rèn luyện cho con người nhiều đứctính qúi: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo và kiên trì

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay đã xác định

“Phương pháp dạy học Toán trong nhà trường cần phải phát huy tính tích cực,

tự giác chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, traudồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo” Bắt nguồn từ định hướng đógiáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng những phương phápdạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, từng kiểu bài làm chohiệu quả giờ học đạt cao nhất

Trong chương trình các cấp học nói chung và THCS nói riêng mộttrong những môn học có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ

và tư duy khoa học không thể không kể đến bộ môn hình học Hình học rènluyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năngphân tích tổng hợp Việc tìm phương pháp giải cho các bài toán hình ngoàiviệc phải tìm ra cách giải đúng còn phải tìm ra cách giải ngắn gọn, đơn giản

và dễ hiểu nhất Trong đó phương pháp sử dụng diện tích các hình phẳng đểgiải các bài tập hình học là một phương pháp thú vị Tuy nhiên chưa có tàiliệu nghiên cứu nào bàn sâu về vấn đề này Đa số các giáo viên trong nhàtrường khi dạy các bài toán về diện tích mới chỉ dừng lại việc vận dụng trựctiếp các công thức tính diện tích vào giải toán mà chưa khai thác sâu về ứngdụng của phương pháp đó vào các bài toán hình liên quan

Với những lý do đã trình bày ở trên tôi đã chọn đề tài “Một vài kinh

nghiệm sử dụng phương pháp diện tích để giải các bài toán hình học”.

Trong đề tài, tôi đã lựa chọn được các bài tập ở nhiều dạng, có những bài toánnâng cao và những kiến thức mở rộng hơn so với kiến thức đã trình bày trongSGK lớp 8,9 Do vậy, đề tài được áp dụng chủ yếu cho đối tượng học sinhkhá giỏi ở Trường THCS Quảng Hưng

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu thực trạng, những vướng mắc của học sinh khi giải các bàitoán hình liên quan đến diện tích và từ đó đưa ra các dạng toán thường gặpkhi giải bài toán hình có sử dụng phương pháp diện tích

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh khối 8, 9 của trường THCS Quảng Hưng

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh giỏimôn Toán lớp 8 và lớp 9 cùng với nhóm chuyên môn trong nhà trường

1

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hìnhvuông, hình tam giác, … Các công thức về diện tích các hình nói trên chủ yếuđược các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán có liên quanđến diện tích Khi học lên lớp 8 các em lại tiếp tục được học về diện tích củacác hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn Tới đây, ta cũng cần cho họcsinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán, các công thức tính diện tích còn cho

ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng rất có ích trong một sốbài toán chứng minh về đại số cũng như hình học

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Trong quá trình dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy đa số học sinh họcyếu môn toán nói chung và hình học nói riêng là do các em hổng kiến thức từlớp dưới Vì đặc trưng của môn toán là môn hệ thống kiến thức được xâydựng đi lên như xây một bức tường Muốn học giỏi môn toán trước hết họcsinh phải nắm vững, chính xác các kiến thức cơ bản một cách chủ động, sángtạo biết vận dụng các kiến thức đó vào giải các bài tập từ đó nâng cao mởrộng và phát triển Bên cạnh đó các em còn phải rèn luyện khả năng tìm tòi,tích luỹ, tổng hợp, tự nghiên cứu nhằm hình thành và phát huy tính tích cựcsáng tạo trong các hoạt động học tập

Trong chương trình toán THCS (chủ yếu là lớp 8) thì các bài toán cóliên quan đến diện tích là một dạng toán hay và đa dạng Tuy nhiên khi họcsinh làm dạng toán này chỉ thành thạo trong việc áp dụng các công thức tínhdiện tích để tính diện tích trực tiếp của một hình nào đó mà chưa linh hoạtvận dụng được các kiến thức này vào các bài toán khác có liên quan Cụ thể :Cho 76 học sinh khối 8 năm học 2014 - 2015 làm một đề kiểm tra hình vềcác bài toán có liên quan đến diện tích khi chưa áp dụng đề tài, bản thân thuđược kết quả như sau

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Dựa trên đặc điểm tình hình nhà trường, căn cứ vào các kết quả đạtđược của năm trước và chất lượng học tập cũng như đặc điểm của lớp phụtrách, dựa vào năng lực của học sinh, tôi đề ra các giải pháp sau:

- Tìm tòi các bài toán cơ bản để từ đó học sinh nắm được và phát triểncác bài toán tiếp theo

- Phân loại các bài toán giải bằng phương pháp diện tích

Phần I:

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các công thức diện tích hay sử dụng cho tam giác.

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c lần lượt đối diện với các đỉnh

A, B, C

+) ha ; hb ; hc : độ dài đường cao ứng với các cạnh a, b, c

+) p = (a + b + c) là nửa chu vi của tam giác

+) r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

ra ; rb ; rc : bán kính đường tròn bàng tiếp

ABC tiếp xúc với a, b, c

Ta có công thức tính diện tích tam giác sau:

* Giá trị sử dụng của các công thức:

- Công thức (1) được sử dụng khi biết một cạnh và đường cao tương ứng

- Công thức (2) được sử dụng khi biết 3 cạnh

- Công thức (3) được sử dụng khi biết 3 cạnh và bán kính đường trònngoại tiếp tam giác

- Công thức (4) được sử dụng khi biết 3 cạnh và bán kính đường trònnội tiếp

- Công thức (5) được sử dụng khi biết 3 cạnh và bán kính đường trònbàng tiếp tương ứng

2 Các công thức tính diện tích của các hình phẳng:

2.1 Diện tích hình vuông có độ dài cạnh là a : S = a2

2.2 Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước là a, b : S = a b

2.3 Diện tích hình bình hành có cạnh là a và chiều cao tương ứng h:

hb

S = a.h

2.4 Diện tích hình thoi có 2 đường chéo là l1, l2 : S = l1.l2

(diện tích hình thoi còn được tính theo công thức tính diện tích hình bình

hành)2.5.Diện tích hình thang có hai đáy là a, b và đường cao h : S =

2.6 Diện tích hình thang có đường cao h, đường trung bình m :

Hệ quả 1: Nếu C, B, D thẳng hàng (cùng thuộc đường thẳng a) và điểm

A không thuộc đường thẳng a sao cho: BC = k CD thì SABC = k SACD

Hệ quả 2: Nếu BC = CD thì SABC = SACD (k = 1)

Bài toán 2:

GT ABC và A’BC

AH  BC, A’H’ BC

E

E

A’

Phần II PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ

Dạng 2: Tổng hoặc hiệu các đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác

Dạng 3: Tổng hoặc hiệu diện tích các hình bằng diện tích một hình khác

Dạng 4: Tỉ số diện tích hai hình phẳng

Dạng 5: Chứng minh các bất đẳng thức và các bài toán cực trị hình học

Dạng 1:

CHỨNG MINH “CÁC ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ”

Bài toán 1 : Lấy một điểm O trong ABC Các tia AO, BO, CO cắt BC,

AC, AB lần lượt tại P, Q, R Chứng minh rằng

Bài toán 2 : Cho ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ ; BB’ ;

CC’, gọi H là trực tâm của ABC

Do ABC có ba góc nhọn nên trực tâm H nằm ở miền trong ABC

Do đó SHBC + SAHC + SAHB = SABC

Bài toán 3: (Hệ quả bài toán 2)

Cho ABC có ba góc nhọn AA’, BB’, CC’ là các đường cao, H là trựctâm của ABC Chứng minh rằng  ABC là tam giác đều nếu:

H B

B’

C’

Bài toán 4 : Cho ABC và ba điểm A', B', C' lần lượt nằm trên cáccạnh BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy ( A', B', C' không trùngvới các đỉnh của tam giác)

B C'

A C' A B'

C B' C A'

B AA'

B A'  (4)

C B'  (5) ;

COB

COA

S

S B C'

A C'  (6)

BC Từ D kẻ các đường thẳng DE và DF lần lượt vuông góc với AC, AB Chứngminh rằng tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên BC

9

Chứng minh :

Để chứng minh DE + DF không phụ thuộc

vào vị trí điểm D ta chứng minh nó luôn

bằng một đoạn thẳng có độ dài không đổi

Thật vậy kẻ đường cao CK ta có

SABD + SACD = SABC

Vậy DF + DE không đổi

Bài toán 6: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất

kì nằm trong ABC đều đến các cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí củađiểm M

A

Chứng minh

Gọi cạnh ABC đều là a, chiều cao của tam giác là h

Ta có : SABC = SMAB + SMBC + SMAC

Hay SABC = MI.a2 MH.a2 MK.a2 (MIMH2MK)a (1)

E

CHỨNG MINH TỔNG HOẶC HIỆU DIỆN TÍCH CÁC

HÌNH BẰNG DIỆN TÍCH MỘT HÌNH KHÁC

Bài toán 7 : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm

của các cạnh BC và AD, P là giao điểm của các đường thẳmg AM và BN, Q

là giao điểm của các đường thẳng CN và DM

=> SAMD = SABN + SCND Mặt khác ta có: SMPNQ = SAMD - (SAPN + SNDQ)

Hay SMPNQ = ( SABN + SCND) - (SAPN + SNDQ)

SMPQN = (SABN - SAPN) + (SCND - SQND) = SABP + SCQD

Vậy SMPQN = SABP + SCQD

Bài toán 8: Cho tứ giác lồi ABCD với M là trung điểm của đường chéo

AC Chứng minh rằng: SAMB + SCMD = SAMD + SBMC = SABCD

mà (SCMD + SAMB ) + (SAMD + S BMC ) = SABCD (2)

Từ (1) và (2) => SCMD + SAMB = SAMD + S BMC = SABCD

Vậy SAMB + SCMD = SAMD + SBMC = SABCD

Bài toán 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE.

Gọi H, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED

CD’

DC’

NM’

B’

A

A

D M

B

C

Vẽ EE’, II’, DD’ vuông góc với BC

=> II’ là đường trung bình của

hình thang EE’D’D nên

DD’ + EE’ = 2II’ Khi đó ta có

SBEC + SBDC = BC.EE’ + BC.DD’

= BC (EE’ + DD’)

Hay SBEC + SBDC = BC 2 II’ = BC II’ (1)

Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt BH và CK tại P và Q

CHỨNG MINH TỈ SỐ DIỆN TÍCH CỦA HAI HÌNH PHẲNG

Bài toán 10: Chứng minh rằng tam giác có đỉnh là giao điểm của hai

cạnh đối của một tứ giác lồi, hai đỉnh kia là hai trung điểm của hai đườngchéo của tứ giác lồi có diện tích bằng diện tích tứ giác

Chứng minh

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đường

chéo BD và AC của tứ gác ABCD, E là giao điểm

hai cạnh AD và BC

Ta có: SEMN = SEDC - SEMD - SDMN - SDNC - SENC

SEMN = SEDC - SEBD - SEAC - SDNB - SDAC

SEMN = ( SEDC - SEAC - SDAC)

+ ( SEDC - SEBD - SDNB)

SEMN = 0 + (SDNC + SBNC) = ( SADC + SABC)

= (SABC + SADC) = SABCD

Vậy SEMN = SABCD.

Bài toán 11: Cho tam giác ABC cân ở A Gọi O là trung điểm của

đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E

Chứng minh: SADOE = 61 SABC

12

E

B

C D

AOC   (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH)

Mà SAHC = 12SABC ( Chung chiều caoAH) (2)

Từ (1) và (2) => SAOD = 121 SABC mà SAOE = SAOD => SADOE = 2 SAOD = 61 SABC

Bài toán 12: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB cắt CD tại E.

Gọi F và G theo thứ tự là trung điểm của đường chéo AC và BD

Chứng minh rằng: SEFG = 41SABCD

Chứng minh

Nối AG , CG Ta có: S EFG = SAEG - SAFG - SAFE

Mà SAEG = SABG + SEBG

Nên S EFG = SABG + SEBG - SAFG - SAFE

Có SABG = 21SABD ( vì GB = 21BD); SEBG = 21SEBD ( vì GB = 21BD)

SAFG = 12SAGC ( vì AF = 21AC) ; SAFE = 12SACE( vì AF = 21AC)

13

=> SAOD = SAHC (1)

=> S EFG = 21( SABD + SEBD - SAGC - SACE)

S EFG = 21( SADE - SAGCE)

S EFG =21( SABCD + SEBC - SEBC - SABCG) Do SABCG = 21 SABCD

=>S EFG = 21( SABCD - 21 SABCD) => S EFG = 14 S ABCD

Vậy S EFG = 41S ABCD

Dạng 5:

CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Bài toán 13: Cho M là một điểm nằm trong tam giác ABC Qua M vẽ

các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh tam giác tương ứng tại các điểm

A1,B1, C1

b) Hãy xác định điểm M trong tam giác ABC

sao cho: đạt giá trị nhỏ nhất

b) Theo câu a ta có 6

Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3

đạt giá trị nhỏ nhất

S1 = S2 = S3 mà S1 + S2 + S3 = SABC

S1 = S2 = S3 = SABC M là trọng tâm của  ABC

Vậy nhỏ nhất bằng 6 điểm M là trọng tâm của tamgiác ABC

Bài toán 14: Cho ABC vuông cân có AB = AC = 10cm DEF vuông

cân ở D nội tiếp ABC ( D  AB, E  BC, F  AC ) Xác định vị trí của D

SDEF min = 10  x = 4 ( thỏa mãn)

Vậy khi điểm D  AB sao cho AD = 4 cm thì S DEF nhỏ nhất

Bài toán 15: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Lấy điểm M tùy ý

trên đường chéo AC, kẻ ME  AB, MF BC Xác định vị trí của M trên đường chéo AC để diện tích DEF nhỏ nhất

15

M F E

B A

Bài giải

Dễ thấy :

SDEM = SAME (chung cạnh ME, chiều cao từ D và A xuống ME bằng nhau)

SDMF = SCMF (chung cạnh MF, chiều cao từ D và C xuống MF bằng nhau)

Ta có: SDEF = SDEM + SDMF + SEMF

= SABC - SBEF = = ( a2 - BE BF)

SDEF đạt giá trị nhỏ nhất  BE.BF lớn nhất

Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn nhất  BE = BF = a/2

 M là trung điểm của AC Khi đó: SDEF = 21(a2 - )

4

a 2

= a 2

8 3

Phần III: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Từ điểm M tùy ý trong  ABC, các đường thẳng MA, MB, MC

lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1, B1 , C1 Chứng minh: 1

CC

MC BB

MB AA

MA

1

1 1

1 1

Bài 2: Cho  ABC, E là trung điểm của AC Lấy điểm D trên BC sao

cho BD = BC Lấy G sao cho G  AE và AG = AE Đoạn thẳng AD cắt

BG và BE theo thứ tự tại M và N Tính SAMG theo SABC.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn,

đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của OB và

CD.Chứng minh:

a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK

Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD Điểm E trên tia đối của tia BA, điểm

F trên tia đối của tia DA Nối BF và DE cắt nhau ở K

Chứng minh: SABKD = SCKE + SCKF

Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm của AB,

BC, CD Chứng minh rằng: SMNP = 41 SABCD.

Bài 6: Cho  ABC, G là trọng tâm

a Chứng minh: Bất kỳ điểm P trên một cạnh của tam giác ta luôn tìmđược một điểm Q trên cạnh hoặc nằm trong tam giác sao cho SGPQ > SABC

b Chứng minh rằng G là điểm duy nhất có tính chất trên

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :

1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi vận dụng đề tài trong công tác giảng dạy, học sinh thấy đượccác công thức diện tích không phải chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có

ích để giải nhiều bài toán chứng minh khác đa số các em đã rất thích thú, nhất

là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên Qua đó,giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giảibài tập theo nhiều phương pháp khác nhau Góp phần đáp ứng yêu cầu đổimới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứngdụng phong phú hơn

Qua việc vận dụng đề tài cho học sinh khối 8 của trường THCS QuảngHưng trong năm học 2014 - 2015, tôi thu được kết như sau:

2 Bài học kinh nghiệm

“Sử dụng phương pháp diện tích để giải các bài toán hình học” là một

phương pháp suy luận khó đối với diện đại trà mặc dù SGK có đề cập nhưnglượng bài tập giành cho vấn đề này còn ít Nếu vì lí do trên mà trong quá trìnhgiảng dạy GV cũng lướt qua thì rất thiệt thòi cho đối tượng HS khá giỏi, vìthực tế cho thấy có những bài toán nếu không sử dụng phương pháp này thìviệc chứng minh sẽ rất khó khăn Ngoài các bài tập nêu trên còn có một sốdạng khác nữa nhưng thời gian trên lớp không cho phép GV hướng dẫn họcsinh kĩ hơn về phương pháp này Bởi vậy qua việc áp dụng phương pháp nàybản thân đã tổ chức được một hình thức học tập thích hợp từ đó khuyến khíchhọc sinh tự học, tự rèn luyện bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thubài trên lớp tốt hơn và đặc biệt có tác dụng lớn trong việc xây dựng cácchuyên đề bồi dưỡng HSG theo tinh thần đổi mới của PGD & ĐT đã triểnkhai trong năm nay

17