Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Cho hình lăng trụ đ[r]
(1)ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Bước Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian
Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Do đó, hình vẽ tốn cho có chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ Cụ thể:
1 Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật
Chọn hệ trục tọa độ cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c) 2 Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’
Chọn hệ trục tọa độ cho:
Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz qua tâm đáy
3 Với hình chóp tứ giác S.ABCD
(2)Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng
Khi
2 2
( ; 0; 0); ( ; 0; 0); ; (0; ; 0); (0; ; 0)
2 2
(0; 0; )
a a a a
A C B D
S h
4 Với hình chóp tam giác S.ABC
cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)
Khi đó:
( ; 0; 0); ( ; 0; 0)
2 2
3 3
(0; ; 0); (0; ; )
2 6
a a
A B
a a
C S h
cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O
tính 3 3,
2
a a a
CI AB CH HI => suy dc tọa độ đỉnh
3 3
( ; ; 0) ; ( ; ; 0) , (0; ; 0) ;
2 6
3
(0; ; ) ; (0; ; 0)
6
a a a a a
A xy B xy C oy
a a
S h yz I y
cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục cho A= O (0;0;0),
(3)3
( ; ; 0) 0 ;
2 6
3
( ; ; 0) 0 ,
2 6
3 (0; ; )
3 a a
B xy
a a
C xy
a
S h oz
5 Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD)
ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)
Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h)
6 Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD)
ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0)
7 Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vuông A
(4)Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)
Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h)
8 Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vuông B
Tam giác ABC vuông B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0)
Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h)
9 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vuông C
ΔABC vuông C với CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h)
10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vuông A
(5)hình a)
ΔABC vng A: AB = a; AC = b chiều cao h H trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h)
hình b)
Tam giác ABC vng cân C có CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)
Khi đó: (0; ;0), (0, ;0); ( ;0;0) (0;0; )
2 2 2
a a a
A B C S h
11.Hình lăng trụ có đáy tam giác vuông O
z
y x
O
Bước 2: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán: Các dạng câu hỏi thường gặp
1.khoảng cách điểm : (ý phụ)
Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là:
2 2
( B A) ( B A) ( B A) AB x x y y z z 2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) Cách 1:( d qua M0 có vtcp u)
0
[M , ]
( , ) M u
d M
u
(6)Cách 2: Phương pháp :
Lập ptmp( )đi qua M vàvng gócvới (d)
Tìm tọa độ giao điểm H mp( ) d
d(M, d) =MH
3 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho côngthức
0 0
0 2 2 2
Ax
( , ) By Cz D
d M
A B C
4.khoảng cách mặt phẳng //:
Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm của mặt phẳng đến mặt phẳng kia.
5.khoảng cách đường thẳng
A, Khoảng cách hai đường chéo nhau
Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a( ;a a a1 2; 3) (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0)
[ , '] ' ( , ')
[ , ']
hop
day
a a MM V d d d
S a a
Cách 2:
d điqua M(x0;y0;z0);có vtcp a( ;a a a1 2; 3)
d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcpa'( ' ; ' ; ' )a1 a a3
Phương pháp :
Lập ptmp( )chứa d songsong với d’ d(d,d’)= d(M’,( ))
ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ chúng
,
( , )
, AB CD AC d AB CD
AB CD
B khoảng cách đường thẳng //:
-Khoảng cách đường thẳng // khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
6 góc đường thẳng Góc hai đường thẳng
() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a( ;a a a1 2; 3)
(’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a'( ' ; ' ; ' )a1 a a
1 2 3
2 2 2
1 3
' ' ' '
os os( , ')
' . ' ' '
a a a a a a a a
c c a a
a a a a a a a a
7.góc mặt phẳng
Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900)
(P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
P
P 2 2 2 2 2 2
P Q
n A.A' ' '
os = cos(n , )
n n ' ' '
Q Q
n B B C C
c n
A B C A B C
8.góc đường thẳng mặt phẳng
(7)() qua M0 có VTCP a, mp(α) có VTPT n( ; ; )A B C Gọi φ góc hợp () mp(α)
1
2 2 2
1
Aa +Ba +Ca
sin os( , )
A .
c a n
B C a a a
9 diện tích thiết diện
Diện tích tam giác : 1[ , ] 2
ABC
S AB AC
Diện tích hình bình hành: SABCD=[AB AD, ].
10.thể tích khối đa diện - Thểtích chóp: Vchóp = 1
3Sđáy.h Hoặc VABCD=
[ , ]
6 AB AC AD (nếu biết hết tọa độ đỉnh) - Thể tích khối hộp:
VABCDA’B’C’D’ =[AB AD AA, ]. '
MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC BỔ XUNG
1 Dấu hiệu nhận biết hình:
1): Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân: - Tứ giác có hai ca ̣nh đối song song
- Hình thang có mô ̣t góc vuông là hình thang vuông - Hình thang có hai góc kề mô ̣t đáy là hình thang cân - Hình thang có hai ca ̣nh bên bằng là hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo bằng là hình thang cân
2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có dấu hiê ̣u nhận biết):
- Tứ giác có các că ̣p ca ̣nh đối song song - Tứ giác có các că ̣p ca ̣nh đối bằng
- Tứ giác có hai ca ̣nh đối song song và bằng nhau - Tứ giác có các góc đối bằng
- Tứ giác có hai đường chéo cắt ta ̣i trung điểm mỗi đường
3): Hình chữ nhật (có dấu hiê ̣u nhận biết):
- Tứ giác có góc vuông
- Hình thang cân có mô ̣t gócvuông - Hình bình hành có mô ̣t góc vuông
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
4): Hình thoi (có dấu hiê ̣u nhận biết):
- Tứ giác có ca ̣nh bằng
- Hình bình hành cá hai ca ̣nh kề bằng nhau
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau
- Hình bình hành có đường chéo là đường phân giác cùa góc.
5): Hình vuông (có dấu hiê ̣u nhận biết):
- Hình chữ nhâ ̣t có hai ca ̣nh kề bằng nhau - Hình chữ nhâ ̣t có hai đường chéo vuông góc
- Hình chứ nhâ ̣t có đường chéo là đường phân giác của mô ̣t góc - Hình thoi có mô ̣t góc vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
II: Bài tập vận dụng:
Dạng 1: Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
(8)Bài 1.(ĐHA-2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 1.Gọi M, N trung điểm AB CD
A, tính thể tích khối chóp M.A’B’D’
b Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN Đ/S: d = 3
2 2
Bài 2: (ĐHB- 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a A Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D.
B Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP và C’N
Đ/S: Đáp số: A 6 a
B MP C 'N
Bài 3: (ĐH A – 2003): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B ‘C‘D‘có AB=a, AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC’
a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b.
b Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với nhau Đ/S: a,
2
, 4 a b
v b a:b = 1
Dạng 2: hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’
Bài 1: (ĐH– 2006) Cho hình hộp đứng ABCD A’ B’ C’ D’ có cạnh AB= AD = a, AA'= a
góc
0
60
BAD Gọi M N trung điểm cạnh A’ D’ A’B’ A,Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng BDM
B, Tính thể tích khối chóp A BDMN
C, Tính khoảng cách đường thẳng AB C’D’ Đ/S:
3
3 16
a V
Dạng 3.Hình chóp tam giác S.ABC (Dấu hiệu: Đáy tam giác cạnh a, đường cao vng góc với đáy) Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lượt trung điểm cạnh SB SC
A,Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) B, Tính khoảng cách đường thẳng SC AB
Bài tập tổng hợp Câu 1: THPT Đông Sơn 1- lần 2- 2015
Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M trung điểm SC Biết ABa, BCa 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM
Đ/S: V=
3
6 12 a
Câu 2: THPT Chuyên ban Hạ Long – 2015
Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC tam giác cạnh a Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 độ Hình chiếu vng góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến (SAC) theo a
Đ/S:
3
3 16 a
V ; d = 3 13 13 a
(9)Câu 3: THPT Hậu Lộc - 2015
Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, AB= 2a , AC 2a 3 Hình chiếu vng góc S (ABC) H, H trung điểm AB Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 30 độ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm M trung điểm cạnh BC đến (SAC)
Câu 4: THPT Lương Thế Vinh – HN - 2015
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tam giác SAB cân S nằm tring mặt phẳng vng góc với đáy Hình chiếu S lên ABCD trung điểm H cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABCD) 45 độ Gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC)
Câu 5: THPT Đào Duy Từ - TH - 2015
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = 17 a
Hình chiếu vng góc H S trên (ABCD) trung điểm AB Gọi K trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách HK SD theo a
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (Quyết định thành cơng tốn)
Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan
Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:
Định tính: Chứng minh quan hệ vng góc, song song, …
Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, …
Bài tốn cực trị, quỹ tích ………
Ta thường gặp dạng sau
1 Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng
Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB=a, OC=a 3, (a>0) đường cao OA=a Gọi
M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi O(0;0;0),
(0; 0; 3); ( ; 0; 0), (0; 3; 0),
A a B a C a
3
; ;
2
a a M
, gọi N trung điểm AC
3
0; ;
2
a a
N
MN đường trung bình tam giác ABC AB // MN
AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN))
z A
3 a
3
a y
C N O
M a
x B
(10)3 3
; ; , 0; ;
2 2
a a a a
OM ON
2 2 2
3 3 3
[ ; ] ; ; 3; 1;
4 4 4
a a a a a
OM ON n
, với n( 3; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến :n 3x y z Ta có:
3 0 3 15
( ; ( ))
5
3 1
a a a
d B OMN
Vậy,
15
( ; )
5
a d AB OM Cách 2:
Gọi N điểm đối xứng C qua O
Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)
OM // (ABN)
d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN))
Dựng OKBN OH, AK K( BN H; AK)
Ta có: AO(OBC);OK BN AK BN
; ( )
BN OK BNAK BN AOK BNOH
; ( ) ( ; ( )
OH AK OHBN OH ABN d O ABN OH
Từ tam giác vuôngOAK; ONB có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 15
5
3 3
a OH
OH OA OK OA OB ON a a a a
Vậy, ( ; ) 15
5
a d OM AB OH b Dạng khác
Ví dụ 1:Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vng C Độ dài cạnh SA =4, AC = 3,
BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC)
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:
A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0)
mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy SHB , SBCIH IK, (1)
( 1; 3; 4)
SB , SC (0; 3; 4) suy ra:
ptts SB: 3 x t y t z t , SC: 3 x y t z t
(P): x + 3y – 4z – =
5 15 51 32
; ; , 0; ;
8 25 25
I K
cos ,
IH IK SHB SBC IH IK = …
Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60o
Cách 1:
BCa
Gọi M trung điểm BC 2;
2
a a
AM AG
Gọi E, F hình chiếu G lên AB, AC Tứ giác AEGF hình vuông
2
3
a
AG AE AE AF
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0), B(a;0;0),
C(0; a; 0), ; ; , ; ;
3 2
a a a a
G S x
2
; ; , ; ; , ; ;
3 3 3
a a a a a a
SA x SB x SC x
(11)2
1
[ ; ] 0; ; 0; ;
3
a a
SA SB ax a x a n
, với 0; ;
a n x
2
2
[ ; ] ( ; 0; ) ; 0; ,
3
a a
SA SC ax a x a n
với ; 0;
3
a n x
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA SB, nên có vectơ pháp tuyến n1 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA SC, nên có vectơ pháp tuyến n2 Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) 60o
2
2
2
2
0 .0
3 9
cos 60 0 9 o
a a a
x x x a a a x x 2 2 a x a
2 2 2
9
3
a
x a a x a x
Vậy,
3
a x Cách 2:
Gọi M trung điểm BC AM BC (ABCvuông cân)
Ta có: SG(ABC) SGBC Suy ra: BC(SAM)
Dựng BISA IM SA ICSA BIC góc phẳng nhị diện (B; SA; C)
( )
SAB SAC c c c
IBIC IBC cân tạiI
1 2
2; ;
2
a a
BCa AM BM MC BC AG
2 2
2
2
~
2 2
2
9
AM a ax
AIM AGS IM SG x
AS SG AG a
x
2
3
2
ax IM
x a
Ta có: BIC60o
2
2 3.3
30 tan 30
2 2 9 2
o o a ax
BIM BM IM
x a
2 2 2 2 2
9 3 27 18
3
a
x a x x a x x a x a x
Vậy,
a x
Ví dụ 3:(Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N
là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải
Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có:
3
2
a
AI BC 3,
3
a a
OA OI
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 3; 0;
a
A
3 ; 0;
a
I
,
3 ; ;
6
a a
B
,
3
; ;
6
a a
C
,
3 ; ;
12
a a h
M
và
3
; ;
12
a a h
N
2 ( )
5
, ; 0;
4 24
AMN
ah a
n AM AN
,
2 ( )
3
, ; 0;
6
SBC
a n SB SC ah
2
2 ( ) ( )
5 10
( ) ( ) ,
12 16
AMN SBC AMN
a a
AMN SBC n n h S AM AN 2 Hình chóp tứ giác
(12)z
x
y A D
D' C' B B' C A'
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng
b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn
hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H
là trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), ; 0; , B ; b;
2
a a
A
3
, ; b;0 , ; 0;0 , 0; 0;
2 2
a a a
C D S
3 Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD)
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A; B Ox; D Oy A' Oz
A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a =
Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): nA BC' 1;1;1 AC'1;1;1
Vậy AC' vng góc với (A'BC)
2 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C'
Giải
Cách 1:
Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên ABBCCAA B' 'B C' 'C A' 'a các tam giác ABC, A’B’C’ tam giác
Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0),
3
; ; , ; ; , '(0; 0; ),
2 2
3
' ; ; , ' ; ;
2 2
a a a a
B C A a
a a a a
B a C a
Ta có: B C' ' //BC, B C' ' // ( 'A BC)
' '; ' ' '; ' '; '
d B C A B d B C A BC d B A BC
3
' ; ; , ' ; ;
2 2
a a a a
A B a A C a
2
2 3
' ' 0; ; 0; 1;
2
a
A BA C a a a n
, với
3 0; 1;
2
n
Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n:
0( 0) 1( 0) ( )
2
x y za ' : 3
2
a A BC y z
3 3
21
2 2
' '
7
3
1
4
a a a
a
a d B A BC
Vậy, ' ; ' ' 21
7
a d A B B C
Cách 2:
Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên ABBCCAA B' 'B C' 'C A' 'a các tam giác ABC, A’B’C’ tam giác
Ta có: B C' ' //BC B C' ' //( 'A BC)
' ; ' ' ' '; ' ; '
d A B B C d B C A BC d F A BC
(13)x y z A B C D
Ta có: ( ' )
' ( A'BC A')
BC FD
BC A BC BC A D
cân
Dựng FHA D'
Vì BC( 'A BC) BCFH H( 'A BC)
A’FD vuông có:
2 2 2
1 1 21
' 3
a FH
FH A F FD a a a
Vậy, ' ; ' ' 21
7
a d A B B C FH
3 Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lời giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O
DOx; C Oy B Oz
A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
4
y
x z
3x + 3y + 4z - 12 =
Suy khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
II Lyuyện tập
Bài 1: Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh đề 1, O trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SO
1 Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC
2 H chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G SAC
Lời giải
1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O gốc tọa độ AOx, SOz, BC//Oy
3; 0;
3
A
;
3
; ;
6
B
;
3 ; ;
6
C
;
6 0;
3
S
;
6 0; 0;
6
I
Ta có: BC(0;1; 0); 1; ;
6
IC
;
6
, ; 0;
6
BC IC
Phương trình mặt phẳng (IBC) là: 6( 0) 0( 0) 3( 6)
6 x y z
Hay: 6
z
mà ta lại có: 3; 0; // (1; 0; 2)
3 SA
SA SA u
Phương trình đường thẳng SA: ; 0;
3
x t y z t
+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
3 (1) (2) (3)
2 (4)
6 x t y y t x z
Thay (1), (2), (3) (4):
3 6
; 0; ; 0;
12 12
x y z M
;
3
; 0;
12 12
SM SA SM
M nằm đoạn SA
4
SM SA
( )
( )
SBCM SABC
V V
2 Do G trọng tâm tam giác ASC SG qua trung điểm N AC
GI (SNB) GI SB đồng phẳng (1)
z x y I O H A C S G N M z I
B C
S
x
(14)Ta lại có 1; ;
18
G
3
; ;
18 18
GI
3
; ;
18 18
GI
GI SB 0 GI SB (2)
Từ (1) (2) GI SBH
Bài 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
d(M, (OAB)) = zM = Tương tự M(1; 2; 3)
(ABC): x y z
a b c
1
( )
M ABC
a b c
(1)
1
O ABC
V abc (2)
3
1 3
(1)
a b c a b c
27
6abc
(2) min 27
3
V
a b c
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD=a, AC=b, B=c Tính diện tích tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S abc a b c
Giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
; ; , ; 0; , , ; ;
BC c b BD c a BC BD ab ac bc
2 2 2
1
,
2
BCD
S BC BD a b a c b c
2 2 2 ( )
a b a c b c abc a b c
ñpcm
2 2 2
( )
a b a c b c abc a b c
Theo bất đẳng thức Cachy ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
a b b c ab c b c c a bc a c a a b ca b
2 2 2
: a b a c b c abc a( b c)
Cộng vế
Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy tam giác đề cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D
Lời giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AO; BOy; A1Oz Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
1
3 ; ;
2
a a C a
và D(0;a;a)
Do M di động AA1, tọa độ M(0;0;t) với t [0;2a] Ta có :
1
1 ,
DC M
S DC DM
(15)Ta có:
1
3
; ;
2
0; ;
a a
DC a
DM a t a
,
DG DM
( ; 3( ); 3)
2
a
t a t a a
2 2
, ( ) 3( )
2
a
DG DM t a t a a
1
2
2
4 12 15
2
12 15
2
DC M
a
t at a a
S t at a
Giá trị lớn
1
DC M
S tùy thuộc vào giá trị tham số t
Xét f(t) = 4t2 12at + 15a2
f(t) = 4t2 12at + 15a2 (t[0;2a])
f '(t) = 8t12a
3 '( )
2
a
f t t
Lập bảng biến thiên ta giá trị lớn
1
2
15
DC M
a
S t =0 hay MA
Chú ý
+ Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy
+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy
+ Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật
III CÁC DẠNG BÀI TẬP
1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC
Bài (Trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD)
Bài 2. Cho ABC vuông A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF
1 Chứng minh H trung điểm SD
2 Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB)
1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’
2 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi , , góc nhị diện cạnh AB, BC,
CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm ABC
2 Chứng minh 2 12 12 12
OH OA OB OC
3 Chứng minh cos2cos2cos2 1.
4 Chứng minh coscos cos
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB
1 Tính góc (OMN) (OAB)
2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ANP
3 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông 12 12 12
a b c
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, (ABC), (SBC)600
1 Tính độ dài SA
2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)
(16)3 Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAB) (SBC)
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp
2 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường
thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC
1 Tính diện tích MAB theo a
2 Tính khoảng cách MB AC theo a
3 Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAC) (SBC)
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K
1 Chứng minh HK vng góc với CS
2 Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK)
4 Xác định tâm J và bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D
là trung điểm cạnh AB
1 Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD
3 Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBD) (SCD)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SAa Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)
2 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC
Bài 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng () qua AB vuông góc với SC
1 Tìm điều kiện h theo a để () cắt cạnh SC K Tính diện tích ABK
3 Tính h theo a để () chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng
2 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích SBE
2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)
3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SAa Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)
2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD)
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA3 2cm Mặt phẳng () qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K
1 Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với ()
3 Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC
4 Tính thể tích hình khối ABCDKMH
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD
1 Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN
3 Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC)
4 Tìm điều kiện a b để cos
3
CMN Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD
(17)1 Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD)
2 Mặt phẳng () qua H vuông góc với SC I Chứng tỏ () cắt cạnh SB, SD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD)
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO2a 3, AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng () qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B', C', D'
1 Chứng minh B C D' ' '
2 Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0ma)
1 Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ Cho
3
a
m , gọi K giao điểm BM AD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAK) (SBK)
3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng
2 Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM
Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện
[B,A'C,D]
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập
phương theo thiết diện có diện tích nhỏ
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’)
2 Tính góc (DA’C) (ABB’A’)
3 Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC)
b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa
, ' (0 1)
AM mAD BN mBB m GọiI, Klà trung điểm củaAB, C’D’
1 Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng
3 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A BD' Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng
ADD’A’
1 Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N
2 Tính bán kính r đường trịn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a,
0
60
BAD GọiM, N trung điểm cạnh AA’, CC’
1 Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng () qua B vng góc với B’C
1 Tìm điều kiện a, b, c để () cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C C’)
2 Cho () cắt CC’ I
a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy
(18)GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình.
PHƯƠNG PHAÙP:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O)
Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan
(có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :
Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng. Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:
Độ dài đọan thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng Góc hai đường thẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng Góc hai mặt phẳng
Thể tích khối đa diện Diện tích thiết diện
Chứng minh quan hệ song song , vng góc Bài tốn cực trị, quỹ tích
Bổ sung kiến thức :
1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin của góc giữa mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu
cos
'
S S
2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta ln có:
SC SC SB SB SA SA V
V
ABC S
C B A S
' ' '
' ' '
Ta thường gặp dạng sau 1 Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng
Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
(19)Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] = zM =
Tương tự M(1; 2; 3) pt(ABC): x y z
a b c
1
M (ABC)
a b c (1)
O.ABC
1
V abc
6 (2)
3
1 2 3 1 3
(1) 1 3 .
a b c a b c
1
abc 27
6
(2)
1
V 27
a b c 3
Ví dụ:
1) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c
Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S abc a b c
(Dự bị – Đại học khối D – 2003) Giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
2 2 2 BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c
2 2
ñpcm a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta : a b +b c 2ab c
b c +c a
2 2 2 2
2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b
b Dạng khác
Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]
Hướng dẫn giải
z
y
x A
B
C D
(20)Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0)
mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy
[H, SB, C] = IH, IK (1)
SB ( 1; 3; 4), SC (0; 3; 4) suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
và (P): x + 3y – 4z – =
5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25
IH.IK cos[H, SB, C]
IH.IK = …
Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K
Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC)
Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O
là trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có:
3 a 3
AI BC
2 2
a 3 a 3
OA , OI
3 6
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0; 0
3 a
I ; 0;
6 ,
a a
B ; ;
6 ,
a a
C ; ;
6 ,
a a h
M ; ;
12
và N a 3; a h;
12 4 2
2
(AMN) ah 5a
n AM, AN ; 0;
4 24 ,
2
(SBC) a
n SB, SC ah; 0;
6
2
2
(AMN) (SBC) AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16
2 Hình chóp tứ giác
a)Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng.
b)Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
(21)O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)
c)Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vng góc với đáy. Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:
H(0; 0; 0), A a; 0; , B a; b; 0
2 2
a a a
, C ; b; , D ; 0; , S 0; 0;
2 2
3 Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng trên.
Ví dụ: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vuông góc mp (A'BD)
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O A; B Ox; D Oy
và A' Oz Giả sử hình lập phơng
ABCD A'B'C'D' cú cạnh a đơn vị
A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn mặt ph¼ng
(A'BD):
A'
D'
C'
C
B A
D B'
I O I'
Z
Y
X
(22)x + y + z = a hay x + y + z –a =
Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1)
VËy AC' vu«ng gãc (A'BC)
2 Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đơi vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD= Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lêi gi¶i:
+ Chän hƯ trơc Oxyz cho A O
D Ox; C Oy vµ B Oz
A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Phơng trình đoạn chắn (BCD) là:
1 4 4 3
x y z
3x + 3y + 4z 12 = 0
Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là: Nhn mnh cho hc sinh:
II Ph-ơng pháp giải:
gii mt tốn hình học khơng gian ph-ơng pháp sử dụng tọa độ Đề trong không gian ta làm nh- sau:
* B-ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết. * B-ớc 2: Chuyển hẳn tốn sang hình học giải tích khơng gian Bằng cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết cần chứng minh.
+ Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm cực trị. + Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm quỹ tích
v.v…
III Lun tËp.
Bài 1: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm của SO
z
O
B
y C
x D
A
(23)3 Mặt phẳng (BIC) cắt SA M T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM tứ diện SABC.
2 H chân đ-ờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH qua trọng tâm G SAC.
Lời giải:
Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa độ
AOx, S Oz, BC//Oy
Tọa độ điểm: ( 3; 0; 0)
3
A ; ( 3; 1; 0)
6
B ; ( 1; ; 0)
6
C ; (0; 6)
3
S ; (0; 0; 6) I
Ta có: BC (0;1;0); ( 1; ; 6)
6
IC ; , ( 6; 0; 3)
6
BC IC
Phư¬ng trình mặt phẳng (IBC) là:
6
( 0) 0( 0) ( )
6 6
x y z
Hay:
6
z mà ta lại có: ( 3; 0; 6) // (1; 0; 2)
3
SA
SA SA u
Phơng trình ®ưêng th¼ng SA: ;
3
x t y 0;z 2t
+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
3
(1) 3
0 (2)
2 (3)
6
2 0 (4)
6
x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:
3 6
; 0; ( ; 0; )
12 12
x y z M ; ( 3; 0; 6)
12 12
SM SA SM
M nằm đoạn SA và 1
4 SM
SA
( )
( )
SBCM
SABC
V
V
2 Do G lµ trọng tâm ASC
SG qua trung điểm N cña AC
GI (SNB) GI SB đồng phẳng (1)
Ta lại có tọa độ G ( 1; ; 6)
18
3
( ; ; )
18 18 GI
3
( ; ; )
18 18
GI GI SB. 0 GI SB (2)
Tõ (1) vµ (2) GI SB H
(24)Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ của
diƯn tÝch MC1D.
Lêi gi¶i:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A O; B Oy; A1 Oz Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
1
3
( ; ; ) 2
a a
C a vµ D(0;a;a)
Do M di động AA1, tọa độ M (0;0;t)với t [0;2a]
Ta cã :
1
1
, 2
DC M
S DC DM
Ta cã :
3
( ; ; )
2 2
(0; ; )
a a
DC a
DM a t a
,
DG DM ( 3 ; 3( ); 3)
2
a t a ta a
2 2
, ( 3 ) 3( ) 3
2
DG DM a t a ta a
1
2
2
4 12 15
2
1
4 12 15
2 2
DC M
a
t at a
a
S t at a
z
x
y I
O B
A
C S
M
z
x
y I
O H
A
C S
G N
z
x C
C1 M
A
A1 B1
B D
(25)Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cđa
1
DC M
S tùy thuộc vào giá trị hµm sè
XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2
f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a])
f'(t) = 8t – 12a
3 '( ) 0
2 a
f t t
Lp BBT giá trị lín nhÊt cđa
1
2
15
DC M
a
S khi t =0 hay M A
Chú ý
+ Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải bằng đáy Chân đường cao trọng tâm đáy.
+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy.
+ Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật. II CÁC DẠNG BÀI TẬP
1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC
Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD)
Bài Cho ABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF
1 Chứng minh H trung điểm SD.
2 Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE). 3 Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB)
1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện đều.
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi , , góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC)
1 Chứng minh H trực tâm ABC. 2 Chứng minh 12 2 12 12
OH OA OB OC
3 Chứng minh cos2 cos2 cos2 1.
4 Chứng minh cos cos cos 3.
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đôi Gọi M, N, P lần lượt trung điểm BC, CA, AB
1 Tính góc (OMN) (OAB)
2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ANP.
3 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vng 12 12 12
a b c
Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2,
0
(ABC),(SBC) 60
1 Tính độ dài SA.
2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 3 Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C].
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi
(26)1 Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp. 2 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy và SA = 2a Gọi M trung điểm SC
1 Tính diện tích MAB theo a.
2 Tính khoảng cách MB AC theo a. 3 Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ABC vuông cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K
1 Chứng minh HK vng góc với CS.
2 Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI. 3 Tính sin góc SB (AHK).
4 Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB
1 Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD. 2 Tính khoảng cách BC SD.
3 Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C].
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA a 3 1 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
2 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC.
Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( ) qua AB vng góc với SC
1 Tìm điều kiện h theo a để ( ) cắt cạnh SC K. 2 Tính diện tích ABK.
3 Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ đó tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng nhau.
2 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD
1 Tính diện tích SBE
2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a 3 1 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC. 3 Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy
SA 3 2cm Mp( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K 1 Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD.
2 Chứng minh BD song song với ( )
3 Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC. 4 Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD
1 Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2 Tính khoảng cách SB CN.
3 Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC).
(27)4 Tìm điều kiện a b để cosCMN 3
3 Trong trường hợp tính thể tích hình chóp
S.BCNM.
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm AD
1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).
2 Mặt phẳng ( ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ ( ) cắt cạnh SB, SD. 3 Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO 2a 3, AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng ( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B', C', D'
1 Chứng minh B ' C ' D' đều.
2 Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)
1 Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2 Cho m a
3, gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]
3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC
1 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2 Tính khoảng cách IK AD. 3 Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]
Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ
Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 1 Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’). 2 Tính góc (DA’C) (ABB’A’).
3 Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2).
a Chứng minh MN song song (A’D’BC).
b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB. Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa
AM mAD, BN mBB' (0 m 1). Gọi I, K trung điểm AB, C’D’
1 Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 2 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A ' BD. 4 Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’
1 Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2 Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3 Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương.
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD 60 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’
1 Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng. 2 Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng.
Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng ( ) qua B vng góc với B’C
1 Tìm điều kiện a, b, c để ( ) cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C C’). 2 Cho ( ) cắt CC’ I.
(28)a Xác định tính diện tích thiết diện. b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy. Bài tập :
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a 3 vng góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vng ABCD đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600
1) Tính MN SO.
2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD)
Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH(ABCD) với SH=a
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C
1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c
2) Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất.
Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc ,, Chứng minh rằng:
1) cos2cos2 cos2 2
2) 2 2
ABC OCA
OBC
OAB S S S
S
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, sa vng góc với đáy Gọi M,N hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC cho
4 3 ,
2
a DN a
BM CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với
Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho
2 a
SD , CMR hai mặt phẳng (SAB)
(SAC) vng góc với nhau.
Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vng góc với từng đơi cho OA=a , OB=a 2 OC=c (a,c>0) Gọi D điểm đối diện với O hình
chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vng góc với AM
a) Gọi E giao điểm (P) với OC , tính độ dài đọan OE.
b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).
Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=a 2, SC(ABC), ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0<t<2a)
1) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.
2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA.
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi có AC=4, BD=2 tâm O.SO=1 vng góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M,N theo thứ tự trung điểm
(29)cạnh AD,CD Lấy '
BB
P sao cho BP=3PB' Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập
phương
Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a 1) Tính theo a khoảng cách AD' B'C.
2) Gọi M điểm chia đọan AD theo tỷ số 3 MD
AM Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C)
3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N trung điểm BC DD' 1) CMR AC' (A'BD)
2) CMR MN//(A'BD)
3) Tính khoảng cách BD nà MN theo a
Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc A=600 B'O vng góc với đáy ABCD, cho BB'=a
1) Tính góc cạnh bên đáy.
2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD').
Bài 15: Cho hình vng ABCD cạnh a tâm I Trên hai tia Ax, By chiều vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y
1) Tính thể tích hình chóp ABCMN.
2) CMR điều kiện cần đủ để góc MIN=900 2xy=a2
Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC (ABC) SC = Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB
1) Tính góc hai đường thẳng SM CN
2) Tính độ dài đọan vng góc chung SM CN.
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh
1) Gọi M, N trung điểm AD, BB' Chứng minh rằng A C MN'
Tính độ dài đọan MN
2) Gọi P tâm mặt CDD'C' Tính diện tích MNP.
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết
SA=a 6
2
Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đơi vng góc Gọi ; ; lần lượt góc giữa mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC);(OCA) (OAB).Chứng minh :
cos cos cos 3
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a góc
BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông ở A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I)
Cách 2: Phương