Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian

PHẦN I MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Một môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn học hình học khơng gian Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trò, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học môn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Qua số năm giảng dạy môn học trình ơn thi TNTHPT tơi đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt lập khn máy móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, tốn khó Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian ” II Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức tọa độ không gian để giải tập hình học - Rèn luyện kỹ mở rộng toán theo nhiều hướng III Đối tượng nghiên cứu Là học sinh khá, giỏi lớp 12 trường TTGDNN-GDTX Thiệu Hóa IV Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu liên quan để viết sở lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Cơ sở lí luận Phương pháp toạ độ đời giúp người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngơn ngữ hình học, giúp người đạt đến đạt đến đỉnh cao khái quát hoá trừu tương hoá toán học nhiều lĩnh vực Bắt nguồn cảm hứng từ hai toán sách giáo khoa hình học 12, tác giả yêu cầu học sinh giải phương pháp tọa độ là: Bài tập 10 trang 81(sgk hình 12): Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a) Chứng minh hai mặt phẳng ( AB ' D ' ) ( BC ' D ) song song với b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói Bài tập 10 trang 91(sgk hình 12): Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh 1.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' BD ) ( B ' D ' C ) Tơi nhận thấy cách giải có nhiều ưu điểm giúp học sinh tiếp thu cách tốt so với giải phương pháp hình học lớp 11 II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Khi khảo sát với hai tập đa số học sinh đường tìm lời giải, số giải chọn vẹn toán cụ thể: Kết quả: Bài Số HS làm Số HS đạt yêu cầu Đạt tỷ lệ % 82 18 21.9 82 22 26.8 Lí học sinh làm quen với cách giải này, chưa có thời gian thực hành, ơn luyện nhiều, số học sinh khác chưa nắm vững kiến thức hình tọa độ, cơng thức áp dụng liên quan đến toán, đặc biệt cách chọn hệ trục tọa độ hợp lí III Các giải pháp thực để giải vấn đề Để giải toán phương pháp toạ độ ta thực theo bước sau : Bước 1: Thực việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, ý đến vị trí gốc O, chuyển tốn cho tốn hình học giải tích Bước : Giải tốn hình học giải tích nói Bước : Áp dụng công thức Học sinh cần nắm số công thức sau: [1] *) Diện tích thể tích: [ [ ] ] AB, AC Thể tích tứ diện ABCD: V = AB, AC AD Diện tích tam giác ABC: S = [ ] ' Thể tích hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' : V = AB, AD AA [1] Tham khảo qua sgk hình học 12 ; tạp chí tư liệu tốn học * Góc hai mặt phẳng: mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n mp(Q) có , véc tơ pháp tuyến n ' cos(( P), (Q)) = cos(n, n ) * Góc hai đường thẳng: (d) có VTCP u (d’) có VTCP v cos(d , d ' ) = cos(u , v) * Góc đường thẳng mặt phẳng: (d) có VTCP u mp(P) có VTPT n sin( d , ( P )) = cos(u , n) * Khoảng cách từ M ( x0 , y , z ) đến mặt phẳng: + ) (Oxy ) z ; (Oyz ) x0 ; (Ozx) y +) (P): Ax + By + Cz + D = l à: d ( M , P) = Ax0 + By + Cz + D A2 + B + C +) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Cho M ( x0 , y , z ) (d) qua A có VTCP u = AB d ( M , d ) = [ AM , u] u +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo : Đường thẳng d1 qua điểm M có VTCP u1 ; Đường thẳng d qua diểm M có VTCP u : d (d , d ) = [u ,u ].M M [u , u ] 1 2 Tuy nhiên qua thực tế, việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải tốn thật khơng đơn giản học sinh, qúa trình trừu tượng hố khái qt hóa việc rèn luyện tư toán học Do vậy, thơng qua số tốn cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ Một số dạng tốn thường gặp : • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách hai đường thẳng • Góc hai đường thẳng • Góc đường thẳng với mặt phẳng • Góc hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh quan hệ song song, vng góc Sau cách chọn hệ trục tọa độ cụ thể cho dạng tập số ví dụ minh họa Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian [2] Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc đơi Do đó, mơ hình chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ Cụ thể : Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D' z Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ D’ A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0) B’ C’ A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho : D y A A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0) B C x A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD A' B' C ' D' z Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ D’ O’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD B’ A - Trục Oz qua tâm đáy y C’ D O B Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vuông  a  a  ;0;0 ; C  ;0;0      Khi : A −  a   a  B  0; − ;0 ÷ ÷; D  0; ;0 ÷ ÷; S (0;0; h)     C x zS D A O B C x [2] Tham khảo qua trang giáo án điện tử y Với hình chóp tam giác S.ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)   Khi : A  − ;0;0 ÷;   a  B  ;0;0 ÷ 2   a   a  C  0; ;0 ÷ ÷; S  0; ; h ÷ ÷     a zS y C A I H x B Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật zS AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) D A Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 ) D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h) y O B C x Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) z S ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) y A B O B D x Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ ABC vuông A z S Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) y C A Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) x B S ( 0;0; h ) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ ABC vuông B z S Tam giác ABC vng B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi : A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) S ( a;0; h ) x y A C B Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vuông C H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi : A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 ) z S ∆ ABC vuông C CA = a; CB = b chiều cao h y x A B H C a b S ( ; ; h) 2 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vuông A ∆ ABC vuông A AB = a; AC = b chiều cao h z S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) a Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) S (0; ; h) C A H y x B Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vuông cân C z Tam giác ABC vng cân C có S CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y H B cho H(0;0;0) A  a   a  C ;0;0 ; A 0; ;0 Khi :  ÷  ÷     a   B  0; − ;0 ÷; S ( 0;0; h )   C x Bài tập áp dụng Bài Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a.Chứng minh đường chéo A' C vng góc với mặt phẳng ( AB' D' ) b.Chứng minh giao điểm đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DA' C ) ( ABB' A' ) [3] [3] SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z A’ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) B(a;0;0) ; B ' (a;0; a) C ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a) D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) D’ G B’  A' C ⊥ AB' ⇒ A' C ⊥ ( AB' D' ) Nếu   A' C ⊥ AD' y A B a Chứng minh : A' C ⊥ ( AB' D' ) C’ D C x  A' C = (a; a;−a )   Ta có :  AB' = (a;0; a)   AD' = (0; a; a) Vì b Chứng minh : G trọng tâm tam giác AB' D' Phương trình tham số đường thẳng x = t  A' C :  y = t (t ∈ R) z = a − t   Phương trình tổng quát mặt phẳng ( AB' D' ) ( AB' D' ) : x + y − z = Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( AB' D' ) [ ] n1 = AB', AD' = (−a ;− a ; a )  A' C AB' = a + − a = ⇔   A' C AD' = + a − a = Nên A' C ⊥ mp( AB' D' ) Gọi G = A' C ∩ ( AB' D' )  A' C ⊥ AB'   A' C ⊥ AD' Toạ độ giao điểm G đường thẳng A' C mặt phẳng ( AB' D ' ) nghiệm hệ : x = t y = t  ⇔  z = a − t  x + y − z = a  x =  a  y =  2a  z =   a a 2a  G ; ;  (1) 3 3  Mặt khác : x A + xB ' + xD ' a  =  xG = 3  y + y + y a  A B' D' =  yG = (2) 3  z A + z B ' + z D ' 2a  =  zG = 3  So sánh (1) (2), kết luận Vậy giao điểm G đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D ' ) trọng c Tính d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) Phương trình tổng quát mặt phẳng (C ' BD) (C ' BD) : x + y − z − a = Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (C ' BD) [ ] n2 = C ' B, C ' D = (a ; a ;−a ) 2 d Tính cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) Oy ⊥ ( ABB' A' ) ⇒ Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j = (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : [ ] n3 = DA', DC = (0; a ;−a ) = a (0;1;−1) tâm tam giác AB' D' ( AB' D' ) : x + y − z = Ta có : (C ' BD) : x + y − z − a = ⇒ ( AB' D ' ) // (C ' BD) ⇒ d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) = a Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j = (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : n3 = (0;1;−1)  cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = ( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45 ⇒ o Bài Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Chứng minh hai đường chéo B' D' A' B hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B' D' A' B Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac A’ D’ vng góc Oxyz sau : z B’ O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B(a;0;0) ; B ' (a;0; a ) C ( a; a;0) ; C ' (a; a; a) D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) ( Tính d ( B' D' , A' B ) y A x Ta chứng minh A ' B song song với mp ( B ' D ' C ) v d ( B ' D ' ; A ' B ) = d B ' /( A ' BD) C’ ) D B C Ta có : mp( A ' BD) có phương trình : x+ y+ z−a =0 d ( B ' /( A' BD) ) = a Bài Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM [4] Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; Bài giải S S (0;0;2 ) M N Ta có : C (−2;0;0) ; D(0;−1;0) ; M (−1;0; ) ( BM = − 1;−1; ( ) SA = 2;0;−2 ; ) 1a.Tính góc SA BM Gọi α góc SA BM Sử dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng 1b Tính khoảng cách SA BM Chứng minh SA BM chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo C D O x y Ta có : ( ) cos α = cos SA, BM = SA.BM = SA BM ⇒ α = 30o [ SA, BM ] = (−2 ;0;−2) ; AB = (−2;1;0) [ SA, BM ] AB = ≠ d ( SA, BM ) = [ SA, BM ] AB [ SA, BM ] = 8+4 = [4] Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) D z Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải A x B H I C y 10 ∆ABC có : AB + AC = BC = 25 nên vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau O ≡ A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; Tính : AH = d ( A, ( BCD) ) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) x y z + + = ⇔ x + y + 3z − 12 = 4 − 12 12 34 d ( A, ( BCD) ) = = = 17 16 + + 34 ( BCD) : Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài Cho hai nửa đường thẳng Ax By vng góc với nhận AB = a ( a > 0) đoạn vng góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM = BN = 2a Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI Hướng dẫn Dựng hình : Dựng Ay ' // By ⇒ Ax ⊥ Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy' z sau : A(0;0;0) ; B (0;0; a ) ; M (2a;0;0) Bài giải z B N N (0;2a; a) y A Toạ độ trung điểm I MN a  Ia ; a ;  2  M I x 1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :  Ax ⊥ By   Ax ⊥ Ay ' 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN y' Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên trung điểm a  I  a ; a ;  MN tâm 2  mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN = a(−2 ; ; 1) Bán kính mặt cầu : 11 R= MN 3a = 2 Ta có : AM = (2a;0;0) ; Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a  BI =  a; a;−  ; 2  AB = (0;0; a ) [ AM , BI ] = (0; a ;2a ) d ( AM , BI ) = [ AM , BI ] AB [ AM , BI ] = 2a 5 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC [5] Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Gọi O tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD) z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ;  a  a  ;0;0 ÷ ;0;0  ÷ A  − ; C ÷  ÷D      a   a   0;  ; B  0;− ; ;0     2     S E P M y A D O B N C x [5] Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 Toạ độ trung điểm P SA P  a  a a  h ; 0; ÷ ;− ;h÷  − ; E  − ÷ ÷ 2 2     a a h a a  ;− ; ÷ ;− ;0 ÷ M  − N  ÷ ÷ 2    Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC uuuu r  3a h  uuur MN =  ;0; − ÷ ÷; BD = (0; −a 2;0)   Vì : MN BD = ⇒ MN ⊥ BD uuuu r uuur  ah   MN ;0 ÷ Ta có :  , AC  =  0; − ÷   12 Chứng minh MN AC chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo uuuu r  a h AM =  0; − ; ÷ 2÷   uuuu r uuur uuuu r a2h ≠0 Vì :  MN , AC  AM = ⇒ MN AC chéo d ( MN , AC ) = = [ MN , AC ] AM [ MN , AC ] a 2h a = a2h2 Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) z  a   a  ;0 ÷ ; B  − ;0;0 ÷ Khi : A  0; ÷     a   a   a  C  ;0;0 ÷; S  0; ;h÷ ÷; H  0; ;0 ÷ ÷ 2       a a h a a h M  − ; ; ÷ ; ÷ ÷; N  ; ÷  12   12  uuuu r  a 5a h  AM =  − ; − ; ÷ 12 ÷   uuur  a 5a h  AN =  ; − ; ÷ 12 ÷ 4  uur  a a  SB =  − ; − ; −h ÷ ÷   M y N A B I H C x + Pháp vectơ mp (AMN) : ur uuuu r uuur  ah 5a  n1 =  AM , AN  =  0; ; ÷ 24 ÷   + Pháp vectơ mp (SBC) : uu r uur uuu r  a2  n2 =  SB, SC  =  0; − ah; ÷ ÷   13 Diện tích tam giác AMN : uuu r a a  SC =  ; − ; −h ÷ ÷ 2  ur uu r ur uu r ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = ⇔− S ∆AMN a h 15a a h 15a + =0⇔ = 24.6 16 242 = 2 uuuu r uuur  AM , AN  = a h + 75a2   16 24 15a 75a a 10 = + = 90a = 242 242 48 16 đvdt Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; SA = a ; SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Hướng dẫn Dựng hình : S Gọi H hình chiếu vng góc S AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có : SA2 + SB = a + 3a = AB ⇒ ∆SAB vuông S ⇒ SM = a a Do : ∆SAM ⇒ SH = Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : H (0;0;0) ; S  a 3  a   0;0; ÷ ; A  − ;0;0 ÷ ; B ÷      3a   a  D  − ; 2a;0 ÷ ; M  ;0;0 ÷ ;     a   3a  N  ; a;0 ÷  ;0;0 ÷ ; 2    uuur  a a 3 SM =  ;0; − ÷ ÷ 2  uuu r  3a a 3 SN =  ; a; − ÷ ÷   uur  3a a 3 SB =  ;0; − ÷ ÷   z Bài giải A D K H x B y M N C + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN = VSMNB + VSMND 2 uuur uuu r    SM , SN  =  a ; − a ; a ÷    2 ÷   uuur uuu r uur a 3  SM , SN  SB = ;   uuur uuu r uuu r  SM , SN  SD = 3a   u u u r u u u r uur a 3 VSMNB =  SM , SN  SB = 12 r uuu r a3  uuur uuu  VSMND =  SM , SN  SD = 14 uuu r  a a 3 SD =  − ; 2a; − ÷ ÷   uuur DN = ( 2a; − a;0 ) VS BMDN = VSMNB + VSMND = + Cơng thức tính góc SM, DN uuur uuur SM DN cos ( SM , DN ) = uuur uuur SM DN a3 a3 a3 + = 12 + Tính cosin góc SM, DN cos ( SM , DN ) = a2 a 3a + 4 = 4a + a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ∠ABC = ∠BAD = 90 o ; AB = BC = a , AD = 2a , SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: A(0;0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D ( 0; 2a;0 ) ; S ( 0;0; 2a ) uur SB = a;0; −a uuu r SC = a; a; −a uuu r SD = 0; 2a; −a uuu r uuu r  SC , SD  = a 2; a 2; 2a   ( ( ( ) ( ) ) ( = a 2 1;1; )  x = a + at  SB :  y =   z = a 2t (t ∈ R ) S H ) + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB Phương trình tham số SB : Bài giải B x A I D y C + Chứng minh tam giác SCD vuông uuu r uuur SC = ( a; a; −2a ) ; CD = ( −a; a;0 ) uuu r uuur SC.CD = ⇒ SC ⊥ CD ⇒ Tam giác SCD vuông C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H : 15 + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ r n = ( 1;1; ) làm pháp vectơ (SCD) : 1( x − 0) + 1( y − 0) + 2( z − a 2) = ( ) H ( x; y; z ) ∈ SB ⇒ H a + at ;0; a 2t uuur AH = (a + at ;0; a 2t ) uuur uur AH ⊥ SB ⇔ AH SB = ⇔ 3a 2t + a = ⇔ t = −  2a a 2 ⇒ H  ;0; ÷ ÷   + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x + y + z − 2a = 2a 2a + − 2a a 3 d ( H , ( SCD) ) = = 16 Bài 10 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có tâm O Gọi I tâm hình vng A ' B ' C ' D ' M điểm thuộc OI cho MO= MI Khi cosin góc tạo 2 mặt phẳng ( MC ' D ' ) (MAB) bao nhiêu? [4] [4] Trích đề thi TN THPT năm 2017-2018 17 Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : Bài giải Do: OM = OI ⇒ M (1;1; ) 3 −2  MC ' = ( −1;1; )  ⇒ MD ' = (1;1; − )  B ≡ O(0;0;0); B A ≡ Ox; B C ≡ Oy; B B ≡ Oz ' ' ' ' ' ' Gọi A’(2;0;0); C’(0;2;0); D’(2;2;0A(2;0;2); B(0;0;2) [ ] ⇒ n ( MC ' D ' ) = MC ', MD' −4 ;−2)  MA = (1;−1; )  MB = (−1;−1; )  Và: z = (0; C B A O B ’ D M C A x y [ ] ⇒ n( MAB ) = MA, MB = (0; −8 ;−2) Gọi α góc hai mặt phẳng I ’ ’ ( MC D ) ( MAB ) ' D’ ' ⇒ cos α = n( MC ' D ' ) n( MAB ) n( MC ' D ' ) n( MAB ) = 17 13 65 Bài tập tự luyện : Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với (ABCD), góc đường thẳng SB mặt đáy 600 Gọi M, N trung điểm đoạn AD CD, MN = a Tính thể tích khối chóp S.BMN khoảng cách hai đường thẳng BM SN theo a [5] [5] Trích kỳ thi HSG cấp tỉnh khối Bổ túc THPT năm 2014-2015 tỉnh Thanh Hóa 18 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD Bài 3: Cho tứ diện ABCD: AB, AC, AD đơi vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD= Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Bài 6: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Chứng minh mp ( AA ' C ) vuông góc với mp ( AB ' D ') Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc (ABCD) Gọi M trung điểm AD N trung điểm SC I giao điểm BM AC Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) (SMB) vuông góc Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 7: Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Bài 8: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau thời gian áp dụng đề tài vào công tác ôn luyện cho học sinh khối 12 nhận thấy việc tiếp thu học sinh thay đổi rõ Đặc biệt em thấy hứng thú với tốn hình áp dụng giải phương pháp tọa độ, cụ thể kết thông qua khảo sát hai tập: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN ⊥ A' C Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB ' D ') (C ' BD) b Tính góc hai mặt phẳng (A’BC) (A’CD) Kết quả: Bài Số HS làm Số HS đạt yêu cầu Đạt tỷ lệ % 80 65 81,2 81 63 77,7 Tuy kết qủa chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực tơi bớt băn khoăn học trò thấy hưng phấn gặp tốn hình bước biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải toán 19 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận: Song song với việc tiếp thu kiến thức toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường mặt, qua việc sử dụng công cụ dùng phương pháp tọa độ trong không gian em chủ động hơn, tự tin tiếp xúc với tốn hình học khơng gian Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất II Kiến nghị Nhà trường cần đầu tư cho phòng thư viện thêm loại sách tham khảo để học sinh tự học, tự làm tập nhà Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn học sinh trước đến trường Cần lắp đặt phòng học hệ thống máy chiếu để học sinh tiếp thu tốt có hứng thú tiết học Đề tài trình bày, trao đổi góp ý với tổ hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm trường Các thành viên đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài Mặc dù cố gắng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm thân, chép tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Xác nhận thủ trưởng quan Trịnh Đình Chung Thiệu Hóa, ngày 15/04/2019 Người thực Đinh Văn Ba 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân NXB Giáo dục, 2000 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục Các toán phương pháp vectơ phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 1998 Làm để học tốt mơn Tốn - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 Phương pháp toạ độ không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000 Phương pháp tọa độ hóa hình học khơng gian: Tạp chí tư liệu tốn học Các giảng luyện thi mơn tốn: Phan Đức Chính- Vũ Dương ThụyĐàoTam- Lê Thống Nhất 9.Giới thiệu đề thi mơn tốn: Dỗn Minh Cường- NXB ĐHQGHN 10 Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ: Trần Đình Cư 21 MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU Trang I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG I Cơ sở lý luận……………………………………………………………… II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến III Các giải pháp thực để giải vấn đề Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian…………………………… … Bài tập áp dụng…………………………………………………………… Bài tập tự luyện ………………………………………………………… 17 IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 19 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Đinh Văn Ba Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên dạy mơn tốn trường TTGDNN-GDTX Thiệu Hóa TT Tên đề tài sáng kiến Cấp đánh giá Kết Năm kinh nghiệm xếp loại đánh giá xếp học loại đánh giá xếp loại Một số phương pháp giải Sở GD& ĐT tập tiếp tuyến Một số phương pháp giải 2012 C 2014 C 2017 Sở GD& ĐT tốn hình học khơng gian C cho học sinh khối 11 Một số phương pháp giải Sở GD& ĐT tốn quan hệ vng góc khơng gian 23 ... nắm vững kiến thức hình tọa độ, cơng thức áp dụng liên quan đến toán, đặc biệt cách chọn hệ trục tọa độ hợp lí III Các giải pháp thực để giải vấn đề Để giải toán phương pháp toạ độ ta thực theo... khoăn học trò thấy hưng phấn gặp tốn hình bước biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải toán 19 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận: Song song với việc tiếp thu kiến thức toạ độ điểm, tọa độ. .. độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường mặt, qua việc sử dụng công cụ dùng phương pháp tọa độ trong không gian em chủ động hơn, tự tin tiếp xúc với tốn hình học không gian Sáng kiến kinh nghiệm